函数可积性
可积判断条件
可积判断条件可积判断条件什么是可积判断条件？可积判断条件是指用来判断一个函数或者方程是否是可积的条件。
在数学中，可积性是一个重要的概念，它关注的是一个函数或方程是否可以通过某种方法求出其解析解或近似解。
常见的可积判断条件1.连续性：一个函数或方程在其定义域内是否是连续的，是可积性的基本条件之一。
如果函数或方程的定义域内存在一个或多个间断点，则该函数或方程通常是不可积的。
2.有界性：如果一个函数或方程在其定义域内是有界的，即存在一个常数M使得|f(x)| ≤ M对所有x成立，则该函数或方程通常是可积的。
无界函数或方程通常是不可积的。
3.可导性：对于某些特定的函数类别来说，函数或方程的可导性与可积性之间存在紧密的联系。
如果函数或方程在其定义域内是可导的，则该函数或方程通常是可积的。
4.周期性：周期函数具有很好的可积性质。
如果一个函数或方程具有一个非零的正周期T，即f(x+T) = f(x)，则该函数或方程通常是可积的。
5.解析性：解析函数是一类保证可积性的特殊函数。
如果一个函数在其定义域内可以展开成幂级数的形式，则该函数通常是可积的。
6.特殊函数性质：一些特殊函数具有良好的可积性质，如正弦函数、余弦函数、指数函数等。
利用特殊函数的性质，我们可以判断一个函数或方程的可积性。
总结可积性是数学中一个重要的概念，用来判断一个函数或方程在其定义域内是否可以通过某种方法求出其解析解或近似解。
常见的可积判断条件包括连续性、有界性、可导性、周期性、解析性以及特殊函数性质等。
通过对这些条件的判断，我们可以初步确定一个函数或方程的可积性，从而选择合适的方法进行求解。
希望本文可以帮助读者更好地理解可积判断条件的概念与应用，进一步提升在数学领域的建模与求解能力。
函数可积的定义
函数可积的定义函数可积的定义函数可积是数学分析中一个重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍函数可积的定义及其相关概念。
一、黎曼可积黎曼可积是最常见的函数可积性质之一。
一个函数f(x)在区间[a,b]上黎曼可积，当且仅当它满足以下条件：1. 在[a,b]上有限。
2. 在[a,b]上几乎处处连续。
3. 对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当将[a,b]分成若干个小区间时，每个小区间的长度都小于δ时，这些小区间上所有函数值之和与它们的长度之积差的绝对值都小于ε。
二、黎曼和为了更好地理解黎曼可积性质，我们需要介绍一下黎曼和。
将区间[a,b]平均分成n个子区间，则每个子区间的长度为Δx=(b-a)/n。
设xi=a+iΔx，则第i个子区间为[xi-1,xi]。
则f(x)在第i个子区间上取任意一个点ξi，则可以得到如下式子：∑f(ξi)Δx其中∑表示对i从1到n求和。
这个式子就是黎曼和。
三、黎曼积分当n趋向于无穷大时，黎曼和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的黎曼积分，记作∫abf(x)dx。
如果这个积分存在，则函数f(x)在区间[a,b]上黎曼可积。
四、勒贝格可积除了黎曼可积外，还有一种更普遍的函数可积性质，即勒贝格可积。
一个函数f(x)在区间[a,b]上勒贝格可积，当且仅当它满足以下条件：1. 在[a,b]上有限。
2. 对于任意给定的ε>0，存在一个划分P={x0,x1,...,xn}，使得对于所有小区间[xk-1,xk]，它们的长度之和小于δ时，这些小区间上所有函数值之和与它们的长度之差的绝对值都小于ε。
三、勒贝格积分与黎曼积分类似，勒贝格可积函数也有对应的勒贝格积分。
不同之处在于，在计算勒贝格和时需要使用集合论中的测度概念。
如果一个函数f(x)在区间[a,b]上勒贝格可积，则它在区间[a,b]上的勒贝格积分存在。
四、黎曼与勒贝格可积的关系黎曼可积是勒贝格可积的充分条件，但不是必要条件。
可导,连续,可微,可积之间的关系
可导,连续,可微,可积之间的关系在微积分学中，可导、连续、可微和可积是几个基本概念，它们之间的关系非常密切。
本文将从这几个概念的定义入手，逐一探讨它们之间的联系和区别。
一、可导和连续在数学中，函数的可导性是指函数在某一点处的导数存在。
而连续性则是指函数在某一点处的极限存在且等于函数在该点的函数值。
可导和连续的关系非常密切，它们之间的联系可以用以下定理来描述：定理1：若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处连续。
证明：根据导数的定义，我们有：f'(x0)=lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h因此，当h->0时，f(x0+h)-f(x0)趋近于0，即：lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]=0因此，f(x)在x0处连续。
从上述定理可以看出，可导性是连续性的一种更高级别的要求。
如果一个函数在某一点处可导，那么它在该点处一定连续。
二、可微和可导在微积分学中，可微性是指函数在某一点处存在一个线性逼近，该逼近可以用函数在该点处的导数来表示。
而可导性是指函数在某一点处的导数存在。
可微和可导的关系可以用以下定理来描述：定理2：若函数f(x)在点x0处可微，则f(x)在x0处可导。
证明：根据可微性的定义，我们有：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+o(x-x0)其中，o(x-x0)表示x->x0时，x-x0趋近于0的高阶无穷小量。
