新2021年高考数学专题讲义第35讲 等比数列(解析版)
【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第35讲 等比数列(解析版)
为( )
A．－2＋ 2 2
B.－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两根，所以 a3·a15＝a29＝2，
1 (q4)3 1 (q4)2
1 23 1 22
7. 3
1 q
（2）：(基本量法) 设数列 an 的首项是 a1 ，公比为 q ，则由 a3 a2 4 ， a4 16 ，得
a1q a1q
2 3
a1q 16
4
解得
aq122 ， S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 2 4 8 14 .
项 a1＞0，公比 0<q<1 或首项 a1＜0，公比 q＞1，则数列为递减数列；若公比 q＝1，则数列为常数列；公比
q＜0，则数列为摆动数列．
1
an
(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、an 、{a2n}、bn 、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．
1 / 14
变式 2、 (1)[2018·如东中学]在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝
____； (2)[2016·常熟中学]等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若SS150＝3312，则公比 q＝___．
【答案】（1） 51（2）－1 2
解得
q＝1，代入①得 2
a1＝2，
高考数学一轮专项复习讲义-等比数列(北师大版)
§6.3等比数列课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n 项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称G 为a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)．(2)前n 项和公式：S n ，＝a 1－a n q 1－q，q ≠1且q ≠0.3．等比数列的常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋.特别地，若2w ＝m ＋n ，则a m a n ＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N ＋.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N ＋)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }数列(b ，p ，q ≠0)．(4)1>0，>11<0，q <1，则等比数列{a n }递增．1>0，q <11<0，>1，则等比数列{a n }递减．4．等比数列前n 项和的常用性质若等比数列{a n }的公比q ≠－1,前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．3．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(2)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T3n T 2n ，…成等比数列．(3)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×)(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(√)2．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，数列－1，－1,1,1满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．3．在等比数列{a n }中，若a 3＝32，S 3＝92，则a 2的值为()A ．32B ．－3C ．－32D ．－3或32答案D解析由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，∴a 2＝a 3q ＝32或－3.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n ＝________.答案a ≠0，a ≠1解析因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，Sn ＝a (1－a n )1－a.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4等于()A.158B.658C ．15D ．40答案C 解析方法一若该数列的公比q ＝1，代入S 5＝5S 3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q ≠1.由1－q 51－q ＝5×1－q 31－q －4，化简得q 4－5q 2＋4＝0，所以q 2＝1或q 2＝4，因为此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1－q 41－q ＝15.方法二由题知1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＝5(1＋q ＋q 2)－4，即q 3＋q 4＝4q ＋4q 2，即q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q －2)(q ＋1)(q ＋2)＝0.由题知q >0，所以q ＝2.所以S 4＝1＋2＋4＋8＝15.(2)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn a n 等于()A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案B 解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，1q 4－a 1q 2＝12，1q 5－a 1q 3＝24，1＝1，＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(q 2－1)a 3(q 2－1)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n .思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)(2023·天津)已知{a n }为等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＋1＝2S n ＋2，则a 4的值为()A ．3B ．18C ．54D ．152答案C解析由题意可得，当n ＝1时，a 2＝2a 1＋2，即a 1q ＝2a 1＋2，①当n ＝2时，a 3＝2(a 1＋a 2)＋2，即a 1q 2＝2(a 1＋a 1q )＋2，②联立①②1＝2，＝3，则a 4＝a 1q 3＝54.(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为()A ．8B ．10C ．12D ．16答案C解析从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则{a n }是以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，即127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴a n ＝8×2n －1，∴log 2(a 3a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.题型二等比数列的判定与证明例2(2023·长沙模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，a 2＝－1，且a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1＋3a n }为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(1)证明由a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0，可得a n ＋2＋3a n ＋1＝2(a n ＋1＋3a n )，即a n ＋2＋3a n ＋1a n ＋1＋3a n＝2(n ∈N ＋)，∴{a n ＋1＋3a n }是以a 2＋3a 1＝5为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知a n ＋1＋3a n ＝5·2n －1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1－2n ＝－3(a n －2n －1)，∴a n ＋1－2n a n －2n －1＝－3，∴{a n －2n －1}是以a 1－20＝1为首项，－3为公比的等比数列，∴a n －2n －1＝1×(－3)n －1，∴a n ＝2n －1＋(－3)n －1，S n ＝1－2n 1－2＋1－(－3)n 1－(－3)＝2n －34－(－3)n 4.思维升华等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝cq n －1(c ，q 均为非零常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n －k (k 为常数，且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2(2024·潍坊模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝3，b 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n .(1)证明：{a n ＋b n }和{a n －b n }都是等比数列；(2)求{a n b n }的前n 项和S n .(1)证明因为a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n ，所以a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )，a n ＋1－b n ＋1＝－(a n －b n )，又由a 1＝3，b 1＝2得a 1－b 1＝1，a 1＋b 1＝5，所以数列{a n ＋b n }是首项为5，公比为3的等比数列，数列{a n －b n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋b n ＝5×3n －1，a n －b n ＝(－1)n －1，所以a n ＝5×3n －1＋(－1)n －12，b n ＝5×3n －1－(－1)n －12，所以a n b n ＝5×3n －1＋(－1)n －12×5×3n －1－(－1)n －12＝25×32n －2－14＝254×9n －1－14，所以S n ＝254×1－9n 1－9－n 4＝25×(9n －1)－8n32.