函数的概念与表示复习讲义与习题.doc

合集下载

专题3.1 函数概念及其表示(解析版)

专题3.1函数概念及其表示【知识储备】1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．必备技巧函数的概念(1)函数的定义要求第一个非空数集A 中的任何一个元素在第二个非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.一、单选题1．若函数()y f x =的定义域M ＝{x |22x -≤≤}，值域为N ＝{y |02y ≤≤}，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，故错误；C 中图象不表示函数关系，因为存在一个x 对应两个y ，不满足函数定义；D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}.只有B 中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.2．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有()个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】由函数的定义知，①不能表示集合M 到N 的函数关系，因为图中y 的范围是[0，2]；②不能表示集合M 到N 的函数关系，因为图中y 的范围是[0，2]；③不能表示集合M 到N 的函数关系，因为对于一个x ，可能有两个y 值与之对应；④能表示集合M 到N 的函数关系.故满足题意的有④，共1个.故选：A.3．函数y =13x -的定义域为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C【解析】要使函数y =＋13x -有意义，则所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =＋13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞).故选：C.4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．2()1x xf x x +=+与()1g x x =-B ．()2f x x =与()g x =C ．()f x =()2g x =D ．y =y =【答案】B【解析】A 中，()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，()g x 的定义域为R ，故A 错误；B 中，()2()g x x f x ==，B 正确；C 中，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0,)+∞，故C 错误；D 中，y =[1,)+∞，由210x -≥可得y =(,1][1,)∞∞--⋃+，D 错误.故选：B5．已知函数()f x 与x 的值对应如下表，x 123456()f x 51015202530那么函数()y f x =的定义域为（）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}15,20,25,30C ．{}1,2,3,4D ．{}4,5,6【答案】A【解析】由题意知：函数()y f x =的定义域为{}1,2,3,4,5,6.故选：A.6．下列关于函数与区间的说法正确的是（）A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【答案】D【解析】对于A ，函数的定义域和值域均为非空数集，A 错误；对于B ，若函数的定义域和值域均为R ，对应法则可以是y x =，也可以是2y x =，B 错误；对于C ，自然数集无法用区间表示，C 错误；对于D ，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D 正确.故选：D.7．已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20【答案】B【解析】()1=10+=10.11010f ，()1=10+=10.01101f ----则()()10.110.110010f f -=-+=+故选：B8．已知函数32231f x x x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，则()2f -等于（）A ．4-B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】由题意，函数32231f x x x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，令221x =--，解得0x =，令0x =，可得()20f -=.故选：D.9．已知函数()()()F x f x g x =+，其中()f x 是x 的正比例函数，()g x 是x 的反比例函数，且119,(1)93F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则(2)F =（）A ．3B ．8C ．9D ．16【答案】C【解析】根据题意设(),()mf x kxg x x ==，则()()()m F x f x g x kx x=+=+，因为119,(1)93F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以131939k m k m ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得36k m =⎧⎨=⎩，所以6()3F x x x =+，所以6(2)3292F =⨯+=，故选：C10．已知t R ∈，函数()2,23,2x f x x t x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若((9))4=f f ，则t =（）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】B【解析】因为()921f ==，所以()1134422f t t =-+=⇒=-=，故选：B11．函数()21xy x e =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 由题意，函数()()21x f x x e =-，因为()10f =，即函数()f x 的图象过点(1,0)，可排除A 、B 项；又因为2(2)30f e --=>，可排除D 项，故选：C.12．设函数221,1()3,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．1516B ．89C ．2716-D ．18【答案】B【解析】22111118()()1()1(2)2233399f f f f ⎛⎫===-=-= ⎪+-⎝⎭，故选：B 13．某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用(10,6)和(11,7)表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数()f x ，使得这些点都在()f x 的图象上，若(4)1f =，则下列叙述正确的是（）A ．该月12日是星期二，有五天是星期二B ．该月12日是星期一，有四天是星期二C ．该月23日是星期六，有五天是星期六D ．该月23日是星期二，有四天是星期二【来源】安徽省阜阳市2021-2022学年高三上学期期末教学质量统测文科数学试题【答案】C【解析】由题意及(4)1f =可知，7月4日是星期一，列表如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日12345678910111213141516171819202122232425262728293031可知选项C 正确.故选：C.14．设函数，若()()()20f f a f a -+=，则实数a 的值为（）A1B ．1-C 1D ．1+【答案】B【解析】令()f a t =，()()()20f f a f a -+=，则()2f t t =-1°0t ≤时，222t t t +=-，则220t t ++=无解．2°0t >时，22t t -=-，∴1t =，∴()1f a =0a ≤时，221a a +=，则1a =；0a >时，21a -=无解综上：1a =.故选：B ．15．已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．516C ．6D ．172【答案】A【解析】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，当02a <<时，()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得4a =-或1a =，当2a ≥时，()28228a a -+=-++，无解，综上：1a =，所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A16．设函数()()22230x a x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，，，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是()A ．[﹣1，2]B ．()1,2-C ．[)0,2D ．[0，2]【答案】D【解析】由题意，不妨设2()()g x x a =-，2()23h x x x a =-++，①当0a <时，由一元二次函数的性质可知，2()()g x x a =-在[,0]a 上单调递增，故对于[,0]x a ∀∈，()()(0)(0)f x g x g f =<=，这与(0)f 是函数()f x 的最小值矛盾；②当0a =时，2()g x x =，22()23(1)2h x x x x =-+=-+，由一元二次函数的性质可知，2()g x x =在(,0]-∞单调递减，故对于(,0]x ∀∈-∞，()()(0)(0)0f x g x g f =>==，当0x >时，22()()23(1)2f x h x x x x ==-+=-+在1x =时取得最小值2，从而当0a =时，满足(0)f 是函数()f x 的最小值；③当0a >时，由一元二次函数性质，2()()g x x a =-在(,0]-∞上单调递减，故对于(,0]x ∀∈-∞，2()()(0)(0)f x g x g f a =>==，当0x >时，22()()23(1)2f x h x x x x a ==-+=-++在1x =时取得最小值2a +，若使(0)f 是函数()f x 的最小值，只需22a a ≤+且0a >，解得，02a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是[0,2].故选：D.17．已知函数()()1,1,,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意可知()f x 在区间(],1-∞上是增函数，在区间()1,+∞上是减函数，且最大值在1x =处取得则01,10,1,a a a a <<⎧⎪->⎨⎪-≥⎩∴102a <≤.故选：D18．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2023)f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．336B ．338C ．337D ．339【答案】B【解析】：因为当13x -< 时，()f x x =，所以(0)0f =，f （1）1=，f （2）2=，又因为()()6f x f x +=，所以函数的周期为6，f （6）(0)0f ==，当31x -<- 时，2()(2)f x x =-+，所以f （3）(3)1f =-=-，f （4）(2)0f =-=，f （5）(1)1f =-=-，所以f （1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）f +（6）1=，故f （1）f +（2）f +（3）()()()()()()()(2023)337123456f f f f f f f f +⋯+=++++++（1）338=．故选：B ．19．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+【答案】B 【解析】令()111t t x=+≠，则可得11x t =-()1t ¹所以()()211111t f t t t t +=+=-≠-，所以()()111xf x x x +-≠=故选：B 20．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-【答案】C【解析】作出()y f x =，y ax =在[]1,1-上的图象如下图所示：因为()f x ax 在[]1,1x ∈-上恒成立，所以()y f x =的图象在y ax =的图象的上方（可以部分点重合），且()1121f -=-=，令320x -=，所以23x =，所以()21,1,,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据图象可知：当y ax =经过点()1,1A -时，a 有最小值，min 1a =-，当y ax =经过点2,03B ⎛⎫⎪⎝⎭时，a 有最大值，max 0a =，综上可知a 的取值范围是[]1,0-，故选：C.二、填空题21．已知函数()f x 对于任意的正实数x ，y 满足()()()f xy f x f y =+，且()31f =，则()81f =______．【答案】4【解析】由题可知()()()9332f f f =+=，()()()81994f f f =+=．故答案为：4.22．函数22()1x f x x =+，则11(1)(2)(3)(2012)23f f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_______．【答案】40232或2011.5【解析】∵2222222111()()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=++=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且1(1)2f =∴1114023(1)(2)(3)(2012)2320122f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：40232．23．已知函数()25,24,2x x f x x m x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩．若[5f f =，则m =______．【答案】3【解析】由已知752f =-=．((2)25f f f m ==+=，3m =，故答案为：3．24．设函数()()11010(2)x x x xf x ⎧⎪-=≥⎨<⎪⎪⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为_____．【答案】1-【解析】由题意知，()f a a =；当0a ≥时，有112a a -=，解得2a =-(舍去)；当0a <时，有1a a=，解得1a =(舍去)或1a =-．所以实数a 的值是：1a =-．故答案为：1-.25．已知函数()()31,11)x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((4))f f =_____.【答案】98或1.125【解析】∵()()31,11)x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()142f ∴=，因此，()()311941228f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：98.26．已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,2-，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________.【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题【答案】[]0,6【解析】函数(21)y f x =+的定义域为[]12-，，即12x -≤≤，所以1215x -≤+≤，所以115x -≤-≤，即06x ≤≤，所以函数的定义域为[]0,6.故答案为：[]0,6.27．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,4)【解析】()f x 的定义域是R ，则210ax ax ++>恒成立，0a =时，2110ax ax ++=>恒成立，0a ≠时，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，04a ≤<．故答案为：[0,4)．28．函数()2291163,12x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，，若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[2,4]【解析】当1x >时，21632x a x +-28833312222x a a a x x =++-≥=-，当且仅当28x x=即2x =时取等号，函数()2291163,12x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，，若()()1f x f ≥恒成立，则()()1221a f f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即12312102a a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得24a ≤≤，故答案为：[2,4].29．若方程()()(]2,,21,,x x t f x x x t ∞∞⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，若方程()3f x =无解，则实数t 的取值范围是______．2t ≤<【解析】当t =x t ≤时，()2113f x x =-≤<，当x t >时，方程()223f x x t =>=，方程()3f x =无解,当2t ≥时，x t ≤时，()2121f x x t =-≤-，方程()3f x =有解2x =,不符合题意.当t <时，x t ≤时，()212113f x x t =-≤-<-<,()3f x =无解，当x t >时，方程()22,f x x t x =>=时，方程()3f x =有解,不符合题意.2t <<时，x t ≤时，()21213f x x t =-≤-<,()3f x =无解，当x t >时，方程()223f x x t =>>时，方程()3f x =无解.综上，方程()3f x =无解，则实数t2t ≤<.2t ≤<30．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(),3,33,313,3313,3333x a a x a x a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <，又0a >，所以108a <<.故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭。

