常系数非齐次线性微分方程的几种解法

常

广东广州 华南师范大学

（郑海珍20052201323 李璇20052201333）

『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它

在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。

『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；

『正文』：

常系数非齐次线性微分方程形如：

)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)

的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组

)(),(),(21t x t x t x n ，

再设法求出方程（1）的一个特解

)

(~t x ，则方程（1）的通解易得为

),(~)()(1

t x t x c t x n

i i i +=∑=

n i c i ,,2,1, =为任意常数。一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容

易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。下面将一一介绍几种求方程(1)

的特解的方法。

首先给出本文常用符号：

n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ

为方程（1）的特征方程。k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为

k u u u ,,21。)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。

一、 常数变易法 [ 1 ]

可设方程（1）的特解形如：

)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）

其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21

)1(1)2(2)2(21

)2(122

112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n

………………（*）

解方程组（*）得到)(,),(),(21

t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解

)(~t x 。

此法对于自由项)(t f 的形式没有限制，故使用范围较广。但求解的工作量

大。

二、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 [ 1 ]

令 ,

,,,)

1(21-='==n n

x

x x x x x 则

,,,,)1(13221

n n n x x x x x x x x x =='=''='='='-- )

()(121)2(2)1(1)(t f x p x p x p t f x p x p x p x x n n n n n n n n

+----=+----=='---

这时可写⎥

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x x x 21

21x ,x x ，则方程（1）等价于

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----='--f(t)00

x x 12

1

01000010

p p p p n n n

，记

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----=--)(00)(,01000010

12

1

t f p p p p n n n

t F A ，写成F (t)Ax +='x ……

…………（2.1）

那么，现在要求方程（1）的特解，只要知道方程组（2.1）所对应的线形方程组的基解矩阵)(t Φ及其特解)(t ϕ就可以求得。

若方程（1）满足0)(,,0)(0(0)

1(00=='=-t x

t x ，）t x n ，则其特解可由

常数变易公式[][]ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t n

k t

t n n k k )()(,),(),()(,),(),()()(121210∑⎰=⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧= ϕ给出。其中[])(,),(),(21s x s x s x W n 是)(),(),(21s x s x s x n 的朗斯基行列式，

[][])(,),(),()(,),(),(2121s x s x s x W s x s x s x W n n k 是在中以第k 列代

入

()

T

1,0,,0,0 后得到的行列式。

三．比较系数法 [ 1 ]

对于常系数非线性方程（1），我们更常用的是比较系数法，它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题，在自由项为

[]t n t m e t t t p t f e t p t f ∂+==ββλsin )(p t cos )()()()(s 或，

（其中

)(),(),(t p t p t p s n m 分别为m 次，n 次，s 次多项式。βαλ,,为