题型三等比数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.答案－2解析方法一{a n }为等比数列，∴a 4a 5＝a 3a 6，∴a 2＝1，又a 2a 9a 10＝a 7a 7a 7，∴1×(－8)＝(a 7)3，∴a 7＝－2.方法二设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2a 4a 5＝a 3a 6＝a 2q ·a 5q ，显然a n ≠0，则a 4＝q 2，即a 1q 3＝q 2，则a 1q ＝1，∵a 9a 10＝－8，则a 1q 8·a 1q 9＝－8，则q 15＝(q 5)3＝－8＝(－2)3，则q 5＝－2，则a 7＝a 1q ·q 5＝q 5＝－2.下标和相等的等差(比)性质的推广(1)若数列{a n }为等比数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则12m m a a ·…·n m a ＝12k k a a ·…·n k a .(2)若数列{a n }为等差数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则1m a ＋2m a ＋…＋n m a ＝1k a ＋2k a ＋…＋n k a .典例已知等差数列{a n }，S n 为前n 项和，且a 9＝5，S 8＝16，则S 11＝________.答案33解析S 8＝8(a 1＋a 8)2＝16，∴a 1＋a 8＝4，又∵a 9＋a 1＋a 8＝3a 6，∴a 6＝3，故S 11＝11a 6＝33.(2)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N ＋)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案100解析因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.命题点2和的性质例4(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30－2S 20＋S 10的最小值为________．答案－5解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，且S 10＝20，不妨令其公比为q (q >0)，则S 20－S 10＝20q ，S 30－S 20＝20q 2，∴S 30－2S 20＋S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝20q 2－20q ＝－5，故当q ＝12时，S 30－2S 20＋S 10的最小值为－5.思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．跟踪训练3(1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝20，a 2a 8＝2，则1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝________.答案10解析1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝＝a 2＋a 8a 2a 8＋a 4＋a 6a 4a 6＝a 2＋a 8＋a 4＋a 6a 2a 8＝202＝10.(2)(2023·长春统考)在等比数列{a n }中，q ＝12，S 100＝150，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100的值是________．答案50解析设T 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99，T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100，所以T 2T 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12，所以S 100＝T 1＋T 2＝2T 2＋T 2＝3T 2＝150，所以T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50.课时精练一、单项选择题1．(2023·本溪模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ＝12，且a 3a 4＝132，则a 6等于()A.18 B.116C.132D.164答案C解析由a 3a 4＝132，得a 1q 2·a 1q 3＝132，即a 21＝132，所以a 21＝1.又a n >0，所以a 1＝1，a 6＝a 1q 5＝1＝132.2．若1，a 2，a 3,4成等差数列；1，b 2，b 3，b 4,4成等比数列，则a 2－a 3b 3等于()A.12B ．－12C ．±12D.14答案B解析由题意得a 3－a 2＝4－13＝1，设1，b 2，b 3，b 4，4的公比为q ，则b 3＝q 2>0，b 23＝1×4＝4，解得b 3＝2，a 2－a 3b 3＝－12＝－12.3．(2023·济宁模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.4．已知等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3＋a 5＝5，则a5a 7等于()A.32B.23C.16D ．6答案A解析由{a n }为等比数列，得a 2a 6＝a 3a 5＝6，又a 3＋a 5＝5，∴a 3，a 5为方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，解得a 3＝2，a 5＝3或a 3＝3，a 5＝2，由{a n }为递减数列得a n >a n ＋1，∴a 3＝3，a 5＝2，∴q 2＝a 5a 3＝23，则a 5a 7＝1q 2＝32.5．(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为()A ．6B ．12C ．18D ．42答案D解析设第n (n ∈N ＋)天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列{a n }是公比为12的等比数列，1－12＝6332a 1＝378，解得a 1＝192，所以此人后三天所走的里程数为a 4＋a5＋a 6＝192×18×1－12＝42.6．(2023·新高考全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8等于()A ．120B ．85C ．－85D ．－120答案C解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，若q ＝1，则S 6＝6a 1＝3×2a 1＝3S 2，不符合题意，所以q ≠1.由S 4＝－5，S 6＝21S 2，可得a 1(1－q 4)1－q ＝－5，a 1(1－q 6)1－q ＝21×a 1(1－q 2)1－q ，①由①可得，1＋q 2＋q 4＝21，解得q 2＝4，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ·(1＋q 4)＝－5×(1＋16)＝－85.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝－5，S 6＝21S 2，所以q ≠－1，否则S 4＝0，从而S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，所以(－5－S 2)2＝S 2(21S 2＋5)，解得S 2＝－1或S 2＝54，当S 2＝－1时，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，即为－1，－4，－16，S 8＋21，易知S 8＋21＝－64，即S 8＝－85；当S 2＝54时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝(1＋q 2)S 2>0，与S 4＝－5矛盾，舍去．综上，S 8＝－85.二、多项选择题7．(2023·太原模拟)已知数列{a n }是等比数列，以下结论正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．若a 3＝2,a 7＝32，则a 5＝±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{a n }是递增数列D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则r ＝－1答案ACD 解析令等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，对于A ，a 2n ＋1a 2n ＝＝q 2，且a 21≠0，则{a 2n }是等比数列，故A 正确；对于B ，由a 3＝2，a 7＝32，得q 4＝16，即q 2＝4，所以a 5＝a 3q 2＝2×4＝8，故B 错误；对于C ，由a 1<a 2<a 31(q －1)>0，1q (q －1)>0，>0，1(q －1)>0，a n ＋1－a n ＝q n －1·a 1(q －1)>0，即∀n ∈N ＋，a n ＋1>a n ，所以数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，显然q ≠1，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1，而S n ＝3n ＋r ，因此q ＝3，a 1q －1＝1，r ＝－a 1q －1＝－1，故D 正确．8．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足a 1>1，a 2022>1，a 2023<1，则()A ．a 2022a 2024－1<0B ．S 2022＋1<S 2023C ．T 2022是数列{T n }中的最大项D ．T 4045>1答案AC 解析设数列{a n }的公比为q .∵a 1>1，a 2023<1，∴0<a 2023<1，又a 2022>1，∴0<q <1.∵a 2022a 2024＝a 22023<1，∴a 2022a 2024－1<0，故A 正确；∵a 2023<1，∴a 2023＝S 2023－S 2022<1，即S 2022＋1>S 2023，故B 错误；∵0<q <1，a 1>1，∴数列{a n }是递减数列，∵a 2022>1，a 2023<1，∴T 2022是数列{T n }中的最大项，故C 正确；T4045＝a1a2a3·…·a4045＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4044)＝a40451q1＋2＋3＋…＋4044＝a40451q2022×4045＝(a1q2022)4045＝a40452023，∵0<a2023<1，∴a40452023<1，即T4045<1，故D错误．