函数的概念及其表示方法知识点及题型总结

函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R;2．反比例函xk x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.变式：求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例2 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f【抽象函数定义域的求法】例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域二、函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。

函数概念及其表示(知识点总结、例题分类讲解)

龙文教育教师1对1个性化教案教导处签字：日期：年月日函数及其表示【要点回顾】函数的概念 1.函数的概念定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意x ，在集合B 中都有唯一的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 .2.函数的定义域与值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3.区间的概念4.判断对应是否为函数5.定义域的求法6.函数值域的求法7.复合函数（抽象函数）定义域的求法函数的表示法1．函数的三种表示法图象法、列表法、解析法2．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

3.映射的概念设B A 、是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则.【例题讲解】考点一：函数与映射概念考查例1 判断下列图象能表示函数图象的是（）练习1：函数()y f x =的图象与直线x = a 的交点个数（）A.只有一个B.至多有一个C.至少有一个D.0个练习2：下述两个个对应是A 到B 的映射吗？（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=(A) x y 0 xy 0练习3：下列是映射的是（）图1图2 图3图4 图5(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.例2 指出下列各函数中，哪个与函数y x =是同一个函数：（1）2x y x=；（2）2y x = （3）s t =．练习1：判定下列各组函数是否为同一个函数：（1）()f x x =， 33()f x x （2）()1f x x =+，21()1x f x x -=-练习2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(x x f =，33)(x x g =；（2）x xx f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g （3）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；（4）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；考点二：函数定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.例１求下列函数的定义域：（１）()11f x x =+；（２）()f x =例2 设()213x f x -=，求()0f ，()2f ，()5f -，()f b ．练习1：函数()13f x x =-的定义域为（）A ．[)(]22+∞-∞-，，B ．[)()2,33+∞，C ．(][)()22,33-∞-+∞，，D ．(]2-∞-，练习2：函数xx x x f -+=0)1()(的定义域是（）A.{}0|<x xB. {}0|>x xC. {}10|-≠<x x x 且D. {}10|-≠≠x x x 且题型2：求复合函数和抽象函数的定义域（选讲） 1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意数 x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”，用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的；当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =，当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

3.1 函数的概念及其表示(学生版)

第三章《函数概念与性质》3.1函数的概念及其表示【知识梳理】知识点一函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间概念(a ，b 为实数，且a<b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ]2．其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )知识点四函数的表示方法知识点五分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【基础自测】1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．22．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1D．f(x)＝3x＋43．函数y＝x1＋x的大致图象是()4．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为________．5．已知f (n )－3，n ≥10，n ＋5)，n <10，则f (8)＝________.【例题详解】一、函数关系的判断例1(1)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（）①()3y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -≤⎧=⎨+≥⎩；④1,0,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)设{|04}M x x =≤≤，{|40}N y y =-≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练1下列对应中：（1）x y →，其中{}21,1,2,3,4y x x =+∈，{}10,y x x x N ∈<∈；（2）x y →，其中2y x =，[)0,x ∈+∞，R y ∈；（3）x y →，其中y 为不大于x 的最大整数，x R ∈，y Z ∈；（4）x y →，其中1y x =-，*x ∈N ，*y N ∈.其中，是函数的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（3）（4）二、求函数的定义域、函数值命题角度1求函数的定义域例2(1)函数y =）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．][(),31,-∞-⋃+∞D ．][(),13,∞∞--⋃+(2)已知函数()1f x +的定义域为[1,7]，则函数()(2)h x f x =）A ．[4,16]B ．(,1][3,)-∞⋃+∞C ．[1,3]D ．[3,4]跟踪训练2(1)函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞B ．(,3)(3,3)-∞--C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞(2)已知函数()f x ，则函数()()13y f x f x =--的定义域为（）A ．()2,11B ．()2,13C ．()2,15D ．()4,11命题角度2求函数值例3(1)已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20(2)已知2211x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则(3)f =_________．跟踪训练3(1)已知定义域为R 的函数()23f x x =-，()3g x x =，则()()1f g -=________.(2)已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=（）A ．4-B ．2-C ．2D ．0三、同一个函数的判定例4(1)下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩B ．()f x =()g x x=C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()f x =，()g x 跟踪训练4和函数2()f x x =是同一函数的是（）A ．2()(1)f x x =+B ．()f x x =C ．3()x f x x=D ．(){,0,(0)()x x x x x x f x -≤>=四、求函数解析式命题角度1换元法例5(1)已知1111f x x⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x =________________．(2)若函数11x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x =____________．跟踪训练5(1)已知21,1x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求()f x =____________．(2)已知()21232f x x x +=++，求()f x 的解析式．命题角度2配凑法例6(1)若1)f x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()f x x x =-B ．2()1(0)f x x x =-≥C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()f x x x=+(2)已知3311()f x x x x+=+，则()f x =_____.(3)已知f (x －1x )＝x 2＋21x ，则f （x +1x）＝________.跟踪训练6(1)已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x .(2)已知22111(x x f x x x++=+，求()f x 的解析式.命题角度3待定系数法例7(1)已知f （x ）是一次函数，且满足()()3121217f x f x x +--=+，求f （x ）.(2)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解析式.跟踪训练7(1)已知()f x 是一次函数，且()332f x x -=-，求()f x ．(2)已知一次函数()f x 满足()()312237f x f x x =+--+，求函数()f x 的解析式．(3)已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+=+，求函数()f x 的解析式．命题角度4构造方程组法例8(1)若函数()f x 满足()1221f x f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()2f =（）A ．13-B ．23C ．83D ．12(2)已知()f x 满足()()23f x f x x +-=，求()f x 的解析式.跟踪训练8(1)已知()1221f x f x x ⎛⎫⎪⎝=⎭+-+，求函数()f x 的解析式．(2)已知2()2()f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式.五、函数的图象例9作出下列函数的图象.(1)1({21012})y x x =-∈--,,,,；(2)211x y x +=-；(3)2|2|1y x x =-+．(4)已知函数()22,23,2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩.(i)在所给坐标系中作出()y f x =的简图；(ii)解不等式()12f x <.跟踪训练9作出函数()|2||5|f x x x =+--的图像．六、分段函数求值例10(1)已知函数()21,0x x f x x ⎧-≤⎪=>，若()3f a =，则a 的值为（）AB ．2C ．9D ．-2或9(2)已知函数()f x 的解析式22,1(),122,2x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，(i)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(ii)若()2f a =，求a 的值；跟踪训练10(1)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．2(2)已知函数()223,11,1111,1x x f x x x x x⎧⎪+<-⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩.(i)求((2))f f -的值；(ii)若()032f x =，求0x 的值.七、解分段函数不等式例11(1)已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,00,2-⋃D ．()()2,02,-+∞ (2)设函数()22,,,.x x a f x x x a ⎧<=⎨≥⎩若()11>f ，则a 的取值范围为______．跟踪训练11(1)已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩,则使得()1f x ≥的x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．()1,1-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞(2)已知函数242,1()23,1x x x f x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则满足不等式()()21f a f a <+的a 的取值范围是___________.八、分段函数的实际应用例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产()*Nx x ∈百台，需另投入生产成本()R x 万元．当年产量不足46百台时，()23260R x x x =+；当年产量不小于46百台时，()4900501483020R x x x =+-+．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量x （百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．跟踪训练12电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x 万件该电子元件，需另投入成本()f x 万元，且2132,04,4()64938,420.x x x f x x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完．(1)求该电子厂这种电子元件的利润y （万元）与生产量x （万件）的函数关系式；(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值．【课堂巩固】1．（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是（）A ．B ．C ．D ．2．（多选）下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（）A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数3．若函数()f x =()21f x -的定义域为（）A ．()0,2B ．[)(]2,00,2-U C ．[]22-,D ．[]0,24．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()f x x =与()g x =B ．()1f x x =+与()211x g x x -=-C ．()xfx x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()1f t t =-与()1g x x =-5．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是（）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞- 6．（多选）下列选项中正确的有（）A ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数B ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-≤⎩表示同一函数C ．函数()y f x =的图象与直线2x =的交点最多有1个D ．若()|||1|f x x x =--，则102f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．（多选）已知函数25,1(),12x x f x x x +<-⎧=⎨-<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．()11f -=D ．若()3f x =，则x8．（多选）已知函数()35,0,1,0,x x f x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若()()2f f a =，则实数a 的值为（）A ．2-B ．43-C ．-1D ．19．求函数()f x +=______________________10．已知函数()f x 是一次函数且(())2()2f f x f x x +=--，则函数()f x 的解析式为_________．11．若()211f x x -=+，则()0f =____________，()f x =_____________.12．已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.14．已知函数()(4),f x x x x R =-∈.（1）把函数()f x 写成分段函数的形式；（2）在给定的坐标系内作函数()f x 的图象.15．已知函数()2,0,2,0,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩解不等式2()f x x ≤16．已知函数f (x )＝222x x x +⎧⎪⎨⎪⎩(1)(12)(2)x x x ≤--<<≥(1)求{}f f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)求()3f a =，求a 的值；(3)画出函数的图像．【课时作业】1．下列函数中，相同的一组是（）A．y =2y =B．y =，y =C ．21y x =+，4211x y x -=-D ．21y x =-，4211x y x -=+2．已知函数)22f x +=+，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．2C ．1D ．03．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+4．已知一次函数()f x 满足(2)2(21)94f x f x x +-+=--，则()f x 解折式为（）A ．()24f x x =--B ．()23f x x =-+C ．()34=+f x x D ．()32f x x =-+5．一次函数()f x 满足：()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=，则()1f =()A ．1B ．2C ．3D ．56．设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（）.A ．1BC．D ．327．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（）A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋38．已知函数2,(){2,0x x f x x x +≤=-+>，则不等式2()f x x ≥的解集是（）A ．[1,1]-B ．[2,2]-C ．[2,1]-D ．[1,2]-9．（多选）若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是（）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()()2411f x x x =≠-D ．()221411x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-（0x ≠且1x ≠）10．（多选）已知函数2+2,<1()=+3,1x x f x x x -≥⎧⎨⎩，则（）A ．3f f ⎡⎤=⎣⎦B ．若()1f x =-，则=2x 或3x =-C ．()2f x <的解集为()(),01,-∞⋃+∞D ．x ∀∈R ，()a f x >，则3a ≥11．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()g x f x =______．12．已知集合0|A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，2|0,1x B x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，则A B = ________.13．已知()()()22112,0x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________14．若一次函数()f x 满足：对任意x 都有()()221221xf x f x x x ++=++，则()f x 的解析式为______________．15．已知函数24,0(),0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，若()4f m =，则m =___________．16．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________．17．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.18．已知()1,11x x f xx +≤⎧⎪=>，若()()1f x f x >+，则x 的取值范围是___________.19．求下列函数的定义域(1)y ；(2)y =(3)y x x=-（0a >）.20．根据下列条件，求()f x 的解析式.(1)已知)225fx =+(2)已知()()2232f x f x x x+-=-(3)已知()f x 是二次函数，且满足()()()01,12f f x f x x=+-=21．已知函数()()211x x f x x -=-；(1)作出该函数的图象；(2)写出该函数的值域．22．已知函数()21,02,036,3x x f x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩(1)求()()1f f 的值；(2)若()2f a =，求a 的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数()f x 的定义域和值域．。

