第2章第三节信号的相关分析r1

求信号x(t)与 y(t)的互相关函数Rxy(τ)，已知
x ( t ) = x 0 s i n ( w 1 t + j1 ) ,y ( t ) = y 0 s i n ( w 2 t + j2 )
解：功率有限信号，T 取两信号的周期的最小公倍数
1T /2
ò R x y ( t)= T-T /2 x 0 y 0 s in ( w 1 t+ j1 ) s in [ w 2 ( t+ t)+ j2 ] d t
ò ò 1 ¥
R xx(0)=2p-?x(t)x(t+t)dt|t=0 =
¥ x(t) 2dt
-?
蝌 \ ゥ x2(t)dt=1 X(w )2dw
-?
2p ?
连续信号的帕斯瓦尔公式
——信号时域与频域的总能量(功率)相等
2.3.3.3 相关函数的计算
根据相关函数和卷积的关系：
（1）连续信号相关算法
结论：信号的自相关函数和该信号的自能量谱密度
互为傅里叶变换对。 ——相关定理
ò 即 R xx(t)=2 1 p-¥ ? X(w )2ejw tdw
2.3.3.2 相关定理
ò 帕斯瓦尔公式
1 Rxx(t)=2p
¥ -?
X(w )2ejw tdw
ò ? Rxx(0)
1 ¥ X(w)2dw 2p -?
N≤lx+ly-1
取一个整周期
2.3.4 相关分析的应用
除噪降噪 目标源识别 故障分析 相关测速
2.3.4.1 除噪降噪
完全相关 部分相关
近似误差 100％ 0％ (0,1)
rxy(t
)=
Rxy(t )- mxmy sxs y
2.3.1.3 互相关函数与自相关函数
（1）互相关函数与互相关系数
Rxy(τ) 、ρxy(τ)描述不同延时τ时两个信号的相关程度 称Rxy(τ)为互相关函数;称ρxy(τ)为互相关系数
t
求axy，使 xe2(t) min
y(t)
ò ¶
¶ a xy
x
2 e
(
t
)
=-¥ ?-2 y (t+ t)轾 犏 臌 x μ( y0t)-τ a x yy (t+ t)d t= 0 t
蝌 ゥ
\
y ( t+ t)x ( t)d t-
-?
?a x y y 2 ( t+ t) d t= 0
2.3.1.1 相关系数
相关函数也描述信号之间得相关关系，但有量纲； 相关系数为归一化参数，便于应用； 两个信号在不同延时τ时相关关系可能不同。
相关系数与相关函数的比较
|ρxy|
Rxy
0
mxm y
1
mxmy ± s xs y
（0,1） (mxmy - s xs y,
mxmy + s xs y)
相关性 完全不相关
y(t)=y(t)-m y ~(0,sy)
0τ
x(t)=axyy(t+t)+xe(t)
t t
实系数 延时 近似误差
2.3.1.1 相关系数
近似误差：
x(t)=axyy(t+t)+xe(t)
xe(t)=x(t)-axyy(t+t) x(t)
按最小均方差准则：
μx
ò xe 2(t)=-¥ ?轾 犏 臌 x(t)-axyy(t+t)02dt
Rxy(t)噲 垐 FT 垎 垐 X*(w )× Y(w )
x y ((tt))揪 揪 F F T T ? ?X Y ((w w ))ü ïïý ïïþ X *(w )Y (w ) I井 F T R xy(t)
（2）离散信号快速相关算法（FFT）
x y ( ( n n ) ) x % % y N N ( ( n n ) )F 揪 F F 揪 F T T ? ? X Y % % N N ( ( k k ) ) ü ï ï ý ï ï þX % N * ( k ) Y % N ( k )I 揪 F F T ?R % x y ( n )
2.3.3.2 相关定理
若： x(t) X (w ),y(t) Y (w ) 则： x (-t)*y (t)噲 垐 F T 垎 垐 X (-w )? Y (w )
QRxy(t)=x(-t)*y(t)
\ Rxy(t )噲 垐FT垎 垐 X(- w)?Y(w)
称 X*(w)×Y(w) 为信号x与y的互能量(功率)谱密度
（2）自相关函数与自相关系数
当x(t)=y(t)时，相关函数描述同一信号不同时刻取值的依赖关系 称Rxx(τ)为自相关函数;称ρxx(τ)为自相关系数
互相关函数 互相关系数
自相关函数 自相关系数
小结：
1 T/2
ò R xy(t)=T lim T-T/2x(t)y(t+t)dt
ò lim1
rxy(t)=T T
蝌 ゥ
y (t+ t)x (t)d t-
-?