三、填空题9．(2023·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若8S6＝7S3，则{a n}的公比为________．答案－1 2解析若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不符合题意．所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·a1(1－q6)1－q＝7·a1(1－q3)1－q，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－1 2 .10．设等比数列{a n}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________．答案200 3解析设数列{a n}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a，b，c.由题意知a＋b＝100，b＋c＝200，b2＝ac，∴b2＝(100－b)(200－b)，∴b＝200 3.11．在等比数列{a n}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______.答案31104解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.因为a 9＋a 10＝4，a 19＋a 20＝24，所以a 19＋a 20＝(a 9＋a 10)q 10＝24，解得q 10＝6，所以a 59＋a 60＝(a 9＋a 10)q 50＝4×65＝31104.12．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________.答案12n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2n ＝1－a n ，n －1＝1－a n －1，得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝161－116＝四、解答题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }落入区间(10,2023)的所有项的和．解(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 1＋2＝3，所以a n ＋1＋2a n ＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，a n ＝3×2n －1－2.(2)由10<a n <2023，得10<3×2n －1－2<2023，即4<2n －1<675，即4≤n ≤10，故{a n }落入区间(10,2023)的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10，所以其和S ＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7＝3×8－10241－2－14＝3034.14．(2024·邯郸模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N ＋.(1)求{a n }通项公式；(2)设b n ＝a n n ＋1，在数列{b n }中是否存在三项b m ，b k ，b p (其中2k ＝m ＋p )成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．解(1)由题意知，在数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，n ≥2，两式相减可得，a n ＋1－a n ＝3a n ，a n ＋1＝4a n ，n ≥2，由条件知，a 2＝3a 1＋1＝4a 1，符合上式，故a n ＋1＝4a n ，n ∈N ＋.∴{a n }是以1为首项，4为公比的等比数列．∴a n ＝4n －1，n ∈N ＋.(2)由题意及(1)得，在数列{a n }中，a n ＝4n －1，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b n ＝4n －1n ＋1，如果满足条件的b m ，b k ，b p 存在，则b 2k ＝b m b p ，其中2k ＝m ＋p ，∴(4k －1)2(k ＋1)2＝4m －1m ＋1·4p －1p ＋1，∵2k ＝m ＋p ，∴(k ＋1)2＝(m ＋1)(p ＋1)，解得k 2＝mp ，∴k ＝m ＝p ，与已知矛盾，∴不存在满足条件的三项．15．(2023·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .若p ：数列{a n }是等比数列；q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若{a n }是等比数列，设公比为k ，则a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝k (a 1＋a 2＋…＋a n )，a 3＋a 4＋…＋a n ＋2＝k (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)，于是(a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)2＝k 2(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝(a 3＋a 4＋…＋a n ＋2)(a 1＋a 2＋…＋a n )，即q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)成立；若(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，取a n ＝0，n ∈N ＋，显然{a n }不是等比数列，故p 是q 的充分不必要条件．16．(2023·泰安模拟)若m ，n 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同零点，且m ，n ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq ＝________.答案20解析＋n ＝p >0，＝q >0>0，>0，则m ，－2，n 或n ，－2，m 成等比数列，得mn ＝(－2)2＝4.不妨设m <n ，则－2，m ，n 成等差数列，得2m ＝n －2.结合mn ＝4，可得(2m ＋2)m ＝4⇒m (m ＋1)＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，＝1，＝4＝5，＝4⇒pq ＝20.。
考点35等差数列(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版)
考点35等差数列（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系【知识点】1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝.(2)前n项和公式：S n＝或S n＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m ，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)a n.(6)等差数列{a n}的前n项和为S n，{S n n}为等差数列．常用结论1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A【核心题型】题型一 等差数列基本量的运算(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d ．【例题1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列{}n a 满足2314a a +=，且428a a -=，则首项1a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项16a =-的等差数列{}n a 中，2936a a a =，若该数列的前n 项和0n S =，则n 等于（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，48S =，则5a =．【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知315S =，535S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .题型二 等差数列的判定与证明判断数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n 项和公式法．【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若1143,1n n a a n a ++=+=，则10S =（ ）A ．110B ．115C ．120D ．125【变式1】（2024·辽宁·一模）已知数列{}n a 满足112n n a a n ++=+，则“数列{}n a 是等差数列”的充要条件可以是（ ）A ．21a =B ．252a =C ．22a =D ．23a =【变式2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知在数列{}n a 中，111,a a +ÎN ，数列{}n a 的前n 和为n S ，n S n ìüíýîþ为等差数列，1477S =，则100S =．【变式3】（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*1111,212n n n a a a a n ++=-=ÎN .(1)证明：数列11n a ìüí-îþ为等差数列，并求n a ；(2)令11n nn n n a a b a a ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .题型三 等差数列的性质命题点1 等差数列项的性质等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2相结合【例题3】（2024·山西运城·三模）已知数列{}n a 是等差数列，35122a a -=，则5108a a a +-=（ ）A ．4B ．2-C ．4-D ．8-【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）在等差数列{}n a 中，若25192228a a a a +++=，则12a =（ ）A ．