常系数非齐次线性微分方程的几种解法
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。
对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。
我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。
1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。
1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。
1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ； 令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ， 求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理 在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明 当 A、X、 a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为 ＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
一般地，再由常数变易法求原方程组（*）的解.
x c1 c2 e t c3e t 原方程组（*）的通解为： y c1 c3e t 1 . z c c e t 2c e t 1 1 2 3 2 x y z 2 y x 1 z 1 ，求得 但若根据定理，直接解对应的线性方程组 x ，取 x＝0，可以得到一个 z x 1 3 x y 2 z 3
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法
一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法的研究和应用1.研究(1)经典复数解法复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为一般形式的复数解法，可以使用经典复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。
可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$可以转化为：$$\lambda^2+p\lambda+q=0$$其中，$\lambda$是复数解的形式，可以求出：$$\lambda=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中，$c_1$和$c_2$为任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$分别为$\lambda$的两个根。
(2)拉普拉斯变换复数解法拉普拉斯变换复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为拉普拉斯变换形式的复数解法，可以使用拉普拉斯变换复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为拉普拉斯变换复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。
可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$ 可以转化为：$$s^2+ps+q=0$$其中，$s$是拉普拉斯变换的形式，可以求出： $$s=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{s_1t}+c_2e^{s_2t}$$。
常系数非齐次线性微分方程的几种解法
常广东广州 华南师范大学（郑海珍20052201323 李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。
本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。
以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。
『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21t x t x t x n ，再设法求出方程（1）的一个特解)(~t x ，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1t x t x c t x ni i i +=∑=n i c i ,,2,1, =为任意常数。
一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。
下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。
首先给出本文常用符号：n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ为方程（1）的特征方程。
k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为k u u u ,,21。
)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。
一、 常数变易法 [ 1 ]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。
将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~t x 。
常系数线性非齐次微分方程
2 是单根， 设 y* x(Ax B)e2x,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x(1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2
y C1e2x 2
.
例2 求通解 y 6 y 9 y 5xe3x
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2) m
(
x
)
sin
x];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y*,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x) j,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
第七节常系数非齐次线性微分方程总结
y*
其中： Qm ( x)
b0 x b1 x
m
m 1
bm
b0 , b1 ,, bm 可用待定系数法确定。
例1.
的一个特解.
Pm ( x)ex
Pm ( x) 3x 1, 0
y '' y 0
Y c1e c 2 e
x x
通过观察和直接验算可知 y * 5 x
是原方程的一个特解。 所以方程的通解为：
x x c e c e 5x y Y y* 1 2
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型
为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x) 为待定多项式 ,
根据解的结构定理 , 其通解为
①
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
问题: 如何求方程①的一个特解 y* ？ 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
例如：求非齐次方程 y '' y 5 x 的通解 解：对应的齐次方程为 齐次方程的通解为
第七章 第七节 常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型 二、 f ( x) e x [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x) sin x] 型
