排列组合问题经典题

合集下载

高中排列组合经典例题

高中排列组合经典例题

运用两个基本原理例1.n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果?例2.同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。

其次,我们在抓住问题的本质特征和规律,灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时,还要注意讲究一些解题策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一.特殊元素(位置)的“优先安排法”:对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。

例1.用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()。

A.24个 B.30个 C.40个 D.60个30。

例2.(1995年上海) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法()种.72例3.(2000年全国)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有()种.A33· A72=252例4.从0,1,……,9这10个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个?例5.8人站成两排,每排4人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多少种排法?特殊优先,一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。

在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。

练习1(89年全国)由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有个(用数字作答)。

36三.合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

排列组合问题经典题型与通用方法(全面)

排列组合问题经典题型与通用方法(全面)

()A、60种B、48种C、36种D、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种B、60种C、90种D、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?解析:老师在中间三个位置上选一个有13A 种,4名同学在其余4个位置上有44A 种方法;所以共有143472A A =种。

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。

例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()A、36种B、120种C、720种D、1440种(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?解析:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共66720A =种,选C .(2)解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种,其余5个元素任排5个位置上有55A 种,故共有1254455760A A A =种排法.16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分,下列n 个普通排列:排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.A ,B ,C ,D ,E 五人并排站成一排,如果A ,B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有(一)排序问题12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a - 在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,n 个元素的圆排列数有!n n 种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的1n -元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?解析:首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有44A 种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有2种方式,故不同的安排方式5242768⨯=种不同站法.说明:从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A m 种不同排法.17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?解析:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?解析:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有24C 种,再排:在四个盒中每次排3个有34A 种,故共有2344144C A =种.解析:先取男女运动员各2名,有2254C C 种,这四名运动员混和双打练习有22A 种排法,故共有222542120C C A =种.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封,a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。

排列组合题目精选(附答案)

排列组合题目精选(附答案)