45B ．6C ．7D ．8【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，2342a a a ++=，则567a a a ++=．【变式3】（2023·陕西·模拟预测）已知等差数列{}n a 中，3623a a +=，则5a = .命题点2 等差数列前n 项和的性质等差数列前n 项和的常用的性质是：在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；S 2n －1＝(2n －1)a n .【例题4】（2024·山东日照·三模）设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若32b =，76b =，则9S =（ ）A ．36-B ．36C ．18-D ．18【变式1】（2024·广东茂名·模拟预测）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()824k S a a =+，则k =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．9【变式2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，76a =，则13S = .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列{}n a 满足79111264,2a a a a =+是9a 与13a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前15项之和为60，则313a a +=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．102．（2022高三上·河南·专题练习）若数列{}n na 的前n 项和2(1)(21)n T n n n =++，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．211n n+B ．212322n n +C ．266n n +D ．2612n n-+3．（2024·北京·模拟预测）记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若51162a a +=，且13351S =，则该数列的公差d 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2024·湖北·模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2463a a a ++=-，812S =-，则数列{}n a 的首项1a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21N n n S S a a n ==+Î，则（ ）A ．21n a n =-B ．2n S n =C ．数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和为221n n +D ．数列{}2nn a +的前n 项和为1222++-n n 6．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，742S =，则下列说法正确的是（ ）A ．54a =B ．21522n S n n =+C ．n a n ìüíýîþ为递减数列D ．11{}n n a a +的前5项和为421三、填空题7．（2024·湖南邵阳·三模）已知数列{}n a 与2n a n ìüíýîþ均为等差数列()*n ÎN ，且21a =，则2024a = .8．（宁夏石嘴山·一模）已知数列{}n a 满足11a =，()22221nn n S a n S =³-，其中n S 为{}n a 的前n 项和，则2016S = .9．（2024·湖南长沙·三模）已知数列{}n a 为正项等比数列，且233a a -=，则1a 的最小值为 .四、解答题10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列{}n a 的公差0d >，2a 与8a 的等差中项为5，且4624a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2,1,n n n n a n b n a a+ìï=íïî为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前20项和20T .11．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有()2n n ³个服务区.现有一辆车从第n 个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第(1)k k n <£个服务区开出后，将等可能地停靠在第11k ~-个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量n X 为这辆车全程一共进入的服务区总数.(1)求3X 的分布列及期望；(2)证明：()()11n n E X E X +ìüïïíý-ïïîþ是等差数列.【综合提升练】一、单选题1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列{}n a 满足141n n a a n ++=+，则1a =（ ）A ．3B ．32C ．1D ．122．（2022高三上·河南·专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13n n n S S a +=++，若39a =，则20=S （ ）A ．520B ．530C ．620D ．6303．（2024·四川雅安·三模）在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则8a =（ ）A ．21B ．24C ．27D ．294．（2024·广东茂名·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5425a a =+，则11S 的值是（ ）A ．11B ．50C ．55D ．605．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为195,1,627n S a S a ==+，则5S =（ ）A ．25B ．27C ．30D ．356．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()*2210n n a a n =+ÎN ，136S S =则d 的值为（ ）A ．1B ．2019C ．2021D ．-17．（2024·江西赣州·二模）在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m -+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ）A ．48B ．24C ．12D ．88．（2024·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足()()()2*1123214832,,1n n n a n a n n n n a ----=-+³Î=N ，则n a =（ ）A ．22n -B ．22n n-C ．21n -D ．2(21)n -二、多选题9．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为25,4,35n S a S ==，则（ ）A ．n na 的最小值为1B ．n nS 的最小值为1C ．n S n ìüíýîþ为递增数列D ．2n a n ìüíýîþ为递减数列10．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列{}n a 满足11312,1n n n a a a a +-==+，则下列说法正确的是（ ）A ．353=a B ．数列{}n a 为递减数列C ．数列11n a ìüíý-îþ为等差数列D ．31n n a n +=+11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足()*1,n n a a f n n ++=ÎN ，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()2f n n =，则存在1a ，使得{}n a 是等差数列B ．若()2f n n =，则存在1a ，使得{}n a 是等比数列C ．若()0f n =，则存在1a ，使得{}n a 是等差数列D ．若()0f n =，则存在1a ，使得{}n a 是等比数列三、填空题12．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2856S =，则121314151617a a a a a a +++++=.13．（2024·河南开封·三模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若18a =，460a a +=，则5S = ．14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且{}n S 单调递增，若55a =，则公差d 的取值范围为 ．四、解答题15．（2024·四川·模拟预测）已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a ++=．(1)证明数列11n a ìüíý-îþ是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足，()()111n n n b a a +=--，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（2023·江西·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足36933a a a ++=，749=S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2n n n b a =×，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（2024·四川成都·模拟预测）已知等差数列{}n a 的首项10a ¹，公差为(0)n d d S ¹，为{}n a 的前n 项和，n n S a ìüíýîþ为等差数列．(1)求1a 与d 的关系；(2)若11n a T =，为数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和，求使得89n T <成立的n 的最大值．18．