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高考数学压轴题小题

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高考数学压轴题集锦

高考数学压轴题集锦

1.选择题1.（安徽）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A2.（北京）如图，动点P 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）3.（福建）已知函数y =f (x )，y =g (x )的导函数的图象如图，那么y =f (x )，y =g (x )的图象可能是（ ）4.（广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF =（ ）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 5.（宁夏）在该几何体的正视图中，线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A．B．C ．4D．6.（湖北）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：)xABC DMNP A 1B 1C 1D 1①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④11c a <22c a ． 其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④7.（湖南）设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）．对于给定的n ∈*N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[)1x ∈+，∞，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数x n C 的值域是（ ） A ．16283⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．16563⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．[)28428563⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D ．162842833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦，，8．（江西）已知函数2()22(4)1f x mx m x =+-+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(02)，B ．(08)，C ．(28)，D ．(0)-∞，9.（辽宁）设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．8 10．（全国1）如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A ．96B ．84C ．60D ．4811．（全国2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．212．(山东)设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[13]，B ．[2C ．[29]，D ．13．（陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011 14.（上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x ,y )、P ’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵15．（四川）已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|||AK AF =，则AFK △的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3216．（天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） A ．1344种 B ．1248种 C ．1056种 D ．960种 17．（浙江）如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线18．（重庆）函数()2π)f x x =≤≤的值域是（ ）A ．0⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[10]-，C ．[D ．[A B P α（第10题）2.填空题1.（安徽）已知点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝6，AC ＝132，AD ＝8，则B ，C 两点间的球面距离是 ．2．（北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 3．（福建）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a b P ∈，，都有a b +，a b -，ab ，ab∈P （除数0b ≠），则称P 是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集{}F a a b =+∈Q ，也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M ⊆Q ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）4．（广东）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ． 5．（湖北）观察下列等式：212321343211122111326111424ni ni ni i n n i n n n i n n n ====+=++=++∑∑∑，，， 45431111152330ni i n n n n ==++-∑， 5654211151621212n i i n n n n ==++-∑， 67653111111722642n i i n n n n n ==++-+∑，……………………………………112112101nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑，可以推测，当2k ≥（*k ∈N ）时，111112k k k a a a k +-===+，， ， 2k a -= ．6．（湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体｛1，2，3，…，n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m ｝和｛m +1，m +2，…，n ｝（m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1m P = ；所有(1)if P i j n <≤≤的和等于 ．7.（江苏）()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．8．（江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号） 9．（辽宁）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．10．（全国1）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则E M A N ，所成角的余弦值等于 ． 11．（全国2）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，图1图2类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）12．（山东）若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，， 则b 的取值范围为 ．13．（陕西）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）． 14.（上海）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是15．（四川）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若451015S S ≥，≤，则4a 的最大值为 ．16．（天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．17．（浙江）若00a b ，≥≥，且当001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，，≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ．18．（重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点111A B C A B C ，，，，，上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种．（用数字作答）A B 1C 1ABC题（18）图3.解答题1.（安徽）设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：过点M，且左焦点为1(F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(41)P ，的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =．证明：点Q 总在某定直线上．2.（北京）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a --- ，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；又定义2221212()2(2)m mS B b b mb b b b =+++++++ ． 设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +== ，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时， 3.（福建）已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0π，（n ∈*N ）上的最小值为n b ，令ln(1)n n a n b =+-．（Ⅲ）如果对一切n<c 的取值范围； （Ⅳ）求证：13132112242421n na a a a a a a a a a a a -+++<……… 4.（广东）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 5.（宁夏）设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3．（Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．6.（湖北）已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，1243n n a a n +=+-，(1)(321)n n n b a n =--+，其中λ为实数，n 为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0a b <<，S n 为数列{}n b 的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．7.（湖南）已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11e n n α+⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤对任意的n ∈*N 都成立（其中e 是自然对数的底数）． 求α的最大值． 8.（江苏）若()113x p f x -=，()2223x p f x -= ，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）； （Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b =求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）． 9.（江西）已知函数()(0)f x x =∈+∞，．（1） 当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：1()2f x <<． 10.（辽宁）设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． （Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．11.（全国1）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 12.（全国2）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．13.（山东）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB = （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14.（陕西）已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n na x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n = ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+ ．15.（上海）(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m成等比数列当且仅当d ＝3m16.（四川）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．17.（天津）在数列{}n a 与{}n b 中，11a =，14b =，数列{}n a 的前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，12n a +为n b 与1n b +的等比中项，n ∈*N ．（Ⅰ）求2a ，2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设1212(1)(1)(1)n aaan n T b b b n =-+-++-∈*N …，，证明223n T n n <，≥． 18.（浙江）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ．高考数学压轴题 记：12n n S a a a =+++ ，112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++ ． 求证：当*n ∈N 时，（Ⅰ）1n n a a +<；（Ⅱ）2n S n >-；（Ⅲ）3n T <19.（重庆）设各项均为正数的数列{}n a 满足12a =，3212n n n a a a ++=*()n ∈N （Ⅰ）若214a =，求34a a ，，并猜想2008a 的值（不需证明）； （Ⅱ）记12n nb a a a = *()n ∈N，若n b ≥2n ≥恒成立，求2a 的值及数列{}n b的通项公式．。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列选择题)附答案

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)

2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)

压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题 （2）零点问题（3）导数的同构思想 （4）双重最值问题 （5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =， 由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩， 当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点， 则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======， 结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（ ） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++， 有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=， 令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>， 则()()2lg 1g x x '=−+， 令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增， 当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减， 由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点， 又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<， 故()g x 在()99,999上必有唯一零点， 即当00x >时，亦可有一条切线符合要求， 故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象， 所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x−<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)

高考数学压轴题100题汇总(含答案)

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

2022年高考数学小题压轴题专练12—抛物线(1)

2022年高考数学小题压轴题专练12—抛物线(1)

