现代信号处理第3章最优滤波

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[PPT课件]现代信号处理-维纳和卡尔曼滤波

2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程
把k的取值代入(2.2.9)式，得到：
当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0) k=1时， h1rxx(1)+ h2rxx(0)+…+ hMrxx(M-2)= rxd(+1)

k=M-1时， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+…+hMrxx(0)= rxd(M-1)
(2.2.10)
…
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程定义 T T h h1, h2 ,, hM , Rxd rxd (0), rxd (1),, rxd (M 1),
rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
2.1 引言
为了得到不含噪声的信号 s(n) ，也称为期望信号，系统的期望输出用 yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值
若滤波系统的单位脉冲响应为 h(n) （如图 2.1.2 所示）， s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或
估计，用公式表示为yd(n)=s(n)， y(n) =
因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为 G(z)的求解。
x(n)
1 B( z)
(n )
G(z)
^ y(n)＝ s (n)
图 2.3.3 维纳滤波解题思路
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
2.3.1 非因果维纳滤波器的求解
假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为 ω(n)，期望信号 d(n)=s(n) ，系统的输出信号 y(n)=s(n) ， g(n) 是 G(z)的逆Z变换，如图2.3.3所示。

现代信号分析与处理技术_第2讲_最优滤波方法

{
}
p −1 ⎧⎡ ⎤ ∗ ⎫ = E ⎨ ⎢ d (n) − ∑ w(l ) x(n − l ) ⎥ d (n) ⎬ l =0 ⎦ ⎩⎣ ⎭
即:
ξ min = rd (0) − ∑ w(l )r (l )
l =0
∗ dx
p −1
或:
H ξ min = rd (0) − rdx w
或:
H -1 ξ min = rd (0) − rdx Rx rdx
k =0
因此最优线性预测器的Wiener-Hopf方程为:
⎡ rx (0) rx∗ (1) rx∗ (2) ⎢ rx (1) rx (0) rx∗ (1) ⎢ rx (2) rx (1) rx (0) ⎢ ⎢ r ( p − 1) rx ( p − 2) rx ( p − 3) ⎣x rx ( p − 2) ⎥ ⎢ w(1) ⎥ ⎢ rx (2) ⎥ ∗ rx ( p − 3) ⎥ ⎢ w(2) ⎥ = ⎢ rx (3) ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ w( p − 1) ⎥ ⎢ r ( p ) ⎥ rx (0) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣x ⎦
信息科学与工程学院杨绿溪
• 维纳滤波
FIR维纳滤波应用：滤波、线性预测、噪声抑制、反卷积MMSE均衡器 IIR维纳滤波
• 线性离散卡尔曼滤波器
－－－高斯假设下的序贯贝叶斯滤波 • 非线性最优滤波－序贯MC贝叶斯滤波
• 基本的粒子滤波器应用实例
参考书和参考文献
• 杨绿溪，现代数字信号处理,科学出版社,2007年11月。 • 张贤达，现代信号处理,清华大学出版社,2002年10月。 • T.Kailath, A innovations approach to LS estimation, IEEE T-AC, Vo.13, 1968, pp.641-655. • M.S.Arulampalam, S.Maskell, N.Gordon, T.Clapp, A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.50, No.2, pp.174-188, 2002. 专辑 • Z.Chen. Bayesian filtering: From Kalman filters to particle filters, and beyond. Adaptive system lab., Macmaster Univ., Canada. [online]. http://soma.crl.mamaster.ca/zhechen /download. 另有2004-03, P-IEEE专辑

现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

69第3章 Wigner 分布3.1 Wigner 分布的定义我们在第一章讨论了对非平稳信号作时－频联合分析的必要性，在第二章介绍了具有线性形式的时－频分布，如STFT 及Gabor 变换。