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S12n a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2nn n a b S n=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2n n n n S b n S n p ìïï=í-ï×ïî为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河北保定·三模）已知在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d >.若数列24n a n ìü-íýîþ也是等差数列，则d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2024·广东广州·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若88S =，则63a a +=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2024·重庆·三模）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()723570,80S a a a =+=，则公差d =（ ）A ．12B ．2C ．3D ．44．（2024·广西河池·模拟预测）记单调递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且1523a a a a =，则10S =（ ）A ．70B ．65C ．55D ．50二、多选题5．（2024·辽宁·一模）等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a >C ．若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=D ．若810a S =，则90S >，100S <6．（2024·全国·一模）已知数列{}n a ：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，L ，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）A ．2021a =B ．2(1)222n n a n n +=-+C ．存在正整数m ，使得m a ，1m a +，2m a +成等比数列D ．有且仅有3个不同的正整数m ，使得12156m m m a a a ++++=三、填空题7．（2024·四川凉山·二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=，4950a a =，则6S = ．8．（2024·四川攀枝花·三模）等差数列{}n a 的前n 项和为352,7,7n S a S a ==，则6a = ．9．（2023·福建·模拟预测）已知数列{}n a 的首项不为零，满足321n n n n a a a a +++-=-，313a a =，则12023a a = .四、解答题10．（2022·福建厦门·模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S £.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .11．（2024·广东·模拟预测）已知数列{}n a 与{}n b 为等差数列，23a b =，112a b =，{}n a 前n 项和为2192n n +．(1)求出{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列{}n c ，使得对于任意N n +Î，n c 都能满足22n n n nn n n n n a b a b a b a b c +--++-££．若存在，求出所有上述的{}n c ；若不存在，请说明理由．。
高中数学一轮复习考点专题训练：专题35 基本不等式(解析版)
高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ， 即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3， 当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ 【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。
考点19 等比数列——2021年高考数学专题复习讲义
考点19 等比数列【思维导图】【常见考法】考法一：定义的运用1.已知数列，，，.求证：是等比数列； {}n a 11a =n N +∀∈121n n a a +=+{1}n a +2．已知数列的前项和为，且，.求证：为等比数列，并{}n a n n S 11a =()*11n n a S n n N +=++∈{}1na +求的通项公式； {}n a3．已知数列中，其前项和满足．求证：数列为等比数列，并求{}n a n n S 22(*)n n S a n =-∈N {}n a {}n a 的通项公式；考法二：中项性质1．已知实数依次成等比数列，则实数的值为 。
1,,,,9a x b --x2．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则 。
{}n a 2=53y x x -+15a a 、3a =3．在等比数列中，，是方程的两根，则 。
{}n a 4a 6a 2510x x ++=5a =4．在正项等比数列中，，则_______. {}n a 1010110a =1232019lg lg lg lg a a a a ++++=5．己知数列为正项等比数列，且，则 。
{}n a 13355724a a a a a a ++=26a a +=6．实数数列为等比数列，则 。
21,,4,a b a =7．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为 。
{}n a 2a 16a 2620x x ++=2169a a a8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为 。
0ab >2a 4b 41121a b +++9．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则1291a a －，，，－12391b b b －，，，，－。
221()b a a －＝10．在中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列且，则ABC sin sin a c Cc b A-=- 。
sin cb B=11．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则的取值范围是 。
2021高考数学课件6.3等比数列
一、教材改编
1．[选修二·P53 习题 T1]已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1
＋a3＝54，a2＋a4＝52，则 q＝(
)
A．12
B．4
C．2
1 D.4
答案：A 解析：∵a1＋a3＝54，a2＋a4＝52 ∴q＝aa21＋＋aa43＝12.
2．[选修二·P54T3]公比不为 1 的等比数列{an}满足 a5a6＋a4a7＝18， 若 a1am＝9，则 m 的值为( )
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为__q_k _.
(6)若aq1＞＞10， 或0a＜1＜q0＜，1 则等比数列{an}递增． 若a01＜＞q0＜，1 或aq1＞＜10， 则等比数列{an}递减．
【教材提炼】
三、走进高考 5．[2019·全国Ⅰ卷]记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，若 a1＝13， a24＝a6，则 S5＝________.
答案：1321 解析：设{an}的公比为 q，由 a24＝a6，得 a24＝a4·q2，∴a4＝q2. 又∵a4＝a1·q3，∴a1·q3＝q2，又 a1＝13，∴q＝3. 由等比数列求和公式可知 S5＝13×1－1－335＝1321.
4．设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则SS52＝________.
答案：－11 解析：设等比数列{an}的公比为 q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， ∴SS52＝a111－－qq5·a111－－qq2＝11－－qq52＝11－ －－ －2252＝－11.
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a_1_q_n－_1__.
高中新教材数学人课件选择性必修时等比数列的性质及应用
生物繁殖、细胞分裂现象建模
细菌繁殖模型
细菌以指数形式繁殖，可用等比 数列描述其数量增长趋势。
细胞分裂过程模拟
细胞分裂过程中，细胞数量呈指 数增长，可用等比数列进行建模
和预测。
生物种群增长
在生态学中，某些生物种群的增 长也符合等比数列规律，可用于
预测种群数量变化。
其他领域如物理、化学中应用举例
放射性衰变计算
04 等比数列在生活中实际应用
储蓄、贷款问题中计算利息和本金
储蓄复利计算
利用等比数列求和公式， 计算储蓄账户在定期存入 或取出资金后的累计金额 。
贷款分期偿还
通过等比数列模型，计算 贷款分期偿还时每期应还 的本金和利息，以及总还 款额。
投资回报预测
根据投资回报率，利用等 比数列预测投资项目的未 来收益。
任意两项的等比中项等于这两项的平方根之和与平方根 之差的积的一半。
03
等比中项的应用
利用等比中项可以求等比数列的通项公式和求和公式。
等比数列性质总结
01 02 03 04 05
等比数列的任意两项之积等于首项与末项之 积。
等比数列的任意两项之商等于公比。
等比数列中，连续n项的和等于首项乘以(1q^n)/(1-q)，其中q≠1。
等比数列定义及通项公式
定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等比数列是指从第二项起，每一 项与它的前一项的比值等于同一 个常数的一种数列。
通项公式
an=a1×q^(n-1)，其中a1为首项 ，q为公比，n为项数。
等比中项与等比数列关系
01
等比中项
在等比数列中，如果a、G、b依次成等比数列，则G叫 做的等比中项。
02
等比中项的性质
2021高考数学(理)知识清单-专题09 等差数列、等比数列(考点解读)(原卷+解析版)
D．
Sn
1 2
n2
2n
2．【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项和为 15，且 a5 3a3 4a1 ，
则 a3
3
2021高考数学（理）知识清单
A．16
B．8
C．4
D．2
3．【2019 年高考浙江卷】设 a，b∈R，数列{an}满足 a1=a，an+1=an2+b， n N ，则
1
2021高考数学（理）知识清单
3．讨论等差数列前 n 项和的最值时，不要忽视 n 为整数的条件和 an＝0 的情形． 4．等比数列{an}中，公比 q≠0，an≠0.