函数的概念、图象和性质 Word版含解析

2.1函数的概念、图象和性质命题角度1函数的概念及其表示高考真题体验·对方向1.(2017山东·1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)2.(2014江西·3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1新题演练提能·刷高分1.(2018北京西城期中)函数f(x)=的定义域是()A. B.C. D.2.(2018湖南邵阳期末)设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为()A. B. C. D.3.(2018陕西西安一中模拟)若函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)的解析式在下列四式中只有可能是()A.f(x)=B.f(x)=x+C.f(x)=2-xD.f(x)=lo x4.(2018广东深圳模拟)函数y=的值域为()A.,+∞B.-∞,C.0,D.(0,2]5.(2018河南南阳模拟)已知f(1-cos x)=sin2x,则f(x2)的解析式为.6.(2018北京西城期末)已知函数f(x)=若c=0,则f(x)的值域是;若f(x)的值域是-,2,则实数c的取值范围是.命题角度2函数的性质及其应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.502.(2017全国Ⅰ·5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]3.(2017北京·5)已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数4.(2016山东·9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.25.(2016全国Ⅲ·15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.6.(2016天津·13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)设m∈R,则“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x”为偶函数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2018重庆二诊)已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(2+x)=f(-x),且f(1)=2,则f(2 018)+f(2 019)的值为()A.-2B.0C.2D.43.(2018山东烟台一模)定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则使得f(x)>f(x2-2x+2)成立的x的取值范围是()A.(1,2)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)D.(2,+∞)4.(2018河北石家庄一模)已知f(x)是定义在[-2b,1+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≤f(2x)的解集为()A.-1,B.-1,C.-1,1D.,15.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=,实数a,b满足不等式f(2a+b)+f(4-3b)>0,则下列不等式恒成立的是()A.b-a<2B.a+2b>2C.b-a>2D.a+2b<26.(2018山西太原一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=4x2+2,设g(x)=f(x)-2x2,若g(x)的最大值和最小值分别为M和m,则M+m=()A.1B.2C.3D.47.(2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考)已知实数a>0,a≠1,函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是.命题角度3函数图象的识别与应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·3)函数f(x)=的图像大致为()2.(2018全国Ⅲ·7)函数y=-x4+x2+2的图像大致为()3.(2017山东·10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)4.(2016全国Ⅰ·7)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()新题演练提能·刷高分1.(2018山东烟台期末)函数y=x2-cos x的图象大致为()2.(2018福建厦门第一次质检)已知函数f(x)的图象如图所示,则该函数的解析式可能是()A.f(x)=B.f(x)=e x ln|x|C.f(x)=D.f(x)=(x-1)ln|x|3.(2018山东济南一模)函数y=的图象大致为()4.(2018东北三省三校一模)函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是()5.(2018青海西宁一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cos πx|在-上的所有实数解之和为()A.-7B.-6C.-3D.-1命题角度4函数与方程高考真题体验·对方向1.(2014北京·6)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)2.(2015湖南·15)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.新题演练提能·刷高分1.(2018河南濮阳一模)函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)2.(2018青海西宁一模)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则函数g(x)=f(x)-|lg x|在x∈(0,10)上的零点个数为()A.11B.10C.9D.83.(2018北京城六区一模)已知函数f(x)=(1)当m=0时,函数f(x)的零点个数为;(2)如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为.4.(2018广东惠州4月模拟)已知函数f(x)对任意的x∈R,都有f+x=f-x,函数f(x+1)是奇函数,当-≤x≤时,f(x)=2x,则方程f(x)=-在区间[-3,5]内的所有零点之和为.。

函数的概念及相关典型例题

函数的概念及相关典型例题一、知识点1、函数的定义：给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就把对应关系f 叫做定义在集合A 上的函数，记作B A f →:，或)(x f y =，x ∈A 。

习惯上我们称y 是x 的函数。

2、函数的三要素：①、定义域：x 取值的集合A 叫做函数的定义域，也就是自变量 x 的取值围；②、对应关系（对应法则）：对应关系f 是核心，它是对自变量x 进行“操作”的“程序”，是连接x 与y 的纽带。

③、值域：就是函数值的集合，{}A x x f ∈|)(。

A BB A f →:对应关系定义域A 值域{}A x x f ∈|)( 3、常见函数的定义域和值域①．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;②．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠y y ; ③．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24、相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数。

（与表示自变量的字母无关，例如：12)(+=t t f 与12)(+=x x f 表示同一函数。

）5、复合函数：如果函数y =)(t f 的定义域为A ，函数t=g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C=A 时，称函数y =))((x g f 为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g (x )叫函数，y =)(t f 叫外函数。

（函数的值域等于外函数的定义域）6、区间。

定义名称符号数轴表示{x|a ≤x ≤b} 闭区间 [a ，b] {x|a<x<b} 开区间 (a ，b){x|a ≤x<b} 左闭右开区间 [a ，b ）{x|a<x ≤b}左开右闭区间(a ，b]这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b ，R 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b),(-∞，+∞）。

函数的定义及表示方法(知识点+例题+习题)精编word版

一、函数的定义及表示方法1．函数的概念（1）定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =，x A ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．注意：①给x 一个值，只能得出一个y ，如2y x =是函数，2y x =就不是函数；②判断一个图像是否为函数图像，即观察直线x a =是否与图像至多有一个交点； ③函数三要素：定义域，值域，对应关系．（2）函数的表示方法：设{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是（）A B C D2．函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．区间的概念（1）一般区间的表示（a ，b 为实数，且a b <）（2）特殊区间的表示注意：函数的定义域和值域必须写成集合或者区间的形式．4．分段函数定义：在()y f x =的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数．例如：223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩．注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，在定义域内不同的区间上有不同的对应法则，值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．5．映射设A，B是非空的集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在→为从集合A到集合B的一个映集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称:f A B射．→而言，集合A和B可以是任何元素的集合，函数即为数的映射．注意：对映射:f A B解析：a ，b ，c 各有2种对应方法，故总数为2228⨯⨯=种映射．练习题：设{|02}A x x =≤≤，{|12}B y y =≤≤，下列图形表示A 到B 的函数的图像的是（）A B C D函数||xy xx=+的图像是（）A B C D下列是从集合A到集合B的映射的是（）A B C D答案解析：11解析：当0a≥时，()222af a=-=，解得2a=当0a<时，2()32f a a=-+=，解得1a=±，又0a<，则1a=-综上2a=或1a=-时都成立．答案：1-或212解析：去绝对值化为1,(0)1,(0)x xyx x+>⎧=⎨-<⎩，观察可知D正确．答案：D13解析：根据映射的定义，集合A中的元素对应过去，有且只能有集合B中的元素与之对应，A和C选项中中出现了一对多的情况，B选项中有没有对应的情况，只有D符合定义．答案：D14解析：A中每个元素的对应方式有3种，A中有5个元素根据分布计数原理，总映射数为33333243⨯⨯⨯⨯=．答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。

