国科大中科院图论与网络流理论第6章答案

,Vk 是 G I 的一个正常 k -点染色，即 V1 ,V2 ,
V j ,
k i 1
,Vk 是 V (G I ) 的
一个划分，每个 Vi 非空， Vi
Vi V (G I ) 。从而
k i 1
Vi
I V (G ) ，且是
V1 ,V2 ,
因此构成 G 的一个 k 1 正常点染色， 故 (G) k 1 ， ,Vk , I 互不相交的独立集。
(G) (G I ) 1，即 (G) 1 (G I ) 。
结合式（1）得 (G I)
(G) 1 。
证明 2： G 是 k 色临界的，则 (G) k ，且 (G I ) k 1 。 另一方面，若 (G I ) r k 1，无妨设 G I 的一个 r 正常染色为 V1 ,V2 , 则 V1 ,V2 ,
即 (G I ) (G) 1 ，结合（2）式，得 (G I)
(G) 1 。
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证明 4： 因 G 是色临界图， 故 (G I ) (G) 1 ， 另一方面， 假如 (G I ) (G) 2 ， 则 G I 是 (G) 2 色可染的，因 G I 是 G 的子图，对 G I 进行 (G) 2 色正常染色 后，再用第 (G) 1种色对 I 中的点染色，可得 G 的 (G) 1正常点染色，这与 G 的色数
证法 3：假如 (G) ，则由正则性， G 的每个点都与 种颜色的边相关联，从而去掉一 种颜色的边后所得之图 G 是 个顶点的 k 1 正则图。在 G 中看， 2
d (v )
vG
；在
G 中看， 2 d (v) ( 1) ，由于 是奇数，故上二式表明 ， 1 都是偶数。这
(G) 矛盾，故 (G I ) (G) 1 。进而 (G I) (G) 1 。
6.39 设 C (V1 ,V2 ,
,V ) 为简单图 G 的一个顶点正常 -染色，其中 G 的色数。
（1）证明：每个 Vi 中至少存在一个顶点 vi ，它与其余每个 V j 中至少一个顶点相邻。 （2）利用（1）的结论证明：图 G 中至少有 个度大于或等于 1 的顶点。并由此证 明 (G) 1 。 证明： （1）用反证法。假如存在某个 Vi ，Vi 中没有顶点与某个 V j 中的顶点相邻，则 Vi 正常染色。这与 G 的色数是 矛盾。 （2）由（1）的结论，对每个 i ，在 Vi 中都存在至少一个顶点 vi ，它在每个 V j 中都有邻点 （ i 1,2,
Vj
是独立集。这表明 G 的顶点集可划分为 1 个独立集，因此可用 1 种颜色对 G 的顶点
, ; j 1,2,
i 1, i 1,
，故 dG (vi ) 1 ， （i , ） ,2 ,1 ,
。可见 G 中 ）
至少有 个顶点的度不小于 1 。进而 (G) dG (vi ) 1 ，即 (G) 1 。
图论第六章作业题参考解答
6.5（1）证明：对于最大度为 的任何二部图 G，存在着包含 G 的 正则简单二部图。 （2）若 G 是最大度为 的无环图，则存在 正则图以 G 为子图。 证： （1） 设 G 是以 (X, Y ) 为分划的二部图， X {x1 , x2 , 用如下方法构作二部图， 其顶点分别为 { X (1)
证明：因 Gi G ，故 (Gi) ( G ), ( i 1 ,2,
G 的 (G) 色临界子图，由推论 6.2.1， H 是块，故存在 i0 使得 H Gi0 。从而
(G) ( H ) (Gi ) max (Gi ) .
0
i
由以上两式，知 (G ) max{ (Gi )} 。证毕。
, xm }, Y {y1 , y2 ,
, yn } ，若 G
(1) (2)
是正则图，则结论得证；若 G 不是正则图，则 (G) (G) ，将 G 的两个 copy G , G
Y (2) , X (2)
Y (1) } ， X (i ) 与 Y (i ) 中两点间连边
(1) (2)
当且仅当 G 中相应的两点间有连边。然后将 G 中度小于 (G ) 的顶点，在 G , G 它在 G1 中的度仍为 此反复，得到 G