将x=x0+h代入上式，得到：f(x0+h)=f(x0)+f'(x0)h+o(h)因此，当h->0时，f(x0+h)-f(x0)趋近于0，即：lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h=f'(x0)因此，f(x)在x0处可导。
从上述定理可以看出，可微性是可导性的一种更高级别的要求。
如果一个函数在某一点处可微，那么它在该点处一定可导。
三、可积和连续在微积分学中，可积性是指函数在某一区间上的积分存在。
函数的原函数与函数的可积性
函数的原函数与函数的可积性
在高等数学中，原函数的概念和定积分的概念虽建立的背景不同，但通过微积分基本公式的建立却将两者有机的结合起来。
与此同时，在学习过程中，许多学生会认为“一个函数可积，则它的原函数必定存在”或“一个函数的原函数存在，则该函数必定可积”，其实这两个结论是不正确的.本文结合具体例子，来讨论原函数存在性与可积性之间并没有必然联系。
函数可积：可积性的充分条件：1，函数在闭区间连续；2，函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；3函数在闭区间上单调；可以看出此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。
原函数存在：原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。
此条件为充分条件，而非必要条件。
即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。
由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。
需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。
一、在区间上可积的函数不一定存在原函数
【例1】设函数，则显然在上可积，
但是由于在点处间断，且是第一类间断点，所以在上不存在原函数。
二、在区间上存在原函数的函数不一定可积
【例2】设函数，则易知
在区间有原函数；但是由于在区间上无界，故在此区间上不可积。
通过上述两个例题的讨论，不难发现，函数的可积性和原函数存在性，是两个不同的概念，它们互不蕴含.即可积函数既可能存在原函数，也可能不存在原函数；反过来，原函数存在的函数，可能可积也可能不可积.因此在学习中只有理解概念之间的内在关系，才能从本质上真正把握高等数学中的概念，乃至深刻理解微积分的思想。
函数可积性
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
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4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
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第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
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一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
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函数f,│f│,f^2可积性间的关系
函数f,│f│,f^2可积性间的关系
许多函数的绝对值及平方可积性是物理学家和数学家们非常关注的定理，也是描述数学和物理现象的重要工具。
在这里，我们将谈论函数f、其绝对值│f│和平方f^2之间可积性的关系。
首先要解释的是什么是可积性。
可积性是指给定一组函数，它们的积分必须存在并可以通过特定的规则求出。
让我们来看看f、│f│和f^2之间的可积性的相互关系。
首先，如果已经知道函数f是可积的，那么它的绝对值│f│也是可积的，这是因为当f的值变成负值的时候，可以通过改变积分的符号来处理它。
所以当f是可积的时候，│f│也是可积的。
此外，如果已知函数f 是连续的，那么它的平方函数f^2也是可积的，这是由于f^2可以被解释为f的积分，而f又是连续的，所以可以得出f^2也是可积的结论。
因此，可以看出f、│f│和f^2之间的可积性是有一定的相互关系的。
在结束语中，f、│f│和f^2之间的可积性不仅涉及到物理学和数学，而且也关系到我们生活中的很多方面，它为我们提供了一个帮助更好地理解不同科学原理的有效工具。
只要正确地使用这些工具，我们就能够从中受益良多。
函数fx可积的条件
函数fx可积的条件函数$f(x)$可积的条件取决于所处的数学领域和具体的定义。
下面列出了几种常见的情况。
1. 在实分析中，一个函数$f(x)$在区间$[a, b]$上可积的条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得对于区间$[a, b]$上的任意分割$\{x_0, x_1, ..., x_n\}$，只要这个分割的每个子区间的长度都小于$\delta$，则这个分割下的上和下和的差值小于$\epsilon$，即$U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$。
其中$U(f, P)$和$L(f, P)$分别表示上和下和。
