高三物理巧用极限法分析临界问题(附答案)

高三物理巧用极限法分析临界问题
临界问题的分析是中学物理中较为常见，也是很多同学感到困难的问题之一，这就要求
我们在教学中能不断探索这类问题的分析方法。

极限法分析临界问题，是通过分析把关键物理量同时推向极大和极小时的物理现象，从
而找出解决问题的突破口的一种方法。

下面通过几种情况的分析来体会：
一、关键物理量“力F ”
【例1】如图1所示，物体A 的质量为2kg ，两轻绳AB 和AC(L AB =2L AC )的一端连接在
竖直墙上，另一端系在物体A 上，今在物体A 上另施加一个与水平方向成α=600角的拉力
F 。

要使两绳都能伸直，试求拉力F 的大小范围。

(g=10m/s 2)
分析与解 如果F 很小，由竖直方向平衡知轻绳AB
中必有张力，当AC 中张力恰为零时，F 最小；如果F 很
大，由竖直方向平衡知轻绳AC 中必有张力，当AB 中张
力恰好为零时，F 最大。

设物体的质量为m ，轻绳AB 中的张力为T AB ，AC
中的张力为T AC ，F 的最小值为F 1，最大值为F 2
L AB =2L AC ，有∠CAB=600
由平衡条件有：
F 1sin600+T AB sin600=mg , F 1cos600=T AB cos600
F 2sin600=mg
以上各式代入数据得：F 1=20√3/3N ，F 2=40√3/3N
因此，拉力F 的大小范围：20√3/3N ＜F ＜40√3/3N
此题也可由平衡条件直接列方程，结合不等式关系T AB ＞0，T AC ＞0求解。

二、关键物理量“加速度a ”
【例2】质量为0.2kg 的小球用细绳吊在倾角θ=600的斜面体的顶端，斜面体静止时，
小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图2所示，不计摩擦，求当斜面体分别以（1）2√3m/s 2，
（2）4√3m/s 2的加速度向右加速时，线对小球的拉力。

分析与解 很多同学看到题目就会不加分析的列方程
求解，从而出现解出的结果不符合实际。

其实，如果我们
仔细审题就会发现题目设问的着眼点是加速度。

当小球向
图1
图2—1
右加速运动时，如果加速度a 很小，小球压紧斜面，受力
分析如图2—1；如果加速度a 很大，小球将离开斜面，受
力分析如图2—2。

设小球对斜面的压力为零时，斜面体的加速度为a 0
（即临界加速度），受力分析得：a 0=gcot θ=10√3/3（m/s 2）
（1）因为a=2√3（m/s 2）＜a 0，因此小球仍压紧斜面，
由牛顿第二定律和平衡条件列方程有：
Tcos θ-Nsin θ=ma , Tsin θ+Ncos θ=mg
代入数据解得：T=m （gsin θ+acos θ）=1.2√3 N
（2）因为a=4√3 m/s 2＞a 0，因此小球已飘离斜面，
T=m √g 2+a 2=0.4√37 N （此处也可按（1）的列式
方法求解）。

三、关键物理量“速度v /ω”
【例3】如图3所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。

现给
小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A 、a 处为拉力，b 处为拉力
B 、a 处为拉力，b 处为推力
C 、a 处为推力，b 处为拉力
D 、a 处为推力，b 处为推力
分析与解 a 处的分析很容易，只能为拉力；而b 处则有两种
可能。

当v 或ω很小时，小球的重力大于所需的向心力，杆对球
的作用力为推力；v 或ω很大时，小球的重力不足以提供小球所需
的向心力，杆对小球的作用力为拉力。

故正确答案为AB
【例4】如图4—1所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，一个质量为m 、带电
量为+q 的有孔小球沿着穿过它的竖直长杆下滑，小球与杆之间的滑动摩擦系数为μ，设电
场场强为E ，磁感应强度为B ，电场、磁场范围足够大，求：（1）当小球有最大加速度时
的速度为多大？（2）当小球有最小加速度时的速度为多大？
分析与解 对小球受力分析，如图4—2，开始
速度很小，所受的杆的弹力向右，大小N=qE-qvB ，
随着速度的增大，N 减小，f=μN 减小，加速度
a=（G-f ）/m 增大；小球速度很大时，所受弹力向左，
图2—3
图
3 图4—1
大小为N= qvB –qE，随着速度的增大，N增大，
f=μN增大，加速度a=（G-f）/m减小，直至为零。