（2）取 G 得拷贝 G ，再取完全图 K 对 G 中度数小于
的任一点 u 及其在 G 中的拷贝 u ，任取 K
vv ，删去该
边，并将 u 与 v 相连边， u 与 v 相连边， 的度达到
，反复上述删边、连边过程 d (u ) ，使 u, u 再取一个新的 1 中边不够用，
i
6.34 设 I 是色临界图 G 的任一个点独立集，证明： (G I) 证明 1：因 G 是色临界图，故
(G) 1 。
(G I ) (G) 1 .
色，即 G 可用 (G I ) 1 种颜色正常染色。因此
（1）
另一方面， G I 可用 (G I ) 种颜色染色，而 I 是独立集，故再用一种色可对 G 正常染
。 再取 G 和 G 中其它点进行上述操作。 若K
K
1
继续，这样构造出的图显然符合要求。 6.8 设 G 是二部图，且 (G) 0 ，证明：图 G 有一种 (G) 边染色，使得所有的色都在 G 的每个顶点上出现。 证（反证法） ：若不存在题目所述的染色，则对 G 的任何 边染色，都存在某点 v V (G) ， 点 v 处有某种色不出现，设其为 i 。又 dG (v) (G) ，故必存在某种色 j ， j 在 u 处出现至 少两次。对最佳 边染色，也是如此。由引理 6.2.2，G [ Ei 圈。这与 G 是二部图矛盾。 6.11 证明：若 G 是非空正则简单图，且 (G ) 为奇数，则 (G) (G) 1 。 证法 1： 设 G 是非空正则简单图， 且 (G ) 为奇数。 假如 (G) (G) ， 则 G 可分解为 (G ) 个边不重的匹配，而每个匹配含的边数至多有 可：设 G 的一个正常
vG
是不可能的。 证法 4：因 (G ) 为奇数，故同一种色的边数不超过
1 ( 1) ，因此 2
(G) (G)( (G) 1 。
由因 G 是正则图， 2
d (v )
1 2
，以上两式结合得
(G) (G) (G)( (G) 1) (G) (G)
从而 (G) (G) ，再由 Vizing 定理知 (G) (G) 1 。 6.26 设 G1 , G2 ,
, Gk 是无环图 G 的所有块，证明： (G) max{ (Gi )} 。 , ) k ，从而 max (Gi ) (G) 。设 H 是
i
i
中的对 时，
应点间添加边， 最后所得之图记为 G1 。 由 G1 的作法，G1 中顶点若对应在 G 中的度为
，而 G1 中其它顶点的度相对于它在 G 中的对应点的度增加 1.若 G1 已 即为所求。
1 ，做如下操作： 1 中一条边
是正则图，则 G1 即为所求；若 G1 不是正则图，则类似于构造 G1 的方法，由 G1 构造 G2 。如
,Vr ，
,Vr , I 构成 G 的一个 r 1 ( k ) 正常染色，这与 (G) k 矛盾，故
(G I ) k 1 ，进而 (G I ) k 1 。
证明 3：因 G 是色临界图，故
(G I ) (G) 1
（2）
设 (G) k ，V1 ,V2 ,
E j ] 中含 u 的连通分支必是奇
1
2
条，故 G 的边数
1
2
(G) 边 染 色 为 C ( E1 , E2 ,
1 ） 。但另一方面，G 是 -正则图，故 2 d( vi) ，这 Ei ,
i 1
2 1 , E ) ， 则 Ei ，故 2
i 1


。 （也
2
2
两方面矛盾。毕。 证法 2：假如 ， 则 (G ) ( (G ) ( G) 1 G ) 。设 G 的一个正常 -边染色为
C ( E1 , E2 ,
, E ) ，则因 G 是 正则简单图，故每种色与 Ei 都在每个点处出现，即每个
Ei 都饱和所有顶点，故为完美匹配。但这与顶点数 是奇数矛盾。毕。