2. 在复分析中，一般定义了可积函数的概念。
一个函数$f(z)$在复平面上可积的条件是：存在一个复数$I$，使得对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得对于复平面上的任意圆盘$D(z, r)$，只要这个圆盘的半径小于$\delta$，则这个圆盘上的积分与$I$的差值小于$\epsilon$，即$\left|\int_{D(z, r)} f(z) \, dz - I\right| < \epsilon$。
3. 在离散数学中，可以定义函数$f(x)$在整数集上的可积性。
一个函数$f(x)$在整数集上可积的条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于整数集$\{x_1,x_2, ...\}$中的任意有限个元素$\{x_{n_1}, x_{n_2}, ...,x_{n_k}\}$，只要这些元素的最大值大于$N$，则这些元素上的函数值的和的差值小于$\epsilon$，即$\left|\sum_{i=1}^{k}f(x_{n_i}) - \sum_{i=1}^{k'} f(x'_{n_i})\right| < \epsilon$。
需要注意的是，不同的数学领域和定义可能会有不同的可积性条件。
原函数与可积性
原函数与可积性一、f(x)在区间I上的原函数存在与f(x)在区间I上可积有什么关系么？总的来说原函数存在和函数可积没有必然的联系。
1、可积性：(i) 若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上可积；(ii)若函数f在区间[a,b]上单调，则f在[a,b]上可积；(iii)若有界函数f在区间[a,b]上仅有有限个间断点，则f在[a,b]上可积。
由以上的可见，有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是可积的；可以概括为可积的两大条件：积分区间有限、被积函数几乎处处连续。
不过大家肯定会问上面所说的条件中第二个“几乎处处连续”的意思，由连续性定义，x0左右极限等于函数在f(x0)值，则函数在x0点连续；那么如果在某点处不连续则会出现间断点，所以“几乎处处连续”就是指函数的间断点是“有限个间断点”。
但是这个“有限个间断点”到底是第一类间断点还是第二类间断点或者全可以？由“函数的间断点是‘有限个间断点’时，有界函数可积”可知被积函数有界是第二个条件前提，是函数可积的必要条件，所以f在区间[a,b]上有第二类的无穷型间断点时一定不可积。
因此可积必有界，有无穷间断点的函数必无界，所以必不可积。
1.1、性质：若f(x)在[a,b]上可积，那么f(x)在[a,b]上的以任取c∈[a,b]为下限的变上限积分函数连续。
当函数存在间断点时，这里的间断点可以是第一类间断点和第二类的振荡间断点，由f(x)在[a,b]上可积，可推论出“变上限积分形成的函数”也是几乎处处连续。
2、原函数存在性：(i)若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上原函数一定存在；(ii)若函数f在区间[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数；(iii)若函数f在区间[a,b]上有第二类无穷型间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数。
但是f(x)在（a,b）上无界的函数，在（a,b）上并不一定没有原函数存在。
7-2可积性理论简介
n
| f (1 )x1 || I | 1 | f (i )xi |,
i2
|
f
(1 ) |
1
x1
(|
I
| 1
|
n i2
f (i )xi |).
固定i [ xi1 , xi ], i 2,3,, n, 1在[ x0 , x1 ]上任取,
易见f ( x)在[ x0 , x1 ]上有界, 其他类似.
D( f ) D( 1 ) f
(4) 若f与g在[a,b]上可积, 那么对任何实数
, ,函数f g 在[a,b]上可积; fg在
[a, b]上也可积.
D(f g) D( f ) D( g), D( fg) D( f ) D( g).
(5) 若f在[a,b]上可积, 那么对任何[c,d ] [a,b], f在[c,d ]上可积.
性质1. 当分割固定时,
n
S(
f
,
)
inf i
i 1
f
( i
)xi
,
n
S( f , ) sup f (i )xi . i i1
性质2.
设 '是分割添加k个新的分点得到
的新分割,则
S( f , ) S( f , ') S( f , ) k , S( f , ) S( f , ') S( f , ) k . 即分点增加后, 下和不减,上和不增.
若函数f在有限区间[a, b]上有界 , 那么f在[a, b]上 Riemann可积的充要条件是 D( f )是一零测集.
其中: D( f ) { x [a,b]: f在x处不连续}
4. 推论
(1) 若f在[a,b]上只有至多可数的间断 点, 那么f在[a, b]上Riemann可积.
判断可积的三个条件
判断可积的三个条件在数学分析中，可积性是衡量一个函数是否能够被积分的重要指标。
在实际应用中，可积性是很重要的，因为它可以用来计算函数的面积，体积，概率等等。
可积性的研究是数学分析领域的基础理论之一。
在下面的文章中，我们将介绍判断一个函数是否可积的三个条件。
一、有界性在分析学中，如果一个函数在定义域上有界，则它是可积的。
这个条件也称为黎曼可积的充分条件之一。