（1）当N= qvB –qE =0时，小球有最大加速度
v=E/B。

（2）小球的最小加速度为a=0，则有
mg=f ，f=μN ，N= qvB –qE
由以上各式解得：v=mg/μqB+E/B
四、关键物理量“动量/ 冲量”
【例5】宇航员在某一星球上以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球又落回到原抛出点。

然后他用一根长为l的细绳把一个质量为m的小球悬挂在O点，使小球处
于静止状态，如图5所示，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I
内运动，若小球在运动的过程中始终对
细绳有力的作用，则冲量I应满足什么条件？
图5
分析与解如果给小球的冲量I很小，小球在竖直平面
内摆动，细绳中必有张力；如果给小球的冲量I很大，小球
在竖直平面内做圆周运动，只要过最高点时的速度大于临界
速度，细绳中也有张力。

宇航员所在星球的重力加速度：g=2v0/t
设使小球在竖直平面内摆动的最大冲量为I1，小球获得
的初速度的最大值为v1，由机械能守恒定律：
（1/2）mv12=mg l
解得I1=m v1=2m√v0l/t
设使小球在竖直平面内做圆周运动的最小冲量为I2，小球获得的初速度的最小值为v2，
小球过最高点的临界速度为v临
由机械能守恒定律：（1/2）mv临-（1/2）mv22= - mg2l
由牛顿第二定律与向心力公式：mg=mv临2/l
解得I2=m v2=m√10v0l/t
所以，要使小球在运动过程中始终对细绳有力的作用，给小球的冲量：
I＜2m√v0l/t或I＞m√10v0l/t
五、关键物理量“磁感强度B”
【例6】M 、N 两板间相距为d ，板长均为5d ，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图6—1所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度v 射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感强度B 的范围应为多少？
分析与解 根据左手定则，电子受洛仑兹力向下，
只要从板的最上端进入的电子不从板间穿出，则所有
电子都不会从板间穿出。

如果B 很小，电子运动的轨
道半径很大，将会从板的右端穿出，当电子恰好从N
板的右边缘穿出时，B 最小（如图6—2）；如果B 很
大，电子运动的轨道半径很小，将会从板的左端穿出，
当电子恰好从N 板的左边缘穿出时，B 最大。

（如图
6—3）
设电子不从板间穿出，磁感应强度最小值为B 1，
轨道半径为R 1，电子的质量为m ，带电量为e ，则有：
mv 2/R 1=evB 1， R 12=（5d ）2 +（R 1-d ）2
解得B 1=mv/13de
设电子不从板间穿出，磁感应强度最大值为B 2，
轨道半径为R 2，电子的质量为m ，带电量为e ，则有：
m v 2/R 2=evB 2 ， 2R 2=d
解得B 2=2mv/de
因此，电子不从板间穿出，磁感强度B 的范围是
mv/13de ＜B ＜2mv/de
六、关键物理量“厚度d ”
【例7】如图7—1所示、宽为a 的平行光束从空气斜向射入到两个面平行的玻璃板表面，入射角为450，光束中包含两种波长的波，玻璃对这两种波长的光的折射率分别为n 1=1.5,n 2=√3 。

（1）求每种波长的光入射玻璃板上表面后的折射角；
（2）为了使光束从玻璃板下表面出射时能分成不交叠的两束，玻璃板的厚度d 至少为多少？
分析与解 两种波长的光射到玻璃板表面后，
如果玻璃板的厚度d 较小，光束从下表面出射时，
仍相互交叠，如图7—2；如果玻璃板的厚度d 较
图6—1
图6—3
图7—1
大，光束从下表面出射时，将分成不交叠的两束，
如图7—3，临界厚度如图7—4。

（1）设入射角为i ，经玻璃板折射后，折射率为n 1的光的折射角为r 1，折射率为n 2的光的折射角为r 2
，根据折射定律：n 1=sini/sinr 1 ，n 2=sini/sinr 2
代入数据解得：r 1=arcsin √2/3 ，r 2=arcsin √6/6
（2）如图9—3，由几何关系有：dtanr 1 – dtanr 2 = √2 a
又tanr 1=√14/7 ，tanr 2 =√5/5
代入数据解得：d= 70a/（10√7 – 7√10）
极限法分析临界问题在解题中的应用远不止这些，只要我们用心体会，定会收益匪浅，深感其妙。

图7—3 图7—2 图7—4。