最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题(汇编)

函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。

如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为 822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。

函数的概念及其表示知识详解加例题训练

函数的概念一、考点聚焦1．函数的定义函数概念的理解需注意以下几点：①A 、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。

②在现代定义中，B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 中称为实数集到实数集的函数。

③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。

④函数符号)(x f 的含义：)(x f 是表示一个整体，一个函数，而记号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算），如.32)(2+-=x x x f 当2=x 时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x 为某一个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x 都用同一个代数式（或函数记号）代替，如3)(2)]([)]([,3)12(2)12()12(22+-=+---=-x g x g x g f x x x d 等，)(a f 与)(x f 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。

2．函数的定义域求函数定义域的一般原则是：①如果)(x f 为整式，其定义域为实数集R ；②如果)(x f 为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果)(x f 是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0的实数集合； ④如果x f ()是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤0)(x x f =的定义域是}.0|{≠∈x R x⑥如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义； ⑦不给出解析式，已知)(x f 的定义域为A x ∈，则)]([x g f 的定义域是求使A x g ∈)(的x 的取值范围；已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域是求)(x g 在A 上的值域。

3．函数的对应法则)(x f 与)(a f 的区别与联系：)(a f 表示当a x =时函数)(x f 的值，是一个常量，而)(x f 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量，)(a f 是)(x f 的一个特殊值。

第6讲函数的概念及其表示(解析版)