所谓有界性，指的是函数的取值范围在一个确定的范围内，这个取值范围可以是有限的或无限的。
这个条件的意义在于，只有在函数取值有限的情况下，才能够保证函数的积分值也是有限的。
举个例子，如果一个函数 f (x) 在定义域 [a,b] 上有界，那么我们可以找到两个数M 和 m，使得M ≥ f (x) ≥ m 对于所有的x ∈ [a,b] 成立。
那么 f (x) 在 [a,b]上的积分值 I(f) 就可以用下面的公式来表示：I (f) = ∫a^b f (x) dx ≤ M (b - a)由于 M 和 m 都是有限的，因此 I(f) 也是有限的。
这就证明了有界性是判断一个函数是否可积的充分条件之一。
二、分段连续性所谓分段连续性，指的是函数的定义域可以分为有限个区间，在每个区间上函数是连续的，但在两个区间之间可能存在间断点。
对于一个分段连续的函数 f (x)，其在每个区间上的积分值可以通过黎曼积分来计算。
如果这些积分值都是有限的，则函数 f (x) 是可积的。
需要注意的是，分段连续性只是判断一个函数是否可积的必要条件之一，但并不是充分条件。
也就是说，如果一个函数是分段连续的，还需要满足其他条件才能够保证它是可积的。
三、可积性定理所谓达布可积性，指的是对于一个定义在区间 [a,b] 上的函数 f (x)，如果存在一个分割 {x0,x1,x2,...,xn}，使得满足：1、Δx = max (xi - xi-1) → 0 (i = 1,2,...,n)，即分割的区间越来越小；2、每个子区间 [xi-1, xi] 上的上积分和下积分之差越来越小，即：sup{U(f,P)} - inf{L(f,P)} → 0其中，U(f,P) 和 L(f,P) 分别表示在分割 P 下的上积分和下积分，sup 和 inf 分别表示上确界和下确界。
函数连续与可积的关系
函数连续与可积的关系
函数的连续性和可积性是两个不同的概念，但它们之间存在一定的联系。
下面分别介绍连续性和可积性的定义，并讨论它们之间的关系。
1. 连续性：
如果函数 f 在某一点 c 的邻域内，无论 c 有定义与否，函数 f 都趋于同一个极限 L ，则称函数 f 在点 c 处连续。
如果函数 f 在定义域上的每一个点都连续，则称函数 f 在整个定义域上连续。
2. 可积性：
对于定义在区间 [a, b] 上的函数 f ，如果存在一个数值 I ，使得对于任意给定的正数ε ，总存在一个正数δ ，当将 [a, b] 区间分割得到的所有子区间的长度都小于δ 时，这些子区间上的和函数与 I 的差的绝对值都小于ε ，则称函数 f 在区间 [a, b] 上可积。
函数的连续性可以保证其可积性，即连续函数都是可积的。
这是因为连续函数在一个有限区间上局部变化有限，不会出现振荡现象，因此在求和函数与真实值之间的差距可以控制在任意小的范围内。
在实际计算中，连续函数通常可以通过积分求得其定积分值。
然而，可积性并不能保证连续性。
存在一些非连续函数在某些区间上仍然是可积的，比如分段连续函数。
这些函数在分段连续的每个区间上是连续的，但在区间之间存在跳跃点，使得整
个函数在定义域上不连续。
综上所述，函数的连续与可积之间存在一定关系，但它们并不一致。
连续性可以保证可积性，但可积性不能保证连续性。
可积函数的性质
可积函数的性质
可积函数的函数可积的条件：1、函数有界；2、在该区间上连续；3、有有限个间断点。
函数可以定义在点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。
勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。
在
最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。
勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。
最早对分数运算的定义就是对于非负值和足够多扁平的函数来说，其分数相等于采用
谋音速的手段去排序一个多边形的面积。
但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中
的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来
定义相应的积分运算。
函数可积,则函数连续。
函数可积,则函数连续。
函数的可积性是数学中的一个重要概念，它与函数的连续性有着密切的关系。
函数的可积性是指函数在某个区间上的积分存在且有限，而函数的连续性则是指函数在某个区间上的各个点都存在极限且极限值相等。
那么，函数可积是否能够保证函数的连续呢？首先，我们来考虑函数可积的条件。
根据积分的定义，函数可积意味着在某个区间上的积分存在且有限。
也就是说，函数的积分可以通过某种方法计算出来，并且积分的结果是一个有限的实数。
这要求函数在该区间内没有无穷大的增长或者突变，否则积分结果将会发散。
对于函数连续的条件，我们知道连续函数在某个区间上的各个点都存在极限且极限值相等。
也就是说，函数的图像在该区间上没有断裂或者突变，可以通过绘制连续的曲线来表示。
连续函数的特点是能够在某一点无限接近于该点的极限值，而不会出现跃变或者间断。
根据函数可积的定义，我们可以得出结论：函数可积，则函数连续。
也就是说，如果一个函数在某个区间上是可积的，那么它一定是连续的。
这是因为函数的可积性要求函数在该区间内没有突变或者跃变的情况，而连续性也要求函数在该区间内没有断裂或者间断的情况，所以两者是相互兼容的。
然而，需要注意的是，函数连续并不能保证函数的可积性。
