描述性数据分析

某班31名学生考试成绩如下： 25 45 50 54 55 61 64
68
83
72
84
75
84
75
84
78
85
79
86
81
86
87
92
89
100
89
89
90
Baidu Nhomakorabea
91
91
2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 5 0 4 1 4 5 8
1 1 3 3 5 13 4 1
2 5 5 8 9 1 3 4 4 4 5 6 6 6 7 9 9 9 0 1 1 2 0
三、 茎叶图 茎叶图是探索性数据分析时对数据的初步形象 描绘，有点像直方图，但主要的差异在于茎叶 图是用数据代替直方图中的矩形。这样既有了 直观的图示，又对具体数据有大致了解。可以 更细致的看出数据的分布结构。 茎叶图制作的第一步是将每一个数据分解为三 个部分：茎、叶以及可忽略部分。一个数，从 哪一位开始可以归属于可忽略部分，需要看研 究的实际情况而定。
x, y
T
x y
2）变量X的方差
3）变量Y的方差
1 n 2 S xx ( xi x ) n 1 i 1 1 n 2 S yy ( yi y ) n 1 i 1
1 n 4）变量X，Y的协方差 S xy xi x ( yi y ) n 1 i 1
Q1 1.5R1 1.29 Q3 1.5R1 15.05
3、直方图： 直方图可以直观的观察数据的分布情况。 所谓直方图就是将数据按它们的取值范围划分 为若干子区间，以每一个子区间为底，在它的 上方作一个矩形，矩形的面积与位于该子区间 内的数据个数成比例。这些矩形的全体构成了 数据直方图。 方法：将数据范围分成若干自取件，一般 是等间距的。考虑落入每个区间的频率。
这两组数据的茎叶图可以忽略个位数而得， 被忽略的个位数一般不四舍五入。茎叶图实 际上是“带有数据的直方图”，忽略个位数 相当于选择划分区间的端点恰为10的倍数。 如果随意地将个位数四舍五入，则等于将一 个区间内的某些数据武断地转到右边的区间， 显然这是不妥当的。
通过此图可以粗略的得到， 高收入中，男性比女性多。 茎叶图中， 如果一行的数据过多， 可以分成两行显示。
4 i 1 i
n n 1
n
4
n 1 3 n 2 n 3
2
2、五数概括 1)中位数
x n 1 , 2 M 1 x n x n , 1 2 2 2
茎叶图与直方图一样，都可以直观的看出数
据分布的情况，但茎叶图用了所有数据，没
有丢失信息。从图上大致可以看出数据是否
对称，分散性如何，是否有异常值，数据中
间是否有间隙等。利用茎叶图也很自然的给
数据进行了排序。
数据分析中，常常要比较两组可比数据的分布 趋向，背靠背茎叶图为此提供了方便。假如从 某地区随机抽样男女居民各20名，对他们的月 收入进行调查，得数据如下(单位为元)： 男 803，659，571，778，492，295，345 673，388，580，708，433，301，193 435，560，767，678，288，477 女 680，792，583，434，425，186，288 379，444，556，471，671，536，333 422，236，195，345，389，400
计算：平均数，方差，中位数，四分位数； 并判断是否有异常值。 解： 1 n 1
x
x n
i 1
i

19
161.253 8.487
1 n 2 Sn ( xi x ) 2 3.406 n 1 i 1
M 8.75
Q3 M 0.75 9.89 Q1 M 0.25 6.45
n为奇数； n为偶数.
2）最小数
x1 min xi
1 i n
3）最大数
4）极差 5） p 分位数
x n max xi
1 i n
R x n x1
xnp1 , M p 1 x np x np 1 , 2 np不是整数； np是整数.
§2 两样本数据
社会经济领域中数据组并非总是以单样本形式
出现，我们还常常需要研究两个变量之间的关
联程度，例如父亲的身高与成年儿子的身高；
丈夫的收入与妻子的收入；股票市场的上证综
合指数与深圳成份指数；货币投放量及通货膨
胀率；等等。本节将讲解两样本数据的初步整
理分析。
一 相关系数 .... 给定一组两样本数据 xi , yi i 1,2， n ，如果 根本不考虑其中一个变量的状态(比如先不 考虑x)，那末对y数据的概括统计量当然是 和(或)。同样地单纯考虑变量x也有概括统 计量。在两样本数据中极重要的一个概括 统计量是x与y之间的相关系数。 n n 1 1 y yi x xi n i 1 n i 1 1）均值向量
注：第 组数据 第 j个因素 的数据
i
xi1 , xi 2 ,..., xip T
x
1j
, x2 j ,..., xnj
T
均值向量
x x1 , x2 ,..., x p ,
协方差矩阵
s11 s12 s12 s22 S .............. s p1 s p 2