这一类形式的时－频分布还有小波变换，我们将在第九章以后详细讨论。

本章及下一章集中讨论具有双线性形式的时－频分布，主要是Wigner 分布及具有更一般形式的Cohen 类分布。

所谓双线性形式，是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。

在有的文献中又称为非线性时－频分布。

令信号()t x ，()t y 的傅立叶变换分别是()Ωj X ，()Ωj Y ，那么，()t x ，()t y 的联合Wigner分布定义为：()()(),,22j x y W t x t y t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰＊（3.1.1）信号()t x 的自Wigner 定义为 ()()(),22j x W t x t x t e d ττττ∞-Ω-∞Ω=+-⎰＊（3.1.2）Wigner 于1932年首先提出了Wigner 分布的概念［120］，并把它用于量子力学领域。

在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。

直到1948年，首先由Ville 把它应用于信号分析。

因此，Wigner 分布又称Wigner －Ville 分布，简称为WVD 。

1973年，DE ．Bruijn 对WVD分布作了评述，并给出了把WVD 用于信号变换的新的数学基础［32］。

1966年，Cohen 给出了各种时－频分布的统一表示形式［46］，1980年，Classen 在Philips ．J ．Res ．上连续发表了三篇关于WVD 的文章［38,39,40］，对WVD 的定义、性质等作了全面的讨论。

由于这些工作，使得80年代后对WVD 的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜的成果。

由下面的讨论可知，在已提出的各种时－频分布中，WVD 具有最简单的形式，并具有很好的性质。

第3章现代信号处理技术2012

* 例题讨论随机信号为，
x(t ) A cos(0t )
为(0, 2 ) 上均的各态历经性。其中A和 0 为常数，匀分布的随机变量。
三、Wigner-Ville 分布(WVD)
3.2 平稳随机信号处理方法
3.2.1 相关函数
* 自相关函数的性质 • 偶函数 • 极大值
Rx ( ) Rx ( ) Rx (0) | Rx ( ) | Rx ( T ) Rx ( )
3.1.2 随机过程的各态历经性
* 各态历经性关心的是：从随机信号的一次观测记录是否可以估计其统计值(如相关函数、功率谱等)。 * 辛欣证明得到：在具备一定的补充条件下，对平稳过程的一个样本函数取时间均值，当观测的时间充分长，将从概率意义上趋近于它的统计均值。这样的平稳随机过程就是各态历经过程。 * 各态历经过程是其各种时间平均在观测时间充分长的条件下以概率1收敛于它的统计平均。
，若 x(t ) E x(t ) x 以概率1成立，则称随机过程的均值具有各态历经性。随机过程的时间均值定义为
二阶平稳过程
x(t )
1 x(t ) lim T 2T
若

T
T
x(t )dt
x(t ) x(t ) E x(t ) x(t ) Rx ( )
2 2 1 2 1 2 2
2
)
假定A和B是独立随机变量，求自相关函数 Rxx ( ) 和互协方差函数 C xy ( )
相关函数的应用
信号检测检测淹没在强背景噪声中的微弱的周期信号或其他确定性信号。

时延估计利用所接收到的目标信号，估计和测定出接收器之间由于信号传播距离不同而引起的时间延迟。

现代信号处理03a

第三章参量估计信号估计（Estimations）在受噪声干扰的观测中信号参量和波形的确定问题数学基础：统计估计理论、滤波理论估计理论－研究的对象是随机现象。

－根据受到噪声污染的观测数据来估计随机变量和随机过程的一种数学运算。

参量估计－被估计的量是随机变量（静态估计）波形估计－被估计的量是随机过程（动态估计）参量空间－源的输出为参量，视为参量空间的一点概率映射－从参量空间到观测空间的概率映射，既是控制θ对观测值影响的概率。

观测空间－一般观测空间是有限维的。

估计规则－是观测空间到估计量的映射。

若接收机判决某一假设为真，但与信号有关的某个参量是未知的。

参量估计的目的：在有限个信号观测样值中，以最佳方式估计该参量。

设z 1,z 2,...,z N 为随机变量z 的独立同分布的N 个观测样值，而f(z 1,z 2,...,z N )是用来估计参量θ的观测样值函数（统计量），称：∧θ＝f(z 1,z 2,...,z N ) （3－1）为参量θ的估计量。