虽然函数连续意味着函数的图像没有断裂或者间断，但并不意味着函数在该区间上的积分存在且有限。
函数的可积性还需要进一步的条件，比如函数在该区间上的振幅不能太大，不能存在间断点等。
综上所述，函数可积可以保证函数的连续，但函数连续并不能保证函数的可积。
函数的可积性是函数连续的一个更为严格的要求，它需要函数在某个区间上的积分存在且有限。
函数的可积性和连续性是函数分析中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
对于研究函数的性质和求解积分问题非常有帮助。
因此，在深入研究函数的性质和特点时，我们需要充分理解函数的可积性和连续性之间的关系，并加以应用和探索。
函数可积与原函数存在的关系
函数可积与原函数存在的关系对于函数可积性与原函数存在性的关系，我们首先需要明确函数可积的定义。
在数学中，一个函数在某个区间内是可积的，意味着它在该区间上的积分存在。
而原函数指的是一个函数的导数。
函数可积与原函数存在的关系是密切相关的。
换句话说，若一个函数是可积的，那么它就有一个原函数存在。
证明这个关系的方式是通过反证法。
假设我们有一个函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，但是它没有原函数F(x)存在。
根据我们对函数可积性的定义，我们可以使用这个函数来构造一个新函数F(x)，并定义它为F(x)=∫f(t)dt，其中t从a到x。
现在我们需要验证这个函数F(x)的性质。
首先我们可以计算F'(x)的导数，并使用积分的性质来求导：F'(x)=d/dx∫f(t)dt根据导数与积分的关系，我们可以将导数和积分符号互相转换，得到：F'(x)=f(x)由于我们假设函数f(x)没有原函数存在，所以这里出现了矛盾。
这个矛盾表明，我们的假设是错误的，即函数f(x)一定有一个原函数F(x)存在。
这个证明说明了函数可积性与原函数存在性之间的紧密联系。
如果一个函数是可积的，那么它就一定有一个原函数存在。
在实际应用中，可积性和原函数存在性是非常重要的概念。
通过研究一个函数的可积性，我们可以得到它的原函数，并从中推导出更多有用的数学性质。
对于实时数据的处理、曲线分析以及微积分等领域，这些概念都发挥着重要的作用。
总结起来，函数可积与原函数存在的关系是紧密相连的。
函数可积意味着它的积分存在，而原函数则表示了一个函数的导数。
证明表明，如果一个函数是可积的，那么它一定有一个原函数存在。
这个关系在数学和应用领域都具有重要意义，对于数学推导和实际问题的解决都有着重要的作用。
实变函数的可积性与积分的应用
实变函数的可积性与积分的应用在数学中，实变函数是研究实数域上的函数的一门学科。
实变函数的可积性是指函数在某个区间上是否满足黎曼可积的性质。
黎曼可积是指函数在有限闭区间上的积分存在且有限。
本文将探讨实变函数的可积性以及积分在实际应用中的作用。
一、实变函数的可积性1. 可积函数的定义对于一个实变函数f(x)，如果存在一个有限值I，使得对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当区间[a,b]的划分P满足P的每个子区间的长度小于δ时，对应的黎曼和S(f,P)满足|S(f,P)-I|<ε，那么称函数f(x)在区间[a,b]上是可积的。
2. 可积函数的性质可积函数具有以下性质：（1）有界性：可积函数在有限闭区间上必定是有界的。
（2）可积性的传递性：如果函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，而在区间[b,c]上也是可积的，那么在区间[a,c]上也是可积的。
（3）可积函数的和与积：如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上是可积的，那么它们的和f(x)+g(x)和积f(x)g(x)在区间[a,b]上也是可积的。
二、积分在实际应用中的作用1. 几何应用积分在几何学中有着广泛的应用。
例如，通过计算曲线下的面积可以求解很多几何问题。
以一个简单的例子来说明，假设有一个曲线y=f(x)，我们想计算曲线与x轴之间的面积。
我们可以将曲线下的区域划分为无数个矩形，然后对每个矩形的面积进行求和，最后取极限得到曲线下的面积。
这个过程就是对函数f(x)进行积分的过程。
2. 物理应用积分在物理学中也有着重要的应用。
例如，计算物体的质量可以通过对密度函数进行积分来实现。
假设物体的密度是一个实变函数ρ(x)，我们可以将物体划分为无数个小体积，然后对每个小体积的质量进行求和，最后取极限得到整个物体的质量。
这个过程也是对函数ρ(x)进行积分的过程。
3. 统计学应用积分在统计学中也有着重要的应用。
例如，在概率密度函数中，积分可以用来计算某个随机变量落在某个区间内的概率。
三类函数可积
三类函数可积
函数可积性是微积分中的一个重要概念，它决定了函数在某个区间上的定积分是否存在。
根据函数的特性，通常可以将函数分为三类：连续函数、有界函数和单调函数。
这三类函数都是可积的。
连续函数是指函数在定义域内的每一点都连续，没有间断点。
对于连续函数，其图像是连续不断的曲线，因此，在闭区间上的连续函数一定存在定积分。
这个结论是微积分学中的基本定理之一。
有界函数是指函数在定义域内有上界和下界。
有界函数的图像总是在上下界之间波动，因此，有界函数在闭区间上也是可积的。
单调函数是指函数在某个区间内单调增加或单调减少。
单调函数的图像是单调上升或单调下降的直线，因此，单调函数在闭区间上也是可积的。
值得注意的是，这三类函数只是可积函数的一部分，还有一些函数不属于这三类，但也是可积的。