第6讲函数的概念及其表示一、基础知识1.函数的基本概念(1)函数的定义一般地,给定两个A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的,在集合B中都有的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作,x∈A.(2)函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,范围(即数集A)称为这个函数的,组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.2.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.3.分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的,则称其为分段函数.1.(1)非空实数集每一个实数x 唯一确定y=f(x)(2)定义域值域自变量取值的定义域所有函数值2.解析法图象法列表法3.对应关系二、常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=log a x(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tan x的定义域为x x≠kπ+π,k∈Z.22.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-b2,4a.+∞;当a<0时,值域为-∞,4ac-b24a(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(3)y=kx(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.三、分类训练探究点一函数的定义域角度1求给定解析式的函数的定义域的定义域是()例1 (1) 函数y=√-x2+3x+4lnxA.(0,1)∪(1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(0,1)∪[4,+∞)(2)函数f(x)=√x+1+(2-x)0的定义域为 .[总结反思](1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的,则定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.例1 [思路点拨] (1)根据偶次根式下被开方数非负、分母不为零、对数的真数大于零列不等式组求解,即得结果;(2)根据偶次根式下的代数式不小于0、零次幂的底数不为0列不等式组求解即可.(1)A (2){x|x ≥-1且x ≠2} [解析] (1)由题意得{-x 2+3x +4≥0,lnx ≠0,x >0,∴{-1≤x ≤4,x ≠1,x >0,∴x ∈(0,1)∪(1,4],故选A .(2)由{x +1≥0,2−x ≠0,解得x ≥-1且x ≠2,∴函数f (x )=√x +1+(2-x )0的定义域是{x|x ≥-1且x≠2}.变式题我们知道一天的温度y (℃)随时间t (h)的变化而变化,图2-6-1是某地一天4:00~12:00的温度变化情况,则温度y 与时间t 的函数中定义域为 .图2-6-1变式题 [4,12] [解析] 由题知t ∈[4,12],则定义域为[4,12].角度2 求抽象函数的定义域例2 (1) 已知函数f (x )的定义域为(-∞,0),则函数y=f(x -1)x+1的定义域为 ( )A .(-∞,1)B .(-∞,-1)C .(-∞,-1)∪(-1,0)D .(-∞,-1)∪(-1,1)(2)已知函数y=f (2x)的定义域是[-1,1],则函数y=f (log 3x )的定义域是 .[总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x 的取值集合;(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则复合函数f [g (x )]的定义域由不等式组a ≤g (x )≤b 求出;(3)若复合函数f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ,b ]上的值域. 例2 [思路点拨] (1)根据f (x )的定义域以及分母不为零列不等式组,即得定义域;(2)由题意可得出12≤log 3x ≤2,进而可求得函数y=f (log 3x )的定义域.(1)D (2)[√3,9] [解析] (1)由函数f (x )的定义域为(-∞,0)可知,若y=f(x -1)x+1有意义,则{x -1<0,x +1≠0,解得x ∈(-∞,-1)∪(-1,1).故选D . (2)由题意可得12≤2x≤2,所以12≤log 3x ≤2,解得√3≤x ≤9,故所求定义域为[√3,9]. 变式题 (1)已知函数f (x )的定义域为(-2,2),则函数g (x )=f (2x )+√1−lgx 的定义域为( )A .{x|0<x<4}B .{x|-4<x<10}C .{x|0<x<1}D .{x|-1<x<1}(2)已知函数y=f (x )的定义域为(-2,2),函数g (x )=f (x-1)+f (3-2x ),则函数g (x )的定义域为 . 变式题 (1)C (2)12,52[解析] (1)由题得{-2<2x <2,1−lgx ≥0,x >0,解得0<x<1,所以函数g (x )的定义域为{x|0<x<1}.(2)∵f (x )的定义域为(-2,2),∴由-2<x-1<2得x ∈(-1,3),由-2<3-2x<2得x ∈12,52,∴g (x )=f (x-1)+f (3-2x )的定义域为12,52.探究点二函数的解析式例3 (1) 已知函数f (x )是一次函数,且f [f (x )-2x ]=3恒成立,则f (3)= ( ) A .1B .3C .5D .7(2) 已知函数f (√x +1)=x-4,则f (x )= .(3)若f(x)+3f1x =x+3x-2log2x,且对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,则m的取值范围为.[总结反思]求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f1x或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).例3[思路点拨] (1)设出一次函数的解析式,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数,即得解析式,然后再求f(3)的值;(2)利用换元法求解析式(或用配凑法求解);(3)先利用解方程组法求解f(x)的解析式,再由对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,可得m的取值范围.(1)D(2)x2-2x-3(x≥1)(3)(-∞,3][解析] (1)设f(x)=ax+b,a≠0,则f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b.因为f[f(x)-2x]=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,所以f(x)=2x+1,则f(3)=7.故选D.(2)方法一(换元法):令t=√x+1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),故f(x)=x2-2x-3(x≥1).方法二(配凑法):由题可知√x+1≥1,f(√x+1)=x-4=(√x+1)2-2(√x+1)-3,故f(x)=x2-2x-3(x ≥1).(3)由f(x)+3f1x =x+3x-2log2x①,可得f1x+3f(x)=1x+3x-2log21x②,由②×3-①得f(x)=x+log2x.又对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,f(x)=x+log2x在(2,4)上单调递增,∴m ≤f(2)=3.变式题 (1)已知f1x =x1−x,则f(x)的解析式为()A.f(x)=1−xx(x≠0且x≠1)B.f(x)=11−x(x≠0且x≠1)C .f (x )=1x -1(x ≠0且x ≠1) D .f (x )=xx -1(x ≠0且x ≠1)(2)已知f (x )满足3f (x )+2f (-x )=4x ,则f (x )= . (3)若一次函数f (x )满足f [f (x )]=x+4,则f (-1)= .变式题 (1)C (2)4x (3)1 [解析] (1)令t=1x,则x=1t,∵x ≠1且x ≠0,∴t ≠1且t ≠0,∴f (t )=1t1−1t=1t -1(t ≠1且t ≠0),∴f (x )=1x -1(x ≠0且x ≠1),故选C .(2)因为3f (x )+2f (-x )=4x ①,所以3f (-x )+2f (x )=-4x ②,①×3-②×2,得5f (x )=20x ,所以f (x )=4x.(3)因为f (x )是一次函数,所以可设f (x )=kx+b (k ≠0),则f [f (x )]=f (kx+b )=k (kx+b )+b=k 2x+kb+b=x+4,所以{k 2=1,kb +b =4,解得{k =1,b =2,所以f (x )=x+2,所以f (-1)=1.探究点三以分段函数为背景的问题微点1 分段函数的求值问题例4 (1)已知函数f (x )={2-x ,x ≥−1,log 2(1-x),x <−1,则f (0)-f (-3)= .(2)设函数f (x )={a x ,x ≥0,f(x +4a),x <0(a>0且a ≠1),若f (2)=4,则f (-2020)= .[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.例4 [思路点拨] (1)根据x 的取值,先计算f (0),再计算f (-3),然后相减即可;(2)根据给出的f (2)的值求出分段函数的解析式,然后根据周期性求出函数值.(1)-1 (2)16 [解析] (1)由题意得f (0)=20=1,f (-3)=log 2[1-(-3)]=log 24=2,∴f (0)-f (-3)=1-2=-1.(2)由题意得4=f (2)=a 2,因为a>0,所以a=2,则f (x )={2x ,x ≥0,f(x +8),x <0,所以f (-2020)=f (-2012)=…=f (-4)=f (4)=24=16.微点2 分段函数与方程例5 (1)函数f (x )={√x +1,-1<x <0,2x,x ≥0,若实数a 满足f (a )=f (a-1),则f1a= ( )A .2B .4C .6D .8(2) 已知函数f (x )={log 2(3-x),x ≤0,2x -1,x >0,若f (a-1)=12,则实数a= .[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 例5 [思路点拨] (1)对实数a 按0<a<1和a ≥1进行分类讨论,根据自变量的取值范围代入相应的解析式计算即可得到答案;(2)分a-1≤0与a-1>0两种情况,利用分段函数列出方程,转化求解即可.(1)D (2)log 23 [解析] (1)由题知,f (x )的定义域是(-1,+∞),所以a>0.①当0<a<1时,-1<a-1<0,则f (a )=f (a-1)可化为2a=√a ,可得a=14,所以f1a=f (4)=8;②当a ≥1时,a-1≥0,则f (a )=f (a-1)可化为2a=2(a-1),该方程无解.故选D .(2)当a-1≤0,即a ≤1时,可得log 2(3-a+1)=12,解得a=4-√2>1,不符合题意,舍去;当a-1>0,即a>1时,可得2a-1-1=12,解得a=log 23>1,符合题意.故a=log 23.微点3 分段函数与不等式问题例6 (1) 已知f (x )={cos πx,x ∈[0,12],2x -1,x ∈(12,+∞),则不等式f (x )≤12的解集为 . (2)已知函数f (x )={3(x <12),1x (x ≥12),则不等式x 2·f (x )+x-2≤0的解集是 . [总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况直接代入相应解析式求解. 例6 [思路点拨] (1)分x ∈0,12和x ∈12,+∞两种情况讨论求解,结果取并集;(2)分x<12和x ≥12两种情况进行讨论,然后取两种情况中解集的并集. (1)x13≤x ≤34 (2){x|-1≤x ≤1} [解析] (1)当x ∈0,12时,由f (x )≤12,得cos πx ≤12,则πx ∈π3,π2,所以x ∈13,12;当x ∈12,+∞时,由f (x )≤12,得2x-1≤12,解得x ≤34,所以x ∈12,34.故不等式f (x )≤12的解集为x 13≤x≤34.(2)由题意有{x <12,3x 2+x -2≤0或{x ≥12,x 2·1x +x -2≤0,即{x <12,-1≤x ≤23或{x ≥12,x ≤1,∴-1≤x<12或12≤x ≤1,即原不等式的解集为{x|-1≤x ≤1}.▶ 应用演练1.【微点3】设函数f (x )={log 2(-x),x ≤−2,1,x >−2,则满足f (x+1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,-1)1.D [解析] ∵函数f (x )={log 2(-x),x ≤−2,1,x >−2在(-∞,-2]上单调递减,在(-2,+∞)上的函数值为1,∴由f (x+1)<f (2x )得{2x <x +1,2x <−2,解得x<-1.故选D .2.【微点3】已知函数f (x )={2x +1,x ≤1,lnx +1,x >1,则满足f (x )+f (x+1)>1的x 的取值范围是( )A .(-1,+∞)B .-34,+∞C .(0,+∞)D .(1,+∞)2.B [解析] 当{x ≤1,x +1≤1,即x ≤0时,由f (x )+f (x+1)=2x+1+2x+3>1,得-34<x ≤0;当{x >1,x +1>1,即x>1时,因为ln x+1>1,ln(x+1)+1>1,所以当x>1时,f (x )+f (x+1)>1恒成立;当{x ≤1,x +1>1,即0<x ≤1时,1<x+1≤2,所以f (x )+f (x+1)=2x+1+ln(x+1)+1>1恒成立.综上可知x>-34.故选B .3.【微点2】已知函数f (x )={-x 2+ax,x ≤2,2ax -5,x >2,若存在x 1,x 2∈R,且x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2),则实数a 的取值范围为 ( )A .(-∞,4)B .-∞,14 C .(-∞,3) D .(-∞,8)3.A [解析] 由题意知,y=-x 2+ax 图象的对称轴方程为x=a 2.当a2<2,即a<4时,根据二次函数的性质可知,一定存在x 1,x 2∈R,且x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2);当a2≥2,即a ≥4时,由题意知-22+2a>4a-5,解得a<12,不符合题意.综上所述,a ∈(-∞,4).故选A .4.【微点2】已知f (x )={log 2x,x >0,-2-x +1,x ≤0,则方程f (x )=3的解是x= .4.8 [解析] 当x>0时,由log 2x=3,得x=8;当x ≤0时,由-2-x+1=3得-2-x=2,无解.故方程f (x )=3的解是x=8.5.【微点1、微点3】若函数f (x )={lgx,x >0,|x 2+2x|,x ≤0,则f f√1010= ,不等式f (x+1)≥f (x )的解集为 . 5.34-3+√32,-32∪[0,+∞) [解析] f√1010=lg √1010=lg 10-12=-12,f -12=-122+2×-12=34,故f f√1010=34.作出函数y=f (x )的图象(实线)和y=f (x+1)的图象(虚线),如图所示.若f (x+1)≥f (x ),则图中虚线在实线上方即可.①当x ≥0时,显然符合题意;②当x ≤-3或-1≤x<0时,显然不符合题意;③当-3<x<-1时,由二次函数图象的对称性可知x A =-32,由x 2+2x=-[(x+1)2+2(x+1)],解得x 1=-3+√32,x 2=-3−√32>-2(舍去),∴x B =-3+√32,若f (x+1)≥f (x ),则-3+√32≤x ≤-32.综上所述,原不等式的解集为-3+√32,-32∪[0,+∞).四、同步作业1.函数f (x )=√x 2-2x的定义域为 ( )A .(0,2)B .[0,2]C .(-∞,0)∪(2,+∞)D .(-∞,0]∪[2,+∞)1.C [解析] 由x 2-2x>0,得x<0或x>2,∴函数f (x )=√x 2-2x的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).故选C .2. 已知集合A={x|y=√x -2},B={x|y=ln(x-1)},则A ∩B= ( )A .{x|x ≥2}B .{x|1≤x ≤2}C .{x|1<x ≤2}D .{x|x>2}2.A [解析] 由题意得,A={x|y=√x -2}={x|x ≥2},B={x|y=ln(x-1)}={x|x>1},则A ∩B={x|x ≥2}.故选A .3.已知函数f (x )={-e x ,x ≥0,ax 2,x <0,若f [f (0)]=1,则a 的值为 ( )A .1B .0C .-1D .23.A [解析] 因为f [f (0)]=f (-e 0)=f (-1)=a (-1)2=1,所以a=1.故选A . 4.下面各组函数中是同一函数的是 ( ) A .y=√-2x 3与y=x √-2x B .y=(√x )2与y=|x|C .y=√x +1·√x -1与y=√(x +1)(x -1)D .f (x )=x 2-2x-1与g (t )=t 2-2t-14.D [解析] 选项A 中,两个函数的对应关系不同,不符合题意;选项B 中,两个函数的定义域不同,对应关系也不同,不符合题意;选项C 中,两个函数的定义域不同,不符合题意;选项D 中,两个函数的定义域和对应关系都相同,符合题意.故选D .5. 已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f1x√x -1,则f (x )= .5.23√x +13 [解析] 在f (x )=2f1x√x -1中,用1x 代替x ,得f1x=2f (x )1√x -1,由{f(x)=2f(1x )√x -1,f(1x )=2f(x)1√x -1,可得f (x )=23√x +13. 6.已知f x-1x =x 2+1x 2,则f (3)= . 6.11 [解析] ∵f x-1x =x-1x2+2,∴f (x )=x 2+2(x ∈R),∴f (3)=32+2=11.7.已知函数f (x )={x 2+2x,x ≥0,x 2-2x,x <0,若f (-a )+f (a )≤2f (1),则实数a 的取值范围是 ( )A .[-1,0)B .[0,1]C .[-1,1]D .[-2,2]7.C [解析] 若x<0,则-x>0,f (-x )=x 2-2x=f (x ),若x>0,则-x<0,f (-x )=x 2+2x=f (x ),故函数f (x )为偶函数,且当x ≥0时,函数f (x )单调递增.不等式f (-a )+f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1),即f (a )≤f (1),∴|a|≤1,∴-1≤a ≤1,故选C .8. 汽车的燃油效率是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的路程,图K6-1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列说法中正确的是 ( )图K6-1A .消耗1 L 汽油,乙车最多可行驶5 kmB .以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最多C .甲车以80 km/h 的速度行驶1 h,消耗10 L 汽油D .某城市机动车限速80 km/h,相同条件下在该市用丙车比用乙车更省油8.D [解析] 对于A,由图可知,当速度大于40 km/h 时,乙车的燃油效率大于5 km /L,∴当速度大于40 km/h 时,消耗1 L 汽油,乙车行驶的路程大于5 km,故A 错误;对于B,由图可知,当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1 L 汽油,甲车的行驶路程最远,∴以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最少,故B 错误;对于C,由图可知,当速度为80 km/h 时,甲车的燃油效率为10 km/L,即甲车行驶10 km 时消耗1 L 汽油,故行驶1 h,路程为80 km,消耗8 L 汽油,故C 错误;对于D,由图可知,当速度小于80 km/h 时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,∴用丙车比用乙车更省油,故D 正确.故选D . 9. 下列函数中值域是[1,+∞)的是( ) A .y=x 3+1B .y=10-x+1 C .y=log 2x+1D .y=2|x|9.D [解析] 选项A 中,函数y=x 3的值域为R,故函数y=x 3+1的值域为R;选项B 中,函数y=10-x的值域为(0,+∞),故函数y=10-x+1的值域为(1,+∞);选项C 中,函数y=log 2x 的值域为R,故函数y=log 2x+1的值域为R;选项D 中,函数y=|x|的值域为[0,+∞),故函数y=2|x|的值域为[1,+∞).故选D .10.(多选题) 已知函数f (x )={lg(−x),x <0,e x -1,x ≥0.若f (1)+f (a )=2,则a 的值可能为 ( )A .1B .-1C .10D .-1010.AD [解析] ∵f (x )={lg(−x),x <0,e x -1,x ≥0,∴f (1)=e 1-1=1,又f (1)+f (a )=2,∴f (a )=1.当a ≥0时,由f (a )=1,可得a=1;当a<0时,由f (a )=1,可得lg(-a )=1,解得a=-10.故选AD .11.(多选题) 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译为“函数”,沿用至今.为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数的定义判断,其中能构成从M 到N 的函数的是 ( )A .y=log 2|x|B .y=x+1C .y=2|x|D .y=x 211.CD [解析] 对于A,当x=-1时,y=0,集合N 中不存在;对于B,当x=-1时,y=0,集合N 中不存在;对于C,当x=-1时,y=2,当x=1时,y=2,当x=2时,y=4,当x=4时,y=16,所以C 选项符合题意;对于D,当x=-1时,y=(-1)2=1,当x=1时,y=12=1,当x=2时,y=22=4,当x=4时,y=42=16,所以D 选项符合题意.故选CD .12. 已知函数f (x )={(12) x ,x ≥0,f(x +2),x <0,则f log 215= .12.516 [解析] 根据题意,函数f (x )={(12) x ,x ≥0,f(x +2),x <0,因为-3<log 215=-log 25<-2,所以f log 215=f (-log 25)=f (2-log 25)=f (4-log 25)=f log 2165=12log 2165=2log 2516=516.13.已知函数f (x )={m +x 2,|x|≥1,x,|x|<1的图象过点(1,1),则f (x )<4的解集是 .13.(-2,2) [解析] 因为函数f (x )={m +x 2,|x|≥1,x,|x|<1的图象过点(1,1),所以m+1=1,解得m=0,所以f (x )={x 2,|x|≥1,x,|x|<1.当{|x|≥1,x 2<4时,解得-2<x ≤-1或1≤x<2;当{|x|<1,x <4时,解得-1<x<1.综上可得,f (x )<4的解集是(-2,2).14.已知函数f (x )={ln(−x),x <0,x 3-3x,x ≥0,则不等式f (x+1)≤f (0)的解集为 .14.[-2,√3-1] [解析] 当x+1<0,即x<-1时,由f (x+1)=ln(-x-1)≤f (0)=0=ln 1,可得-x-1≤1,所以-2≤x<-1;当x+1≥0,即x ≥-1时,由f (x+1)=(x+1)3-3(x+1)≤f (0)=0,可得(x+1)(x 2+2x-2)=(x+1)(x+1-√3)(x+1+√3)≤0,所以-1≤x ≤√3-1.综上所述,f (x+1)≤f (0)的解集为[-2,√3-1].15.已知函数f (x )={3x -1,x ≥0,-x 2-2x,x <0,若存在唯一的整数x ,使得x ·[f (x )-a ]<0成立,则实数a的取值范围是 ( )A .1≤a ≤2B .0≤a<1或2<a ≤8C .2<a ≤8D .-1<a<1或2<a ≤815.B [解析] 画出函数f (x )的图象,如图所示.当x>0时,由x ·[f (x )-a ]<0,可得f (x )<a ,故f (1)<a ≤f (2),即3-1<a ≤32-1,即2<a ≤8;当x=0时,不满足题意;当x<0时,由x ·[f (x )-a ]<0,可得f (x )>a ,故0≤a<f (-1),即0≤a<1.综上所述,实数a 的取值范围是0≤a<1或2<a ≤8.故选B .16.设函数f (x )={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0,若f [f (a )]≤2,则实数a 的取值范围是 .16.a ≤√2 [解析] 当f (a )<0时,f [f (a )]≤2即为[f (a )]2+f (a )≤2,即[f (a )-1][f (a )+2]≤0,解得-2≤f (a )≤1,所以-2≤f (a )<0;当f (a )≥0时,f [f (a )]≤2即为-[f (a )]2≤2,因为[f (a )]2≥-2恒成立,所以f (a )≥0.综上可得f (a )≥-2,则{a <0,a 2+a ≥−2或{a ≥0,-a 2≥−2,解得a≤√2.。