用∧θ表示对参量θ的估值。

∧θ的均值即为E[∧θ]=E[f(z 1,z 2,...,z N )]。

最佳估计－最优估计准则；随机参量－其特性用概率密度来表征－贝叶斯估计非随机参量－仅为一般的未知量－最大似然估计 §3－1、非随机参量的最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation--MLE)设z 1,z 2,...,z N 为随机变量z 的独立同分布的N 个观测样值，p(z|θ)为z 的依赖参量θ分布密度函数，参量θ为待估计的量。

则似然函数为：())23)..(()()z ,..,z ,z (1N 21-===∏=θθθθNi i z p z p p L 选取使似然函数L (θ)为最大的∧θ作为θ的估计量，称为θ的最大似然估计。

L (θ)最大等效Ln L (θ)最大。

要求θ的最大似然估计∧θ，必需解似然方程：)33....(0)(-=∂∂θθz Lnp 此式为必要条件，而不是充分条件。

P_第3章-最优滤波.

T
（3.1.1）
最小。当滤波器系数有无穷多个（即单位抽样响应无限长）时，对应 IIR 结构的维纳滤波器，当滤波器系数为有限个时，对应 FIR 结构的维纳滤波器。FIR 结构的维纳滤波器的滤波部分的示意图如图 3.4 所示，在信号处理的文献中，也常称这个结构为横向滤波器。
x(n)
x(n-1)
1)
从维纳滤波器是线性贝叶斯波形估计的观点，需注意如下几点：在均方误差意义上，维纳滤波器是线性 FIR 滤波器中的最优滤波器，但可能存在一些非线性滤波器能达到更好结果。在 x(n) 和 d (n) 是联合高斯分布条件下，维纳滤波也是总体最优的，不存在非线性滤波器能达到更好的结果。从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的任意权系数 w 时，其误差性能表达式为
2 T J ( w) d w T rxd rxd w w T Rw
2)
3)
(3.1.13)
84
它是 w 的超二次曲面，只有一个最小点，当 w w o 时， J ( w) J min 。
3.1.2 维纳滤波：正交原理
维纳滤波器是一个最优线性滤波器，图 3.1.3 是一个一般表示框图，滤波器核是 IIR 或 FIR 的，在实信号情况下，已经导出了求解 FIR 型维纳滤波器的方程。在第 2 章讨论了线性最优估计的正交性原理，第 2 章正交原理是由最优线性估计方程导出的。在最优线性滤波器理论中，正交原理是一个基本分析工具，由正交原理出发，很容易导出线性最优估计和维纳滤波器的方程式。由于正交原理应用的广泛性和简洁性，并且贯穿于平稳、非平稳和有限数据等多种情况，在本节，对复信号的一般情况，重新导出正交原理的一般形式，并利用正交原理，重新推导复信号情况下维纳滤波器的一般方程。先推导适应于 IIR 和 FIR 的一般结论，然后分别讨论 FIR 和 IIR。将一般的复数形式维纳滤波器的问题重新描述如下。设输入随机过程 x(n) 为复信号，由 x(n k )k 估计期望响应 d (n) ，求复数权系数