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f ( x) ( p, q 为常数 )
x
对应齐次方程的特征方程：r 2 pr q 0 综上讨论，方程的特解总可设为
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。
经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。
该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。
二是Kowalewsky-Trunov展开法。
该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。
三是Padé拆分法。
该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。
这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法一种解法是求解特征方程，另一种解法是采用逐步求解法。
1、求解特征方程法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)其中a2,a1,a0为常数，f(x)为右端函数。
（1）求解特征方程：设特征根为λ1,λ2,λ3，则特征方程为：λ3+a2λ2+a1λ+a0=0求解特征方程，得到特征根：λ1,λ2,λ3（2）求解特解：令特解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x代入方程，得：C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x+a2(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a1(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a0(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)=f(x)即：(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ1x+(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ2x+(C1λ3+C2λ2 +C3λ1)eλ3x=f(x)化简得：C1λ3+C2λ2+C3λ1=f(x)解得：C1=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)C2=f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)C3=f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)故特解为：y=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)eλ1x+f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)eλ2x+f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)eλ3x2、逐步求解法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)（1）求解一阶线性微分方程：设y1(x)为一阶线性微分方程的解，则有：y1'+a2y1=0解得：y1=C1e-a2x（2）求解二阶线性微分方程：设y2(x)为二阶线性微分方程。
非齐次微分方程通解的方法
非齐次微分方程通解的方法一、前言非齐次微分方程是微积分学中的重要内容，解非齐次微分方程的通解方法有很多种，本文将介绍其中两种常用的方法：常数变易法和特解叠加法。
二、常数变易法1. 基本思想常数变易法是通过假设非齐次微分方程的通解为其对应的齐次微分方程通解与一个特殊解之和，然后利用边界条件求出特殊解中的待定常数，从而得到非齐次微分方程的通解。
2. 具体步骤（1）求出对应的齐次微分方程通解；（2）假设非齐次微分方程的通解为其对应的齐次微分方程通解与一个特殊解之和，即$y=y_c+y_p$；（3）代入非齐次微分方程中，消去待定常数；（4）根据边界条件求出待定常数。
3. 举例说明考虑一阶线性非齐次微分方程$y'+2y=x+1$，其对应的齐次微分方程为$y'+2y=0$，其通解为$y_c=Ce^{-2x}$。
假设非齐次微分方程的通解为$y=y_c+y_p$，其中特殊解为$y_p=Ax+B$。
将其代入非齐次微分方程中得到：$$(Ax+B)'+2(Ax+B)=x+1$$化简可得：$$A=\frac{1}{2},B=\frac{3}{4}$$因此，非齐次微分方程的通解为：$$y=Ce^{-2x}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$$三、特解叠加法1. 基本思想特解叠加法是通过假设非齐次微分方程的特殊解为一组基础特解的线性组合，然后利用边界条件求出基础特解中的待定系数，从而得到非齐次微分方程的通解。
2. 具体步骤（1）求出对应的齐次微分方程通解；（2）根据非齐次项形式选择一组基础特解；（3）假设非齐次微分方程的特殊解为基础特解的线性组合，即$y=y_1+y_2+...+y_n$；（4）代入非齐次微分方程中，消去待定系数；（5）根据边界条件求出待定系数。
3. 举例说明考虑一阶线性非齐次微分方程$y'+2y=x+1$，其对应的齐次微分方程为$y'+2y=0$，其通解为$y_c=Ce^{-2x}$。
常系数线性非齐次微分方程
原方程通解为
y = C1 cos x + C 2 sin x − cos x ⋅ ln sec x + tan x .
例6 求通解 解 相应齐方程 特征方程 齐通解 先求 设
′′ + y = ex + cos x y
y′′ + y = 0
r 2 + 1 = 0 ⇒ r1, 2 = ± j
Y = c1 cos x + c2 sin x
原方程通解为 y = C cos x + C sin x − 2 x cos x . 1 2
. 例4 求方程 y′′ + y = xcos 2x 的通解
解 对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x ,
′′ + y = xe2 jx , 作辅助方程 y
Q λ = 2 j 不是特征方程的根 ,
可设 y = Axe jx Q λ = j是单根
三、小结
λx
(待定系数法 待定系数法) 待定系数法
(1) f ( x ) = e Pm ( x ), (λ可以是复数） 可以是复数）
y = xk eλxQm (x);
( 2) f ( x ) = e [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ],
二阶常系数非齐次线性微分方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 通解结构 常见类型
y′′ + py′ + qy = 0,
y =Y + y ,
*
自由项为
Pm(x), Pm ( x )e λx ,
二阶常系数线性非齐次微分方程特解的若干种求法
2009 , 9( 3): 74- 75. [ 2] 张 云燕 . 常系数非齐次线性微分方程的几个解法 [ J] . 黄 山学院学报 , 2004, ( 6): 8- 9. [ 3] 秦军 . 二阶常系数非齐次线性 微分方程特解的一些求法
,
[ J]. 皖 西学院学报 , 2005, 4( 2): 12- 13 . [ 4] 王春草 . 常数变易法求二阶常 系数线性微分方程的特解 [ J]. 杨 凌职业技术学院学报 , 2009, 12( 4): 22- 23. [ 5] 刘培进 . 二阶 常系 数线 性非 齐次 微分 方 程的 公式 解法 [ J]. 山 东师范 大学 学报 ( 自然 科学 版 ), 2002, 9( 3) : 70 - 71. [ 6] 王焕 . 求二阶和三阶常系数非 齐次线性微分方程特解的 一个公式 [ J]. 高等数学研究 , 2006, 5( 3) : 25- 27.