例如，一些有震荡间断点的函数在某些区间上也是可积的。
综上所述，三类函数可积是因为它们在闭区间上都有一定的性质，保证了定积分的存在性。
这些性质包括连续性、有界性和单调性。
这些结论在微积分学中具有重要的应用价值，例如在计算面积、解决物理问题等方面都有广泛的应用。
同时，这些结论也是进一步学习微积分学的基础。
可积性和连续性
可积性和连续性在数学中，可积性和连续性是两个非常重要的概念。
虽然它们的定义和应用各自不同，但都是数学中经典的重要概念。
本文将从两个方面讨论可积性和连续性的含义和应用。
一、可积性1. 可积性的概念在数学中，可积性通常用来描述一个函数是否可以被积分。
一个函数在一个区间上可以被积分的条件是它是可积函数。
可积性的概念有不同的定义，但最常见的定义是黎曼可积性和勒贝格可积性。
黎曼可积性是指一个函数在一个区间上满足上下黎曼积相等的条件下，可被称为黎曼可积函数。
更具体来说，一个函数在一个区间上黎曼可积的条件为存在一个分割，当取分割的任何一组上下和时，当分割的最大子区间长度趋近于零时，上下黎曼和都趋近于一个定值。
2. 可积性的应用在数学中，可积性的应用十分广泛。
一些重要的应用包括求解面积、体积、平均数等，都需要借助可积性的概念。
例如，通过将区间分割成很多小部分，我们可以使用黎曼和计算一个曲线下面积的值。
同样地，通过将一个三维对象分割为很多小部分，我们可以使用黎曼和计算一个三维对象的体积。
二、连续性1. 连续性的概念在数学中，连续性通常用来描述一个函数在某一点的“平滑程度”。
如果一个函数在某一个点上的值变化很小，我们可以说这个函数在该点上连续。
数学上通常使用极限的概念来判断一个函数是否连续。
更具体来说，在数学中，对于一个函数$f(x)$如果在点$x=a$处的极限$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$存在，且与$f(a)$相等，那么$f(x)$在$x=a$处是连续的。
2. 连续性的应用连续性在数学中的应用非常广泛。
在微积分中，很多重要的定理都涉及到了连续性的概念，比如介值定理、极值定理、微分中值定理等。
同时，在几何学中也有许多重要的应用，比如说如果我们想通过在一个点上取极限来确定某个曲面的相切平面，我们需要使用连续性的概念来确保我们得到的相切平面是正确的。
总结综上所述，可积性和连续性都是数学中经典的重要概念。
有无穷多个不连续的点但是可积的函数
有无穷多个不连续的点但是可积的函数有无穷多个不连续的点但是可积的函数在数学中，有一个非常有趣的概念，那就是函数的可积性。
在我们平常的直觉中，我们可能会认为一个函数如果有无穷多个不连续的点，那么它就不可能是可积的。
然而，数学世界中的很多概念往往超出了我们的直觉，因此我们需要深入探讨这个主题。
1. 什么是可积函数？让我们从可积函数的定义开始。
在数学分析中，一个函数在一个区间上可积，指的是这个函数在该区间上的积分存在且有限。
这就意味着，我们可以对这个函数在该区间上进行积分运算，并且得到一个有限的结果。
这个概念在微积分和实分析中有着重要的应用，因此对于可积函数的研究也是非常深入和广泛的。
2. 无穷多个不连续的点接下来，让我们思考一个问题：一个函数如果有无穷多个不连续的点，那么它一定是不可积的吗？在一般的直觉中，我们可能会认为这样的函数太过于“破碎”，不可能有着良好的积分性质。
然而，这个问题实际上要复杂得多。
事实上，存在一些函数，它们在某个区间上有着无穷多个不连续的点，但却是可积的。
这似乎与我们的直觉相悖，因此需要通过严格的数学推导和论证来加以证明。
3. 举例说明让我们来举一个具体的例子来说明这个问题。
考虑函数f(x)，它在区间[0,1]上的定义如下：f(x) = 1, 当x为有理数时；f(x) = 0, 当x为无理数时。
这个函数在[0,1]上有着无穷多个不连续的点，因为有理数和无理数在实数轴上是密集分布的。
然而，通过严格的积分计算，我们可以证明这个函数在[0,1]上是可积的，并且其积分结果为0。
这就是一个具体的例子，证明了一个函数即使有无穷多个不连续的点，也可能是可积的。
4. 总结与回顾通过以上的讨论，我们可以看到，一个函数是否可积并不仅仅取决于它的不连续点的数量，还取决于这些不连续点的性质以及函数本身的性质。
在数学分析中，有关可积函数的研究是非常深入和复杂的，需要借助于严格的数学推导和逻辑论证。
在我看来，可积函数这一概念展现了数学世界的丰富性和深刻性。
可积函数与不可积函数
可积函数与不可积函数在数学中，函数的可积性是一个重要的概念。
可积函数是指在给定区间上存在定积分的函数，而不可积函数则是指不存在定积分的函数。
在本文中，我们将探讨可积函数与不可积函数之间的区别和性质。
首先，我们需要明确什么是定积分。
定积分是一种对函数在给定区间上的面积进行计算的工具。
一个函数在闭区间[a, b]上可积的条件是，该函数在该区间上连续或者仅有有限个间断点。
在这种情况下，我们可以通过积分来计算函数在该区间上的面积。
可积函数具有一些重要的性质。
首先，可积函数的积分是唯一的。
也就是说，同一个函数在一个给定区间上的定积分结果是确定的，不会因为采用不同的积分方法而有所变化。
其次，可积函数的积分具有可加性。
这意味着，在给定的区间上，如果我们将一个可积函数分割成多个子区间，那么整个函数在整个区间上的积分等于这些子区间上的积分之和。
在实际应用中，可积函数常常用于计算曲线的长度、质心位置以及物理相关的问题。
通过定积分，我们可以对曲线的某个属性进行精确的计算，并得到准确的结果。
这在工程、物理学、经济学等领域中具有广泛的应用。
然而，并不是所有的函数都是可积的。