6）上四分位数
7）下四分位数 8）极差
Q3 M 0.75
Q1 M 0.25
R1 Q3 Q1
9）上下截断点
Q1 1.5R1 ,
Q3 1.5R1
无数概括：最小数、下四分位数、中位 数、上四分位数、最大数和在一起称为 无数概括。
例：已知数据：
9.89 8.75 8.00 6.45 6.40 11.90 6.17 10.30 5.39 7.27 9.08 9.24 10.40 7.75 11.20 6.20 8.33 8.95 9.58
x
, xi 2 ,..., xip
T
样本观测矩阵：
x11 , x21 ,..., xn1 x12 , x22 ,..., xn 2 x1 , x2 ,..., xn , ................... x1 p , x2 p ,..., xnp
描述性数据分析
数据的描述性分析即是从数据出发概 括数据特征，主要包括数据的位置特性、 分散性、关联性等数字特征和反映数据整 体结构的分布特征，它是数据分析的第一 步，也是对数据进行进一步分析的基础。 §1 单样本数据 1、 一组单样本数据 x1 , x2 ,...xn ，样本数据 个数称为样本容量， 1 n 1）样本平均数 x x i n i 1
5）协方差矩阵
6）相关系数
rxy
S xx S S yx S xy
S xy S yy
S xx S yy
1）相关系数的绝对值最小为0，最大为1。
2）当为0时，表示两个变量不相关，即无线性 关系； 3）当绝对值为1时，表示完全相性相关。即 Y=KX+B 4）数值越大，关系越大。刻画两变量关系的 十分重要的物理量。
绘制直方图的关键之处在于子区间的划分，我们 将分别讨论两种情况：样本数据本身包含了子区 间的划分或至少提供了划分的信息，另一种是样 本数据只提供单纯的n个数字。 1、样本数据组提供了子区间的划分 例1 某市居民的月收入情况
2000元 以下
1％
2000 元～ 3000元
5.6％
3000 元～ 4000元
15.4％
4000 元～ 5000元
22.8％
5000 元～ 6000元
22.8％
6000 元～ 7000元
11.2％
7000元 以上
21.2％
宽度为组距，高度为落入该区间的频率
2、样本数据组只提供了n个数据 此时对数据绘制直方图需要制图者自己选 择与确定子区间的个数及如何划分，这两个因 素将直接关系到直方图的形状。 这是仍旧需要对数据进行子区间，划分大部分 采用均分的方式，区间的个数通常在6～20之 间（也有8～15个），具体要分成多少个，要 有实际问题确定。假设样本数据组要划分成k 个子区间，则具体划分数据的原则是，设n个 数据的最小值为a，最大值为b，则把 b -a 做 为区间的长度。这种分法是比较常见的 。
2）样本方差
1 n 2 2 Sn ( xi x ) n 1 i 1
3）样本标准差
Sn
1 n 2 ( xi x ) n 1 i 1
n
4）偏度
n 3 g1 (x x ) 3 i n 1 n 2 s i1
5）峰度 g 2
(x x ) n 1 n 2 n 3 s
... s1 p ... s2 p ... s pp

相关系数矩阵
... r1 p 1 r12 r12 1 ... r2 p R .............. ... 1 rp1 rp 2
§2 多元数据数字特征及相关矩阵
设 X ,X
1
,..., X p T 2
是P元总体，从中得到数据如下
x11 , x12 , ..., x1 p x x
第
22

T
, x22 , ..., x2 p , xn 2 , ..., xnp

i2
T
...........
T n2
i
组数据记为