现代信号处理_03

19
边带消除器( 边带消除器(SBC)
根据多相分解理论， • 根据多相分解理论，有
H L ( z ) = H1 ( z 2 ) + z −1 H 2 ( z 2 ) (14)
当原型低通为镜像滤波器时， • 当原型低通为镜像滤波器时，上式中
ai + z −2 H1 ( z 2 ) = ∏ 1 + ai z − 2 i =1
ai = 2 − αi , ci = 0 2 + αi 2 − βi bi = , di = 0 2 + βi b=0 (12)
N1
则式(10) 则式(10)可简化为
ai + z −2 H1 ( z ) = ∏ 1 + ai z − 2 i =1 bi + z − 2 H 2 ( z) = z ∏ 1 + bi z − 2 i =1
8
奇阶互补滤波器设计
低通互补对：令 • 高、低通互补对
2 M ( s ) = ∏ (1 + s Ω′ ) , N ( s ) = ∏ ( s 2 + Ω′ ) i i 2 2 2 2 i =1 i =1 M M
则有
M 2 (s 2 ) H L ( s) H L (− s) = 2 2 M (s ) − s 2 N 2 (s 2 )
− s 2 N 2 (s 2 ) H H ( s ) H H (− s ) = 2 2 M (s ) − s 2 N 2 (s 2 )
(3a )
(3b)
• 零点分离和分配原则
2 2 所有左设 M ( s ) ± sN ( s ) 所有左半平面零点分别构成
G2 ( s ) G1 ( s ) G1 (−s) G2 (−s)

现代信号处理讲义讲义

信号S 噪声G
子空间：向量组 a1, ,ap 的线性组合的集合，称为 a1, ,ap 张成的空间。
p
span a1, ,a p close a1, ,a p ja j , j C
j1
信号子空间： span s1, ,sp span u1, ,up 噪声子空间： span g1, ,g p span up1, ,um
J (w) 0
w*
wopt Rxx1a(k )
又
wH opt
a(k
)
1
aH
(k
)wopt
，代入上式
aH
(k
1
)R xx1a( k
)
wopt
Rxx1a(k ) aH (k )Rxx1a(k )
最佳滤波器
由Capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR)波束形成器
MVDR: minimum variance distortionless response
期望信号干扰信号加性噪声
E z(n) 2 lim 1 N z(n) 2 wH E x(n)xH (n) w
N N
n1
E sk (n) 2 wH a(k ) 2 p E si (n) 2 wH a(i ) 2 2 w 2 i 1,i k
wH a(k ) 1
(波束形成条件)
现代信号处理讲义
3.5 MUSIC方法
1. 阵列信号处理问题 2. 最优波束形成器 3. 子空间方法 4. MUSIC方法 5. 改进的MUSIC方法
3.5 MUSIC方法
MUSIC: Multiple Signal Classification 1. 阵列信号处理问题 (array signal processing)

现代信号处理

一：采用不同的积分变换的实质是应用不同的基函数，属于频域滤波器。

变换将难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号频域滤波器的特点是将信号与噪声在频率上进行分离，抑制有用信号频带以外的噪声，是有用信号通过，但不能抑制与有用信号占据相同频带的噪声，这一点与维纳滤波与卡尔曼滤波从根本上是不同的。

器设计的中心任务是求得系统函数，即求一组零极点使得在规定意义上滤波器的响应逼近一给定的特性。

维纳滤波与卡尔曼滤波是统计滤波的方法。

属于时域滤波器。

不需要从频域设计转换到时域实现。

估计方差在某种统计意义下尽可能小的滤波器称为这一统计意义下的最优滤波器。

维纳滤波器在最小均方误差的准则下是最优的。

仅在理论上有意义，实际应用不多。

卡尔曼滤波器是一种自适应滤波器，kalman滤波是一种递推的数据处理算法，提供了针对离散线性系统状态的线性最小估计方法的有效计算方法。

其有效性体现在它提供了过去、现在、未来状态的估计，甚至当系统的精细特性未知的情况下也能如此。

采用kalman滤波算法通过对观测数据的处理来得到系统状态变量的估计。

它不仅可以处理平稳随机信号，还可以用来处理非平稳随机信号，而且物理可实现。

版本二：//滤波的计算方法有很多，有线性滤波方法、非线性滤波方法和统计滤波方法等。

线型滤波方法是对信号进行时域、频域或两者的变换来实现滤波，如中值滤波、基于傅里叶变换的滤波、小波变换等；统计滤波方法则利用统计学的方法来处理信号中的各种噪声而达到滤波的目的，如卡尔曼滤波、维纳滤波等。