2022年高考数学小题压轴题专练12—抛物线（1）一、单选题1．已知实数a ，b ，c 成等差数列，记直线0ay bx c ++=与曲线2111822y x x =--的相交弦中点为P ，若点A ，B 分别是曲线22102250x y x y +--+=与x 轴上的动点，则||||PA PB +的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解：因为实数a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，则直线0ay bx c ++=化为02a cay x c +++=，即(2)(2)0a y x c x +++=，所以直线0ay bx c ++=过定点(2,1)Q -，又点Q 在曲线2111822y x x =--上，所以直线0ay bx c ++=与曲线2111822y x x =--相交的一个交点为Q ，设另一个交点为1Q ，设(,)P m n ，则1(22,21)Q m n +-，又1Q 在曲线2111822y x x =--上，化简得24m n =，即P 在抛物线24x y =上运动，设抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，设(P P x ，)P y ，||11||1min P P PB y y PF ==+-=-，曲线22102250x y x y +--+=，得22(5)(1)1x y -+-=，记圆心(5,1)M 所以||||||||1||1||1||11523PA PB PA PF PM PF MF ++-=-+----= ．故选：B ．2．已知抛物线2:8C y x =，点P ，Q 是抛物线上任意两点，M 是PQ 的中点，且||10PQ =，则M 到y 轴距离的最小值为()A ．9B ．8C ．4D ．3解：法-：由题意可知直线l 的斜率不为零，设:l x my n =+，设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则点12(2x x M +，12)2y y +，点M 到x 轴的距离为122y y +．由28x my ny x=+⎧⎨=⎩，整理得2880y my n --=．△264320m n =+>，由韦达定理得128y y m +=，128y y n =-．12||||10AB y y =-==，可得222528(1)n m m =-+， 1242y y m +=，∴2222121222225252544222(1)22523228(1)8(1)8(1)x x y y m n m m n m m m m m m m ++=+=+=+-=+=++-=-=+++ ；当且仅当22252(1)8(1)m m +=+，即当12m =±时，等号成立，此时2225228(1)n m m =-=+，△264320m n =+>成立，合乎题意！因此，点M 到y 轴的距离的最小值为3，此时，直线l 的方程为12x ±20y -=．法二：因为：1212||106PQ PF QF x x p x x p +=++⇒+-= ；PQ ∴的中点M 到y 轴距离的值为：1232x x + ；即最小值为3．故选：D ．3．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A 是抛物线C 上异于坐标原点的任意一点，过点A 的直线l 交y 轴的正半轴于点B ，且A ，B 同在一个以F 为圆心的圆上，另有直线//l l '，且l '与抛物线C 相切于点D ，则直线AD 经过的定点的坐标是()A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(2,0)解：设21(,)4A m m ，(0,)B n ，抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F 又A ，B 同在一个以F 为圆心的圆上，||||BF AF ∴=21114n m ∴-==+2124n m ∴=+∴直线l 的斜率2124m nk m m -==-直线//l l '，∴直线l '的斜率为k ，设点21(,)4D a a ，214y x = ，12y x ∴'=，12k a ∴=，∴122a m =-，4a m ∴=-∴直线AD 的斜率为2221144444m am a m m a m-+-===-，∴直线AD 的方程为2214()44m y m x m m --=-，整理可得2414m y x m-=+，故直线AD 经过的定点的坐标是(0,1)，故选：A ．4．已知直线l 与椭圆221:184x y C +=切于点P ，与圆222:16C x y +=交于点AB ，圆2C 在点AB 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ ∆的面积的最大值为()A ．22B ．2C 2D ．1解：设0(P x ，0)y ，(,)Q m n ，由AQ AO ⊥，BQ BO ⊥，可得四点Q ，A ，O ，B 共圆，可得以OQ 为直径的圆，方程为2222()()224m n m n x y +-+-=，联立圆222:16C x y +=，相减可得AB 的方程为160mx ny +-=，又AB 与椭圆相切，可得过P 的切线方程为00184x x y y+=，即为0024160x x y y +-=，由两直线重合的条件可得02m x =，04n y =，由于P 在椭圆上，可设022x α=，02sin y α=，02απ< ，即有42m α=，8sin n α=，可得220016cos 16sin 16OP OQ mx ny αα=+=+=，且222||8421OP cos sin cos ααα=+=+ ，222||3264421OQ cos sin sin ααα=+=+ ，即有1||||sin 2OPQ S OP OQ OP ∆=< ，OQ >===sin 2|α== sin 21α=±即4πα=或34π或54π或74π时，OPQ S ∆的面积取得最大值故选：A ．5．已知不过原点的动直线l 交抛物线2:2(0)C y px p =>于M ，N 两点，O 为坐标原点，F 为抛物线C 的焦点，且||||OM ON OM ON +=- ，若MNF ∆面积的最小值为27，则(p =)A ．2B ．3C ．4D ．6解：①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，0b ≠；1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，||||OM ON OM ON +=- ，∴两边平方可得0OM ON =，联立22y kx b y px=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得：222(22)0k x kb p x b +-+=，12222kb px x k -∴+=-，2122b x x k=，22121212122()()()pby y kx b kx b k x x kb x x b k∴=++=+++=，∴21212220b pbOM ON x x y y k k=+=+= ，0b ≠ ，0k ≠，20b pk ∴+=，2b pk=-12|||y y -=====2121123||||||4322224MNFp b p pk p S y y p p k k ∆∴=+-=-⨯=，②当直线l 的斜率不存在时，设直线0:l x x =，设0(M x ，1)y ，0(N x ，2)y ，则2102y px =，2202y px =，220120020OM ON x y y x px =+=-= ，解得02x p =，21213(2)||43224MNF p pS p y y p p ∆∴=--== ，MNF ∆面积的最小值为23p ，依题意2327p =，3p =．故选：B ．6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线1y kx =+与抛物线C 交于M ，N 两点，若存在点0(Q x ，1)-使得QMN ∆为等边三角形，则||(MN =)A ．8B ．10C ．12D ．14解：抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，则2p =，即抛物线方程为24x y =，其焦点坐标为(0,1)，则直线1y kx =+过焦点F ，设点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，将直线MN 的方程与抛物线的方程联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2440x kx --=，由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-．所以，2121212||2112()444MN y y kx kx k x x k =++=++++=++=+，线段MN 的中点为2(2,21)P k k +，由于QMN ∆是等边三角形，则PQ MN ⊥，所以，直线PQ 的斜率为PQ k =，得202212PQk k k x k+==--，解得3024x k k =+，则点Q 的坐标为3(24k k +，1)-，由两点间的距离公式得||PQ ==，得||tan ||PQ PMQ PM ∠==，即||||2PQ PM MN ==，所以，24(1)2k =⨯+，解得22k =，因此，2||4(1)12MN k =+=．故选：C ．7．抛物线2:4C y x =与直线:(2)l y k x =-交于点M ，N 二点，过点M 作x 轴的平行线与ON 交于A 点，过点A 作抛物线C 的切线，切点为B ，切线AB 与直线:2l x '=交于D 点．已知点(2,0)E ，则22(DE AE -)A ．8B ．8-C ．16D ．16-解：联立24(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩得：2224(1)40k x k x k -++=，设1(M x ，1(2))k x -，2(N x ，2(2))k x -，1224(1)k x x k +∴+=，124x x =∴直线1:(2)MA y k x =-①，直线22(2):k x ON y x x -=②联立①②得A 的坐标，212(2)(2x x A x --，1(2))k x -，又124x x = ，∴212(2)22x x x -=--，(2A ∴-，1(2))k x -设切点2(B b ，2)(0)b b ≠，则过点B 的抛物线的切线方程为：242x b y += ，即2by x b =+，该切点过点A ，21(2)2bk x b ∴-=-+，12(2)b k x b∴-=-，∴交点22(2,b D b +，又(2A - ，1(2))k x -，(2,0)E 2222212([16((2))]b DE AE k x b+∴-=-+-2222()[16(]8b b b b=+-+-=-，故选：B ．8．已知F 为抛物线212y x =的焦点，过F 作两条夹角为45︒的直线1l ，2l ，1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，则11||||AB CD +的最大值为()A．14B．12+C．1+D．2+解：由物线212y x =，可得其焦点1(,0)8F ．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ．由对称性，不妨设直线1l 的斜率10t>．设直线1l 的方程为18ty x =-，联立21812ty x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为216810y ty --=，122t y y ∴+=，12116y y =-．21||2t AB +∴=．直线2l 的方程为1118t y x t -=-+，联立2111812t y x t y x-⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，化为216(1)8(1)(1)0t y t y t +---+=，3412(1)t y y t -∴+=+，34116y y =-，221||(1)t CD t +∴==+．∴2222112(1)2(1)1||||111t t AB CD t t t +++=+=++++，令22(1)()(0)1t f t t t +=>+，222[(21)](12)()(1)t t f t t ---++'=+，可得1t =-时，函数()f t取得最大值，1)1f -=+．∴11||||AB CD +的最大值为22+．故选：D ．9．已知抛物线2:4E y x =和直线:30l x y m ++=在第一象限内的交点为1(M x ，1)y ．设2(N x ，2)y 是抛物线E 上的动点，且满足210y y <<，记2222|3|x x y m t +++=，则()A ．当103x <<时，t 的最小值是|1|m +B ．当103x <<时，t 的最小值是|1|2m +-C ．当13x >时，t 的最小值是|1|m +D ．当13x >时，t 的最小值是|1|2m +-解：如右图所示，点2(N x ，2)y 到直线:30l x m ++=的距离221|3|2x m d ++=，222212|3|2()t x x y m x d ∴=+++=+，又抛物线2:4E y x =的焦点为(1,0)F ，根据抛物线的定义知2||1NF x =+，故112||222(||)2t NF d NF d =+-=+-，又点F 到直线:0l x m ++=的距离2|1|2m d +=，∴当13x >时，222|1|2t d m -=+- ，故选：D ．10．已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>，从点(4M ，)(0)a a >发出，平行于x 轴的光线与Γ交于点A ，经Γ反射后过Γ的焦点N ，交抛物线于点B ，若反射光线的倾斜角为23π，||2AN =，则ABM ∆的重心坐标为()A ．(2,B ．3(,0)2C ．(3,3-D ．(2,)3-解：如图所示，过点N 作NC AM ⊥，垂足为C ，因为||2AN =，反射光线的倾斜角为23π，所以||1AC =，||NC =，可得12A px =-，A y =，即(12pA -，M ，将点(12p A -代入22y px =中，可得32(1)2pp =-，解得3(1p =-舍去），所以抛物线的方程为26y x =．直线AB 的方程为3)2y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y，联立23)26y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x260y +-，显然△360=+>，12y y +=-，又因为12123)y y x x +=+-，所以125x x +=，设ABM ∆的重心坐标为(,)x y ，所以12433x x x ++==，y ==所以ABM ∆的重心坐标为(3,3-，故选：C．二、多选题11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则()A ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切B ．当2AF FB = 时，9||2AB =C ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离D ．||AB 的最小值为3解：当直线AB 的斜率不存在时，以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y x =-k k ，联立24y x =，可得2222(24)0x x -++=k k k ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x +=+k ，121x x =，设13x =+，23x =-，可得M 的横坐标为221+k ，MB 的中点的横坐标为2212(1)2x ++k ，222|||1|BM x =--k ，当1=k 时，MB 的中点的横坐标为52，1||22MB =，得以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故A 错；以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cos ρθ=-，设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，可得121cos ρθ=-，221cos()ρπθ=-+，可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故B 正确；24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA '=，||||BF BB '=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '''=+=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故C 正确；当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 为通径，取得最小值4，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则()A ．若抛物线上存在一点(2,)E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x=B ．若||2||AF BF =，则直线l 的斜率为22C ．若直线l 34||3p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12解：对于A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为(2pF ，0)，准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可得||232pEF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，故A 正确；对于B ，可设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为2px my =+，与抛物线22y px =联立，消去x ，可得2220y pmy p --=，可得122y y pm +=，212y y p =-，①由||2||AF BF =，即为2AF FB =，可得122y y -=，②，由①②可得22y pm =-，2222y p -=-，则2228p m p =，可得4m =±，即有直线l的斜率为1m =±故B 错误；对于C ，若直线l，由选项B可得m =12y y +=，由抛物线的弦长公式可得121228||)2233pAB x x p y y p p p =++=++=+=，故C 错误；对于D ，抛物线的焦点F 到准线的距离为2p =，则该抛物线的方程为24y x =，设直线l 的方程为1x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，△216160m =+>，124y y m +=，所以21212()242x x m y y m +=++=+，212||24(1)AB x x m =++=+，P 到y 轴的距离为212212x x d m +==+，所以22221111sin 111222(1)22||2dm PMN m m AB +∠===--=++ ，当且仅当0m =时，取得等号，故D 正确．故选：AD ．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QM PE ⊥于M ，过Q 作QN PE ⊥交线段EP 的延长线于点N ，则()A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得||||PF PE =，即A 正确；PQ 为EPF ∠的外角平分线，所以FPQ NPQ ∠=∠，又//EP FQ ，所以NPQ PQF ∠=∠，所以FPQ PQF ∠=∠，所以||||PF QF =，所以B 正确；连接EF ，由上面可得：PE PF QF ==，//PE FQ ，所以四边形EFQP 为平行四边形，所以EF PQ =，//EF PQ所以EFK PQF QPN ∠=∠=∠，在EFK ∆中，cos KF EF EFK =∠ ，PQN ∆中，cos PN PQ QPN =∠ ，所以FK PN =；所以D 正确；C 中，若PN MF =，而PM PN =，所以M 是PF 的中点，PM PF ⊥，所以PQ FQ =，由上面可知PQF ∆为等边三角形，即60PFQ ∠=︒，而P 为抛物线上任意一点，所以PFQ ∠不一定为60︒，所以C 不正确；故选：ABD ．14．如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆．则在下列命题中，正确的是()A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值为14-B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22||||OA OB +是定值5D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则2λ 解：(0,1)F ，设直线MN 的方程为1y kx =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消元得：2440x kx --=，124x x k ∴+=，124x x =-，212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x ∴=++=+++=，211212211214y y y y k k x x x x ∴===- ，故A 正确；设直线OA 的方程为(0)y mx m =>，则直线OB 的方程为14y x m=-，联立方程组2214y mxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22414x m =+，不妨设A在第三象限，则(A，，用14m-替换m可得(B 12m ，A ∴到OB的距离22d =，又||OB =，211||122OABS OB d ∆∴=== ，故B 正确；又2222224444||141414m m OA m m m +=+=+++，222161||41m OB m +=+，2222520||||514m OA OB m +∴+==+，故C 正确；联立方程组24y mxx y =⎧⎨=⎩，可得(4)0x x m -=，故2(4,4)N m m，||4ON ∴=，14m -替换m 可得1(M m -，214m ，M ∴到直线OA 的距离2211|1|144m m h --+==2111||2(1)22242OMN S ON h m m m m ∴==+=+ ，当且仅当122m m =即12m =时取等号．2OMNOMN OABS S S λ∆∆∴== ，故D 正确．故选：ABCD ．三、填空题15．已知曲线M 上任意一点P 到点(0,2)F 的距离比到x 轴的距离大2，直线:2l y x =+k 与曲线M 交于A ，D 两点，与圆22:430N x y y +-+=交于B ，C 两点(A ，B 在第一象限），则||4||AC BD +的最小值为23．解： 曲线M 上任意一点P 到点(0,2)F 的距离比到x 轴的距离大2，∴曲线M 上任意一点P 到点(0,2)F 的距离与到直线2y =-的距离相等，则曲线M 为抛物线，其方程为28x y =，焦点为(0,2)F ，则直线2y x =+k 过抛物线的焦点F ，当0=k 时，||||4AF DF ==，则111||||2AF DF +=，当0≠k 时，如图，过A 作AK y ⊥轴于K ，设抛物线的准线交y 周于E ，则||||||||cos ||EK EF FK p AF AFK AF =+=+∠=，得||1cos pAF AFK=-∠，则11cos ||AFK AF p -∠=，同理可得11cos ||AFKDF p +∠=，∴1121||||2AF DF p +==，化圆22:430N x y y +-+=为22(2)1x y +-=，则圆N 的圆心为F ，半径为1，||4||||14(||1)||4||5AC BD AF DF AF DF +=+++=++11||4||2(||4||)()52(5)5||||||||AF DF AF DF AF DF DF AF =+⨯++=+++2(5523++= ．当且仅当||2||AF DF =时上式等号成立．||4||AC BD ∴+的最小值为23，故答案为：23．16.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A ．B 两点，且A ，B 两点在准线上的射影分别为M ，N ，AFM ∆的面积与BFN ∆的面积互为倒数，则MFN ∆的面积为2．解：设直线AB 的倾斜角为θ，则MAF θ∠=，NBF πθ∠=-，设||AF m =，||BF n =，由抛物线的定义知，||AM m =，||BN n =，211||||sin sin 22AFM S AM AF MAF m θ∆∴=⋅∠=，211||||sin sin 22BFN S BF BN NBF n θ∆=⋅∠=，AFM ∆ 的面积与BFN ∆的面积互为倒数，2222111sin sin ()sin 1224AFM BFN S S m n mn θθθ∆∆∴⋅=⋅==，即22()sin 4mn θ=，在AFM ∆中，由余弦定理知，222222||||||2||||cos 22cos 2(1cos )FM AM AF AM AF MAF m m m θθ=+-⋅∠=-⋅=-，在BFN ∆中，由余弦定理知，222222||||||2||||cos 22cos()2(1cos )FN BF BN BF BN NBF n n n πθθ=+-⋅∠=-⋅-=+，222222||||4()(1cos )4()sin 16FM FN mn mn θθ∴⋅=-==，即||||4FM FN ⋅=，////AM BN x 轴，且||||AM AF =，||||BN BF =，AFM AMF MFO ∴∠=∠=∠，BFN BNF NFO ∠=∠=∠，1()22MFN MFO NFO AFO BFO π∴∠=∠+∠=∠+∠=，11||||4222MFN S FM FN ∆∴=⋅=⨯=．故答案为：2．17．直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 的中点为圆心，为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ，则22||||MP MQ +的最小值为10．解：设直线AB 的方程为x my t =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立24x my t y x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y my t --=，△2(4)4(4)0m t =--⨯->，即20t m +>，则124y y m +=，124y y t =-，因此21212()242x x m y y t m t +=++=+，221212()16y y x x t ==，由题意可知：0OA OB ⋅= ，则12120x x y y +=，即240t t -=，则4t =，∴直线AB 的方程为4x my =+，直线过点(4,0)，2124(2)x x m ∴+=+，则圆的圆心为2(24)O m '+，2)m ，由三角形的中线长定理可知：22222(||||)||||4MP MQ PQ MO +-'=，2222222422(||||)4||||4[4(1)4]816(1)8MP MQ MO PQ m m m m ∴+='+=-++=-++，∴当212m =，即2m =±时，222||||MP MQ +取最小值，最小值为20，则22||||MP MQ +的最小值为10．故答案为：10．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 交x 轴于点K ，过F 作倾斜角为α的直线与C 交于A ，B 两点，若60AKB ∠=︒，则sin α=．解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p F ，准线2p x =-，(,0)2p K -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，令12y y >，:2AB p l x my =+，联立有222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得，2220y px p --=，则222122124402p m p y y pm y y p ⎧=+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ ，所以112AK y p x =+k ，222BK y p x =+k ，则tan tan()1AK BK AK BK AKB AKF BKF -∠=∠+∠==+⋅k k k k ，即121212)(2222y y pp x x -=++++，化简得22121212()1)()p y y m y y y y -=++++，222221)m p m =++，消去2p 得221)m =+++，即2，所以423440m m --=，解得22m =，即m =，所以tan 2α=或2，则222213112sin tan cos cos αααα+=+==，则223cos α=，22113sin cos αα=-=，[0α∈ ，)π，sin 0α∴>，则sin 3α=．。

