第十章轴对称平移与旋转复习
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A
C
D
E
F
B
例2 按下列要求画出图形： (2)画出△ABC沿着线段MN的方向平移后的位置, 平移的距离是线段MN的长度； M A B C N
A ’
B ’ C ’
练习1：
如图：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B+∠C=90o，点E在AD上，先将AB向 右平移，使点A与点E重合，交BC于F，再 将DC向左平移，使点D与点E重合，交BC 于G，请判断ΔEFG的形状.
C O B A C′ B′
A′
解法二：根据观察，B、B′及C、C ′应分别是两 组对应点，连结BB′ 、CC′ ，它们相交于点O， 则点O即为所求（如图）．
C
O B′
B A C′
A′
3. 小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，请 一位同学避开他，任意将其中一张牌倒过来，然 后小明很快辨认出被倒过来的那张扑克牌是( )
观察下列旋转 ,探索对应元素的关系 旋转的特征
即 ⑴: 对应线段相等 对应角相等 C′ ′ ′ ′ OA=OA, OB=OB, OC=OC 还有相等的线段和角吗 ? ⑵ 即 : 对应点到旋转中 心的距离相等 0·
′ ∠COC ′ ′ ∠BOB= ∠AOA=
B′
A′ C
⑶ 即: 每一点都绕旋转中 心按同一方向转过相 A 等的角度
轴对称
图 形 之 间 的 变 换
平移
概念、性质、作图
旋转 旋转对称 全等图形 性质与判 定 中心对称
10.1
轴对称
如果一个图形沿某条直线对折后， 直线两旁的部分能够完全重合，那么这 个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
议一议
我们再看图10.1.3中的两组图形，它们有什 么共同点？
归纳总结
通过上面的操作,同学们能否总结一 下如何画已知图形关于某条直线的对称 图形? 第一步:找出图形中的特殊点； 第二步:逐个画出特殊点的对称点； 第三步:顺次连结对称点.
试画出下列已知图形关于直线l的轴对称图形。
l
A A1 l
A1
A
B A A1
C1 B l
B1
B A A1
B1
C B1
C C1
对称点.
观察 : C 、 A 、 E 三点
C
的位置关系怎样?线段 AC、AE的大小呢?
A
B
A
答：C,A,E三点 D 在同一条直线上； AC，AE为对应 线段，AC=AE
Eຫໍສະໝຸດ Baidu
结论：在成中心对称的两个图形中，连 结对称点的线段都经过对称中心，并且 被对称中心平分.
3.如图23.2-5,选择点O为对称中心,画出与
B
l
B1
课后提升
如下图，点A代表烽火台，点B代表营地， 现有一将军牵着马从烽火台出发，走到河边饮 马后要回到营地，请问怎样走可使行驶的路程 最短？在图中作出该处，并说明理由。
河 C D
A
B
平面图形在它所在的平面上的平 行移动，简称为平移。
小结
平移的基本性质
1.图形上各点沿同一方向移动相同的距离 2. 平移不改变图形的形状、大小，只改变图 形的位置.
平移的两个要素：
请看图片，平移是由什么决定的？ 平移的方向和平移的距离是决定平移的 两个要素。
△ABC平移的方向就是由点B到点 B′的方向，平移的距离就是线段B B′ 的长度。
平移的方向是一个点到它对 应点的方向，即对应点确定 的射线的方向 平移的距离是对应点间的线 段的长度。
平移的特征：
1.平移后对应线段平行（或在同一直 线上）且相等，对应角相等。 . 2.平移后对应点所连的线段平行（或在 同一条直线上）并且相等
B
在网格图中画出△ ABC绕点O 逆时针旋转90 °后的
△A 1B 1C 1.
定义：
把一个图形绕着某一定点旋转一定角度
后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形。
请注意： 1、0°＜旋转角＜360°. 2、旋转对称图形是一个具有旋转特征的 特殊图形。
3、若顺时针或逆时针旋转一定角度，该图形 都能与原图形重合，则可以淡化旋转方向。
4. 已知 : 如图，△OAD≌△ OBC ，且∠ O=70 °，∠ C=25 °，
则∠AEB=____________.
【解析】∵△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°， ∴∠CAE=∠O+∠D=95°， ∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°. 答案:120°
A′B′上，CA′交AB于D.求∠BDC的度数.