线性滤波器经常用于剔除输入信号中不想要的频率或者从许多频率中选择一个想要的频率。

而采用不同的积分变换的实质是应用不同的基函数，基函数决定变换的性质。

傅里叶变换的缺点是失去时间，短时傅里叶变换通过加不同的时间窗函数可以克服这一缺点。

小波变换相当于滤波器组，将频谱按频带分割，能够同时具有时间分辨率和频率分辨率。

所有类型的线性滤波器都可以完全用频率响应和相位响应来描述，它们唯一地定义了脉冲响应，反之亦然。

清华现代信号课件第3章最优滤波.ppt

这是要求解的最优预测误差滤波器系数和（或）AR模型参数
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
·反Levinson-Durbin算法
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
Cholesky分解
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
Cholesky分解的结论
2020/2/5
信号处理
前向线性预测误差滤波器与AR模型的关系
AR(M)模型下
M
x(n) ak* x(n k) v(n) k 1
比较 ak* aM* ,k v(n) f M (n)
2020/2/5
信号处理
Levinson-Durbin算法
从m-1阶出发，对正向预测有将系数矩阵增广
pm1

0*mm11
pm1

(正向)＋(反向2)×km
Rm1
a
m1
0

km
a
0
B* m1

pm1 0m1 m1

k
m

*m1 0m1 pm1
R 1
可以分解成一个上三角矩阵和下三角矩阵之积，它们是互为转置
2020/2/5
信号处理
格型预测器
2020/2/5
信号处理
2020/2/5
信号处理
M
证明
fm(n) Biblioteka a* m,kx(n

k
)
k 0

清华现代信号课件第3章最优滤波

可编辑ppt
11
例：一个AR(p)过程
p
x(n)akx(nk)v(n)
k1
令
x(n p)
x
(n
1)
x(n
p
1)
x(n 1)
10.12.2020
可编辑ppt
12
得到状态方程
x(np1) 0, 1, 0 0 x(np) 0
x(np2) 0, 0, 1, 0, 0x(np1) 0
可编辑ppt
23
10.12.2020
可编辑ppt
24
6．Riccati方程（K(n,n-1)的递推公式）
10.12.2020
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25
10.12.2020
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26
10.12.2020
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27
10.12.2020
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28
10.12.2020
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29
10.12.2020
最优滤波的评述 Wiener滤波、Kalman滤波的最优性限制高斯、非高斯问题序列蒙特卡罗方法，粒子滤波等
10.12.2020
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37
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30
Kalman预测的跟踪性能
10.12.2020
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31
增益的变化曲线
10.12.2020
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32
Kalman滤波器的一些推广简述
10.12.2020
可编辑ppt
33
10.12.2020
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34
10.12.2020
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35
4.特殊结构(无激励动力系统)

现代信号课件第3章最优滤波器理论

03
非线性最优滤波器
非线性滤波器的定义
非线性滤波器是指其输出与输入之间存在非线性关系的滤波器。
非线性滤波器在处理非线性信号时具有优势，能够更好地提取信
号中的有用信息。
非线性滤波器的数学模型通常采用非线性微分方程或差分方程描
述。
非线性滤波器的应用场景
非线性滤波器在图像处理中广泛应用，如边缘检测、图像增强等。
性滤波器的参数。
粒子群优化算法
模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为，用于优化非线性滤波器的参数。
04
最优滤波器的性能评估
均方误差（MSE）
总结词
均方误差是最优滤波器性能评估的重要指标之一，它表示估计信号与真实信号之间的误差的平均值。
详细描述
均方误差（Mean Squared Error, MSE）定义为估计信号与真实信号之间的误差的平方的平均值。它反映了滤波器对信号的估计精度，MSE越小，表示滤波器的性能越好。
在通信系统中，非线性滤波器可用于调制解调、信号均衡等。
在音频处理中，非线性滤波器可用于音效处理、降噪等。
非线性最优滤波器的实现方法
迭代算法
通过迭代的方式不断优化非线性滤波器的参数，
以实现最优性能。
梯度下降法
利用梯度下降原理，不断调整非线性滤波器的参数，以用于优化非线
雷达信号处理
目标检测
在雷达系统中，最优滤波器可以用于目标检测和跟踪，提高雷达对目标的发现概率和定位精度。
干扰抑制
在雷达干扰抑制中，最优滤波器可以用于抑制干扰信号、提高雷达抗干扰能力，提高雷达的可靠
性和稳定性。
信号分选
在雷达信号分选中，最优滤波器可以用于信号分选和分类，提高雷达对多目标环境的感知能力。