排列组合题目精选(附答案)1.A和B必须相邻且B在A的右边,剩下的C、D、E可以随意排列,因此排列方式为4.即24种。

选项D正确。

2.先计算所有可能的排列方式,即7.然后减去甲乙相邻的排列方式,即2×6.因此不同的排列方式为5×6.即3600种。

选项B正确。

3.第一个格子有4种选择,第二个格子有3种选择,第三个格子有2种选择,因此不同的填法有4×3×2=24种。

选项D 错误。

4.由于每封信可以投入5个信箱中的任意一个,因此总的投放方式为5的4次方,即625种。

5.对于每个路口,选择4名同学进行调查的方式有12选4种,因此总的分配方案为(12选4)的3次方,即154,440种。

6.第一排有6种选择,第二排有5种选择,第三排有4种选择,因此不同的排法有6×5×4=120种。

选项B正确。

7.首先从8个元素中选出2个排在前排,有8选2种选择方式。

然后从剩下的6个元素中选出1个排在后排,有6种选择方式。

最后将剩下的5个元素排在后排,有5!种排列方式。

因此不同的排法有8选2×6×5!=28×720=20,160种。

8.首先将甲、乙、丙三人排成一排,有3!种排列方式。

然后将其余4人插入到相邻的位置中,有4!种排列方式。

因此不同的排法有3!×4!=144种。

9.首先将10个名额排成一排,有10!种排列方式。

然后在9个间隔中插入6个分隔符,每个间隔至少插入一个分隔符,因此有8种插入方式。

因此不同的分配方案有10!÷(6×8)=21,000种。

10.首先将除了甲和乙的8个人排成一排,有8!种排列方式。

然后将甲和乙插入到相邻的位置中,有2种插入方式。

因此不同的派遣方案有8!×2=80,640种。

11.个位数字小于十位数字的六位数,可以从1、2、3、4、5中选出两个数字排列,有5选2种选择方式,即10种。

排列组合经典问题

排列组合经典问题

排列组合经典问题一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A走到B的最短路径有多少种?B A。

排列组合经典题型

排列组合经典题型

排 列 一、优先法例1(1)7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?解:问题可以看作:7个元素的全排列77A =5040.(2)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.(3)7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——66A =720.(4)7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有22A 种; 第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种,所以,共有22A 55A ⋅=240种排列方法(5)7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?解法1(直接法):第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有55A 种方法,所以一共有25A 55A =2400种排列方法解法2:(排除法)若甲站在排头有66A 种方法;若乙站在排尾有66A 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法,所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有77A -662A +55A =2400种.说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑二、捆绑法:例2. 7位同学站成一排,(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有66A 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? 解:方法同上,一共有55A 33A =720种(3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有25A 种方法;将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有25A 44A 22A =960种方法 解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有255A 种方法,所以,丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以,这样的排法一共有14A 55A 22A =960种方法. (4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起解:将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素,时一共有2个元素,∴一共有排法种数:342342288A A A =(种)说明:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).三、插空法例3.7位同学站成一排,(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种? 解法一:(排除法)3600226677=⋅-A A A ;解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有55A 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有26A 种方法,所以一共有36002655=A A 种方法.(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? 解:先将其余四个同学排好有44A 种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法,所以一共有44A 35A =1440种.说明:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).四、倍除法5男5女排成一排,按下列要求各有多少种排法:(1)男女相间;(2)女生按指定顺序排列解:(1)先将男生排好,有55A 种排法;再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”(包括两端)中,(2)方法1:10510105530240A N A A ===;方法2:设想有10个位置,先将男生排在其中的任意5个位置上,有510A 种排法;余下的5个位置排女生,因为女生的位置已经指定,所以她们只有一种排法故本题的结论为510130240NA =⨯=(种)强化练习1.(2007年天津卷)如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种(用数字作答). 用2色涂格子有C 62×2=30种方法,用3色涂格子,第一步选色有C 63,第二步涂色,共有3×2(1×1+1×2)=18种, 所以涂色方法18×C 63=360种方法, 故总共有390种方法. 故答案为:3902.(2007年江苏卷)某校开设9门课程供学生选修,其中,,A B C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有 75 种不同选修方案。

排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( ) A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种, … 选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种,答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计. 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B. (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种 解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

经典--排列组合习题-(含详细答案)

经典--排列组合习题-(含详细答案)

排列组合专项训练1.题1 (方法对比,二星)题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法?(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法? 解析:“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配,可将名额分给2所学校、1所学校,共两类:2133C C +(种)(法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共:246C =(种) 注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别)同类题一题面:有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?答案:69C详解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。

相邻名额之间形成9个空隙。

在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。

同类题二题面:求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

答案:36. 详解:将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36(个)。

2.题2 (插空法,三星)题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种. 答案:60,48同类题一题面:6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法?答案:A 66·A 47种.详解: 任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A 66·A 47种不同排法.同类题二 题面:有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A .36种B .48种C .72种D .96种答案:C.详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 24=72种排法,故选C.3.题3 (插空法,三星)题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.1]没有坐人的7个位子先摆好,[2](法1——插空)每个男生占一个位子,插入7个位子所成的8个空当中,有:58A =6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好:55A ;[2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉9个位置,当作5个排好的元素, 共有6个空,剩下的3个元素往里插空,每个空可以插1个、2个、3个元素,共有:3216662C C C ++种,综上:有55A (3216662C C C ++)=6720种.同类题一题面:文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目 的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种? 答案:30。

排列组合经典练习(带答案)

排列组合经典练习(带答案)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为() A.40B.50C.60D.70[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有() A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A.45种B.36种C.28种D.25种[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A.24种B.36种C.38种D.108种[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33 B.34 C.35 D.36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A.72 B.96 C.108 D.144[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析]先将6名志愿者分为4组,共有C26C24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A 44种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22·A 44=1 080种. 13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144 解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A =24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A =12个算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个 答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有()A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( )A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( )A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种例3.已知集合{1,2,3,,19,20}A =,集合1234{,,,}B a a a a =,且B A ⊂,若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=,则满足条件的集合B 有多少个?3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例4.(1)A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( )A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种(2)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例5.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例6.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( )A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种6.全员分配问题分组法:例7.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例8:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?例9.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?8.限制条件的分配问题分类法:例10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是A. 152 B. 126 C. 90 D. 549.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

排列组合经典练习(带答案)

排列组合经典练习(带答案)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70[解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A.36种B.48种 C.72种D.96种[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )A.6个B.9个 C.18个D.36个[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人[解析] 设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n =6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )A.45种B.36种 C.28种D.25种[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A.72 B.96 C.108 D.144[解析] 分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )A.50种B.60种 C.120种D.210种[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析] 先将6名志愿者分为4组,共有C26C 24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A44种分法,故所有分配方案有:C26·C24A22·A44=1 080种.13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法 故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144 *s 5* o*m 解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法*s 5* o*m①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A =24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A =12个 算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。

