第四章线性系统的可控性和可观性3
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3、最小实现
定义4.9（最小实现定义）：
传递函数矩阵)(s G 的一个实现（没有相同的零、极点或相同零、极点已经对消）
Cx
y Bu Ax x
=+=
称为最小实现。如果)(s G 中不存在其它实现
x
C y u B x A x
=+=
使x 的维数小于x 的维数。
定理4.11：
传递函数矩阵)(s G 的一个实现∑),,(C B A
Cx
y Bu Ax x
=+=
为最小实现的充分必要条件是∑),,(C B A 既是可控的又是可观测的。
【例4.9.4】试求如下传递函数矩阵的最小实现。 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++++=)3)(2(1
)
2)(1(1
)(s s s s s G
解：（1） ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡
++++++++=⨯)3)(2)(1(1
)
3)(2)(1(3
)(21s s s s s s s s s G
说 明：
设传递函数矩阵为r m s G ⨯)(，在求其最小实现时，先初选一种实现（可控标准型实现或可观测标准型实现）。r 为输入变量的维数，m 为输出变量的维数。
初选规则是：
（1）m r >时，先初选可观测标准型实现。 （2）m r <时，先初选可控标准型实现。
[]13)
3)(2)(1(1
+++++=
s s s s s
[][]{}13116
1161
2
3
++++=s s s s
即
60=a ，111=a ，62=a []13
0=β，[]111=β，[]00
2=β
由21)()(⨯⨯=s G s G r m ，2=r ，1=m ，m r >，故先选可观测标准型。 12100000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡---=m m m
m
m m m
m m m o I a I I a I I a A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣⎡---=61
01101
600
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00
11
13
210βββo B ，[][]10
001===m m m
m o I C
（2）检验可观测标准型实现∑),,(o o o C B A 是否可控。
[]
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------==53
1
1
11111311660013
2
o
o o o o
c B A B A B Q
n rankQ
c
==3，故∑),,(o o o C B A 可控可观测，∑),,(o o o C B A 为最小实现。
四、可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系
定理4.12 ：
SISO 系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。
SISO 系统可控的充分必要条件是：b A sI 1
)(--不存在零极点对消。 SISO 系统可观测的充分必要条件是：1
)(--A sI c 不存在零极点对消。
【例4.9.5】试分析下列系统的可控性、可观测性与传递函数的关系。
（1）u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=105.15
.210 ，[]x y 15.2=
（2）u x x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=15.25.11
5.20 ，[]x y 10=
（3）u x x
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=015.20
1 ，[]x y 01=
解：三个系统的传递函数均为 )
5.2)(1(5.2)
()()(+-+=
=
s s s s U s Y s G
显然存在零极点对消。
（1）b A 、为可控标准型，故此系统可控不可观测。 （2）c A 、为可观测标准型，故此系统可观测不可控。
（3）系统不可控、不可观测。
【例4.9.6】设二阶系统如下图。试用状态空间及传递函数描述判别系统的可控性和可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。
解：由结构图有
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧-+=-=-+-=)(11)(4
521221
x u x y y
s x x u s x 整理后，有：
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=1501
54 ， []u x y +-=11
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--+=---15154)(1
1
s s b A sI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=15)5)(1(1
s s s []1
1
154
11
)
(--⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--+-=-s s A sI c []11)
5)(1(1-+--=
s s s
显然，都出现零极点对消，故系统不可控、不可观测。
分析：系统的特征多项式为)1)(5(-+=-λλλA I ，二阶系统的特征多项式应是二次多项式，但对消的结果是使二阶系统降为一阶。 5
6)
1)(5()1(6)()(1
+-=
-+--=
-=-s s s s b A sI c s G