?a x yy 2 (t+ t)d t= 0
¥
¥
?
axy
y(t + t )x(t)dt
ò ò - ?
¥
=
y2(t + t )dt
ò ò - ?
x (t) y (t + t )dt
-?
¥
y 2 (t)dt
-?
代入误差公式，得最小近似误差
轾¥
2
ò ò xe2(t)min=
保留信号的幅值、频率，丢失初相位
对称性： Rxx(-t)=Rxx(t) Rxy(τ)＝ Ryx (-τ)
对称性：最大值 Rxx(0)=m x 2+sx 2=yx 2
对称性：无周期分量时Rx x(∞)μx2
有周期分量时Rx x(∞)周期振荡
2.3.2.2 自相关函数的性质
R xx ( t ) 的一般图像
¥
ò Rxy(t)= -? x(t)y(t+t)dt
¥
x(t)*y(t)=òx(t)y(t-t)dt -?
对于任意的x(t)、y(t)，若
¥
ò R x y(t)=R y x(-t)=-?y (t)x [(-t)+ t]d t
=x(- t)*y(t)
结论：相关可以通过卷积予以计算
方法：将一个信号先翻转，再与另一信号卷积 工具：FFT
ò 相关系数只与
lim1
T/2
x(t)y(t+t)dt
有关
T T
ห้องสมุดไป่ตู้
-T/2
定义相关函数
rxy(t
)=
Rxy(t )- mxmy sxs y
¥
ò 能量有限信号：Rxy(t)= -? x(t)y(t+t)dt
ò 功率有限信号：R xy(t)=T lim T 1-T T//2 2x(t)y(t+t)dt
-?
犏 犏 臌- ? x(t) y(t + t )dt
ゥ
x 2 (t)dt
y 2 (t)dt
-?
-?
轾¥
2
ò = 1-
犏 犏 臌- ?
x(t)y(t + t )dt
s
x2s
2 y
平稳过程！ 常数
ò 令：
¥
x(t)y(t+ t )dt
rxy(t )= - ? sxs y
emin = 1- rx2y(t )
第3节 信号的相关分析
主要内容
2.3.1 相关系数与相关函数 2.3.2 相关函数的性质 2.3.3 相关定理 2.3.4 相关分析的应用
2.3.1 相关系数与相关函数
引言
干扰信号n(t)
发送端x(t)
通信系统 雷达系统
+ +接收端y(t)
控制系统等
现象：信号畸变，y(t)=x(t)+n(t) 问题：输出中有无输入？（信号检测）
分两种情况:
2.3.2.1 互相关函数的性质
ò R x y ( t)= x 0 y 0 T 1-T T / / 2 2 s in ( w 1 t+ j1 ) s in [ w 2 ( t+ t)+ j2 ] d t
(1) 当 w1 ¹ w2 时，由正弦信号的正交性：
Rxy (t ) = 0
(2) 当 w1=w2 =w0 时：
T/2
x(t)y(t+t)dt-
-T/2
sxsy
mxmy
ò 1 T/2
R xx(t)=T lim T-T/2x(t)x(t+t)dt
ò lim1
rxx(t)=T T
T/2
x(t)x(t+t)dt-
-T/2
sx2
mx2
2.3.2 相关函数的性质
2.3.2.1互相关函数的性质
引例：
1 T/2
ò R xy(t)=T lim T-T/2x(t)y(t+t)dt
2.3.1.1 相关系数
emin = 1- rx2y(t )
可以证明： r xy (t ) £ 1
r x y 称为相关系数
反映两信号的相关程度
是延时τ的函数
rxy
xe2(t) 信号相关程度越好
r xy = 1? 信号完全相关
r xy = 0 ? 信号完全不相关 0< rxy <1? 信号部分相关
结论：互相关函数与两个信号的互能量谱密度 是一傅里叶变换对
2.3.3.2 相关定理
对于自相关函数：
Rxy(t)噲 垐 FT 垎 垐 X*(w )× Y(w )