几类经典排列组合问题

几类经典排列组合问题

一、小球放盒子问题(分组问题)(1 )6 个不同的小球放到 6 个不同的盒子里。

解析:分步乘法计数原理,每个小球都有六种放法答案:66。

(2 )6 个不同的小球放到 6 个不同的盒子里,要求每个盒子只能放一个小球。

解析:思路一:分步乘法计数原理,第一个小球有 6 种放法第二个小球有 5 种放法第六个小球有 1 种放法即6*5*4*3*2*1 ;思路二:将小球按顺序摆放后,与不同的盒子相对应即可,即A6 6 。

答案:720 。

(3 )6 个不同的小球平均放到 3 个相同的盒子里。

解析:平均分组的问题因为盒子相同,相当于把小球等分成三堆,设想 6 个小球编号为ABCDEF ,首先从 6 个球中选出 2 个,为C2 6 ;然后从剩下的 4 个球中选出 2 个,为C2 4 ;最后剩下 2 个球,为C2 2 ;但是:C2 6 取出AB 球、C2 4 取出CD 球、剩EF 球;C2 6 取出AB 球、C2 4 取出EF 球、剩CD 球;C2 6 取出CD 球、C2 4 取出AB 球、剩EF 球;C2 6 取出CD 球、C2 4 取出EF 球、剩AB 球;C2 6 取出EF 球、C2 4 取出AB 球、剩CD 球;C2 6 取出EF 球、C2 4 取出CD 球、剩AB 球;得到的结果是一样的,故按照C2 6C2 4C2 2 组合完成后还应除去A3 3 ,答案:C2 6C2 4C2 2/A3 3(4 )6 个不同的小球平均放到 3 个不同的盒子里。

解析:平均分组后再分配的问题平均分组得到的结果为C2 6C2 4C2 2/A3 3 ,分完组后三堆小球还要放到不同的盒子里,即再进行一个A3 3 的排列答案:C2 6C2 4C2 2(5 )6 个不同的小球按1、2 、3 的数量,分别放到 3 个相同的盒子里。

解析:非平均分组的问题因为盒子相同,相当于把小球分成数量不等的三堆,首先从 6 个球中选出 1 个,为C1 6 ;然后从剩下的 5 个球中选出 2 个,为C2 5 ;最后剩下 3 个球,为C3 3 ;注意:因为这个问题是非平均分组,故不存在(3)中出现的重复的情况,因此C1 6C2 5C3 3 即为最后结果,不需要再除以A3 3答案:C1 6C2 5C3 3(6 )6 个不同的小球按1、2 、3 的数量,分别放到 3 个不同的盒子里。

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有()A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到,乙不到,共有多少种不同派遣方案?9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

(完整版)排列组合经典练习(带答案)

(完整版)排列组合经典练习(带答案)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为() A.40B.50C.60D.70[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有() A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A.45种B.36种C.28种D.25种[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A.24种B.36种C.38种D.108种[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33 B.34 C.35 D.36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A.72 B.96 C.108 D.144[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析]先将6名志愿者分为4组,共有C26C24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A 44种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22·A 44=1 080种. 13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144 解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A =24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A =12个算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个 答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。

高中数学选修_排列组合经典问题练习(详细解析)

高中数学选修_排列组合经典问题练习(详细解析)

排列组合经典练习(含解析)1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( )A .40B .50C .60D .70 【解析】先分组再排列,一组2人一组4人有C 26=15种不同的分法;两组各3人共有C 36A 22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A .36种B .48种C .72种D .96种【解析】恰有两个空或n =6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )A .45种B .36种C .28种D .25种【解析】因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶 ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C 12·A 33+A 33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C 13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A .72B .96C .108D .144 【解析】分两类:若1与3相邻,有A 22·C 13A 22A 23=72个,若1与3不相邻有A 33·A 33=36个故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )A .50种B .60种C .120种D .210种【解析】先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C 16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A 25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C 16·A 25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)【解析】先安排甲、乙两人在后5天值班,有A 25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A 55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)【解析】由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C 49·C 25·C 33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).【解析】先将6名志愿者分为4组,共有C 26C 24A 22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A 44种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22·A 44=1 080种. 13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).【解析】5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有( )A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144【解析】先选一个偶数字排个位,有3种选法①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A =24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A =12个算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A.10B.11C.12D.15【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类:与信息0110有两个对应位置上的数字相同有624=C 个第二类:与信息0110有一个对应位置上的数字相同有414=C 个第三类:与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有104=C 个。