的 实部 函 数, 而 f2 ( x ) 可 以 被 看作 的复部函数, 于是类型 ∀ 也可转化为
程得 : # C 1 (x)xe + C 2 (x) e = 0 C 1 ( x ) ( e + x e ) + C 2 (x ) e = x e C 1 (x ) = x
2 x x x 2 x x x
2
1 4 x, 12 1 4x x e. 12
4
# 原方程的特解为: y = uv = 方法 7 : 积分法 ( 1) 特征方程为 # y =
x 2 [ 2]
=
1 4x x e. 12 方法 12: 降阶法
[ 2] 2 2 x
- 2 + 1= 0 , # ) ( f (x)
1
=
2
常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。
由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。
定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。
常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法
ｒ Ｉ
（ ｔ ０ ） ７ ７ ＋ （ ）
ｓ ： 。 聪 ｌ Ｌ ＋ Ｊ Ｉ ＋ 。 髑 Ｉ 卜 一 。 ｊ ｌ
…
Ｊｔ Ｏ
Ｊ
（ ） ｅ ｘ ｓ ） ｄ ｓ
（ ｓ ）＝ｅ ｘ ｐ ［ （
又
—
（ ｓ ）＝ ｅ ｘ ｐ （一 ｓ Ａ） ， （ ｔ ）
１ ２
都 存在 拉普 拉斯 变换 ． 利 用拉 普拉 斯变 换法 的求解 常 系数 非齐 次线性
微 分方 程组 的过 程类 似 于利用 拉普拉 斯 变换法 求 二
［ 】 ｅ ～ ， 其 中 ｑ ｌ ｌ ￣ ＇ ｑ ２ １ 为 待 定 系 数 ． 代 人 原 方 程 组 得
－
阶微分 方程 的解 的过 程 ， 下 面直 接通 过举 例说 明． 例 ２利 用拉普 拉 斯变换 法求 解例 １ ．
＝ ＝ ＋
ｃ ＝ ｅ 【 】 【 三 】 ＋ ｌ 二 Ｉ ｅ ＿ Ｉ
又 由初 值 条件 可 得 ｃ 。 ＝ ， ｃ ＝ １ ７
，
３
１
５
１
４ （ ｓ一３）
一
１ ６ ｓ＋ １
ｚ— １ １ ７ １
代 人 上 述
ｘ ２ （ ｓ ）
３ ｌ １ １
、
＋
４ （ ｓ一３）
１ ６ ｓ＇ ４ －１
取拉普 拉斯 逆变 换 即可得 原方 程组 的特解 为
『 。 （ ￡ ） ＝ ｅ ３ ‘ ＋ ３ ‘ 一 ５ ｅ — Ｉ
ｅ
Ｉ （ ） ＝ １ ７ ｅ ３ ‘ ＋ｔ ｅ ｔ ＿ １ ｅ
解法， 并对这四种解法分别进行 求解举例． 关键词 ：常数 变易法 ； 拉普拉斯变换法 ； 比较 系数法 ； 初 等解法
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题一、引言微分方程是数学中重要的一部分，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
在微分方程中，常系数非齐次线性微分方程是一类常见且重要的方程类型。
本文将介绍该类型微分方程的解法以及一些例题。
二、常系数非齐次线性微分方程的定义常系数非齐次线性微分方程可以表示为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
三、特征方程和齐次解对于常系数非齐次线性微分方程，首先求解相应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$我们可以得到对应的特征方程：$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$解特征方程可以得到两个不同的特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$。
根据特征根的不同情况，可以分为三种情况：1. 当特征根为实数且不相等时，齐次解可以表示为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。
2. 当特征根为实数且相等时，齐次解可以表示为：$$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。
3. 当特征根为复数时，齐次解可以表示为：$$y=e^{\alphax}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x)$$其中$\alpha$和$\beta$为实数，$c_1$和$c_2$为常数。
四、非齐次解下面我们来求解常系数非齐次线性微分方程的非齐次解。
1. 方法一：待定系数法若$f(x)$为多项式或指数函数时，可以采用待定系数法。
假设非齐次解为：$$y^*=P(x)Q(x)e^{\lambda x}$$其中$P(x)$和$Q(x)$为待定的多项式函数，$\lambda$为特征根。
2. 方法二：常数变易法若$f(x)$为三角函数或双曲函数时，可以采用常数变易法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常广东广州 华南师范大学（郑海珍20052201323 李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。
本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。
以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。
『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21t x t x t x n ，再设法求出方程（1）的一个特解)(~t x ，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1t x t x c t x ni i i +=∑=n i c i ,,2,1, =为任意常数。
一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。
下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。
首先给出本文常用符号：n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ为方程（1）的特征方程。
k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为k u u u ,,21。
)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。
一、 常数变易法 [ 1 ]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。
将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~t x 。
此法对于自由项)(t f 的形式没有限制，故使用范围较广。
但求解的工作量大。