初中数学函数全课件及练习题

初中数学函数全课件及练习题
一、函数的概念
1.定义：函数是一种特殊的数学关系，它把定义域上的一个或一些值
域上的一个或一些值映射到值域上的另一个值。

2.函数的记法：函数一般用f(x)或者y=f(x)表示，其中，x为函数
的自变量，f(x)表示x变化时得到的函数值，y是f(x)的结果。

3.函数的性质：
（1）函数内容具有一一对应性：自变量x的值决定函数f(x)的值，
两个不同的自变量不能对应同一个函数值。

（2）函数具有可表示性：函数可以用函数表、函数图像或方程式来
表示。

4.函数的类型：
（1）常数函数：自变量x的值不变时，函数值也不变，定义域内任
意x值都对应同一个函数值的函数称为常数函数，可表示为f(x)=a，a为
常数。

（2）一次函数：函数在定义域上的值与其自变量的乘积为一个常数，即f(x)=ax+b，其中a>0，b是定值。

（3）平方函数：函数为自变量的平方或其平方根与一个常数的乘积，即f(x)=ax²+bx+c，a、b、c为常数，a≠0。

（4）立方函数：函数为自变量的立方或其立方根与一个常数的乘积，即f(x)=ax³+bx²+cx+d，a、b、c、d为常数，a≠0。

（5）指数函数：函数为以x为指数的指数函数和一个常数的乘积，即f(x)=axⁿ+b，a、b为常数，a≠0，n为正整数。

函数的概念与表示知识点总结及练习

2.1 函数概念与表示学习目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.重点难点：函数的定义域和值域一、知识要点1．函数的概念：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y=f(x),x ∈A,其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数的定义域．对于A 中的每一个x 都有一个输出值y 与之对应，我们将所有的输出值y 组成的集合A 叫做函数的值域．函数的“三要素”：2．函数定义域的一般方法：(1)若f （x ）是整式，则定义域为R(2)若f （x ）是分式，则定义域是使分母不为0的实数的集合(3)若f （x ）是偶次根式，则定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合(4)若f （x ）是由几部分组成，则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(5)复合函数定义域：已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域．由解出．已知[()]f g x 的定义域[],a b ，求()f x 的定义域．是_______在____________上的值域3．求函数解析式的方法：①已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；②已知复合关系，求函数的解析式：换元法、配凑法、方程组法；③已知函数图像，求函数解析式；数形结合法；4．求函数值域的类型与求法：类型：①求常见函数值域；②复合函数的值域；③组合函数的值域．求法：①直接法、②配方法、③分离常数法、④换元法、⑤逆求法、⑥叛别式法、⑦数形结合．二、例题精讲题型1：函数的概念1．判断下列对应是否为函数（1）,,;x y y x x R y Z →∈∈其中为不大于的最大整数，（2）2,,,x y y x x N y R →=∈∈；（3）x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤；（4）16x y x →=，{|06}x x x ∈≤≤，{|03}y y y ∈≤≤． 2．下列函数函数中： ⑴2)(x y = ⑵x x y 2= ⑶33x y = ⑷2x y = 与函数x y =是同一个函数为（填序号）3．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=变式1：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；当[()]2g f x =时，x =．变式2：已知函数f(x)=2,0,1,0,1,0.x x x x x⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪-<⎩ （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值．题型2：求函数解析式1.f(x+1)=3x+2;求f(x)2．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．题型3：求函数定义域1．求下列函数的定义域．（1）43)(2--=x x x f （2）若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域_____________．（3）已知：f （x ）定义域为[]12,0，求f （2x-3）的定义域．（4）已知：f （2x-2）的定义域为[]13,1，求f （x ）的定义域．变式：函数f (2x －1)的定义域是(0，1)，则函数f (1－3x )的定义域是__________．题型4：求函数值域1．求下列函数的值域．三、基础练习1．下各组函数中表示同一函数的有．（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1．2．函数y=x x x +-)1(的定义域为______________．3．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求2()23f x +定义域；4．函数2()42f x x x =-+，(0,3)x ∈的值域是______________．5．设函数1()f x =112223()(),x f x x f x x -==，，则123(((2007)))f f f = __________ ．四、巩固训练1．已知一次函数b ax x f +=)(满足0)1(=f ，(0)1f =-，则)(x f 解析式是_________．2．函数y ＝x^2＋12-x 的定义域是____________． 3．如果函数f （x ）的定义域为[－1，3]，那么函数f （x ）－f （－x ）的定义域为________．4．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+[1,3]x ∈；（2）y =（3）312x y x +=-5．函数y ＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+)1(5)10(3032x x x x x x 的最大值是______．。