不可积函数是指在给定区间上不存在定积分的函数。
这一般是由于函数在给定区间上不满足连续性或者间断点太多所导致的。
不可积函数的存在也是数学中的一个重要概念，它们有着广泛的研究价值。
在实际问题中，我们经常会遇到不可积函数的情况，这就需要采用其他的数值方法来进行计算。
与可积函数不同，不可积函数的性质更加复杂且多样化。
不可积函数可能会出现奇异点、震荡、发散等现象，这使得它们的研究和计算更具挑战性。
在实际应用中，我们需要通过数值计算或者近似方法来处理这些不可积函数。
总结起来，可积函数与不可积函数是数学中的两个重要概念。
可积函数具有连续性和有限间断点的特点，可以通过定积分来计算其在给定区间上的面积。
不可积函数则是指在给定区间上无法进行定积分的函数，其性质更加复杂并且具有多样性。
函数可积,则函数连续。
函数可积,则函数连续。
函数可积是指函数在一定区间上的积分存在且有意义。
换句话说，对于一个可积函数，其定积分是存在的，可以通过积分的定义或其他方法求得一个确定的值。
函数可积的概念是微积分学中非常重要的内容，它对于理解积分的性质和应用有着重要的意义。
首先，我们来说明函数可积的定义和性质。
在实数轴上，如果一个函数f(x)在区间[a, b]上有定义，在[a, b]上的绝对值|f(x)|是可积的，那么函数f(x)在[a, b]上就是可积的。
换言之，一个函数在某个区间上可积，必须满足函数在该区间上有定义，并且其绝对值在该区间上也是可积的。
函数可积的概念与积分的定义密切相关。
在微积分学中，我们知道，对于一个可积函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分可以通过黎曼和或黎曼积分的定义求得。
具体地说，如果函数f(x)在区间[a, b]上一致收敛于某个数L，那么L就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，我们用符号∫_a^b f(x)dx表示。
函数可积的概念就是确保了在一定条件下，函数的定积分是存在的。
接下来，我们来看可积函数的性质。
一般来说，对于可积函数在区间[a, b]上的定积分，其具有一些基本的性质。
首先，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么它在该区间上必然是有界的。
这是因为可积函数的定义要求函数在区间上的绝对值可积，所以函数本身也必然是有界的。
其次，可积函数的和、积、倍数以及积分区间的改变都能保持可积性。
这就意味着，对于可积函数，我们可以在区间上进行合法的运算，并且对定积分的积分区间进行变换。
在实际应用中，函数可积的概念对于分析和计算定积分的结果至关重要。
首先，在物理学、工程学等应用中，我们经常需要计算某些曲线下的面积或者某些物理量的总量，这就需要使用定积分的方法。
而可积函数的概念保证了我们可以对这些函数进行积分，得到确定的结果。
其次，在数学分析中，函数的可积性涉及到许多重要的结论和定理，如黎曼黎曼积分定理、黎曼积分的性质等，这些都与可积函数的性质密切相关。
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2
*
2
设 T 有 n 个分点 , 将 T 的分点添加到 一个新的划分 分点 .
2012-12-27
T 中 , 得到 n个
18
T 1 , 这样的 T 1 与 T 相比最多增加
19
根据性质2， 0
取
S ( T ) S ( T1 ) n ( M m )
1
n( M m ) 2
与
S (T 2 ) S (T1 )
k 个新分点 , 则有
s (T 2 ) s (T1 ) k ( M m )
S (T1 ) S (T 2 ) k ( M m )
其中
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M sup
x [ a , b ]
f (x)
m inf
x [ a , b ]
f (x)
13
[证] 只须证明增加一个新分点时，性质成立
设增加一个分点 x [ x k 1 , x k ]
记此划分为 T2
s ( T 1 ) 在 [ x k 1 , x k ]上的项是 m k ( x k x k 1 )
:
m k
s ( T 2 ) 在 [ x k 1 , x k ]上的两项和是
D ( k ) x k 0
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故 Dirichlet
函数在 [ 0 , 1 ] 上不可积
6
[ 例 2 ] 计算定积分
1 0
e dx
1 n
x
[解]
将 [ 0 , 1 ] n 等分 , 得 x k
取 k
k n
( k 0 , 1, 2 , , n 1)
:
m k
mk
m ( x x k 1 ) m ( x k x ) k k
因为 mk m , k mk m k
x k 1 x xk
m k ( x k x k 1 ) m k ( x k x ) m k ( x x k )
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:
k 1
n
f ( k ) x k , 记 max
1 k n
x k ,
3
如果和式极限
lim
0
k 1
n
f ( k ) x k 存在 , 则
称 f 在 [ a , b ] 上可积 , 记 f R [ a , b ]; 并且 称此极限值为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的定积分 .