【压轴题】高考数学试卷带答案

【压轴题】高考数学试卷带答案

【压轴题】高考数学试卷带答案一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14- B ．14 C ．23- D ．23 2．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2） 3．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．194．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．245．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元7．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-9．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5 10．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A ．1B ．﹣2C ．6D ．2 11．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C 3D 212．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A 3B ．2C 6D 5二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．复数()1i i +的实部为 ．16．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____. 17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离. 22．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.23．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.24．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos C =-.（1）求角A ；（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程．（2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值．26．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A. 2．A解析：A【解析】 利用数轴，取,P Q 所有元素，得PQ =(1,2)-． 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 3．D解析：D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D 4．D解析：D【解析】【分析】 根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,22a ba b a b ⋅∴<>===本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.5．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方∴可以排除B 答案考点：函数图像．6．D解析：D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．7．A解析：A【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +⋅-=. ∴，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=， ∴3λ=-,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算9．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．10．C解析：C【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素，当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素，故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】M N ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B12．D解析：D【解析】 由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±． 直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】 试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2【解析】【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点；当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点，所以共有2个零点．故答案为：2．【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数15．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.16．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使 解析：34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

高考数学历年压轴题集锦

高考数学历年压轴题集锦

高考数学压轴题集锦1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F (c ,0)（c >0）的准线l 与x 轴相交于点A ，OF =2FA ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若OP ⋅OQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设AP =λAQ （λ>1），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM =-λFQ . (14分)2．已知函数f (x )对任意实数x 都有f (x +1)+f (x )=1，且当x ∈[0,2]时，f (x )=|x -1|。

（1）x ∈[2k ,2k +2](k ∈Z )时，求f (x )的表达式。

（2）证明f (x )是偶函数。

（3）试问方程f (x )+log 43．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x +(y -3)=1。

（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g 交轨迹E 于G（x 1，y 1）、H（x 2，y 2）两点，求证：x 1x 2为定值；（3）过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A、B，要使四边形PACB 的面积S 最小，求10点P 的坐标及S 的最小值。

8y64C2Fx -15-10-55OX-2-4-61=0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有x实数根，请说明理由。

221015x 224.以椭圆2+y ＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试a 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a、b、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.6已知过函数f（x）=x +ax +1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。

高考数学试卷压轴题

高考数学试卷压轴题

高考数学试卷压轴题
1.一边长度为10cm 的正方形铁皮，四个角各剪去边长为( x ) 的小正方形后，折成一个
无盖的容器，试问：如何选择( x ) 使得容器的容积最大？
2.设某市某种疾病的患病率为( p )，市民们通过疾病检测的阳性概率为0.05。

某市民在
检测结果为阳性的情况下，重新检测的阳性概率提高到0.1。

求该市民患病的概率。

3.已知函数( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x ) 在区间([-2, 3]) 上取得极值。

求函数在该区间上的
最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的( x ) 值。

4.某物体在空气中自由落体，已知其下落高度( h(t) = 40t - 4.9t^2 )，其中( t ) 为时间
（s），求该物体自由落体的最大高度以及达到最大高度时的时间。

高考数学压轴题精选100题汇总(含答案)

高考数学压轴题精选100题汇总(含答案)

7. 已知动圆过定点 P（1，0），且与定直线 L:x=-1 相切，点 C 在 l 上. (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方 程； (2)设过点 P,且斜率为 3 的直线与曲线 M 相交于 A, B 两点. （i）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由 （ii）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围.
1
1
n 1 1
（Ⅱ）已知各项不为零的数列an 满足 4Sn f ( ) 1 ，求证： ln
；
an
an1
n
an
（Ⅲ）设 bn 1 ， Tn 为数列bn 的前 n 项和，求证： T2008 1 ln 2008 T2007 ．
ba b a
2
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c），（c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值；
（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
5．已知数列{an}中各项为： 12、1122、111222、……、111 22 2 ……
n
T 2n 1 ．
n
3
26. 对于函数 f (x) ，若存在 x0 R ，使 f (x0 ) x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数
f (x) x2 a (b, c N*) 有且仅有两个不动点 0 、 2 ，且 f (2) 1 ．
bx c
2
（Ⅰ）试求函数 f (x) 的单调区间；
a2 a3
an1 3
14．已知函数gx a2 x3 a x 2 cxa 0,
32
（I）当a 1 时，若函数 gx在区间1,1上是增函数，求实数c的取值范围；