函数的概念及其表示讲义- 高考一轮复习

§2.1 函数的概念及其表示课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A ，B 是________________，如果对于集合A 中的________一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有__________的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．函数的三要素(1)函数的三要素：__________、____________、____________.(2)如果两个函数的______________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有____________、图象法和____________．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空实数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．课前预习1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( )(3)直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象可以有多个交点．( )(4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .( )高三数学062．(多选)下列图象中，是函数图象的是( )3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是( )A ．y ＝x ＋33－x 与y ＝x ＋33－xB ．y ＝x 2与y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2与y ＝xD ．y ＝1与y ＝x 04．已知函数f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是________________________. 典例精讲题型一函数的概念例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )A ．f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一个函数 B ．函数f (x )＝x ＋1－1x的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C ．f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一个函数D ．若f (x )＝|x －1|－x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0(2)已知函数f (x )的定义域为[－2,3]，则函数f (2x －1)的定义域为____________________．变式训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1x －1，g (x )＝1x －1C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1 (2)已知函数f (x )的定义域为[2,8]，则函数h (x )＝f (2x )＋9－x 2的定义域为( )A ．[4,16]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．[3,4]题型二函数的解析式例2 (1)已知f (x+1)＝x ，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)若对任意实数x ，均有f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，求f (x )的解析式．变式训练2 (1)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则f (x )＝________________________.(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝_____________________.题型三分段函数例3 (1)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x <1，－x ＋2，x ≥1，则下列关于函数f (x )的结论正确的是( ) A ．f (x )的定义域为R B ．f (x )的值域为(－∞，4]C ．若f (x )＝2，则x 的值是－2D ．f (x )<1的解集为(－1,1)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋2，x <－1，2x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是_____________________________________．变式训练3 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2 023)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2) ※.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________. 课堂小结课后反思函数的概念及其表示限时训练1.函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是( ) A.(2，＋∞) B.(2，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)2.(多选)下列各图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )3.已知函数f (x ＋2)＝x 2－3x ＋4，则f (1)＝( )A.4B.6C.7D.84.(多选)下列函数中，与函数y ＝x ＋2是同一个函数的是( )A.y ＝(x ＋2)2B.y ＝3x 3＋2C.y ＝x 2x＋2 D.y ＝t ＋2 5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x ＋1x，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于( ) A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－16.已知函数f (x )对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.7.(1)已知f (x ＋1)＝2x 2－x ＋3，求f (x ).(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，求f (x ).(3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，求f (x ).8. ※已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是( ) A.{x |x >2，或x <0} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x <2 C.{x |x >2} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 9. ※已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________. 10. ※用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大值，设函数f (x )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x |，1x (x >0)，若f (x )≥m －1恒成立，则m 的最大值是________。

函数的概念及其表示(高三一轮复习)

— 16 —
解析根据题意，可知函数的定义域为M＝{－1,1,2}，对于A选项，按照对应的 x→2x，函数的值域为E＝{－2,2,4} N，A选项错误；对于B选项，按照对应的x→x ＋1，函数的值域为E＝{0,2,3} N，B选项错误；对于C选项，按照对应的x→x，函数的值域为E＝{1,2}⊆N，C选项正确；对于D选项，按照对应的x→x2＋1，函数的值域为E＝{2,5} N，D选项错误．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 15 —
针对训练
1．(2023·湖北武汉质检)托马斯说：“函数是近代数学的思想之花．”根据函数
的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1,1,2}到集合N＝{1,2,4}的函数的是( C )
A．y＝2x
B．y＝x＋1
C．y＝x
D．y＝x2＋1
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
f1x＋1的定义域为xx≤－12或x≥13
.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 21 —
思维点睛►
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域 ①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x)) 的定义域． ②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 3—
必备知识自主学习
知|识|梳|理 1．函数的概念一般地，设A，B是非空的 1 __实__数__集___，如果对于集合A中的 2 _任__意___一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 3 _唯__一__确__定_____的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

函数的定义与表示知识点及题型归纳总结(含答案)