(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案.doc

(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案.doc

排列组合问题经典题型与通用方法1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列 .例 1.A,B,C, D, E五人并排站成一排,如果A, B必须相邻且 B 在 A 的右边,则不同的排法有()A 、 60 种B 、 48 种 C、 36 种D、 24 种2. 相离问题插空排 : 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2. 七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( )A 、 1440 种B 、 3600 种C 、 4820 种D 、 4800 种3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法 .例 3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排, 如果 B 必须站在 A 的右边( A, B可以不相邻)那么不同的排法有 ()A 、 24 种B 、 60 种C 、 90 种 D、 120 种4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成 .例 4. 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1, 2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填 数字均不相同的填法有( ) A 、 6 种 B 、 9 种 C 、 11 种 D 、 23 种5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法 . 例 5. ( 1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务, 不同的选法种数是( ) A 、 1260 种 B 、 2025 种 C、 2520 种 D、 5040 种( 2) 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4 人,则不同的分配方案有( )A 、 C 124C 84C 44 种B 、 3C 124C 84 C 44 种 C 、 C 124C 84 A 33 种 DC 124 C 84C 44、A 33种6. 全员分配问题分组法 :例 6. ( 1)4 名优秀学生全部保送到3 所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?( 2)5 本不同的书,全部分给4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A 、 480 种B、 240 种C、120 种D、 96 种第 1 页 共 9 页7.名分配隔板法 :例 7: 10 个三好学生名分到7 个班,每个班至少一个名,有多少种不同分配方案?8. 限制条件的分配分法:例8. 某高校从某系的 10 名秀生中 4 人分到西部四城市参加中国西部开建,其中甲同学不到川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?9.多元分法:元素多,取出的情况也多种,可按果要求分成不相容的几情况分数再相加。

排列组合经典试题及答案

排列组合经典试题及答案

排列组合1.(2002北京)5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )(A)480 种(B)240种(C)120种(D)96种解:首先把5本书转化成4本书,然后分给4个人.第一步:从5本书中任意取出2本捆绑成一本书,有种方法;第二步:再把4本书分给4个学生,有种方法.由乘法原理,共有种方法,故选B。

2.【2004福建理】某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为()(A)(B)(C)(D)答案:B3.(2004桂、蒙、琼、陕、藏)将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )A. 12种B. 24种C。

36种D。

48种答案:A4.(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有A.30种B.90种C.180种D.270种答案:B5. (06年)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种答案:6006.(重庆卷16)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种(用数字作答)。

答案:2167。

(97全国)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()种(A)150(B)147 (C)144 (D)141解:从10个点中任取4个噗有=210种取法,应剔除下面三类共面点:(1)从四面体的每个面上的6个点中任取4个点必共面有=60种取法;(2)四面体的每条棱上3个点与对棱中点共面有6种取法;(3)6个中点连线有3对平行线段共面,故从这6个点中取4个共面中取4个共面点有3种取法.故符合条件取法共210—60-6—3=141种。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有()A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有() A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是() A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种 B、300种 C、464种 D、600种(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。

例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( ) A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙 型电视机各一台,则不同的取法共有 ( ) A 、140种 B 、80种 C 、70种 D 、35种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法. 例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求. 例15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A 、70种 B 、64种 C 、58种 D 、52种(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( ) A 、150种 B 、147种 C 、144种 D 、141种16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列n 个普通排列:12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,n 个元素的圆排列数有!n n种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的1n -元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法. 例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?18.复杂排列组合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除? (2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A 到B 的最短路径有多少种?22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式: 用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封,a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。

把错装的总数为记作f(n)。

假设把a 错装进B 里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:(1)b 装入A 里,这时每种错装的其余部分都与A 、B 、a 、b 无关,应有f(n-2)种错装法。

(2)b 装入A 、B 之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除a 之外的) 份信纸b 、c……装入(除B 以外的)n -1个信封A 、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a 装入B 的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。

a 装入C ,装入D……的n -2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:得到一个递推公式: f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)},分别带入n=2、3、4等可推得结果。

也可用迭代法推导出一般公式: )!1)1(!31!21!111(!)(n n n f n -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( ) A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种, 选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( ) A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计. 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B.(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种? 解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

相关文档
最新文档