在平面内，一个图形绕中心旋转180°后能与 自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这 个中心叫做它的对称中心。
注意：
中心对称图形是旋转角度为180度的旋转对称图形。
C
A B A
D
E
像这样把一个图形绕 着某一点旋转180度, 如果它能够和 另一个 图形重合,那么,我们就 说这两个图形关于这 个点成中心对称,这 个点叫做对称中心， 这两个图形中的对应 点,叫做关于中心的
D D1
像这样，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果 它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对 称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两
个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．
成轴对称与轴对称图形的基本特征
显然，轴对称图形（或成轴对称的两个图形）沿对称轴对 折后的两部分是完全重合的，所以 轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后 重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。
A E D
B F “若AD=3，FG=5，求BC的长”
G C
像这样，把一个平面图形绕着某一定点按某个 方向转动一定的角度，这样的图形运动就叫做 旋转．
这个定点O称为旋转中心 转动的角∠AOB 称为旋转角
旋转方向:顺时针
A B
图形旋转的三要素： 旋转中心． 旋转角度． 旋转方向．
旋转角
o
旋转中心
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∠A, ∠B= ′ ∠B, ∠C= ′ ∠C AB=AB, BC=BC, AC=AC, ∠A=
△ABC关于点O对称的△A′B′C′. 解:
B′ A′
C′
△A′B′C′即为所求的三角形。
试一试： 如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，
求出它们的对称中心O．
C A′ B A B′
C′
解法一：根据观察，B、B′应是对应点，连 结BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点 O即为所求（如图）
旋转的特征:1、图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋 转方向旋转了同样大小的角度；
2、对应点到旋转中心的距离相等；
3、对应线段相等，对应角相等；
4、图形的形状与大小不变.
在△ ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ A=20 ° . 如图，将
△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α 至△A′B′C的
位置，其中A′，B′分别是A，B的对应点，点B在
线段的垂直平分线的定义： 垂直并且平分一条线段的直线叫做线段 的垂直平分线（简称中垂线） 垂直平分线的性质：线段的垂直平 分线上的点到线段两端点距离相等
小
结
（1）
（2）
画图形的对称轴的方法：
（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。
（2）连结对称点。 （3）画出对称点所连线段的垂直平分线， 就是该图形的对称轴
(A)方块5
(B)梅花6
(D)黑桃8
(C)红桃7
5.图形全等的概念: (1)全等图形:能够完全重合的两个图形叫做全等图形. (2)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 注:表示方法及对应元素的确定 (1) 表示方法 : △ABC≌△ A ′ B ′ C ′ ( 表示两个三角形全等要求 : 把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上). (2) “对应”概念 : 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边 叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. 全等图形的对应边相等，对应角相等.
C
D
E
F
B
例2 按下列要求画出图形： (2)画出△ABC沿着线段MN的方向平移后的位置, 平移的距离是线段MN的长度； M A B C N
A ’
B ’ C ’
练习1：
如图：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B+∠C=90o，点E在AD上，先将AB向 右平移，使点A与点E重合，交BC于F，再 将DC向左平移，使点D与点E重合，交BC 于G，请判断ΔEFG的形状.
C O B A C′ B′
A′
解法二：根据观察，B、B′及C、C ′应分别是两 组对应点，连结BB′ 、CC′ ，它们相交于点O， 则点O即为所求（如图）．
C
O B′
B A C′
A′
3. 小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，请 一位同学避开他，任意将其中一张牌倒过来，然 后小明很快辨认出被倒过来的那张扑克牌是( )
观察下列旋转 ,探索对应元素的关系 旋转的特征
即 ⑴: 对应线段相等 对应角相等 C′ ′ ′ ′ OA=OA, OB=OB, OC=OC 还有相等的线段和角吗 ? ⑵ 即 : 对应点到旋转中 心的距离相等 0·
′ ∠COC ′ ′ ∠BOB= ∠AOA=
B′
A′ C
⑶ 即: 每一点都绕旋转中 心按同一方向转过相 A 等的角度
轴对称
图 形 之 间 的 变 换
平移
概念、性质、作图
旋转 旋转对称 全等图形 性质与判 定 中心对称
10.1
轴对称
如果一个图形沿某条直线对折后， 直线两旁的部分能够完全重合，那么这 个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
议一议
我们再看图10.1.3中的两组图形，它们有什 么共同点？
归纳总结
通过上面的操作,同学们能否总结一 下如何画已知图形关于某条直线的对称 图形? 第一步:找出图形中的特殊点； 第二步:逐个画出特殊点的对称点； 第三步:顺次连结对称点.
试画出下列已知图形关于直线l的轴对称图形。
l
A A1 l
A1
A
B A A1
C1 B l
B1
B A A1
B1
C B1
C C1
对称点.
观察 : C 、 A 、 E 三点
C
的位置关系怎样?线段 AC、AE的大小呢?
A
B
A
答：C,A,E三点 D 在同一条直线上； AC，AE为对应 线段，AC=AE
Eຫໍສະໝຸດ Baidu
结论：在成中心对称的两个图形中，连 结对称点的线段都经过对称中心，并且 被对称中心平分.