函数的定义与表示知识点及题型归纳总结知识点精讲：1、映射设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f ，对A 中的任何―个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射.注由映射的定义可知，集合A 到集合B 的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素，即可以一对一，也可多对一，但不可一对多. 注象与原象如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫a 的象．记作b ＝f (a ),a 叫b 的原象．A 的象记为f (A ) 2、一一映射设A ，B 是两个集合，f 是A 到B 的映射，在这个映射下，对应集合A 中的不同元素，在集合B 中都有不同的象，且集合B 中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f 为A →B 的一一映射.注由一一映射的定义可知，当A ，B 都为有限集合时，集合A 到集合B 的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A 与集合B 中的元素个数相等. 3、函数设集合A ，B 是非空的数集，对集合A 中任意实数x 按照确定的法则f 集合B 中都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 到集合B 上的一个函数记作y ＝f (x ) x ∈A ·其中x 叫做自变量，其取值范围（数集A ）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f （a ）或y |x =2，所有函数值构成的集合{|(),}C y y f x x A ==∈叫做该函数的值域，可见集合C 是集合B 的子集 . 注函数即非空数集之间的映射注构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.题型归纳及思路提示：题型1 映射与函数的概念思路提示判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射.例2.1 若f ：A →B 构成映射下列说法中正确的有（） ①A 中任―元素在B 中必须有象且唯一； ②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象； ③B 中的元素可以在A 中无原象； ④象的集合就是集合BA ①②B .③④C .①③D .②③④解析由映射的定义可知, ①集合A 中任一元素在B 中必须有象且唯―是正确的；集合A 中元素的任意性与集合B 中元素的唯一性构成映射的核心，显然②不正确，“一对多”不是映射；③因A 在对应法则f 下的值域C 是B 的子集，所以③正确；④不正确，象的集合是集合B 的子集，并不一定为集合B ．故选C 变式1 在对应法则f 下，给出下列从集合A 到集合B 的对应[]2(1):1,2,0p x x a ∀∈-≥；(2) x y x f Z B N A )1(:,,-=→==；（3）A ＝{x |是平面内的三角形}，B ＝｛y |y 是平面内的圆｝，f :x →y 是x 的外接圆；（4）设集合A ＝｛x |是平面内的圆｝，B ＝｛y |y 是平面内的矩形｝，f :x →y 是x 的内接矩形其中能构成映射的是_______变式2 已知函数y ＝f (x ),定义域为A ＝｛1,2,3,4｝值域为C ＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？例2.2 函数)(x f y =的图像与直线x ＝2的公共点有（） A .0个 B . l 个 C . 0个或1个 D .不能确定分析利用函数的定义解释，对于自变量x ∈D ，则有唯一的值与其对应.解析若函数)(x f y =中定义域包含x ＝2则)(x f y =的图像与直线x ＝2有1个公共点；若函数)(x f y =定义域中不包含x ＝2则)(x f y =的图像与直线x ＝2无交点，故选C变式1 已知函数y ＝[],6,0,2642∈--+x x x 将函数图像绕原点逆时针旋转θ角，要使得图像在旋转的过程中为函数图像，则θ角正切值的最大值为多少？变式2 已知集合A ＝｛1，2，3，…，23｝求证：不存在这样的函数f ：A →｛1，2，3｝，使得对任意的整数21,x x ∈A ，若∈-21x x {1，2，3},则()()21x f x f ≠题型2 同一函数的判断思路提示当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数例2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组（1）0x y =与y =1 （2）()2x y =与2x y =（3）xx y 31-=与331t t y -=解析（1）0x y =的定义域为{}0≠x x ;y =1的定义域为R ,故该组的两个函数不是同一函数； (2)()2x y =的定义域为{0≥x x };2x y =的定义域为R ，故该组的两个函数不是同一函数；(3)两个函数的定义域均为｛x x ≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数故为同一函数的一组是（3）评注由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性变式1下列函数中与y ＝x 是同一函数的是( )(1)2x y =(2)x a a y log =(3)xa a y log = (4)33x y = (5))(*N n x y n n ∈=A (1)(2)B (2)(3)C (2)(4)D (3)(5) 题型3 函数解析式的求法思路提示求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.(2)当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法.若易换元后求出x ，用换元法.(3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求. 一、待定系数法（函数类型确定）例2.4已知二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线y =x 的下方.（1）求证:a +b +c ≥1;（2）设()())()(,32x g x f x F x x x g +=++=，若F (0)＝5，且F （x ）的最小值等于2，求)(x f 的解析式.解析（1）因为())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像上任点都不在直线y ＝x 的下方，所以1)1(≥f ，即a ＋b＋c ≥1.(2)因为())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线y ＝x 的下方，取相同x ，二次函数值总大于一次函数值，所以()x x f ≥，即x c bx ax ≥++2，得0)1(2≥+-+c x b ax ，对任意x ∈R 成立.因为a ≠0.所以a >0且04)1(2≤--ac b ① 又()()(),53000=+=+=c g f F 得C =2所以()()()5)1()1(2++++=+=x b x a x g x f x F .所以F （x ）的最小值为()()()21411202=++-+a b a .整理得12)1(122-+=b a . ②将②式与c =2代人①式，整理得()250,b -≤且()250,b -≥即()25b -=0，所以b =5，a =2. 故()2522++=x x x f变式1已知)(x f 是一次函数，若()()14-=x x f f ，求)(x f . 二、换元法或配凑法（适用于了()[]x g f 型）例2.5已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式. 分析把1+x 看成一个整体，可用换元法求解析式解析解法一（换元法）令1+x =t （1≥t ），则,1-=t x 得)1()1(2≥-=t t x ，所以2)1()(-=t t f ()11)1(22≥-=-+t t t ，即()().112≥-=x x x f解法二(配凑法）：()()1112-+=+x x f,即)(x f ().112≥-=x x评注利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t 范围的限制变式1 已知221111xxx x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,求()x f 的解析式. 变式2设()x f =xx-+11，又记()=x f 1()x f ()()()x f f x f k k =+1,(k =1,2,…),则()x f 2015=( ). A.x 1- B . x C .11+-x x D .xx -+11例2.6 已知函数()x f 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f 1221xx +=,则()x f 的表达式为________.解析 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f 1＝212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ,又21≥+x x 或x x 1+≤―2,故()22-=x x f(x >2或x <―2)评注求函数解析式要注意定义域变式1 已知x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的解析式三、方程组法例2.7 已知函数()x f 满足：()x x f x f 312=⎪⎭⎫⎝⎛+()0≠x ,求函数()x f 的解析式.分析本题中除了所要求取的()x f 形式，同时还存在另个形式⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，应通过方程消元的思想，消去⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的形式，故只需寻求另一个关于()x f 和⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的等量关系式即可.解析由()x x f x f 312=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， ①以1x代替x 得到()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ②由①②联立，求得()()20.f x x x x=-≠ 评注若一个方程中同时出现()f x 与其他形式()f x ϕ⎡⎤⎣⎦ （如()0a f a x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭或()f a x - 等）时，可用()x ϕ 代替两边所有的x ,得到关于()f x 与()f x ϕ⎡⎤⎣⎦的另一个方程组,解方程程组即可求出()f x 的解析式，常称这种方法为方程组法.变式1函数()f x 满足方程()()af x f x ax +-= ,其中x R ∈,a 为常数，且a ≠1± ·求()f x 的解析式. 四、求分段函数的解析式例2.8已知函()()()()2021,,10x x f x x g x x ⎧≥⎪=-=⎨-≤⎪⎩求()(),f g x g f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 的表达式. 分析本题考查分段函数的概念，根据函数对复合变量的要求解题.解析由()()()2010x x g x x ⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩可得()()()()221021,30x x f g x g x x ⎧-≥⎪=-=⎡⎤⎨⎣⎦-<⎪⎩当()21,f x x o =-≥ 即12x ≥时,()()221g f x x =-⎡⎤⎣⎦ ;当()0,f x <即12x < 时,g () 1.g f x =-⎡⎤⎣⎦ 因此()()21 212.132x xg f xx⎧⎛⎫-≥⎪⎪⎪⎝⎭=⎡⎤⎨⎣⎦⎛⎫⎪-≤⎪⎪⎝⎭⎩评注对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求.变式1 已知函数()()()()2212.2212x xxf x xx x+≤-⎧⎪⎪=≥⎨⎪-<<⎪⎩(1)求7;4f f f⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭(2)若()3,f a=求a的值. 变式2（2012江西理3）若函数()21,1,lg,1x xf xx x⎧+≤=⎨>⎩则()()10f f=( ).A. lg101B. 2C.1D.0例2.9已知实数a≠0函数(),1,2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩若()()11,f a f a-=+则a的值为______. 解析当a>0时,1-a<1.1+a>1.得()()2112a a a a-+=---解得32a=-.（不符，故舍去）；当a<0时,1-a >1,1+a<1 ,得2(1+a)+a=-(1-a)-2a．解得34a=-.综上,34a=-.变式1 已知实数a≠0,函数()2,1,2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩若()()12,f a f a-=+则a的值为_______最有效训练题1.下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射的是( )A. {}20,B,:A x x R f x y x=>=→=·B .{}{}22,0,2,4,:A B f x y x=-=→=C.{}21,0,:A RB y y f x yx==>→=D.{}{}0,2,0,1,:2xA B f x y==→=2.如图2-2所示，（a），（b），（c）三个图像各表示两个变量x，y的对应关系则有A 都表示映射，且（a ），（b ），（c ）表示y 为x 的函数B 都表示y 是x 的函数C 仅（b ）（c ）表示y 是x 的函数D 都不能表示y 是x 的函数3.下列各组函数中是同一函数的是（） A .x Y x =与1y = B .1y x =- 与1,11,1x x y x x ->⎧=⎨-<⎩C .1y x x =+- 与21y x =-D .321x x y x +=+ 与y x =4.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){},,x y x R y R ∈∈，映射f ：A →B 使集合A 中的元素（x ，y ）映射成集合B 中的元素（x ＋y ，x -y ），则在映射f 下，象（2，1）的原象是（）． A .(3，1) B .31,22⎛⎫⎪⎝⎭ C .31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D . ()1,3 5.已知函数()()()20,10x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩若()()10f a f += ,则实数a 的值等于（）A .-3B .-1C .1D .36设,f g 都是由A 到B 的映射，其对应法则如表2-1和表2-2所示 . 表2-1 映射f 的对应法则则与()1f g ⎡⎤⎣⎦ 相同的是（）A .()1g f ⎡⎤⎣⎦B .()2g f ⎡⎤⎣⎦C .()3g f ⎡⎤⎣⎦D .()4g f ⎡⎤⎣⎦7.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈=，则f (-3)=_______.8.设函数()()()221121x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩,则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值为_______. 9.设函数()()()2020x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩,若()()()30,12,f f f -=-=- 则关于x 的方程()f x x =的解的个数为_______.10．若:31f y x =+ 是从集合{}1,2,3,A k = 到集合{}42*4,7,,3,B a a a a N =+∈ 的一个映射,则A ＝_____，B =_______.11.求下列函数的解析式：(1)已知21lg ,f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭求()f x ; (2)已知()f x 是一次函数,且满足()()3121217,f x f x x +--=+求()f x ; （3）已知()21cos sin f x x -=,求()f x ;(4)()f x 为二次函数且f (0)=3,()()242f x f x x +-=+,求()f x ;(5）已知定义域为（0,＋∞）的单调函数(),f x 若对任意的()0,x ∈+∞都有()12log 3,f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求()f x 的解析式.12.已知()()()()2101,.20x x f x x g x x x ->⎧⎪=-=⎨-<⎪⎩(1)求()2f g ⎡⎤⎣⎦和()2g f ⎡⎤⎣⎦的值（2）求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的表达式.参考答案例2.1变式1分析判断一个对应是不是映射，应紧扣映射定义，即在对应法则下，对应集合A 中的任一元素在B 中能否都有唯一的象.解析在（1）中，元素0在B 中没有象，不满足“任意性”，因此，（1）不能构成映射. 在（2）中，当为偶数时，其象为1；当为奇数时，其象为-1，而1，-1，即A 中任一元素在B 中都有唯一的象，因此（2）能构成映射.在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（3）能够成映射.在（4）中，因为平面内的任一个圆，其内接矩形有无数个，因此（4）不能构成映射. 综上所述，能构成映射的有（2）（3）评注判断一个对应是否能够成映射，应紧扣映射定义，在映射中，A ,B 的地位是不对等的，它并不要求B 中元素均有原象，或有原象也未必唯一，一般地，若A 中元素的象的集合为C ，则，同时要注意映射中集合元素的对象是任意的，可以是数、点或其它任意对象. 例2.1变式2分析由函数定义，本题等价于将4件不同的东西分配给3人，且每人至少1件. 解析利用捆绑法，得，故满足条件的函数有36个.例2.2变式1 解析，整理得，得该函数图像如图2-35所示，即为圆，半径为的一段弧，逆时针旋转，要使得在旋转的过程中始终为函数的图像，那么所转过的最大时为圆弧在原点处的切线与y 轴重合时，.xy3-2图2-35θθθ(3,-2)6例2.2变式2解析（反证法）假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.设，由已知，由于，所以.不妨令，这里，同理，因为只有三个元素，所以，即，但是，与已知矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的函数,使得对任意的整数，若，则.例2.3变式1分析首先判定定义域，再判断对应法则，也可快速判断值域.解析（1）的解析式不同，不是同一函数；（2）的定义域和解析式完全相同，为同一函数（3），但函数的定义域为的定义域不相同，故不是同一函数；（4），其定义域与解析式与完全相同，为同一函数；（5）解析式不同，故不是同一函数，故选C评注由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，才是同一函数，即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，因此函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.例2.4变式1解析设，所以.评注当已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设出解析式，再确定系数得出解析式例2.5变式1分析利用换元法求解.解析：令.评注对于形式的表达式求解的有效方法：令，解出，代入函数表达式，但应注意新元的范围.若本题改为选择题：已知，则的解析式为（）A.B.B.D.则不需要按【例2.5变式1】中的方法求解，只需用特殊值排除法即可，如取，则，代入选项验证可知，只有选项C符合，而选项A,B,D都不符合，故答案为C，这种方法的解题效率往往比常规方法更快.例2.5变式2解析即, 可看作周期为4的变换，所以，故选C.评注只表示表达式相同，其定义域不同，.本题亦可用特殊值法..故选C 例2.6变式1分析利用题中的复合变量凑出.。

《函数的概念》经典复习讲义.docx

函数的概念一．相关知识点1.函数的概念设A ，B 是非空数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

2.两个函数相等两个函数相等的条件：（1）两个函数的定义域相同；（2）对应关系相同．二．基础训练：1.下列图形中不是函数图象的是( )A B C D2. 用区间表示下列集合：(1){x |2<x ≤4}用区间表示为________．(2){x |x >1且x ≠2}用区间表示为________．3.试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3； (2)f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2；(3)y ＝x 0与y ＝1(x ≠0)； (4)y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z .4.求下列函数的定义域．(1)y ＝（x ＋2）0|x |－x ； (2)f (x )＝x 2－1x －1－4－x ；（3）y ＝x 2－x －2x 2＋x －6.5.已知集合A ＝{x |x ≥4}，g (x )＝11－x ＋a的定义域为B ，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是_______________．6. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域为___________,值域为___________7. 函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为________．8. 函数f (x )＝－x 2－2x ＋5的值域是________．9. 若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a的值是__________.10.已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝2x ＋1，则f [g (x )]＝________.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.则f （-2）=_________;f (f (32))=_____________；若f (a )＝2，则a =______________．三．典型例题：例1 判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的函数．(1)A ＝N ，B ＝N ＋，对应法则f ：对集合A 中的元素取绝对值与B 中元素对应；(2)A ＝{－1，1，2，－2}，B ＝{1，2，4}，对应法则f ：x →y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ；(3)A ＝{三角形}，B ＝{x |x >0}，对应法则f ：对A 中元素求面积与B 中元素对应．类题突破：判断下列对应是否为函数．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x 2； (2)A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ；(3)A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|； (4)A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4.例2. 已知f (x )＝3x 2－12x ＋5，求f (x )在下列区间的值域．(1)[0，3]； (2)[－1，1]； (3)[3，＋∞)．类题突破：已知f (x )＝-x 2－3x ＋1，求f (x )在下列区间的值域．(1)[-2，-1]； (2)[0，2]； (3)[3，7)．。