方阵高次幂的若干算法毕业论文

这种方法就称矩阵的乘法结合律．
1 例 2 已知矩阵 A 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 ，求 An （ n 为自然数） ． 3 1
解
对 A 施行初等变换，不难发现 r ( A) 1 ，考虑用乘法结合律：
1 1 取 (1, 2,3)T , (1, , )T ，则 A T ，且 a T tr ( A) 3 ， 2 3
k 1 n
称 C 为 A 与 B 的乘积，记为
C AB .
1.2 方阵的幂 定义 2 设 A 是一个 n 级方阵，m 是正整数，则
Am AA A
m个
称 Am 为 A 的 m 次幂． 相关运算律
Ak Al Ak l ， Ak Akl ， A k Ak ， Ak A .
(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract :This paper shows the different types of matrix method for calculating its high power, and an example of its applications. Key Words: mathematical induction, binding matrix multiplication law, polynomial expansion method, similar transformation
a1b1 a1b2 a1bn a1 b1 a2b1 a2b2 a2bn a2 b ，若设 ， 2 ， ai , bi (i 1, 2, , n) A anb1 anb2 anbn an bn
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目录 1 基础知识..........................................................................................................................1 1.1 矩阵的幂的定义...................................................................................................1 1.2 方阵的幂...............................................................................................................1 2 n 阶矩阵的 A 的幂的若干算法....................................................................................1 2.1 数学归纳法求矩阵的幂.......................................................................................1 2.2 利用矩阵的乘法结合律求矩阵的幂..................................................................2 2.3 利用二项式展开法就矩阵的幂...........................................................................3 2.4 相似变换法.........................................................................................................3
2.5 利用哈密顿——凯莱定理求矩阵的幂...............................................................4 2.6 特殊矩阵法求矩阵的幂.......................................................................................4 2.61 对合矩阵.....................................................................................................4 2.6.2 幂等矩阵....................................................................................................5 2.6.3 分块对角矩阵............................................................................................6 3 结束语..............................................................................................................................7 参考文献..............................................................................................................................8 致谢......................................................................................................................................9
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数学与统计学院 2014 届毕业论文
1 1 2 n n 1 n 1 于是 A a A 3 2 1 3 3 2
1 3 2 ． 3 1
2.3 利用二项式展开法就方阵的幂 若 n 阶矩阵 A 可分解为 A M N ,且矩 M 与 N 的高次幂容易计算， BC CB （即 ，则有 B 与 C 可交换，否则二项展开公式不成立）
故猜想成立．
1 99 60 1 60 99 3 219 60 , A , A 2 A 于是有 A99 0 1 0 1 0 3 ．
2.2 利用矩阵乘法结合律求方阵的幂 对于 n 阶矩阵 A ，若 r ( A) 1 ，则矩阵 A 至少有一行元素不为零，且其余各行元素都 是它的倍数，于是秩为 1 的 n n 的矩阵的一般形式为
均为非零实数，则 A ( T ) ，记 a tr ( A) a1b1 a 2b2 a nb n T ，
k个 kBaidu NhomakorabeaT T 则有 A ( )( ) ( T ) ( T )k 1 T a k 1 T a k 1A ．
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方阵高次幂的若干算法
1 基础知识 1.1 矩阵的乘法的定义 定义 1 设
A aik sn , B bkj nm ，
那么矩阵
C cij sm ，
其中
cij ai1b1 j ai 2b2 j ain bnj aik bkj ，
其 中 为 对 角 阵 ， 其 对 角 线 上 元 素 为 矩 阵 A 的 特 征 值 ． 由 上 可 得 A P P 1 ，
An PP 1 ．于是求 A 的方幂就转化为求过渡矩阵 P 和对角阵 n ，而对于 P 和阵 n ，
l k k

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n 阶方阵的 A 的幂的若干算法
2.1 数学归纳法求方阵的幂 这种方法的计算步骤为：先算 A2 ， A3 ，考察其特点，再对 A 进行猜想.
1 1 99 60 例1 设A 0 1 ，求 A 2 A .
n
解
1 1 1 1 1 2 A2 0 1 ， 0 1 0 1 1 2 1 1 1 3 A3 A2 A 0 1 . 0 1 0 1
且有 MN NM O ， 从而 An M N 2.4
n
0 0 n 1 2 M 0 2m 0 0
0 2 n 1 0 0 n 1 0 2
0 22 0
2 n 1 0 ． 2 n 1
相似变换法 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时，即存在可逆矩阵 P ，使 P 1 AP ，
方阵高次幂的若干算法
(天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,741000) 摘 要: 方阵的高次幂计算量较大，本文针对不同类型的方阵给出了计算其高次幂的方
法，并对其应用进行举例. 关键词:数学归纳法；矩阵的乘法结合律；项式展开法；相似变换法
Several algorithms for matrix high power
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1 n 猜想 An 0 1
数学归纳法证明： 当 n 1 时显然成立．
1 k 假设当 n k 时猜想成立，即 Ak 0 1 . 1 k 1 1 1 k 1 ，即 n=k+1 时猜想等式也成立． 则 Ak 1 Ak A 0 1 1 0 1 0
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题 学 姓 专 学
目 院 名 业 号
指导教师 提交日期
原创性声明
本 人 郑 重 声 明 :本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的 指导下独立进行研究所取得的成果。 学位论文中凡是引 用 他 人 已 经 发 表 或 未 经 发 表 的 成 果 、数 据 、观 点 等 均 已 明 确 注 明 出 处 。 除 文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 ,不 包 含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。
1 A k M N M k C k M k 1 N Ck2 M k 2 N 2 Ckk 1MN k ． k
1 0 1 例 3 设 A 0 2 0 ，求 An ． 1 0 1 1 0 1 0 0 0 解 A 0 0 0 0 2 0 M N 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 其中 M 0 0 0 0 1 0 1 ， N 0 2 0 ， 1 0 1 1 0 0 0