现代信号课件第3章最优滤波器理论

或 H(z) Sxd(z)
S (z) x
整理ppt
18
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
H(z)x1(z)xxd((zz))
最小均方误差为
Jmind2 wolrxd[l] l0
整理ppt
19
整理ppt
20
整理ppt
21
整理ppt
22
整理ppt
23
同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。
Wiener滤波的横向滤波器
整理ppt
6
从估计理论观点导出Wiener滤波假设信号，滤波器权值均为实数
整理ppt
7
整理ppt
8
整理ppt
9
维纳滤波：正交原理
整理ppt
10
整理ppt
11
整理ppt
12
整理ppt
13
·维纳－霍夫方程（Wiener-Hopf）
整理ppt
14
M阶FIR滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf方程为
M1
w0irx[ik]rxd[k]
i0
矩阵形式 Rw0 rxd w0 R1rxd
这里 x [n ] [x [n ]x [ ,n 1 ] ,,x [n M 1 ]T ]
r x d E [ x [ n ] d * [ n ] [ ] r x [ 0 d ] r x [ , d 1 ] ,r x [ 1 d M ] T
w 0 [w 0,0 w 0,w 10, 2w 0 M 1 ]T
整理ppt
15
最小均方误差

第3节最优线性滤波《信号分析与处理(第2版)》课件

即
E[Sk2
]
2 s
2 w
1 F2
2．滤波算法的推导
（1）根据均方估计的无偏性，可以证明待定系
数 ak、bk 之间有如下关系：
ak F (1 bk c)
（6-132）
据此可将估计算法（6-130）改写为
S k F (1 bkc)S k1 bk xk F S k1 bk (xk FcS k1)
现在的问题是处理器为（6-112）式决定的线性运算，根据正交定理（6-115），有
E{[ y(t) yˆ(t)]x( )} 0
t0 t f
即 t 时刻的估计误差与t0 t f区间所有时刻的观察值
x( ) 正交。上式又可写成
E[ y(t)x( )] E[ yˆ(t)x( )]
将（6-112）式代入得
（一）纯量情况
1．问题的提法信号表示为
Sk FSk 1 wk
（6-128）
其中， F 为自回归系数，wk 为零均值的白噪声。
观测值是信号与噪声的加法组合
xk cSk nk
其中，nk也是零均值白噪声，且与 wk 互不相关，
c 的引入为了便于推广到向量的情况。
估计算法为前次估计和本次观测的线性组合，即
即
p
k 0
h(k)Rxx (n k m) Rsx (n m)
k 0
m n, n 1,, n p m n, n 1,, n p
令 m' n m，上式变为
p
h(k)Rxx (m'k) Rsx (m' )
k 0
m' 0,1,, p
写成矩阵形式，即为
RxxH G
（6-125）
S x () S s () Sn ()