3.如图23.2-5,选择点O为对称中心,画出与
B
l
B1
课后提升
如下图，点A代表烽火台，点B代表营地， 现有一将军牵着马从烽火台出发，走到河边饮 马后要回到营地，请问怎样走可使行驶的路程 最短？在图中作出该处，并说明理由。
河 C D
A
B
平面图形在它所在的平面上的平 行移动，简称为平移。
小结
平移的基本性质
1.图形上各点沿同一方向移动相同的距离 2. 平移不改变图形的形状、大小，只改变图 形的位置.
平移的两个要素：
请看图片，平移是由什么决定的？ 平移的方向和平移的距离是决定平移的 两个要素。
△ABC平移的方向就是由点B到点 B′的方向，平移的距离就是线段B B′ 的长度。
平移的方向是一个点到它对 应点的方向，即对应点确定 的射线的方向 平移的距离是对应点间的线 段的长度。
平移的特征：
1.平移后对应线段平行（或在同一直 线上）且相等，对应角相等。 . 2.平移后对应点所连的线段平行（或在 同一条直线上）并且相等
B
在网格图中画出△ ABC绕点O 逆时针旋转90 °后的
△A 1B 1C 1.
定义：
把一个图形绕着某一定点旋转一定角度
后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形。
请注意： 1、0°＜旋转角＜360°. 2、旋转对称图形是一个具有旋转特征的 特殊图形。
3、若顺时针或逆时针旋转一定角度，该图形 都能与原图形重合，则可以淡化旋转方向。
4. 已知 : 如图，△OAD≌△ OBC ，且∠ O=70 °，∠ C=25 °，
则∠AEB=____________.
【解析】∵△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°， ∴∠CAE=∠O+∠D=95°， ∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°. 答案:120°
A′B′上，CA′交AB于D.求∠BDC的度数.
在平面内，一个图形绕中心旋转180°后能与 自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这 个中心叫做它的对称中心。
注意：
中心对称图形是旋转角度为180度的旋转对称图形。
C
A B A
D
E
像这样把一个图形绕 着某一点旋转180度, 如果它能够和 另一个 图形重合,那么,我们就 说这两个图形关于这 个点成中心对称,这 个点叫做对称中心， 这两个图形中的对应 点,叫做关于中心的
D D1
像这样，把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果 它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对 称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两
个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．
成轴对称与轴对称图形的基本特征
显然，轴对称图形（或成轴对称的两个图形）沿对称轴对 折后的两部分是完全重合的，所以 轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后 重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。
A E D
B F “若AD=3，FG=5，求BC的长”
G C
像这样，把一个平面图形绕着某一定点按某个 方向转动一定的角度，这样的图形运动就叫做 旋转．
这个定点O称为旋转中心 转动的角∠AOB 称为旋转角
旋转方向:顺时针
A B
图形旋转的三要素： 旋转中心． 旋转角度． 旋转方向．
旋转角
o
旋转中心
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∠A, ∠B= ′ ∠B, ∠C= ′ ∠C AB=AB, BC=BC, AC=AC, ∠A=
△ABC关于点O对称的△A′B′C′. 解:
B′ A′
C′
△A′B′C′即为所求的三角形。
试一试： 如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，
求出它们的对称中心O．
C A′ B A B′
C′
解法一：根据观察，B、B′应是对应点，连 结BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点 O即为所求（如图）
旋转的特征:1、图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋 转方向旋转了同样大小的角度；
2、对应点到旋转中心的距离相等；
3、对应线段相等，对应角相等；
4、图形的形状与大小不变.
在△ ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ A=20 ° . 如图，将
△ABC绕点C按逆时针方向旋转角α 至△A′B′C的
位置，其中A′，B′分别是A，B的对应点，点B在
线段的垂直平分线的定义： 垂直并且平分一条线段的直线叫做线段 的垂直平分线（简称中垂线） 垂直平分线的性质：线段的垂直平 分线上的点到线段两端点距离相等
小
结
（1）
（2）
画图形的对称轴的方法：
（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。
（2）连结对称点。 （3）画出对称点所连线段的垂直平分线， 就是该图形的对称轴
(A)方块5
(B)梅花6
(D)黑桃8
(C)红桃7
5.图形全等的概念: (1)全等图形:能够完全重合的两个图形叫做全等图形. (2)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 注:表示方法及对应元素的确定 (1) 表示方法 : △ABC≌△ A ′ B ′ C ′ ( 表示两个三角形全等要求 : 把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上). (2) “对应”概念 : 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边 叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. 全等图形的对应边相等，对应角相等.