高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算
例 1、【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 an 的前 4 项和为 15，且
若 ai1 ai2 aim ，则称新数列 ai1，ai2，，aim 为{an}的长度为 m 的递增子列．规定：数列{an}的任意
一项都是{an}的长度为 1 的递增子列． （Ⅰ）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 am0 ，长度为 q 的递增子列的末项的最小
(2)通项公式：an＝a1qn－1；
na1
(3)前 n 项和公式：Sn＝ a1 1－qn 1－q
q＝1， q≠1.
(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；
②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．
3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前 n 项和四组公式，活用等差、等比数
2021高考江苏版(文)数学一轮复习课件： 第7章 第35课 等比数列及其前n项和
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高三一轮总复习
(1)－2 016 (2)2 [(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a2 016＝lg a1a2…a2 016＝ lg(a1 008·a1 009)1 008＝lg11001 008＝lg10－21 008＝－2 016.
(2)由题意得 S4＝a111－－qq4＝9，所以11－－qq4＝a91.由 a1·a1q·a1q2·a1q3＝(a21q3)2＝841 得 a21q3＝92.由等比数列的性质知该数列前 4 项倒数的和为a1111－－1qq14＝a1qq34－q－1 1＝ a11q3·a91＝a129q3＝2.]
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高三一轮总复习 [变式训练 2] (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝3312，求 λ. [解] (1)证明：由题意得 a1＝S1＝1＋λa1， 故 λ≠1，a1＝1－1 λ，故 a1≠0. 由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan.
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高三一轮总复习
(2)设等比数列的公比为 q，则有aa121＋ ·q3a＝1q83，＝9，
解得aq1＝＝21，
a1＝8， 或q＝12.
又{an}为递增数列，∴aq1＝＝21，， ∴Sn＝11－－22n＝2n－1.]
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高三一轮总复习
[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，q， an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
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(2)已知数列{an}的通项公式为an=,记数列{an}的前n项和为Sn,则在S1,S2,…,S2021中,有 个有理数.
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[解析]由题可知an=·==-,所以Sn=1-,易知当n+1为完全平方数时,Sn为有理数,又当n=3时,n+1=22,当n=8时,n+1=32,…,当n=1935时,n+1=442,所以共有43个有理数.
[总结反思](1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
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变式题1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,a5+a7=12.(1)求an及Sn;
解: 由题意,设等差数列{an}的公差为d,则整理得解得∴an=1+1·(n-1)=n, Sn=n·1+·1=.
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解： bn===-,∴Tn=(b1+21)+(b2+22)+…+(bn+2n)=(b1+b2+…+bn)+ (21+22+…+2n)=1-+-+…+-+=1-+2n+1-2=2n+1--1.
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变式题 (1)已知{an}是等差数列,a3=7,且a2+a6=18.若bn=,则{bn}的前n项和Tn= .
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[解析]设等差数列{an}的公差为d,由a3=7,a2+a6=18,可得解得所以an=3+2(n-1)=2n+1,因此bn===(-),所以{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn=[(-)+(-) +…+(-)]=(-).
(新课标)2021版高考数学一轮总复习第六章数列第35讲数列的综合应用导学案新人教A版
第35讲 数列的综合应用【课程要求】1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法．对应学生用书p 94【基础检测】1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．7[解析]由题意知由细到粗每段的重量成等差数列， 记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4，解得a 1＝1516，d ＝18，∴该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，∵48a i ＝5M ，∴48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋（i －1）×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i ＝6. [答案]A2．若a ，b 是函数f(x)＝x 2－px ＋q(p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析]由题意知a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p＞0，q ＞0，∴a＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a.∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或错误! ∴p＝5，q ＝4，∴p＋q ＝9，故选D . [答案]D3．设y ＝f ()x 是一次函数，若f ()0＝1，且f ()1，f ()4，f ()13成等比数列，则f ()2＋f ()4＋…＋f ()2n ＝________.[解析]由题意可设f ()x ＝kx ＋1()k≠0， 则()4k ＋12＝()k ＋1()13k ＋1，解得k ＝2，f ()2＋f ()4＋…＋f ()2n ＝()2×2＋1＋()2×4＋1＋…＋()2×2n＋1＝2n 2＋3n.[答案]2n 2＋3n4．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还( )A .M 10万元B .Mp ()1＋p 10()1＋p 10－1万元 C .M ()1＋p 1010万元 D .Mp ()1＋p 9()1＋p 9－1万元 [解析]设每年应还x 万元，则x ＋x ()1＋p ＋x ()1＋p 2＋…＋x ()1＋p 9＝M ()1＋p 10，x ⎣⎡⎦⎤1－()1＋p 101－()1＋p ＝M ()1＋p 10，得x ＝Mp ()1＋p 10()1＋p 10－1.[答案]B【知识要点】1．数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究． (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等．2．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n ＋1的递推关系，还是S n 与S n ＋1之间的递推关系．对应学生用书p 95等差、等比数列的综合问题1 已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0. 