压轴题03--函数与导数常见经典压轴小题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题03--函数与导数常见经典压轴小题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题03函数与导数常见经典压轴小题1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．考向一：函数、零点嵌套问题考向二：函数整数解问题考向三：等高线问题考向四：零点问题考向五：构造函数解不等式考向六：导数中的距离问题考向七：导数的同构思想考向八：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）1、分段函数零点的求解与判断方法：（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点，具体来说，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞，其导函数为()()232 0f x ax bx c a '=++＞，根的判别式()243b ac ∆=-．a ＞()232f x ax bx c'=++判别式∆＞0∆=0∆＜图象()32f x ax bx cx d=+++单调性增区间：()1, x -∞，()2, x +∞；减区间：()12, x x 增区间：(), -∞+∞增区间：(), -∞+∞图象（1）当0∆≤时，()0f x '≥恒成立，三次函数()f x 在R 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；（2）当0∆≥时，()0f x '=有两根1x ，2x ，不妨设12x x ＜，则1223bx x a+=-，可得三次函数()f x 在()1, x -∞，()2, x +∞上为增函数，在()12, x x 上为减函数，则1x ，2x 分别为三次函数()32f x ax bx cx d =+++的两个不相等的极值点，那么：①若()()120f x f x ⋅＞，则()f x 有且只有1个零点；②若()()120f x f x ⋅＜，则()f x 有3个零点；③若()()120f x f x ⋅=，则()f x 有2个零点．特别地，若三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞存在极值点0x ，且()00f x =，则()f x 地解析式为()()()20f x a x x x m =--．同理，对于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++＜，其性质也可类比得到．3、由于三次函数()()32 0f x ax bx cx d a =+++≠的导函数()232f x ax bx c '=++为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点, 33bb faa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．4、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．5、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．6、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．7、两类零点问题的不同处理方法利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<．．①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明()()0f a f b ⋅<．②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明()()0f a f b ⋅<．8、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．9、已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m=+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em x x -+的最大值为（）A ．1B ．eC ．2eD ．1e【答案】A【解析】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e ex m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),e m m t m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.2．（2023·湖南岳阳·统考二模）若函数()22ln 2e 2ln x xf x a x ax -=-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),e -∞-B ．(],e -∞-C ．()e,0-D ．()【答案】A【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 22ln 2e 2ln e 2ln x x x x f x a x ax a x x --=-+=+-，设2()2ln (0)h x x x x =->，则22(1)(1)()2x x h x x x x+-'=-=，令()01h x x '>⇒>，令()001h x x '<⇒<<，所以函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且(1)1h =，所以min ()(1)1h x h ==，所以()1h x ≥，函数()f x 有两个不同的零点等价于方程()0f x =有两个不同的解，则()222ln 2ln 22e e 2ln 02ln x x x x a x x a x x--+-=⇒-=-，等价于函数y a =-与22ln 2e 2ln x xy x x-=-图象有两个不同的交点.令22ln x x t -=，()1e ,tg t tt =>，则函数y a =-与()1e ,tg t tt =>图象有一个交点，则()()22e 1e e 0tt t t t g t t t '--==>，所以函数()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()()1e g t g >=，且t 趋向于正无穷时，()e tg t t=趋向于正无穷，所以e a ->，解得e a <-.故选：A.3．（2023·江西吉安·统考一模）已知,R,0,0x y x y ∈>>，且2x y xy +=，则8e y x-的可能取值为（）（参考数据： 1.1e 3≈， 1.2e 3.321≈）A ．54B ．32C ．e 1-D ．e【答案】D【解析】由2x y xy +=，可得844x y =-且1y >，所以84e e 4y yx y-=+-，令()()4e 4,1,yg y y y =+-∈+∞，可得()24e y g y y='-，令()24e yh y y =-，可得()38e 0yh y y '=+>，()h y 为单调递增函数，即()g y '单调递增，又()()1.1 1.222441.1e 0, 1.2e 01.1 1.2g g =--'<'=>，所以存在()0 1.1,1.2y ∈，使得()00204e 0yg y y =-='，所以()()0min 002000444e 44, 1.1,1.2yg g y y y y y ==+-=-∈，设()0200444f y y y =+-，则()0320084f y y y =--'，因为()0 1.1,1.2y ∈，所以()00f y '<，所以()0f y 在()1.1,1.2上单调递减，所以()()0191.229f y f >=>，又因为()22e 2e g =->，()g y 在()0,y ∞+上递增，所以D 正确.故选：D.4．（2023·河南开封·开封高中校考一模）若存在[)1,x ∞∈+，使得关于x 的不等式11e x ax +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则实数a 的最小值为（）A ．2B ．1ln2C ．ln21-D ．11ln2-【答案】D 【解析】由11e x ax +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭两边取对数可得 1()ln 11x a x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭①，令11,t x +=则11x t =-，因为[)1,x ∞∈+，所以(1,2]t ∈，则①可转化得1ln 11a t t ⎛⎫+≥⎪-⎝⎭，因为ln 0t >，11ln 1a t t ∴≥--因为存在[)1,x ∞∈+，使得关于x 的不等式11e x ax +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，所以存在(1,2]t ∈，11ln 1a t t ≥--成立，故求11ln 1t t --的最小值即可，令11(),(1,2]ln 1g x x x x =-∈-2211()(ln )(1)g x x x x '∴=-+⋅-2222(ln )(1)(1)(ln )x x x x x x ⋅--=-2222222(1)1(ln )(ln )2(1)(ln )(1)(ln )x x x x x x x x x x ----+==--，令()h x 21(ln )2,(1,2]x x x x=--+∈212ln 11()2ln 1x x x h x x x xx-+'∴=⋅-+=，令1()2ln ,(1,2]x x x x xϕ=-+∈，2222121()1x x x x x x ϕ-+-'∴=--=22(1)0x x --=<，所以()ϕx 在(1,2]上单调递减，所以()(1)0x ϕϕ<=，()0h x '∴<，所以()h x 在(1,2]上单调递减，所以()(1)0,()0,h x h g x '<=∴<()g x ∴在(1,2]上单调递减，1()(2)1ln 2g x g ∴≥=-，11ln 2a ∴≥-，所以实数a 的最小值为11ln 2-故选：D5．（2023·河北石家庄·统考一模）已知210x x a -=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．12e 1,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．12e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0,x ∈+∞，则210x x a =>，故2ln ln xa x=，要使原方程在()0,x ∈+∞有两个不等实根，即2ln ()xf x x =与ln y a =有两个不同的交点，由432ln 12ln ()x x x x f x x x --'==，令()0f x '>，则120e x <<，()0f x '<，则12e x >，所以()f x 在12(0,e )上递增，12(e ,)+∞上递减，故12max 1()(e )2e f x f ==，又x 趋向于0时，()f x 趋向负无穷，x 趋向于正无穷时，()f x 趋向0，所以，要使()f x 与ln y a =有两个不同的交点，则10ln 2ea <<，所以12e 1e a <<.故选：D6．（2023·吉林·统考三模）已知不等式22e ln ln x x λλ+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数λ的取值范围是（）A ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．1,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由22e ln ln x x λλ+≥得22e ln ln lnxxx λλλ≥-=，即22e lnxxxx λλ≥，令()e t f t t =，()0,t ∈+∞，则()()1e 0tf t t '=+>，所以()e tf t t =在()0,∞+上单调递增，而ln22e lnlne xxxxxx λλλλ≥=等价于()2ln x f x f λ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，∴2lnxx λ≥，即2e xx λ≥令()2e x g x x =，()0,x ∈+∞，则()212e xg x x-'=，所以()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '>，为增函数；在在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0g x '<，为减函数，所以()g x 最大值为1122e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12e λ≥．故选：C7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）设()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x 的导函数为()f x '，且()()32f x f x x '⋅>在R 上恒成立，则下列说法中正确的是（）A ．()()20232023f f <-B ．()()20232023f f >-C ．()()20232023f f <-D ．()()20232023f f >-【答案】D【解析】由题设32()()4f x f x x ⋅>'，构造24()()g x f x x =-，则3()2()()40g x f x f x x =-'>'，所以()g x 在R 上单调递增，则(2023)(2023)g g >-，即2424(2023)2023(2023)(2023)f f ->---，所以22(2023)(2023)f f >-，即()()20232023f f >-.故选：D8．（2023·四川广安·统考二模）若存在[]01,2x ∈-，使不等式()022002e 1ln e 2ex ax a x +-≥+-成立，则a 的取值范围是（）A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．421,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．41,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】()022002e 1ln e 2e x a x a x +-≥+-⇔()()222e 1ln e 12e x a a x ---≥-()()()000022222 e 1ln e 1ln e 2 e 1ln 2e e x x x x a a a a e ⇔---≥-⇔-≥-令ex at =，即()2e 1ln 220t t --+≥，因为0[1,2]x ∈-，所以21,e e a a t -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2()e 1ln 22f t t t =--+.则原问题等价于存在21,e e a a t -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.()22e 12e 1()2t f t t t---'=-=令()0f t '<，即()2e 120,t --<解得2e 12t ->，令()0f t '>，即()2e 120,t -->解得2e 102t -<<，所以()f t 在2e 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2e 1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭上单调递减.又因为()()2222(1)0,e e 1ln e 2e 2f f ==--+222e 22e 20=--+=而22e 11e 2-<<，∴当21e t ≤≤时，()0f t ≥.若存在21,e e a a t -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t ≥成立.只需22e e a ≤且11e a -≥，解得4ea ≤且1e a ≥，所以41e ea ≤≤.故a 的取值范围为41,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D9．（2023·河南郑州·统考二模）函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若关于x 的方程()()()210f x m f x m -++=⎡⎤⎣⎦恰有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．10em -<<B ．10em -<≤C ．10em -≤<D ．10em -≤≤【答案】A【解析】由()2[()]1()[()][()1]0f x m f x m f x m f x -++=--=，可得()f x m =或()1f x =，令ln y x x =且定义域为(0,)+∞，则ln 1y x ¢=+，当1(0,ex ∈时0'<y ，即y 递减；当1(,)ex ∈+∞时0'>y ，即y 递增；所以min 1e y =-，且1|0x y ==，在x 趋向正无穷y 趋向正无穷，综上，根据()f x 解析式可得图象如下图示：显然()1f x =对应两个根，要使原方程有5个根，则()f x m =有三个根，即(),f x y m =有3个交点，所以10em -<<.故选：A10．（2023·贵州·统考模拟预测）已知函数()f x 在R 上满足如下条件：（1）()()0f x f x -+=；（2）()20f -=；（3）当()0,x ∈+∞时，()()f x f x x'<.若()0f a >恒成立，则实数a 的值不可能是（）A ．