初二数学上册北师大版知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结

第一章 勾股定理

1、勾股定理

（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c

的平方，即222c b a =+

（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）

（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2

22c b a =+，

那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ，

c ，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……

规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……

（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一

组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1

如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用：

（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……

（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……

（3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~

判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状

（4）构建直角三角形解题

例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知：

()()341009161002510042

2

2

2

2

2

x x x x x x +=+===，，，

∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破

（1）中考典题

例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶

端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？

A A

E

C B C B

D （1） （2）

思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。

解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2

∵BD=0.5，∴CD=2

在中，Rt ECD EC ED CD ∆22222252225=-=-=..

∴EC=1.5

∴=-=-=AE AC EC 215

05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。

点拨：要考虑梯子的长度不变。

例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，

AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分

割成规则图形，若连结BD ，似乎不

得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ∆∆-

解：连结AC ，在Rt △ADC 中，

AC CD AD 22222129225=+=+= ∴=AC 15 在△ABC 中，AB2=1521

AC BC 2222

15361521+=+=

∴=+∴∠=AB

AC BC ACB 2

22

90，°

∴-=⋅-⋅S S AC BC AD CD

ABC ACD ∆∆121

2

=⨯⨯-⨯⨯=-=1215361

2129270542162()

m

答：这块地的面积是216平方米。

点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。

第二章 实数

基本知识回顾

1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

2.无理数的表示

3.

1 有理数无限循环小数

负有理数 正无理数 无限不循环小负无理数 要抓住“无限不循环”这一时 ）开方开不尽的数，如32,7等； π，或化简后

π/3+8等；

…等； sin60o 等 （只有符号不同的两，从数轴上

互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦

做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。

3、倒数

如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

利用非负数解题的常见类型

例1. 已知，求的值。x y x y -+-=-53022

|| 解

：

x y x y -≥-≥-+-=5030530，，且||||

∴-=-=x y 5030，|| ∴-=-=x y 5030，

∴==x y 53，

∴-=-=x y 2

225619

点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题。 三、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等

于a ，即x2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 注意a 的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即a ≥0， 3、立方根

一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3

a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有

一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：3

3

a a -=-，这说明三次根号内的负号可

以移到根号外面。 四、实数大小的比较

1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，

,0b a b a >⇔>-

,0b a b a =⇔=-

b a b a <⇔<-0

（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，

;

1;1;1b a b

a b a b

a b a b

a <⇔<=⇔=>⇔>

（4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则

b

a b a <⇔>。

（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则

b a b a <⇔>22。

（6）倒数法：设a 、b 是同正,如果1/a ＞1/b ，则a ＜b;同负，如果1/a ＞1/b ，则a ＞b 五、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号

“”；被开方数a 必须是非

负数。

2、性质：