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第四讲函数的概念与表示

一．知识归纳：

1．映射

（ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个

元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。

（ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。

注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。

2．函数

（ 1）函数的定义

①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。

②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。

注意：①C B; ② A,B,C 均非空

（ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域

3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法

注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。

二．例题讲解：

【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（）

(A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)=

a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x

(C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3

解答：选D

点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。

变式：下列各对函数中，相同的是（ D ）

(A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx

(C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1

, g(x)=

v

x 1 u 1

【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。

（ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集

合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。

解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6

精选

或 7），第二步 A 中的元素 4 也有 3 种对应方法，故不同的映射个数有

3× 3=9 个；反之从

B 到 A ，道理相同，有 2× 2× 2=8 个。

（ 2）原象是 4。

点评： 计算映射的个数问题一定要先搞清每个元素可对应的方法数，分步进行。

变式 1：已知集合 M={1,2,3,m},N={4,7,n

4,n 2

+3n},m,n ∈ N * ,映射 f ： x → y=3x+1, 是从 M 到 N 的一个函数，则 m,n 的值分别为（ B ）

（ A ）2，5 （B ）5，2 （C ）3，6

（D ）6，3

变式 2：已知函数 y=f(x), (x ∈ [a,b]), 那么集合 {(x,y)|y=f(x),

x ∈ [a,b]} ∩ {(x,y)|x=2} 中所

含元素的个数是（

）

(A) 1

(B) 0

(C)0 或 1

(D)1 或 2

分析：本题首先要理解两个集合的意义， 这里实际上是函数

y=f(x), (x ∈ [a,b]) 的图象与

直线 x=2 的交点的个数，显然当 2∈ [a,b] 时由函数定义交点个数为

1，当 2 [a,b] 时由函数

定义交点个数为 0。故选 C 。

点评：函数的三要素中定义域和对应法则决定值域，

对应法则是核心， 它必须符合 “任

一”、“唯一”的要求。

【例 3】已知 f(x)=2x - 1,g(x)=

x 2 x 0

1 x

,求 f[g(x)],g[f(x)]

2 x 2

1 x 0

(2x 1) 2 x

1 解答： f[g(x)]=

， g[f(x)]=

2

3 x 0

1

x

1

2

点评： 了解函数符号的意义，理解相互之间的关系；若函数

f(x) 的定义域为 A ，则当

f[g(x)] 中的 g(x) ∈ A 时， f[g(x)] 才有意义，因而求

f[g(x)] 时，必须考虑 g(x) ∈ A 。

1

x ( ,0)

，求 f(x+1).

变式： 已知 f(x)= x

x 2

x [0,

)

1 x

(

,

1)

解答： f(x+1)=

x 1

(x 1) 2 x

[ 1,

)

【例 4】 (1)已知函数 f(1 -cos x)=sin 2x ，求 f(x);

(2) 已知 3f(x)+5f(

1 )=2x+1 ，求 f(x)

x

解答： (1) 令 1- cosx=t(0 ≤t ≤,则2) cosx=1- t,

∴ f(1-cos x)=f(t)=sin 2x=1 - cos 2x=1 - (1- t)2=- t 2+2t,故 f(x)= - x 2+2x ( 0≤x ≤2)

（ 2）由 3f(x)+5f( 1 )=2x+1 得 3f( 1 )+5f(x)= 2 +1，联立解得 f (x)

5 3x

1

x

x

x

8x 8 8

点评： 函数 f(x) 的含义抽象，在函数的定义域与对应法则f 不变的条件下，可以变换

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