二、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 [ 1 ]令 ,,,,)1(21-='==n nxx x x x x 则,,,,)1(13221n n n x x x x x x x x x =='=''='='='-- )()(121)2(2)1(1)(t f x p x p x p t f x p x p x p x x n n n n n n n n+----=+----=='---这时可写⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x x x 2121x ,x x ，则方程（1）等价于⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----='--f(t)00x x 12101000010p p p p n n n，记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=--)(00)(,01000010121t f p p p p n n nt F A ，写成F (t)Ax +='x ………………（2.1）那么，现在要求方程（1）的特解，只要知道方程组（2.1）所对应的线形方程组的基解矩阵)(t Φ及其特解)(t ϕ就可以求得。
若方程（1）满足0)(,,0)(0(0)1(00=='=-t xt x ，）t x n ，则其特解可由常数变易公式[][]ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t nk tt n n k k )()(,),(),()(,),(),()()(121210∑⎰=⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ϕ给出。
其中[])(,),(),(21s x s x s x W n 是)(),(),(21s x s x s x n 的朗斯基行列式，[][])(,),(),()(,),(),(2121s x s x s x W s x s x s x W n n k 是在中以第k 列代入()T1,0,,0,0 后得到的行列式。
三．比较系数法 [ 1 ]对于常系数非线性方程（1），我们更常用的是比较系数法，它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题，在自由项为[]t n t m e t t t p t f e t p t f ∂+==ββλsin )(p t cos )()()()(s 或，（其中)(),(),(t p t p t p s n m 分别为m 次，n 次，s 次多项式。
βαλ,,为实常数）时，可预见确定特解x ~的形式，即分别令)((,)(~t Q e t Q t x m t mk λ=为一待定m 次多项式，k 是方程（1）的特征方程有根λ时λ的次数）或[]t m m k e t t Q t t Q t x αββsin )(cos )(~)2()1(+=，（其中[])(),(.,max )2()1(t Q t Q s n m m m =位两个代定m 次项式，k 为方程含根t βα±的次数。
然后将其代入方程（1），并利用比较左右两边t 同次幂系数的方法确定代定系数多项式。
再根据线性微分方程解的结构定理就可求方程的通解。
四、简化待定系数法 [ 2 ]比较系数法只用了代数方法，不经过积分，相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握，有好记忆的优点。
但同学们在解题过程中也不难发现，比较系数法的计算量比较大，尤其当方程为高阶时，算起来相当麻烦，稍不小心就很容易出错。
下面介绍第四种方法——简化待定系数法，从而改进了原待定系数法。
现作如下介绍： 定理4.1 方程t m n n n n e t p x p x p x p x λ)()2(2)1(1)(=++++-- （2）其中λ,,,,21n p p p 为常数，)(t p m 为m 次多项式。
则可设方程（2）的一个特解t t k mm k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(~110=+++=-++ （4.2）其中).2,1,0(m i b i =是待定系数，由恒等式)()()(1)()(t p t Q t F j m j j m k =∑+=kj !……………………（4.3） 来确定，)(t F 为方程（2）的特征方程，k 为由特征方程0)(=λF 的根λ的重数（λ是单根时k=1，λ不是特征根时k=0）证明：设t t k mm k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(110=+++=-++ 为方程 （2）的解，则))()((t Q t Q e x t'+='λλ ))()(2)((2t Q t Q t Q e x t ''+'+='λλλ))()()()(()1(3212111)1(t Q t Q C t Q C t Q e x n n n n n t n ------++''+'+=λλλλ))())()()()(()()1(1221111)(t Q t QC t Q C t Q C t Q e x n n n nn n n n n t n +++''+'+=------λλλλλ将)(,,,n x x x x '''代入方程（2）的左端x p x p x p x n n n n ++++-- )2(2)1(1)(tn t n t n n n n n t n n n n n n n n n t e t Q p t Q t Q e p t Q t Q t Q e p t Q t Q C t Q e p t Q t QC t Q C t Q C t Q e λλλλλλλλλλλλλλ)())()(())()(2)(())()()(())())()()()((122)1(21111)()1(1221111+'++''+'+++++'++++''+'+=------------ tm n j t n n te t p j F t j Q j e F t Q n F t Q F t Q F t Q e λλλλλλλλ)())(())((!1)]()(!1)()(!21)()(!11)()([0)()(==++''+''+=∑=于是得到)()()(1)()(t p t Q t F j m j j m=∑=0j !……（4.4） 其中1)(!1),()(F 01,)()((0)2211==++++=--λλλλλλλn n n n nF n F p p p F ！记由于λ是F （λ）的k 重特征根，可得0)(,0)()()()()()1(≠===''='=-λλλλλk k F F F F F 而于是由（4.4）得（4.5）。
反之，如果对于方程（1）恒等式（4.5）成立，那么函数t e t Q x λ)(=是方程（1）当是它相应特征方程的k 重根时的特解。
当λ时，0)(a t p m =是特征方程的k 重根，则方程（1）有形如tk k e t F a x λλ)(~)(0=。
特例 对于方程t e a x p x p x λ021=+'+''<1>当λ不是特征方程时，有特解te F a x λλ)(~=<2>当λ是特征方程的单根时，有特解t te F a x λλ)(~'=<3>当λ时特征方程的重根时，有特解t e t F a x λλ20)(~''=当10)(a t a t p m +=，λ是特征方程的k 重根，则方程（1）有特解)()(,)()1(,)(~)()1(011)(00110λλλλk k k tkk F F b a b F k a b e t b tb x ++-=+=+= 而形如tn n n n e t t p t t p x p x p x p x λββ)sin )(cos )((21)2(2)1(1)(+=++++-- （)(),(21t p t p 分别为m 次和n 次多项式，β,∂为常数），则可利用Euler 公式化为指数形式，便得上述结果仍有效。