差错控制码编码原理

1．垂直奇偶校验码： 编码原理：
（1）将整个发送的数据块分为定长为m 的n 个组，一般m 为字符位数或位数的倍数，一组称为一个码字。

（2）每组末位按“1”的个数位奇数或者偶数的规律加一个
校验位j
r （
n j ,3,2,1=）
，使得每组包括校验位在内“1”的个数为奇数或偶数。

为偶数的称为偶校验，为奇数的称为奇校
验。

（ij
b 为一个比特位，运算为二进制运算）
校验位计算为： 偶校验 mj j j j b b b r +++= 21n
j ,3,2,1= 奇校验
121++++=mj j j j b b b r n
j ,3,2,1=
举例说明：
每一列代表一个码字：
1
011111001101
偶校验计算的校验位为：0111 奇校验计算的校验位为：1000
校验能力：只能检测每列码字中的奇数个错误，所有偶数个错误全部漏检。

实现方法：用硬件和软件均可，可以边发送边产生冗余位，接收时可以边接收边去掉冗余位。

2．水平奇偶校验码 编码原理：
（1）将整个发送的数据块分为定长为m 的n 个组，一般m 为字符位数或位数的倍数，一组称为一个码字。

（2）将n 个码字排成一个矩阵，对各个码字相应横向位进行奇偶校验。

（校验位的生成与垂直奇偶校验码生成方式一致）。

偶校验 in i i i b b b r +++= 21m i ,3,2,1= 奇校验 121++++=in i i i b b b r m i ,3,2,1=
（3）发送时将所有码字发送完后发送校验位。

举例说明： 奇 偶
每一列代表一个码字：
1
011111001101
01
0 1
10
1
校验能力：可以检测各个码字同一位上的奇数位错，对于长度小于或等于m 的突发错误，由于分布在不同行中，可以检测到。

实现方式：用硬件和软件均可，需要借助存储器。

3．水平垂直奇偶校验
编码原理：同时进行垂直和奇偶校验。

（过程略）
校验能力：冗余度大，具有更强检错能力。

可检验3位以下的全部错误，所有奇数位错，突发长度小于或等于m+1的突发错误以及绝大多数偶数位错。

4、斜奇偶校验
编码原理：在水平垂直奇偶校验码的基础上，按照斜对角线的方向计算出校验位。

校验能力：冗余位更多，编、译码较为复杂，校验能力更强。

正反码：
举例说明：
码长n＝10，信息位k＝5，校验位r＝5，若信息位为11001，校验位为11001，码字为1100111001；若信息位为10001，校验位为01110，码字为1000101110。

纠错规则：
若发送码字1100111001，
接收码字1100111001（传输中无错），
合成码为11001＋11001＝00000，
接收码信息位有3个1，校验码为00000。

据上表，没有发生错误。

接收码字1000111001
合成码为10001＋11001＝01000，
接收码信息位有偶数个1，校验码为合成码的反码10111，据上表，信息位第二位出错。

（同学自己举例说明其他情况）。

循环冗余校验码 1、码多项式
如果把一个码字中的各位看作是一个多项式的系数，则长为n 的码字)(0121c c c c C n n --=可以表示为一个多项式：
1
2
2
1
1
)(c x c x c x c x C n n n n ++++=----
该多项式称为码字的码多项式。

如：码字11001的码多项式为：
110011)(3
4
1
2
3
4
++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=x x
x x x x x C
2、多项式的按模运算
在CRC 中，常需要进行码多项式的运算，运算规则为按模2运算。

若任意的n 次多项式)(x T 被一个k 次多项式)(x k 除，得到商式)(x Q 和余式)(x R （次数必然小余k ），则表示为
)()()()(x R x Q x k x T +=。

3、循环冗余码
长为n 的码，信息位为k 位的码记为（n ，k ）码。

若一个码字集合满足以下两个条件：
（1）循环性：码集中的任一个码字向左或右循环一位，得到的新的码字，仍为码集中的码字。

（2）封闭性：码集中任意两个码字之和仍为码集中的码字。

则称此码集为（n ，k ）循环码。

例：)(0121c c c c C n n --=是码集中的码字，)(1210c c c c C n -=是码集中的码字，全零码字必然是码集中的码字。

4、循环冗余码的生成多项式
定理1 在循环冗余码（n ，k ）中，存在且只有一个（n －k ）次的码多项式
1
2
2
2
2
)(g x g x g x g x x G k n k n k
n +++++=-----
满足：
（1）此循环冗余码中任一多项式都是)(x G 的倍式；
（2）任意一个（n －1）次或（n －1）次以下的，又是)(x G 倍
式的多项式必定是此循环码中的一个码多项式。

（生成多项式的寻找有严密的代数背景，略） 5、循环冗余码的编码
一般是已知信息位，根据信息位求冗余位。

信息位为)(0121c c c c K k k --=，码多项式为
1
2
2
1
1
)(c x c x c x c x K k k k k ++++=----
冗余位为)
(021r r r R k n k n ----=，码多项式为
012
21
1)(r x r x
r x
r x R k n k k n k n ++++=-------
码字为)(0210121r r r c c c c T
k n k n k k ------=，码多项式为
)()()(x R x K x x T k n +=- （1）
码字是生成多项式)(x G 的倍式，则
)()()(x Q x G x T = （2） 由（1）（2）两式得
)()(x R x K x k n +-＝)()(x Q x G
即 )(x K x k n -＝)()()(x R x Q x G +
所以用)(x K x k n -去除以生成多项式)(x G 得到的余式就是码字的校验位。

编码算法：
（1）用k n x -乘以信息位对应的码多项式)(x K ；
（2）用生成多项式)(x G 去除)(x K x k n -，得余式)(x R ； （3）将)(x R 对应的码字加在信息位后发送即可。

6、循环冗余码的译码 （1）检错过程
发送方发送码字)(x T ，设接收方接收码字为)('x T ，根据
)()()(x Q x G x T =
若)('x T ＝)(x T ，则有
)()()('
x Q x G x T =
即)('x T 除以)(x G 没有余式。

若)('x T <>)(x T ，则)('x T 除以)(x G 有余式，接过收到的码字
出错。

据此译码过程可知出现错误。

注意：有时)('x T <>)(x T ，)('x T 除以)(x G 也没有余式，这种情况说明错误超过该编码的检错能力，每一种码的检错能力与生成多项式选择有关。

（2）纠错过程
对于每一种编码，由其生成多项式可得到码的检错能力在某一个范围内，即该码可检m 位错，纠s 位错。

在这个范围内可得到一个特定的错误模式，当余式)(x R 与这些错误模式存在一一对应关系时，便可以纠错。