高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析

高考数学函数专题训练 含绝对值的函数
一、选择题 1.函数x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin +
+=
的值域为（ ） A ．{
}3,1 B.{}3,1- C.{}3,1-- D.{}3,1- 【答案】B
【解析】当sin 0,cos 0x x >>时3y =,sin 0,cos 0x x ><时1y =-,sin 0,cos 0x x <>时
1y =-,sin 0,cos 0x x <<时3y =,∴值域为{}3,1-
2．函数()ln 11x f x x
-=
-的图象大致为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由于()ln 3022f =
>，排除C 选项，()ln 1220f =->，排除B 选项，1122
1
ln
20f ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，不选A,故选D.
3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是( )
A ．)(x h 关于)0,1(对称
B ．)(x h 关于)0,1-(对称
C ．)(x h 关于1=x 对称
D ．)(x h 关于1-=x 对称 【答案】C
【解析】因为函数()f x 是奇函数,所以()f x 是偶函数,即()f x 与()g x 均为偶函数,其图象均关于y 对称,所以(1)f x -与(1)g x -的图象都关于直线1x =对称,即()(1)(1)h x f x g x =-+-的图象关于直线
1x =对称,故选C ．
4.已知()()2
11f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( )
A ．
54
B ．
34
C ．3
D ．1
【答案】A
【解析】由题意得：()()
2
2
2
111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+
11x -≤≤ 2
2
2215
11124x x x x x x x ⎛⎫∴-+=-+=-++=--+ ⎪⎝
⎭
∴当12x =
，即12
x =±时，()
2
max
5
14
x x -+=
即：()54
f x ≤
，即()f x 的最大值为5
4，故选A .
5．若函数()1
11101x x f x x x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩
，，，关于x 的方程2
() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根，则（ ） A ．b ＜﹣2且c ＞0 B ．b ＞﹣2且c ＜0 C ．b ＝﹣2且c ＝0 D ．b ＞﹣2且c ＝0
【答案】C
【解析】令t ＝f （x ），则t 2+bt +c ＝0，设关于t 的方程有两根为t ＝t 1，t ＝t 2，
关于x 的方程2
() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根等价于函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数为3个，作出()f x 的简图如下：
由函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的位置关系可得： t 1＝2，t 2＝0，由韦达定理可得：
1212022
020b t t c t t -=+=+=⎧⎨
=⋅=⨯=⎩
，即b ＝﹣2，c ＝0，故选C ． 6．已知函数()ln(1)f x x =-，满足()(4)f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(2,3)
C ．(1,3)
D ．(2,4)
【答案】A
【解析】函数()ln(1)f x x =-的定义域为()1,+∞，
由()(4)f a f a >-可得：ln(1)ln(41)ln(3)a a a ->--=-，两边平方：
[][]
[][]22
ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)0a a a a a a ->-⇔----+->
则ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030a a a a a a --->⎧⎪-+->⎪⎨->⎪⎪->⎩（1）或ln(1)ln(3)0ln(1)ln(3)01030
a a a a a a ---<⎧⎪-+-<⎪⎨->⎪⎪->⎩（2）
解（1）得：a 无解 ，解（2）得：12a <<，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选A.
7.已知函数)0(|4|||)(>---=a a x a x x f ,若对R ∈∀x ,都有)(1)2(x f x f ≤-,则实数a 的最大值为（ ） A ．
81 B ．4
1 C ．21
D ．1
【答案】B
【解析】(2)1()f x f x -≤,即为(2)()1f x f x -≤,即22441x a x a x a x a -----+-≤,设
()2244
g x x a x a x a x a
=-----+-,则
0,
2
42,
2 ()
22,2
82,24
0,4
a
x
a
x a x a
g x x a a x a
a x a x a
x a
⎧
≤
⎪
⎪
⎪-<≤
⎪
⎪
=-<≤
⎨
⎪
⎪-<≤
⎪
⎪>
⎪
⎩
,由题意,当
2
a
x a
<≤时,
1
()4221
2
g x x a a a
=-≤≤⇒≤,当2
a x a
<≤时,
1
()2221
2
g x x a a a
=-≤≤⇒≤,当24
a x a
<≤
时,
1
()2241
4
g x x a a a
=-<≤⇒≤,所以
1
4
a≤,即a的最大值为
1
4
,选B.
8.若函数()221
f x x x ax
=-+--没有零点，则实数a的取值范围是
A．
3
3
2
a
-≤<B．31
a
-≤<C．
3
3
2
a a
≥<-
或D．13
a a
≥<-
或
【答案】A
【解析】因为函数()221
f x x x ax
=-+--没有零点，所以方程221
x x ax
-+-=无实根，
即函数()221
g x x x
=-+-与()
h x ax
=的图像无交点，如图所示，则()
h x的斜率a应满足
3
3
2
a
-≤<，故选A.