现代信号处理第3章_ok

3.2 自适应横向滤波器
自适应滤波器的原理框图如下所示，图中x(n)称为输入信号， y(n)是输出信号， d(n)称为期望信号或者称为参考信号、训练信号，e(n)是误差信号。
e(n) = d(n) - y(n)
x( n ) H( z) y( n )
－
e( n )
＋
d (n )
自适应滤波器原理图
xj w1
j 求滤波器的最佳权系数
z－ 1 w2
2π x j sin j N
dj
＋－
yj
ej
两个权值的自适应滤波器
W R Rdx
*
1 xx
2π x j sin j N
2π d j 2 cos j N
1 N 2π 2π 2π E[ x j x j n ] sin j sin ( j n) 0.5 cos n N j 1 N N N 对于确定性信号，任何正弦函数乘积的期望，可由这个乘积在一个或多个周期上作时间平均来计算 2 N 2π 2π 2π E[d j x j n ] (cos j ) sin ( j n) sin n N j 1 N N N
x1 j x1 j x1 j x2 j x1 j x Nj x2 j x1 j x2 j x2 j x2 j x Nj T E[ X j X j ] Rxx E x Nj x1 j x Nj x2 j x Nj x Nj
滤波器H(z)的系数根据误差信号e(n)，通过一定的自适应算法，不断地进行改变，使得输出y(n)尽量接近期望信号d(n)。实际中，d(n)要根据具体情况进行选取，能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项关键的工作。

现代信号处理第3章最优滤波器理论1

H ( z)S x ( z) S xd ( z)
两边取z变换，得
或
2019/2/9
S xd ( z ) H ( z) S x ( z)
现代信号处理
18
因果IIR维纳滤波器
因果IIR维纳滤波器的传输函数为
1 xd ( z ) H ( z) x ( z ) x ( z )
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15
最小均方误差
2 J min d
2 dˆ
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误差性能表面
J E[e[n]e *[n]]
2 * * * J d wk rxd (k ) wk rxd (k ) wk wi rx (i k ) k 0 k 0 k 0 i 0 M 1 M 1 M 1 M 1
最小均方误差为
J min wol rxd [l ]
2 d l 0
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同一个问题分别用非因果IIR、因果IIR和2阶FIR Wiener 滤波器进行处理，得到输出最小均方误差分别为：0.2083、 0.2222和0.2240。虽然非因果IIR的误差最小，但是不可实现的，可实现的因果IIR和2阶FIR的误差很接近。这个例子说明，对于一个给定问题，选择适当阶数的FIR滤波器可能得到与因果IIR滤波器非常接近的性能。由于FIR滤波器不存在数值稳定性问题，容易实现和集成，所以实际中更易使用

现代信号处理_2012-07

(11)
i 1) a (ji ) a (ji 1) ai(i ) ai( (12) j ( j 1,..., i 1)
(i ) (i 1) [1 (ai(i ) ) 2 ]
(13)
6) 置i =i+1; 7) 判别：若 i N 转3)；否则，结束程序.
现代信号处理 7 现代信号处理 8
现代信号处理 4
1
Levinson算法
r (1) r (0) r (1) r (0) R ( k 1) r (k 1) r(k ) r ( k 1) r(k )
k
Levinson算法
由(5)式,(6)式和(9)式可得
(3)
r (k ) r ( k 1) 1 ( k 1) k ( k 1) r ( k ) a1( k 1) 0 ( k 1) r (0) r (1) ak 0 ( k 1) ak 1 r (1) r (0) 0
ai( i ) [ r (i ) a (ji 1) r (i j )] / ( i 1)
j 1 i 1
Levinson算法
Levinson算法第4步利用了一个重要递推关系(12) 通常称为Levinson关系式递推过程产生一个滤波参数序列通常称为偏相关系数 ai(i ) (i 1,..., N ) 递推过程产生的 ( i ) 可用来监视i阶信号模型的均方误差估值 (N) 递推结果的最终解为 a j ( j 1,..., N ) 和 ( N ) 最后，计算功率谱密度：
(1)
最小方差谱估计
• 自相关矩阵的特征分解为