因为q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)由题意得b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34·32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. [小结]等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝12n 2＋12n.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令c n ＝a na n ＋a n ＋1，问是否存在正整数m ，k(1<m<k)使得c 1，c m ，c k 成等差数列？若存在，求出m ，k 的值，若不存在，请说明理由．[解析] (1)a n ＝S n －S n －1()n≥2 ＝12n 2＋12n －12()n －12－12()n －1 ＝12n 2＋12n －12n 2＋n －12－n 2＋12 ＝n ，当n ＝1时a 1＝S 1＝1满足上式， 故a n ＝n ()n∈N *.(2)假设存在m ，k ()1<m <k 使得c 1，c m ，c k 成等差数列， 则2c m ＝c 1＋c k ⇒2m 2m ＋1＝13＋k2k ＋1⇒2m ＋12m ＝6k ＋35k ＋1⇒12m ＝k ＋25k ＋1， 2m ＝5k ＋1k ＋2＝5－9k ＋2⇒m ＝52－9k ＋22，(*)由m >1且m ∈N *则9k ＋2为奇整数， ∴k ＝1(舍去)或k ＝7， 将k ＝7代入(*)式得m ＝2，故存在m ＝2，k ＝7使得c 1，c m ，c k 成等差数列.数列与不等式的综合问题2 已知数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3()n∈N *. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)数列{}b n 满足b n ＝()3n－1·n2n ·a n ，数列{}b n 的前n 项和为T n ，若不等式()－1nλ<T n ＋n2n －1对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．[解析] (1)由a n ＋1＝a na n ＋3()n ∈N *，得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝3a n＋1， 1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以3为公比，以32为首项的等比数列，从而1a n ＋12＝32×3n －1⇒a n ＝23n －1.(2)由(1)可知b n ＝n2n －1.T n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋()n －1×12n －2＋n ×12n －1，T n2＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋()n －1×12n －1＋n ×12n ， 两式相减得T n2＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n ×12n ＝2－n ＋22n ， ∴T n ＝4－n ＋22n －1，∴()－1n λ<4－22n －1，若n 为偶数，则λ<4－22n －1，∴λ<3；若n 为奇数，则－λ<4－22n －1，∴－λ<2，∴λ>－2，∴－2<λ<3.[小结]数列与不等式综合问题的两个方面(1)数列型不等式恒成立或存在性问题，先参变分离，转化为最值问题，数列的最值常选择用做差或者作商来处理；(2)数列不等式有时候需要用放缩法来证明，将通项的分母放大或缩小成可以求和的形式再证明．2．设S n 为数列{}a n 的前n 项和，S n ＝2a n －n ()n∈N *.(1)求证：数列{}a n ＋1是等比数列； (2)求证：1－12n <1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，解得a 1＝1； 当n ≥2时，由S n ＝2a n －n 得S n －1＝2a n －1－()n －1， 上述两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1－1， 整理得a n ＝2a n －1＋1. 则a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2，且a 1＋1＝2.所以数列{}a n ＋1是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可知a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，则a n ＝2n－1.因为1a n ＝12n －1>12n ，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n >12＋122＋…＋12n ＝1－12n .又因为1a n ＝12n －1＝12n －1()2－21－n ≤12n －1， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋12＋…＋12n －1＝2－12n －1<2.综上，1－12n <1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2.数列与函数的综合问题3 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )(n∈N *)在函数f (x )＝2x的图象上．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 所以2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2， 所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意有a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. [小结]数列与函数的综合的两个方面(1)以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系； (2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．3．函数f ()x ＝e x －1e x ＋1，g ()x ＝f ()x －1＋1，a n ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1n ，n∈N *，则数列{}a n 的通项公式为__________．[解析]由f ()－x ＝e －x－1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝e x－1e x＋1为奇函数， g ()x ＋g ()2－x ＝f ()x －1＋1＋f ()2－x －1＋1＝f ()x －1＋f ()1－x ＋2，由f (x )＝e x－1e x ＋1为奇函数，∴f ()x －1＋f ()1－x ＝0，∴g ()x ＋g ()2－x ＝2，∵a n ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋…＋g ⎝⎛⎭⎪⎫2n －1n ，n ∈N *，①则a n ＝g ⎝⎛⎭⎪⎫2n －1n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －2n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －3n ＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n ∈N *，②①＋②得2a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1n ＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝(2n －1)×2，则数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1. [答案]a n ＝2n －1数列模型及应用4 《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )A .6766B .3733C .72D .1011[解析]由题设⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4⇒d ＝766，故由等差数列的性质可得a 5＝a 8－3d ＝6766.[答案]A5 某企业为了进行技术改造，设计了两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中哪种获利更多？(参考数据：取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665)[解析]甲方案中，每年所获利润组成等比数列，首项为1，公比为(1＋30%)，所以10年所获得的总利润为S 10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－10.3≈42.62(万元)，贷款到期时，需要偿还银行的本息是 10(1＋5%)10≈16.29(万元)，故使用甲方案所获纯利润为42.62－16.29＝26.33(万元)． 