*
2
2
即 0 , 0 , 对于任意划分 就有
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T , 只要 ,
0 S (T ) I
即
(T ) 0
lim
S (T ) I
19
（三） 可积性条件 定理1：
设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 , 则 f ( x ) 是 : 在 [ a , b ] 上可积的充分必要条件 下积分等于上积分 ,即 I I .
y
y f (x)
x
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o
a
b
9
定义：（达布上和与下和）
设 f ( x ) 是 [ a , b ] 上有界函数 是 [ a , b ] 的一个划分 mk Inf : , 记 M
k
,T Sup
x k k 0
n
f ( x )
x [ x k 1 , x k ]
,则 , 有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
0 S ( T ) S ( T1 ) n ( M m ) n ( M m )
0 S ( T ) I [ S ( T ) S ( T 1 )] [ S ( T 1 ) I ]
2
[ S (T ) I ]
sup
k [ x k 1 , x k ] k 1
n
f ( k ) x k
12
性质2：（分点增多时，小和不减，大和不增）
对 [ a , b ] 的一个划分 T 1 , 增加某些新分点 T2 , 有 , 构成 [ a , b ] 的一个新划分
s (T1 ) s (T 2 )
如果增加
[注意2] 对同一个分法，上和与下和的关系是:
s (T ) S (T )
2. 达布上和、下和的性质
设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界
性质1： 对于
[ a , b ] 的一个划分
n
T , 任意黎曼和
都介于下和
s( T )
且
s ( T ) 与上和 S ( T ) 之间 , 即
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.
5
[ 例 1 ] 证明 Dirichlet 函数 1 D(x) 0 x 为有理数 x 为无理数 在 [ 0 , 1 ] 上不可积
[证]
任给 [ 0 , 1 ] 的一个划分
x k n 0 k
( k 1, , n )
0
n
任取 k [ x k 1 , x k ] 是有理数
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
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第五讲 函数可积性
一、定积分的概念
二、可积性条件与可积类
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2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设函数 作任意划分 f : [ a , b ] R , 对区间 [ a , b ] , 即在 [ a , b ]中插入一组分点 :
inf S ( T ) I
T
f ( x ) 在 [ a , b ] 的 上积分
性质4：（下积分不超过上积分）
对于 [ a , b ] 上的任何有界函数
s ( T ) S ( T )
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T T
f ( x ), 有 I I
即 I 17I
sup s ( T ) inf S ( T )
m k ( x k x k 1 )
[ M k ( x x k 1 ) M k ( x k x )]
m k ( x k x k 1 ) (M (M
k
m k )( x k x k 1 ) m k )
k
s (T 2 ) s (T1 ) k ( M m ) S (T1 ) S (T 2 ) k ( M m )
f ( x ),
S( f , T )
k 1, 2 , , n
x [ x k 1 , x k ]
则称和式
k 1
n
M kxk
s( f , T )
k 1
n
m kxk
达布上和 （大和） 达布下和 （小和）
10
[注意1] 上和、下和是被划分唯一确定的 2012-12-27 这是上和、下和与积分和的主要区别
s( T )
m k f ( k ) M
k
m
k 1
n
k
xk
k 1
n
f ( k ) x k
k 1
n
M k xk S ( T )
再证
S( T )
sup
k [ x k 1 , x k ] k 1
n
f ( k ) x k
Mk
a
”定义：
0 , 0 , 使得对 [ a , b ] 的任意划分 及点 k 的任意取法 就有 , 只要 max
1 i n
x i
,
k 1
n
f ( k ) x k I
则称 I 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上的定积分
构成 [ a , b ] 的一个新划分
根据性质2，有 又对划分 T 有
3
s (T1 ) s (T 3 ) s (T 3 ) S (T 3 )
s (T1 ) s (T 3 ) S (T 3 ) S (T 2 )
即 s (T1 ) S (T 2 )
s (T 2 ) S (T1 )
记作:
积分上限
b a
f ( x ) dx lim
0
k 1
n
f ( k ) x k
积分下限
[a , b ]
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称为积分区间
定积分是 : 积分和式的极限
4
[例如]
曲边梯形的面积 A
b
f ( x ) dx
a
变速直线运动的路程
定积分的“
s
b
v ( t ) dt
[证] 必要性
已知
f 在 [ a , b ] 上可积
b a
f ( x ) dx I
0 , 0 , 使对任意的划分 取法 , 只要 , 就有
n
T , 对 k 的任意
k 1
f ( k ) x k I
n
0, k [ x k 1 , x k ], 使得
ba
f ( k )
因此 （ M k
k 1
n
ba
) x k f ( k ) x k