9.定义一种运算
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
⊗
b
a
b
b
a
a
b
a
,
,
,令()()t x
x
x
x
f-
⊗
-
+
=2
2
4（t为常数）,且[]3,3-
∈
x,则使函数()x f
最大值为4的t值是（）
A．2
-或6B．4或6C．2
-或4D．4
-或4
【答案】C．
【解析】y=4+2x﹣x2在x∈[﹣3,3]上的最大值为4,所以由4+2x﹣x2=4,解得x=2或x=0．
所以要使函数f（x）最大值为4,则根据定义可知,当t＜1时,即x=2时,|2﹣t|=4,此时解得t=﹣2．当t＞1时,即x=0时,|0﹣t|=4,此时解得t=4．故t=﹣2或4．
10.已知函数()||––10||f x mx x m =>（）, f (x )=|mx |–|x –1|（m ＞0）,若关于x 的不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个,则实数m 的取值范围为（ ）．
A.0＜m ≤1 B .34m ≤＜2
3
C.1＜m ＜23
D.2
3
≤m ＜2
【答案】B
【解析】不等式()0f x ＜的解集中的整数恰有3个,即|||–|1mx x <的解集中的整数恰有3个. |||–|1mx x <可化为2
2
()10,()mx x --<即([m (1)1]10][1,)m x x +-⋅-+<由于不等式解集中整数恰有三个,所以
10,1,m m ->>不等式的解为
11111x m m -<<<-+,从而解集中的三个整数为2,1,0--,1
32,1
m --≤<--即1
231m <≤-,2233m n m -<≤-,所以34m ≤＜23.
11.已知函数21,0
()log ,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨
>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,
则3122
34
1
()x x x x x ++
的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 【答案】B
【解析】先画出函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪
=⎨
>⎪⎩
的图象,方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且
1234x x x x <<<,由0x ≤时,()1f x x =+,则横坐标为1x 与2x 两点的中点横坐标为1x =-,即：
122x x +=-,当0x >时,由于2log y x =在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数,又因为34x x <,4232log log x x =,则4310x x <<<,有1log log 434232=⇒=-x x x x ,又因为方程a
x f =)(有四个不同的解,所以1log 32≤-x ,则213≥
x ,则3122341()x x x x x ++=3312x x +-,)12
1
(3<≤x ,设
t t t g 12)(+-=,（121<≤t ）,由于012)(2<--='t
t g ,则)(t g 在)1,21
[上是减函数,则1)(1≤<-t g .
12.已知函数()121f x x =--,[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =,21()(())f x f f x =,……,
1()(())n n f x f f x -=,2,3,4,
n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不
动点的个数是（ ）
A.2n 个
B.2
2n 个 C.2(21)n
-个 D.2n 个
【答案】D.
【解析】函数12, 02
()121122,1
2
x x f x x x x ⎧
≤≤⎪⎪=--=⎨⎪-<≤⎪⎩,当1[0,]2x ∈时,1()20f x x x x ==⇒=,
当1(,1]2
x ∈时,12
()223
f x x x x =-=⇒=
,∴1()f x 的1阶不动点的个数为2,当1[0,]4x ∈,1()2f x x =,2()40f x x x x ==⇒=,当11(,]42x ∈,1()2f x x =,22()245f x x x x =-=⇒=,当
13(,]24x ∈,1()22f x x =-,22
()423f x x x x =-=⇒=
,当3(,1]4x ∈,1()22f x x =-,24()445
f x x x x =-=⇒=,
∴2()f x 的2阶不动点的个数为22,以此类推,()f x 的n 阶不动点的个数是2n
个.
二、填空题 13.方程18|cos()||log |2
x x π
+=的解的个数为__________．（用数值作答）
【答案】12
【解析】由题意得求方程18sin log x x = 的解的个数，因为sin y x = 周期为π，而5π186π<<，又
(0,1)x ∈时sin y x =与18log y x =-有一个交点，(1,π)x ∈时sin y x =与18log y x =有一个交点， (π,π+π),(1,2,3,4,5)x k k k ∈=时sin y x =与18log y x =有两个交点，因此共有2612⨯=个.
14. 已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．
【答案】3或 【解析】当时，= 函数
，对称轴为
，观察函数
的
图像可知函数的最大值是.
令，经检验，a=3满足题意.
令，经检验a=5或a=1都不满足题意. 令，经检验
不满足题意.
当时，
, 函数，对称轴为
，观察函数
的图像得函数的最大
值是.
当时，
, 函数，对称轴为
，观察函数
的图像可知函数的最
大值是.
令， 令
,所以
.
综上所述，故填3或.
15.
a 为实数,函数2
()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a . 当a = 时,()g a 的值最小. 【答案】322-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-.①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示.函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-.
a
O y
x
②当0a =时,2
()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-.
③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示.
x
y
O a
（i ）若12
a
a <<,即12a <<,()()2max 4a f a g a ==；
（ii ）若
12
a
,即2a
,()max 1f a a =-；
（iii ）若01a <<,()()
()
2
2max
,2211
4
max ,141,0221
a a a f a a a a ⎧-<⎧⎫⎪=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪-<<-⎩
. 综上所述,()(
)
(
)
212212212412
a a a
g a a a a ⎧-<-⎪⎪=-<⎨⎪⎪-⎩，，，,因此()(
)
min 2
21322g a g ⎡⎤=-=-⎣
⎦
.
16. 已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为
__________． 【答案】
【解析】根据题意，有
，于是函数关于
对称，结合所有的零点的平均数为，可得
，此时问题转化为函数
，在
上与直线
有个公共点，此时
，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是
上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：
接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数
，在上与直线有个公共点，的取值范围是,故答案为.。