3-B ．2C ．4-D ．1【答案】B 【解析】设()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=，因为当()0,x ∈+∞时，()()f x f x x'<，所以当0x >时，有()()0xf x f x '-<恒成立，即此时()g x '<0，函数()g x 为减函数，因为()f x 在R 上满足()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是奇函数，又()20f -=，所以()20f =，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()g x 是偶函数，所以()()220g g =-=，且()g x 在(),0x ∈-∞上为增函数，当0a >时，()0f a >，即()()0f a ag a =>，等价为()0g a >，即()()2g a g >，得02a <<；当a<0时，()0f a >，即()()0f a ag a =>，等价为()0g a <，即()()2g a g <-，此时函数()g x 为增函数，得2a <-，综上不等式()0f a >的解集是()(),20,2-∞- ，结合选项可知，实数a 的值可能是3-，4-，1.故选：B11．（2023·广西·统考三模）已知2()cos f x x x =+，若3441e ,ln ,54a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a c b<<【答案】A【解析】因为2()cos ,R f x x x x =+∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x '=-，设()2sin g x x x =-，则()2cos g x x =-'，1cos 1x -≤≤ ，()0g x '∴>，所以()g x 即()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''≥=,所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，又因为()f x 为偶函数,所以()f x 在(,0]-∞上单调递减，又因为41ln0,054<-<,所以445ln ln ln 554b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1144c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为31411ee e 4-->=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4⎛⎫⎛⎫=≈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以145e 4>,所以145ln e ln 4>，即15ln 44>,所以3415eln 44->>,所以3441e 5ln 4f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即a c b >>.故选：A.12．（2023·天津南开·统考一模）已知函数()()216249,1,11,1,9x x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩则下列结论：①()1*9,Nn f n n -=∈②()()10,,x f x x∞∀∈+<恒成立③关于x 的方程()()R f x m m =∈有三个不同的实根，则119m <<④关于x 的方程()()1*9N n f x n -=∈的所有根之和为23n n +其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】由题意知，()()()()1211111219999n n f n f n f n f n n --=-=-==--=⎡⎤⎣⎦ ，所以①正确；又由上式知，要使得()()10,,x f x x∞∀∈+<恒成立，只需满足01x <≤时，()1f x x <恒成立，即2116249x x x-+<，即321624910x x x -+-<恒成立，令()(]32162491,0,1g x x x x x =-+-∈，则()248489g x x x '=-+，令()0g x '=，解得14x =或34x =，当1(0,4x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当13(,)44x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3(,)4x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当14x =时，函数()g x 取得极大值，极大值11101444g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以②不正确；作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知，要使得方程()()R f x m m =∈有三个不同的实根，则满足()()21f m f <<，即119m <<，所以③正确；由()1(1)9f x f x =-知，函数()f x 在(),1n n +上的函数图象可以由()1,n n -上的图象向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的19倍得到，因为216249y x x =-+的对称轴为34x =，故()09f x =的两根之和为32，同理可得：()19f x =的两个之和为322+， ，()19nf x -=的两个之和为32(1)2n +-，故所有根之和为23333(2)[2(1)]2222n n n +++++-=+，所以④不正确.故选：B.13．（2023·山东济南·一模）函数()()()221xxx f x a a a =++-+（0a >且1a ≠）的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由()0f x =可得22011x x a a a a +⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即11112011x xa a ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0a >且1a ≠，则1110,,1122a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，令11t a =+，令()()()112x xg x t t =-++-，则()()010g g ==，()()()()()1ln 11ln 1xxg x t t t t '=--+++，令()()()()()1ln 11ln 1xxh x t t t t =--+++，则()()()()()221ln 11ln 10xxh x t t t t '=--+++>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()g x '在R 上单调递增，因为()()()()20ln 1ln 1ln 1ln10g t t t'=-++=-<=，()()()()()11ln 11ln 1g t t t t '=--+++，令()()()()()1ln 11ln 1p t t t t t =--+++，其中01t <<，则()()()ln 1ln 10p t t t '=+-->，所以，函数()p t 在()0,1上单调递增，所以，()()()100g p t p >'==，由零点存在定理可知，存在()00,1x ∈，使得()00g x '=，且当0x x <时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当0x x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()()0010g x g g <==，所以，函数()g x 的零点个数为2，即函数()f x 的零点个数为2.故选：B.14．（2023·陕西榆林·统考二模）已知函数()()25e xf x x x =+-，若函数()()()()222g x f x a f x a =---⎡⎤⎣⎦恰有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．()3e,0-B ．470,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．473e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,3e 【答案】B【解析】函数()g x 恰有5个零点等价于关于x 的方程()()()2220f x a f x a ⎡⎤---=⎣⎦有5个不同的实根．由()()()2220f x a f x a ⎡⎤---=⎣⎦，得()f x a =或()2f x =-．因为()()25e x f x x x =+-，所以()()234e x f x x x '=+-()()41e xx x =+-，由()0f x ¢>，得<4x -或1x >，由()0f x '<，得41x -<<，则()f x 在(),4-∞-和()1,+∞上单调递增，在()4,1-上单调递减．因为()474e f -=，()13e f =-，当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()0f x →，所以可画出()f x 的大致图象：由图可知()2f x =-有2个不同的实根，则()f x a =有3个不同的实根，故470,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A ，C ，D 错误.故选：B.15．（2023·山东枣庄·统考二模）已知()f x =，a ∈R ，曲线cos 2y x =+上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则a 的范围是（）A ．()8,18ln 3+B ．[]8,18ln 3+C ．()9,27ln 3+D ．[]9,27ln 3+【答案】B【解析】因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos 21,3y x =+∈，由题意cos 2y x =+上存在一点()00,x y 使得()()00f f y y =，即[]01,3y ∈，只需证明()00f y y =，显然()f x =假设()00f y y c =>，则()()()()000f f y f c c y f y ==>>不满足()()00f f y y =，同理()00f y c y =<不满足()()00f f y y =，所以()00f y y =，那么函数()[]1,3f x =即函数()f x x =在[]1,3x ∈有解，x =，可得[]2ln 9,1,3x x a x x +-=∈，从而[]2ln 9,1,3x x x a x +-=∈，令()[]2ln 9,1,3h x x x x x =+-∈，则()2119292x x h x x x x+-'=+-=，令()0h x '=，即21920x x +-=，解得12993,044x x -=>=（舍去），()0h x '>时03x <<<()0h x '<时x >所以()h x 在[]1,3单调递增，所以()()()13h h x h ≤≤，()1ln1918h =+-=，()3ln 3279ln 318h =+-=+，所以()h x 的取值范围为[]8,ln 318+，即a 的取值范围为[]8,ln 318+.故选：B.16．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知()(0)ln kxx k xϕ=>，若不等式()11e kxxx ϕ+<+在()1+∞，上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．()ln2+∞，C ．()0,eD ．()0,2e 【答案】A【解析】由题意知，(1,)x ∀∈+∞，不等式11e ln kx x kx x+<+恒成立，即()(1,),1eln e(1)ln kxkxx x x ∀∈+∞+>+成立.设()(1)ln (1)f x x x x =+>，则()e ()kxf f x >.因为11()ln ln 10x f x x x x x+'=+=++>，所以()f x 在()1+∞，上单调递增，于是e kx x >对任意的()1x ∈+∞，恒成立，即ln xk x >对任意的()1x ∈+∞，恒成立.令ln ()(1)x g x x x=>，即max ()k g x >.因为21ln ()xg x x-'=，所以当(1,e)x ∈时，()0g x '>;当()e x ∈+∞，时，()g x '<0，所以()g x 在(1,e)上单调递增，在()e ，+∞上单调递减，所以max 1()(e)eg x g ==，所以1ek >.故选：A .17．（2023·江西·校联考模拟预测）已知()ee 1ln x x a x+>有解，则实数a 的取值范围为（）A ．21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】不等式()e e 1ln x x a x+>可化为()e ln 1x a x x x ++>，()()e ln e 1x x a x x +>，令e x t x =，则ln 1at t +>且0t >，由已知不等式ln 1t at +>在()0,∞+上有解，所以1ln ta t ->在()0,∞+上有解.令()1ln t f t t -=，则()2ln 2t f t t ='-，当20e t <<时，()0f t '<，()f t 在()20,e 上单调递减；当2t e >时，()0f t '>，()f t 在()2e ,+∞单调递增，所以()min f t =()221e e f =-，所以21e a >-，所以a 的取值范围为21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，故选：A.18．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）设0k >，若不等式()ln e 0xk kx -≤在0x >时恒成立，则k 的最大值为（）A ．eB ．1C ．1e -D ．2e 【答案】A【解析】对于()ln e 0xk kx -≤，即()e ln x kx k≤，因为()ln y kx =是e xy k =的反函数，所以()ln y kx =与e xy k =关于y x =对称，原问题等价于e x x k≥对一切0x >恒成立，即e xk x≤；令()e x f x x =，则()()'21e x x f x x -=，当01x <<时，()()'0,f x f x <单调递减，当1x >时，()()'0,f x f x >单调递增，()()min 1e f x f ==，e k ∴≤；故选：A.19．（2023·四川南充·统考二模）已知函数()()2ln ln 1212x x h x t t x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<．则实数11ln 1x x ⎛-⎝）A ．1t -B ．1t -C ．－1D ．1【答案】D 【解析】令ln x y x =，则21ln xy x-'=，当(0,e)x ∈时0'>y ，y 是增函数，当(e,)x ∈+∞时0'<y ，y 是减函数；又x 趋向于0时y 趋向负无穷，x 趋向于正无穷时y 趋向0，且e 1|ex y ==，令ln xm x=，则2()()(12)12h x g m m t m t ==--+-，要使()h x 有3个不同零点，则()g m 必有2个零点12,m m ，若11(0,e m ∈，则21em =或2(,0]m ∞∈-，所以2(12)120m t m t --+-=有两个不同的根12,m m ，则2Δ(12)4(12)0t t =--->，所以32t <-或12t >，且1212m m t +=-，1212m m t =-，①若32t <-，12124m m t +=->，与12,m m 的范围相矛盾，故不成立；②若12t >，则方程的两个根12,m m 一正一负，即11(0,)em ∈，2(,0)m ∞∈-；又123x x x <<，则12301e x x x <<<<<，且121ln x m x =，32123ln ln x x m x x ==，故11ln 1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(()()221111m m m =-=--12121()1m m m m =-++=.故选：D20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知实数0a >，e 2.718=…，对任意()1,x ∈-+∞，不等式()e e 2ln xa ax a ⎡⎤++⎣⎦≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,1e⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,e⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,1e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为()e e 2ln xa ax a ⎡⎤++⎣⎦≥，所以()()1e2ln 2ln 2ln ln(1)x a ax a a a ax a a a a a x -⎡⎤++=++=+++⎣≥⎦，即11e 2ln ln(1)x a x a-⋅++≥+，即1ln 11ln e e 2ln ln(1)e 2ln ln(1)x x a a a x a x ---⋅+++⇔+≥++≥，所以1ln e 1ln ln(1)1x a x x a x --+≥--+++，令()e ,(1,)x f x x x =+∈-+∞，易知()f x 在()1,x ∈-+∞上单调递增，又因为ln(1)[ln(1)]e ln(1)1ln(1)x f x x x x ++=++=+++，所以(1ln )[ln(1)]f x a f x --≥+，所以1ln ln(1),(1,)x a x x --≥+∈-+∞，所以ln 1ln(1),(1,)a x x x ≤--+∈-+∞，令()1ln(1),(1,)g x x x x =--+∈-+∞，则1()111x g x x x '=-=++，所以当(1,0)x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当,()0x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以min ()(0)1g x g ==-，所以ln 1a ≤-，解得10ea <≤.