现代信号处理03-3

10
Levision-Durbin算法
Levision算法的推导算法的推导
设已求得k阶Y-W方程
r (1) r (2) ⋯ r (k ) 1 σ k 2 r (0) r (1) r (0) r (1) ⋯ r (k − 1) ak ,1 0 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ r (k ) r (k − 1) r (k − 2) ⋯ r (0) ak ,k 0
• 具体推导
考虑其差分方程为从而
H ( z ) = 1 / ∑ ak z − k
k =0 p
(1)
a0 = 1
x ( n ) = − ∑ ak x ( n − k ) + u ( n)
k =1
p
rxx (m) = E { x(n) x(n + m)} = −∑ ak rxx (m − k ) + E{x(n)u(n + m)}
从上面的推导中算公式： σ = r (0) + ∑ a r (i )
k
k Dk = ∑ ak ,i r ( k + 1 − i ), i =0 γ k +1 = Dk σ k2 2 2 2 σ k +1 = (1 − γ k +1 )σ k a k +1,i = ak ,i − γ k +1ak , k +1− i ,
2
参数谱估计法步骤
为被估计的随机过程选定一个合理的模型，这有赖于对随机过程进行的理论分析和实验根据已知观测数据估计模型的参数，这涉及各种算法的研究用估计得到的模型参数计算功率谱。
3
输入为u (n) − −均值为0，方差为σ 2的白噪声序列 B( z ) = 其线性系统函数：H ( z ) = A( z ) ak z − k ∑ bk z − k ∑

现代信号处理第3章最优滤波3共38页

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24
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29
Kalman预测的跟踪性能
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30
增益的变化曲线
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标量随机过程的递推MMSE估计
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1
新息序列的特性：
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5
矢量Kalman滤波
目标：离散时间线性动力系统状态估计模型：Kalman滤波的模型如图所示
v1(n) x(n+1) Z-1I
Ev(n)v(k) 1 0
Q 2 (n ) 1
nk
nk
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信号处理
35
由这个模型出发,得到一组简化的Kalman方程,它在数学上与自适应滤波器的RLS算法一一对应, 由此,建立了Kalman 滤波与RLS之间的联系,任河一种Kalman滤波的有效算法都可以对应得到一种RLS的实现,由此借助Kalman滤波领域的研究成果,得到一组快速自适应滤波算法. (Sayed , Kailath, 1994)
31
Kalman滤波器的一些推广简述
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信号处理

现代信号处理第3章

通过主瓣中心两侧的两根谱线的幅值和频率的大小，利用窗函数的频谱图形，去求主瓣中心点A点的坐标。设 x 为主瓣中心与左谱线的距离，由窗函数的频谱函数构成如下函数:
F ( x)
W ( l ) W ( 0 x) y l W ( r ) W ( 0 x) yr
X n xk e j 2nk / N
k 0
N 1
(3.1.20)
式中，X n X (n), n 0, 1, 2,..., N 1, xk x(k )
2013年10月16日机械工程学院机自所动态室 13
3.1 信号的频谱和FFT算法及应用
3.1.4 快速傅里叶变换(FFT) FFT先对原数据序列按奇、偶逐步进行抽取。原始序列第一次抽取第二次抽取第三次抽取 x0 x0 x0 x0 x1 x2 x4 x4 x2 x4 x2 x2 x3 x6 x6 x6 x4 x1 x1 x1 x5 x3 x5 x5
2013年10月16日 3
机械工程学院机自所动态室
3.1 信号的频谱和FFT算法及应用
3.1.1 傅里叶级数与离散频谱
根据傅里叶级数理论，任何周期性信号 x(t ) 均可展开为若干简谐信号的叠加。
x(t ) a0 (an cos n 0t bn sin n 0t )
n 1
2013年10月16日
X ( ) 频谱的例子，见p45。
w(t )
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3.1 信号的频谱和FFT算法及应用
傅里叶变换的性质
1、线性叠加性质若 x1 (t ) X 1 ( ) ，则 x2 (t ) X 2 ( )
a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1 X 1 ( ) a2 X 2 ( )

现代信号处理第3章最优滤波

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