乙方案中，每年的利润组成等差数列，首项为1，公差为0.5， 所以10年所获得的总利润为T 10＝1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10×1＋10×92×0.5＝32.5(万元)，从第一年起，每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列，首项为1×(1＋5%)10万元，公比为11＋5%，故贷款到期时，需要偿还银行的本息是 1×[(1＋5%)10＋(1＋5%)9＋…＋(1＋5%)] ＝1.05×1.0510－10.05≈13.21(万元)，故使用乙方案所获纯利润为32.5－13.21＝19.29(万元)． 综上可知，甲方案获利更多． [小结]解数列应用题的建模思路：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：4．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2016年年底分红后的资金为1000万元．(1)求该企业2020年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元． [解析]设a n 为(2016＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N *， 则a 1＝2×1000－500＝1500，a 2＝2×1500－500＝2500，…，a n ＝2a n －1－500(n ≥2)．∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是首项为a 1－500＝1000，公比为2的等比数列． ∴a n －500＝1000×2n －1，∴a n ＝1000×2n －1＋500. (1)a 4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2020年年底分红后的资金为8500万元． (2)由a n >32500，即2n －1>32，得n >6，∴该企业从2023年开始年底分红后的资金超过32500万元．对应学生用书p 971．(2017·全国卷Ⅱ理)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析]设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：x×（1－27）1－2＝381，解得x ＝3，即塔的顶层共有灯3盏．[答案]B2．(2019·北京理)已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m )，若ai 1<ai 2<…<ai m ，则称新数列ai 1，ai 2，…，ai m 为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．(1)写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为am 0，长度为q 的递增子列的末项的最小值为an 0.若p<q ，求证：am 0<an 0；(3)设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s －1，且长度为s 末项为2s －1的递增子列恰有2s －1个(s ＝1，2，…)，求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)1，3，5，6.(答案不唯一)(2)设长度为q 末项为an 0的一个递增子列为ar 1，ar 2，…，ar q －1，an 0. 由p<q ，得ar p ≤ar q －1<an 0.因为{}a n 的长度为p 的递增子列末项的最小值为am 0，又ar 1，ar 2，…，ar p 是{}a n 的长度为p 的递增子列，所以am 0≤ar p .所以am 0<an 0.(3)由题设知，所有正奇数都是{}a n 中的项．先证明：若2m 是{}a n 中的项，则2m 必排在2m －1之前(m 为正整数)． 假设2m 排在2m －1之后．设ap 1，ap 2，…，ap m －1，2m －1是数列{}a n 的长度为m 末项为2m －1的递增子列，则ap 1，ap 2，…，ap m －1，2m －1，2m 是数列{}a n 的长度为m ＋1末项为2m 的递增子列．与已知矛盾．再证明：所有正偶数都是{}a n 中的项．假设存在正偶数不是{}a n 中的项，设不在{}a n 中的最小的正偶数为2m. 因为2k 排在2k －1之前(k ＝1，2，…，m －1)，所以2k 和2k －1不可能在{}a n 的同一个递增子列中．又{}a n 中不超过2m ＋1的数为1，2，…，2m －2，2m －1，2m ＋1，所以{}a n 的长度为m ＋1且末项为2m ＋1的递增子列个数至多为×1×1＝2m －1<2m. 与已知矛盾．最后证明：2m 排在2m －3之后(m≥2为整数)．假设存在2m(m≥2)，使得2m 排在2m －3之前，则{}a n 的长度为m ＋1且末项为2m ＋l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾．综上，数列{}a n 只可能为2，1，4，3，…，2m －3，2m ，2m －1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m －3，2m ，2m －1，…符合条件．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，n －1，n 为偶数.。
2024年高考化学一轮复习(新高考版) 第6章 第35讲 物质的聚集状态 常见晶体类型
第35讲物质的聚集状态常见晶体类型[复习目标] 1.了解晶体和非晶体的区别。
2.了解晶体的类型，了解不同类型晶体中结构微粒、微粒间作用力的区别。
3.了解分子晶体、共价晶体、离子晶体、金属晶体结构与性质的关系。
4.了解四种晶体类型熔点、沸点、溶解性等性质的不同。
考点一物质的聚集状态晶体与非晶体1．物质的聚集状态(1)物质的聚集状态除了固态、液态、气态，还有晶态、非晶态以及介乎晶态和非晶态之间的塑晶态、液晶态等。
(2)等离子体和液晶概念主要性能等离子体由电子、阳离子和电中性粒子组成的整体上呈电中性的物质聚集体具有良好的导电性和流动性液晶介于液态和晶态之间的物质状态既具有液体的流动性、黏度、形变性，又具有晶体的导热性、光学性质等2.晶体与非晶体(1)晶体与非晶体的比较晶体非晶体结构特征原子在三维空间里呈周期性有序排列原子排列相对无序性质特征自范性有无熔点固定不固定异同表现各向异性各向同性(2)得到晶体的途径①熔融态物质凝固；②气态物质冷却不经液态直接凝固(凝华)；③溶质从溶液中析出。
(3)晶体与非晶体的测定方法测熔点晶体有固定的熔点，非晶体没有固定的熔点测定方法最可靠方法对固体进行X射线衍射实验1．在物质的三态相互转化过程中只是分子间距离发生了变化()2．晶体和非晶体的本质区别是晶体中粒子在微观空间里呈现周期性的有序排列()3．晶体的熔点一定比非晶体的熔点高()4．具有规则几何外形的固体一定是晶体()5．缺角的NaCl晶体在饱和NaCl溶液中会慢慢变为完美的立方体块()答案 1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√一、物质聚集状态的多样性1．下列有关物质特殊聚集状态与结构的说法不正确的是()A．液晶中分子的长轴取向一致，表现出类似晶体的各向异性B．等离子体是一种特殊的气体，由阳离子和电子两部分构成C．纯物质有固定的熔点，但其晶体颗粒尺寸在纳米量级时也可能发生变化D．超分子内部的分子间一般通过非共价键或分子间作用力结合成聚集体答案 B解析液晶分子沿分子长轴方向有序排列，从而表现出类似晶体的各向异性，故A正确；等离子体是由阳离子、电子和电中性粒子组成的整体上呈电中性的物质聚集体，故B错误；纯物质有固定的熔点，但其晶体颗粒尺寸在纳米量级时也可能发生变化，熔点可能下降，故C 正确；超分子内部的多个分子间一般通过非共价键或分子间作用力结合成聚集体，故D正确。
2021年浙江高考数学复习课件：6.3 等比数列
(2)因为bn=
(2n
2n -1)(2n1
-1)
=
(2n1-1)-(2n -1) (2n -1)(2n1-1)
=
1 2n -1
-
1 2n1
-1
,
所以Sn=b1+b2+…+bn=
1 2-1
-
1 22 -1
+
1 22 -1
-
1 23 -1
+…+
1 2n -1
-
1 2n1
-1
=1-
1 2m的取值范围.
解题导引
解析 (1)由an+2=3an+1-2an可得an+2-an+1=2(an+1-an).
又a1=1,a2=3,所以a2-a1=2,
所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以an+1-an=2n.
所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+22+…+2n-1=2n-1.
3.等比数列的通项公式为an=a1qn-1和an=amqn-m.
4.等比数列的公比公式为qn-1= an 和qn-m= an .
a1
am
5.等比数列的前n项和公式
Sn=
naa1(111(--qqqn )1),
a1 -an q 1-q
(q
1).
考点二 等比数列的性质及应用
考向基础
1.等比数列{an}满足aq110, 或0a1q0, 1 时,{an}是递增数列;满足
0a1q0,
或
1
aq110,