故选：A21．（2023·陕西榆林·统考二模）已知函数()()25e xf x x x =+-，若函数()()()()0g x f f x a a =->，则()g x 的零点个数不可能是（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【解析】令()0g x =，即()()f f x a =，因为()()25e xf x x x =+-，所以()2()34e x f x x x '=+-，由()0f x ¢>，得<4x -或1x >，由()0f x '<，得41x -<<，则()f x 在(),4-∞-和()1,+∞上单调递增，在()4,1-上单调递减，因为()474e f -=，()13e f =-，当+x →∞时，()+f x →∞，当x →-∞时，()0f x →，令()0f x =，解得1212x -=或1212x -=，所以可画出()f x 的大致图像，设()t f x =，则()f t a =，第一种情况：当470e a <<时，()f t a =有三个不同的零点1t ，2t ，3t ，不妨设123t t t <<，则14t <-，2142t -<<-，312t ->，①讨论()1f x t =根的情况：当13e t <-时，()1f x t =无实数根，当13e t =-时，()1f x t =有1个实数根，当13e 4t -<<-时，()1f x t =有2个实数根，②讨论()2f x t =根的情况：因为2142t -<<-，所以()2f x t =有2个实数根，③讨论()3f x t =根的情况：因为3t >47e>，所以()3f x t =只有1个实数根，第二种情况：当47e a =时，()f t a =有2个实数根44t =-，51212t ->，则()4f x t =有2个实数根，()5f x t =有1个实数根，故当47ea =时，()()f f x a =有3个实数根；第三种情况：当47e a >时，()f t a =有一个实数根612t ->，则()6f x t =有1个实数根，综上，当470ea <<时，()()f f x a =可能有3个或4个或5个实数根；当47e a =时，()()f f x a =有3实数根；当47e a >时，()()f f x a =有1个实数根；综上，()g x 的零点个数可能是1或3或4或5．故选：D ．22．（多选题）（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）若关于x 的不等式1ln ln e e ex m xm -+≥在(),m +∞上恒成立，则实数m 的值可能为（）A ．21e B ．22e C ．1eD ．2e【答案】CD【解析】因为不等式1ln ln ee e x m x m -+≥在(),m +∞上恒成立，显然0x m >>，1x m >，ln 0xm>，因此ln 1ln ln 1ee ln e ln e ln e e e xx x x x mm x x x x x m x x m m m m m-+≥⇔≥⇔≥⇔≥⋅，令()e ,0x f x x x =>，求导得()(1)0x f x x e '=+>，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，ln e ln e ()(ln xxm x x x f x f m m ≥⋅⇔≥，于是ln x x m ≥，即e e xx x x m m ≥⇔≥，令(),0e x xg x x =>，求导得1()ex x g x -'=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，因此函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 1()(1)eg x g ==，因为0x m >>，则当01m <<时，()g x 在(,1)m 上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，1()(1)eg x g ≤=，因此要使原不等式成立，则有11em ≤<，当m 1≥时，函数()g x 在(,)m +∞上单调递减，()()()11eg x g m g <≤=，符合题意，所以m 的取值范围为1[,)e+∞，选项AB 不满足，选项CD 满足.故选：CD23．（多选题）（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数()()()32e 04610x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，其中e 是自然对数的底数，记()()()2h x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，()()()3g x f f x =-，则（）A ．()g x 有唯一零点B ．方程()f x x =有两个不相等的根C ．当()h x 有且只有3个零点时，[)2,0a ∈-D ．0a =时，()h x 有4个零点【答案】ABD【解析】因为32()461(0)f x x x x =-+≥，所以2()121212(1)(0)f x x x x x x '=-=-≥，所以(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>所以()()()32e04610x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩的图像如下图，选项A ，因为()()()3g x f f x =-，令()f x t =，由()0g x =，得到()3f t =，由图像知，存在唯一的01t >，使得()3f t =，所以0()1f x t =>，由()f x 的图像知，存在唯一0x ，使00()f x t =，即()()()3g x f f x =-只有唯一零点，所以选项A 正确；选项B ，令()g x x =，如图，易知()g x x =与()y f x =有两个交点，所以方程()f x x =有两个不相等的根，所以选项B 正确；选项C ，因为()()()2h x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，令()f x m =，由()0h x =，得到20m m a -+=，当()h x 有且只有3个零点时，由()f x 的图像知，方程20m m a -+=有两等根0m ，且0(0,1)m ∈，或两不等根12,m m ，1210,1m m -<<>，或121,1m m =-=（舍弃，不满足韦达定理），所以140a ∆=-=或Δ140(0)0(1)0(1)0a f f f =->⎧⎪<⎪⎨->⎪⎪<⎩即14a =或14020a a aa ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪-<⎪<⎪⎩，所以14a =或20a -<<，当14a =时，12m =，满足条件，所以选项C 错误；选项D ，当0a =时，由()0h x =，得到()0f x =或()1f x =，由()f x 的图像知，当()0f x =时，有2个解，当()1f x =时，有2个解，所以选项D 正确.故选：ABD.24．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数()21ln 1f x a x x =++．若当()0,1x ∈时，()0f x >，则a 的一个值所在的区间可能是（）A ．()12,11--B ．()0,1C ．()2,3D ．()24e ,e 【答案】ABC 【解析】设21t x =，因为01x <<，所以1t >，则211ln 1ln 12a x t a t x ++=-+．设()1ln 12g t t a t =-+，则()12ag t t'=-．若2a ≤，则()0g t '>，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()120g t g >=>，则A ，B 符合题意．若2a >，则当1,2a t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，所以()g t 单调递减；当,2a t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，所以()g t 单调递增．所以()ln 12222a a a ag t g ⎛⎫≥=-+ ⎪⎝⎭．设()()ln 11h x x x x x =-+>，则()ln 0h x x '=-<，所以()h x 在()1,+∞上单调递减，且3533ln 02222h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以若()2,3a ∈，则()30222a a g t g h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，C 符合题意．因为()h x 在()1,+∞上单调递减，且()22e e 10h =-+<，所以若()24e ,e a ∈，则24e e ,222a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，取22e a =，则()2e 022a a g h h ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，此时存在()1,t ∈+∞，使得()0g t <，即存在()0,1x ∈时，使得()0f x <，D 不符合题意．故选：ABC ．25．（多选题）（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()f x '是()f x 的导函数，若()()122e xx f x xf x '+=，且()e 22f =，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在定义域上有极小值．B ．函数()f x 在定义域上单调递增．C ．函数()()eln H x xf x x =-的单调递减区间为()0,2．D ．不等式()12e e 4x f x +>的解集为()2,+∞．【解析】令()()m x xf x =，则()()()m x f x xf x ''=+，又()()22e xx f x xf x '+=得：()()2e xf x xf x x'+=，由()()m x f x x =得：()()()()()()()22222e xm x x m x xf x x f x m x m x f x x x x ''⋅-+--'===，令()()2e xh x m x =-得：()()2222e e e 2e 222x x x xx h x m x x x -''=-=-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，当()0,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()()()2e 2e 220h x h m f ≥=-=-=，即()0f x '≥，所以()f x 单调递增，所以B 正确，A 不正确；由()()eln H x m x x =-且定义域为()0,∞+得：()()2e e e x H x m x xx-''=-=，令()0H x '<，解得02x <<，即()H x 的单调递减区间为()0,2，故C 正确．()12ee 4xf x +>的解集等价于()2e e 4x x x xf x +>的解集，设()()2e e 44xx x x m x ϕ=--，则()()222ee ee e 11424424x xx x x x m x x ϕ⎛⎫⎛⎫''=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2282e e 84x x x x --=⋅-，当()2,x ∈+∞时，2820x x --<，此时()0x ϕ'<，即()x ϕ在()2,+∞上递减，所以()()()22e 0x m ϕϕ<=-=，即()2e e 4x x x xf x +<在()2,+∞上成立，故D 错误．26．（多选题）（2023·山东泰安·统考一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-∈R 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（）A ．102a <<B ．2112x a<<C ．21112x x a->-D ．()10<f x ，()212f x >-【答案】ACD【解析】对于A ：()()()ln f x x x ax a =-∈R ，定义域()0,x ∈+∞，()()ln 120f x x ax x '=+->，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()f x '有两个变号零点，设()()ln 120g x x ax x =+->，则()1122axg x a xx-'=-=，当0a ≤时，()0g x '>，则函数()f x '单调递增，则函数()f x '最多只有一个变号零点，不符合题意，故舍去；当0a >时，12x a <时，()0g x '>，12x a>时，()0g x '<，则函数()f x '在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，若()f x '有两个变号零点，则102f a ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，解得：12a <，此时x 由正趋向于0时，()f x '趋向于-∞，x 趋向于+∞时，()f x '趋向于-∞，则()f x '有两个变号零点，满足题意，故a 的范围为：102a <<，故A 正确；对于B ：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，即()f x '有两个变号零点1x ，2x ()12x x <，则1212x x a<<，故B 错误；对于C ：当102a <<时，()1120f a '=->，则12112x x a <<<，即212x a >，11x ->-，则21112x x a->-，故C 正确；对于D ：()f x '有两个变号零点1x ，2x ()12x x <，且函数()f x '先增后减，则函数()f x 在()10,x 与()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，121x x << ，且102a <<，()()()()1210112f x f a f x f a ⎧<=-<⎪∴⎨>=->-⎪⎩，故D 正确；故选：ACD.27．（多选题）（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数()ln xf x a a =，()()ln 1g x a x =-，其中0a >且1a ≠．若函数()()()h x f x g x =-，则下列结论正确的是（）A ．当01a <<时，()h x 有且只有一个零点B ．当1e 1e a <<时，()h x 有两个零点C ．当1e e a >时，曲线()yf x =与曲线()yg x =有且只有两条公切线D ．若()h x 为单调函数，则e e 1a -≤<【答案】BCD【解析】对A ，()ln ln(1),x h x a a a x =--令()10,ln ln(1),log (1)x x a h x a a a x a x -=∴=-∴=-，令111,164a x =-=，或111,162a x =-=1log (1)x a a x -=-都成立，()h x 有两个零点，故A 错误；对B ，1ln ln(1),x a a x -=-令1ln ,(1)ln ln ,ln(1),1x ta t x a t t x x -=∴-=∴⋅=--ln (1)ln(1)t t x x ∴=--，（1t >）.考虑ln (),()ln 10,y x x F x F x x '===+=11,()(1),e x x F a F x -∴=∴=-所以函数()F x 在1(0,e单调递减，在1(,)e +∞单调递增，1()(1),x F a F x -∴=-1ln(1)1,ln 1x x a x a x --∴=-∴=-.考虑2ln 1ln (),()0,e,x xQ x Q x x x x -'=∴==∴=所以函数()Q x 在(0,e)单调递增，在(e,)+∞单调递减，1(e),eQ =当1ln1e ()e 0,1e eQ ==-<x →+∞时，()0Q x >,所以当10ln e a <<时，有两个零点.此时1e 1e a <<，故B 正确；对C ，设21ln ,(),()e 1x ak a f x a k g x x ''=>=⋅=-，1t x =-.设切点1122111222(,()),(,()),()()(),()()(),x f x x g x y f x f x x x y g x g x x x ''∴-=--=-所以12111222()()()()()()f x g x f x x f x g x x g x ''''=⎧⎨-=-⎩.①111122222211,,11x x t a a k a k a k x x t -=∴==--。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。

1．1212ii+=-（） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（）A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的离心力为3，则其渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．3y x =± 6．在ABC △中，5cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =（） A ．42B ．30 C ．29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π 11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（） A ．23B ．12C ．13D ．14 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数学高考压轴题含答案

数学高考压轴题含答案

数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。

高考数学平面向量冲刺(压轴题)

高考数学平面向量冲刺(压轴题)

高考数学平面向量冲刺(压轴题)高考数学平面向量冲刺（压轴题）第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共9小题）1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C ．D．22．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC 内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B ．﹣C ．﹣D．﹣13．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=，则△ABC 的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．44．过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B ，则•的最小值为（）A ．B ．C ．D．2﹣35．已知向量，，满足||=1，⊥（﹣2），（﹣）⊥（﹣），若||=，||的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（）A ．B．2 C ．D ．6．已知点O 为坐标原点，点（n∈N*），向量，θn是向量与i的夹角，则使得＜t恒成立的实数t的最小值为（）A ．B ．C．2 D．37．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（）A ．B ．C ．D ．8．边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P ，=1，则•的范围是（）A．[2，4]B．[，4] C．[3﹣，2]D．[，3﹣]9．已知△ABC，若对∀t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定高考数学平面向量冲刺(压轴题)第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共11小题）10．已知向量，满足||=3，||=2||，若|+λ|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为．11．若6x2+4y2+6xy=1，x，y∈R，则x2﹣y2的最大值为．12．若正实数a，b满足（2a+b）2=1+6ab ，则的最大值为．13．已知a，b均为正数，且a+b=1，c＞1，则（﹣1）•c+的最小值为．14．在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=3．P为△ABC内一点（含边界），若满足=+λ（λ∈R），则•的取值范围为15．如图，在△ABC中，已知AB=3，AC=2，∠BAC=120°，D为边BC的中点．若CE⊥AD，垂足为E，则的值为．16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=2，∠ABC=60°，动点E，F分别在线段BC和CD上，且=2，=（1﹣3λ），则的取值范围为．17．如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F 分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是．18．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t恒成立的实数t的最小值为．19．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）20．已知实数x，y满足x2+y2=2x ，则x 2y 2的取值范围是．三．解答题（共2小题）21．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．22．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），令b n=a n+1．（Ⅰ）求证：{b n}是等比数列；（Ⅱ）记数列{nb n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．高考数学平面向量冲刺(压轴题)参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C ．D．2【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质；5A ：平面向量及应用；5B ：直线与圆．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P 的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高考数学压轴题：平面解析几何

高考数学压轴题：平面解析几何

高考数学压轴题：平面解析几何一、解答题（共35小题）1．已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ． （Ⅰ）若1k =，且10||AB =，求实数a 的值； （Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且1273||,(4OP PF PF O ==为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零； （Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<时，求实数t 取值范围． 7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M 处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由． ．12．（2019•秦淮区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，以椭圆C左顶点T为圆心作圆222:(2)(0)T x y r r++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR OS为定值．13．（2016•益阳模拟）已知以点(1,2)A-为圆心的圆与直线1:270l x y++=相切．过点(2,0)B-的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与1l相交于点P．()I求圆A的方程；（Ⅱ）当219MN=l的方程；（Ⅲ）BQ BP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．14．（2019•上海）已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．15．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．16．（2019•新课标Ⅱ）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．17．（2019•浙江）如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12SS的最小值及此时点G的坐标．18．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2xC y=，D为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．19．（2018•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离5A的坐标为(,0)b，且||||62FB AB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k=>与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若||52(||4AQAOQ OPQ=∠为原点），求k的值．20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点1(3F0)，2(3F0)，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若OAB∆26，求直线l的方程．21．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．22．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．（2018•上海）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8(0,0)y x x t y Γ=．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．25．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程．26．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．()I 求椭圆的方程和抛物线的方程；()II 设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆，求直线AP 的方程．27．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）如图，动直线1:l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且||:||2:3MC AB =，M 的半径为||MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．28．（2017•新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．29．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)P -，43(1,)P 中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．30．（2016•浙江）如图，设椭圆222:1(1)x C y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．31．（2016•天津）设椭圆2221(3)3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113||||||eOF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF HF⊥，且MOA MAO∠∠，求直线l的斜率的取值范围．32．（2016•四川）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PBλ=，并求λ的值．33．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率是3，抛物线2:2E x y=的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．()i求证：点M在定直线上；()ii直线l与y轴交于点G，记PFG∆的面积为1S，PDM∆的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标．34．（2016•新课标Ⅱ）已知椭圆22:13x yEt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k>的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA NA⊥．（Ⅰ）当4t=，||||AM AN=时，求AMN∆的面积；（Ⅱ）当2||||AM AN=时，求k的取值范围．35．（2016•新课标Ⅰ）设圆222150x y x++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明||||EA EB+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：平面解析几何综合题（35题）参考答案与试题解析一、解答题（共35小题）1．（2016•南昌校级二模）已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且||AB =，求实数a 的值； （Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）若1k =，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及||AB =可求实数a 的值；（Ⅱ）根据2AC CB =关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， （Ⅰ）由2213y x x y a=+⎧⎨+=⎩得24210x x a ++-=， 则1212x x +=-，1214ax x -=，则123|||24AB x x a -=-=2a =． （Ⅱ）由2213y kx x y a=+⎧⎨+=⎩，得22(3)210k x kx a +++-=， 则12223k x x k +=-+，12213ax x k -=+， 由2AC CB =得1(x -，121)2(y x -=，21)y -， 解得122x x =-，代入上式得： 122223k x x x k +=-=-+，则2223kx k =+，1222133||3||||||322323||||AOB k S OC x x x k k k ∆=-====++ 当且仅当23k =时取等号，此时2223k x k =+，22122224222(3)3k x x x k =-=-⨯=-+， 又1221136a ax x k --==+， 则1263a -=-，解得5a =．所以，AOB ∆，此时椭圆的方程为2235x y +=． 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．2．（2017•河南模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且123||(4OP PF PF O =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由． 【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（1）设出P 的坐标，利用||OP 的值求得0x 和0y 的关系式，同时利用1234PF PF =求得0x 和0y 的另一关系式，进而求得c ，通过椭圆的离心率求得a ，最后利用a ，b 和c 的关系求得b ，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则可利用韦达定理表示出12x x +和12x x ，假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则可表示出MA MB ，利用0MA MB =求得m 的值．【解答】解：（1）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则由220074OP x y =+=； 由1234PF PF =得00003(,)(,)4c x y c x y -----=，即2220034x y c +-=． 所以1c =又因为222,1c a b a ===所以． 因此所求椭圆的方程为：2212x y +=．（2）动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22416(21)039k x kx +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k +==-++． 假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则1122(,),(,)MA x y m MB x y m =-=-． 21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的,0k R MA MB ∈=恒成立， 即221096150m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得1m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点， 点M 的坐标为(0,1)【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和推理的能力．3．（2016•衡阳三模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】3K ：椭圆的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）由题意知2a =，b c =，22b =，由此可知椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ，()()110,,2,OP x y OM y ==则，直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=，然后利用根与系数的关系能够推导出OM OP 为定值．（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥．2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++，再由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，由此可知存在(0,0)Q 满足条件．【解答】解：（1）2a =，b c =，222a b c =+，22b ∴=；∴椭圆方程为22142x y +=（4分）（2）(2,0)C -，(2,0)D ，设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， ()()110,,2,OP x y OM y ==则直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=（6分）21204(8)128y x y -=-+，∴201202(8)8y x y -=-+，∴012088y y y =+，∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++（8分） ∴2220002220004(8)84324888y y y OP OM y y y -+=-+==+++（定值）（10分）（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥（11分）2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++（12分）则由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，从而得0m =∴存在(0,0)Q 满足条件（14分）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．4．（2016•天津一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零； （Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．【考点】1K ：圆锥曲线的实际背景及作用；3K ：椭圆的标准方程【专题】15：综合题；31：数形结合；34：方程思想；4R ：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a 、b 的值即可；（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，求出直线RA 、RB 的斜率之和即可证明结论成立； （Ⅲ）讨论直线l 的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出||||AB MN 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C 长轴长等于圆22:(2)4R xy +-=的直径， 所以24a =，2a =； ⋯（1分）2，得22222212c a b e a a -===，所以222142b b a ==，得22b =；⋯（2分）所以椭圆C 的方程为22142x y +=；⋯（3分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，与22142x y +=联立，消去y ，得22(12)420k x kx ++-=； 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122412k x x k +=-+，122212x x k =-+，⋯（5分） 由(0,2)R ，得 121222RA RB y y k k x x --+=+121211kx kx x x --=+12112()k x x =-+ 12122x x k x x +=-2241220212k k k k -+=-=-+．⋯（7分）所以直线RA ，RB 的斜率之和等于零；⋯（8分）（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，||AB =||4MN =，||||8AB MN =；⋯（9分） 当直线l的斜率存在时，||AB =12||x x =-12()x x +4(12k k =-+ 22328k += ||MN ==⋯（11分）所以22328||||12k AB MN k+=+⨯241k +=；因为直线l 过点(0,1)P ，所以直线l 与椭圆C 和圆R 均交于两点， 令212k t +=，则1t ， 所以22(21)(21)1||||4242482t t AB MN t t -+==-<， 又2124y t =-在1t 时单调递增， 所以1||||446AB MN =， 当且仅当1t =，0k =等号成立；⋯（13分）综上，||||AB MN 的取值范围是．⋯（14分）【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．5．（2015•大庆一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质 【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知12c e a ==，能够导出2243a b =．再由b C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=，再由根与系数的关系证明直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）分MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．再由根据判别式和根与系数的关系求解OM ON 的取值范围；当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =，易得M 、N 的坐标，进而可得OM ON 的取值范围，综合可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知12c e a ==， 所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b =所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．①设点1(B x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(A x ，1)y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知△0>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则2225125334344(43)M N M N m OM ON x x y y m m +=+=-=--++． 因为20m ，所以21133044(43)m --<+．所以5[4,)4OM ON ∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得3(1,)2M -，3(1,)2N 或3(1,)2M 、3(1,)2N -．此时54OM ON =-．所以OM ON 的取值范围是5[4,]4--．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<t 取值范围． 【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知c e a ==所以22222212c a b e a a -===．由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ，由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=再由根的判别式和嘏达定理进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==，所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．（2分）又因为1b ==，所以22a =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分）（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ， 由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=．△422644(21)(82)0k k k =-+->，212k <．（6分） 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+12(OA OB tOP x x +=∴+，12)(y y t x +=，)y ， ∴21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，22216(12)k t k ∴=+．（8分） 25||PA PB -<，∴12|x x -，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，22(41)(1413)0k k ∴-+>，∴214k >．（10分） ∴21142k <<，22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++， ∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为26(2,(,2)-．（12分） 【点评】本题考查椭圆方程的求法和求实数t 取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）首先，得到点M 的坐标，然后，代入，得到212b a ac =+，从而确定其斜率关系；（Ⅱ）首先，得到1(2A c -，30)(,)2cM c ，然后，可以设外接圆圆心设为0(P x ，0)，结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意2(,)b M c a-------------（1分）因为1(,0)A a -，所以212b a ac =-------------+（2分）将222b a c =-代入上式并整理得112a c e a -=-=（或2)a c =----------（3分） 所以12e =------------（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得2a c =，3b c =（或22221)43x y c c+=------------（5分）所以1(2A c -，30)(,)2cM c ，外接圆圆心设为0(P x ，0)由1||||PA PM =222003(2)()()2c x c x c +-+-----------（6分） 解得：08cx =-------------（7分）所以34238PMck c c ==------------+（8分）所以△1A MN 外接圆在M 处切线斜率为34-，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC 方程为33()24c y x c -=--，即3944cy x =-+------------（9分）与椭圆方程2223412x y c +=联立得22718110x cx c -+=------------（10分） 解得1211,7cx c x ==------------（11分）由弦长公式12|||MC x x =-115|77c c -=------------（12分）解得1c =------------（13分）所以椭圆方程为22143x y +=------------（14分）【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c ，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a ，b ；（Ⅱ）把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ，可得1AD BD k k =-，即可得出m 与k 的关系，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）左焦点(,0)c -到点(2,1)P∴=，解得1c =．又12c e a ==，解得2a =，2223b a c ∴=-=． ∴所求椭圆C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，△22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为2234k m +>．∴122834mkx x k-+=+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+． 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，1AD BD k k =-，∴1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，∴2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++． 化为2271640m mk k ++=，解得12m k =-，227km =-．，且满足22340k m +->．当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7． 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0)7．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先由离心率得到a ，b 的关系，再由求出b ，再由直线l 垂直于x 轴时，||AB =求得关于a ，b 的另一方程，联立求得a ，b 的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB 的方程(1)y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB 的斜率的取值范围，从而求得弦长||AB 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，c e a ==，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =，①把1x =代入22221x y a b +=，得y =则2212b a a-=，② 联立①②得：22a =，21b =．∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）如图，当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-， 联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)20k y ky k ++-=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21212222,1212k k y y y y k k --+==++，③ 由||||MA MB λ=，得AM MB λ=，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，则12y y λ-=，④把④代入③消去2y 得：241212k λλ=+-+，当1[2λ∈，2]时，2412[012k λλ=+-∈+，1]2． 解得：272k ． 22221212222221144||1()4(12)12k k k AB y y y y k k k k +=++-=+++2222211922222(1)22(1)(2,]112122k k k k k+==-=-∈+++．∴弦长||AB 的取值范围为92[2,]8．【点评】本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标． 【考点】JE ：直线和圆的方程的应用 【专题】15：综合题【分析】（1）因为直线l 过点(4,0)A ，故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆1C 截得的弦长为圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P 点的直线1l 与2l 的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线1l 与2l 的方程． 【解答】解：（1）由于直线4x =与圆1C 不相交；∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：(4)y k x =-（1分）圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，l 被1C 截得的弦长为1d ∴==（2分）d =(247)0k k +=即0k =或724k =-∴直线l 的方程为：0y =或724280x y +-=（5分）（2）设点(,)P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 、2l 的斜率均存在且不为0，不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，0k ≠ 则直线2l 方程为：1()y b x a k-=--（6分）1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 1C ∴的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等1|5(4)|a b +--=（8分）整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+--13(54)k ak b k a bk ∴++-=±+--即(2)3a b k b a +-=-+或(8)5a b k a b -+=+- 因k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩（10分）解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点15(2P ，1)2-或点23(2P -，13)2（12分） 【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到一个关于x 的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．．【考点】4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 结合向量条件及向量运算得出关于a ，c 的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a ，c 的一个方程，再利用AQF ∆的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（Ⅱ）知直线:(1)l y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P 且m 的取值范围．【解答】解：（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-2F A AQ ⊥，∴22000,b cx b x c--==-，由于12220F F F Q +=即1F 为2F Q 中点．故2222223b c c b c a c c-+=-∴==-，故椭圆的离心率12e =，（3分）（2）由（1）知12c a =，得12c a =于是21(2F a ，30)(,0)2Q a -， AQF ∆的外接圆圆心为1(2a -，0)，半径1||2r FQ a ==所以1|3|22a a --=，解得2a =，1c ∴=，3b 所求椭圆方程为22143x y +=，（6分）。

2023年数学高考压轴题

2023年数学高考压轴题

选择题：1. 解方程x^2 + 4x - 5 = 0，那么x 的值是：A. -5, 1B. -1, 5C. -5, -1D. 1, 5答案：A2. 在直角三角形ABC 中，∠B = 90°，且边长满足a^2 + b^2 = c^2。

如果a = 5，c = 13，那么边b 的长是：A. 12B. 8C. 10D. 15答案：C3. 设函数f(x) = 2x - 3，那么f(5) 的值是：A. -8B. 2C. 7D. 13答案：74. 若集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A - B = ？A. {2, 3}B. {1}C. {1, 2, 3, 4}D. 空集答案：{1}5. 解不等式2x - 5 < 3x + 2，得到的解集是：A. x < -7B. x > -7C. x < 7D. x > 7答案：A填空题：1. 若a^2 + b^2 = 25，且a > 0, b < 0，那么a 和b的符号分别是_______。

答案：a为正，b为负2. 解方程3x - 4 = 14，得到的解是_______。

答案：x = 63. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1，那么f(-1) = _______。

答案：-14. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∩ B 的个数是_______。

答案：25. 在平面直角坐标系中，点P(3, 4) 的横坐标是_______。

答案：3应用题：1. 甲乙两人共有80元，如果甲比乙少20元，那么乙有多少元？答案：乙有60元2. 车从A 地到B 地需要6小时，车速为50千米/小时；往返B 地又需要4小时，返回的车速为60千米/小时。

求A 地和B 地的距离。

答案：A和B地的距离为300千米3. 某电器商店购进一种电器，进价为500元，商店出售时要求获利20%，那么出售价格是多少？答案：出售价格为600元4. 一袋小米重3千克，一袋大米重5千克，已知小米和大米总重25千克，袋数比为3:2，问小米和大米各有几袋？答案：小米有9袋，大米有6袋5. 某学生参加一次考试，满分为100分，他得了x分。

小学生高考压轴题数学试卷

小学生高考压轴题数学试卷

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共25分）1. 小明从1到100中随机抽取一个数，这个数是偶数的概率是多少？A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 1/52. 小华有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 8B. 10C. 12D. 153. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，它的周长是多少厘米？A. 15B. 20C. 23D. 264. 小刚骑自行车去公园，他每小时可以骑行10公里，如果他骑了30分钟，他骑了多少公里？A. 2B. 3C. 5D. 105. 一个正方形的边长是6厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 12B. 18C. 36D. 54二、填空题（每题5分，共25分）6. 如果一个数的两倍加上3等于15，这个数是______。

7. 一个班级有40个学生，其中有10个学生喜欢数学，又有5个学生喜欢语文和数学，那么至少有多少个学生不喜欢数学？8. 小明有5个球，小红有3个球，他们一共可以组成多少个不同的组合？9. 一个三角形的三边长分别是3厘米、4厘米、5厘米，这个三角形是______三角形。

10. 小华有一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了剩下的1/3，那么他还有多少页没看？三、解答题（每题15分，共45分）11. 小明从家到学校需要走5分钟，他每分钟可以走60米，那么他家到学校的距离是多少米？12. 小红有一些苹果，她每天吃掉这些苹果的1/5，连续吃了3天后，她剩下多少苹果？13. 一个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是6厘米，求这个长方体的体积。

14. 小刚有15个气球，他给他的朋友小明3个，然后又给小明的朋友小华2个，最后他还有多少个气球？15. 小丽有一些硬币，其中5分硬币有10个，1角硬币有5个，2角硬币有2个，小丽一共有多少元钱？注意事项：1. 答题前请仔细阅读题目，确保理解题意。

2. 独立完成试卷，不得抄袭。

3. 严格遵守考试纪律，诚信考试。

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2018年高考数学压轴题小题一．选择题（共6小题）1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．502．（2018?新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B． C． D．04．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ16．（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A． B． C．D．7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．8．（2018?江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．9．（2018?天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．10．（2018?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．11．（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= ．13．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f （x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）三．解答题（共2小题）16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．2018年高考数学压轴题小题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f （50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．2．（2018?新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．3．（2018?上海）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B． C． D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4?+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．5．（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选：D．6．（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A． B． C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．二．填空题（共9小题）7．（2018?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 ．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x 的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a ，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．8．（2018?江苏）若函数f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ﹣3 ．【解答】解：∵函数f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点， ∴f′（x ）=2x （3x ﹣a ），x ∈（0，+∞）， ①当a ≤0时，f′（x ）=2x （3x ﹣a ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （0）=1，f （x ）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a ＞0时，f′（x ）=2x （3x ﹣a ）＞0的解为x ＞， ∴f （x ）在（0，）上递减，在（，+∞）递增， 又f （x ）只有一个零点， ∴f （）=﹣+1=0，解得a=3，f （x ）=2x 3﹣3x 2+1，f′（x ）=6x （x ﹣1），x ∈[﹣1，1]， f′（x ）＞0的解集为（﹣1，0），f （x ）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减， f （﹣1）=﹣4，f （0）=1，f （1）=0，∴f （x ）min =f （﹣1）=﹣4，f （x ）max =f （0）=1， ∴f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为： f （x ）max +f （x ）min =﹣4+1=﹣3． 9．（2018?天津）已知a ＞0，函数f （x ）=．若关于x 的方程f （x ）=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 （4，8） ． 【解答】解：当x ≤0时，由f （x ）=ax 得x 2+2ax+a=ax ，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h （4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）10．（2018?北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为 2 ．【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e 4﹣8e 2+4=0，e ∈（0，1），解得e=．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．11．（2018?上海）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，则+的最大值为+．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， =（x 1，y 1），=（x 2，y 2），由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上， 且?=1×1×cos ∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x+y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB ：x+y+t=0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．12．（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：613．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m= 5 时，点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成1260 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．三．解答题（共2小题）16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P （﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。

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