高数教案_重要极限6
大学数学极限的教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解极限的概念，掌握数列极限和函数极限的定义。
（2）熟悉极限的基本性质和运算法则。
（3）学会利用定义法、夹逼定理、洛必达法则等方法求解极限。
2. 能力目标：（1）培养学生分析问题和解决问题的能力。
（2）提高学生的逻辑思维和抽象思维能力。
（3）培养学生的创新意识和团队协作精神。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的学术态度。
（2）培养学生的爱国主义精神和社会责任感。
二、教学内容1. 极限的概念2. 数列极限3. 函数极限4. 极限的性质和运算法则5. 求极限的方法三、教学过程1. 导入新课（1）回顾实数的概念，引入无穷小的概念。
（2）提问：什么是极限？为什么要学习极限？2. 讲解极限的概念（1）数列极限的定义：给出数列极限的定义，并通过实例讲解。
（2）函数极限的定义：给出函数极限的定义，并通过实例讲解。
3. 讲解极限的性质和运算法则（1）极限的性质：包括极限的保号性、连续性、可导性等。
（2）极限的运算法则：包括极限的四则运算、乘除运算、复合函数的极限等。
4. 讲解求极限的方法（1）定义法：给出数列极限和函数极限的定义，通过定义法求解极限。
（2）夹逼定理：讲解夹逼定理的原理，并举例说明。
（3）洛必达法则：讲解洛必达法则的原理，并举例说明。
5. 练习与巩固（1）布置课后习题，让学生独立完成。
（2）课堂练习，检查学生的学习效果。
6. 总结与反思（1）回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
（2）引导学生思考极限在实际问题中的应用。
四、教学评价1. 课后作业完成情况2. 课堂练习正确率3. 学生对极限概念的理解程度4. 学生运用极限解决问题的能力五、教学资源1. 教材2. 课件3. 课后习题4. 网络资源六、教学反思1. 课堂教学是否达到了教学目标。
2. 学生对极限概念的理解程度是否达到预期。
3. 教学方法是否有效，是否需要调整。
4. 学生在学习过程中遇到的问题和困惑，如何解决。
第六节两个重要极限 PPT资料共30页
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
11/26/2019
第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
11/26/2019
第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
大学高数教案范文极限
一、教学目标1. 理解数列极限和函数极限的基本概念。
2. 掌握数列极限和函数极限的基本性质。
3. 熟悉并运用极限的四则运算和复合函数的极限运算法则。
4. 能够运用极限知识解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的定义与收敛性。
2. 函数极限的定义与存在性判别法。
3. 极限的性质和运算法则。
4. 常见极限的计算。
三、教学重点与难点重点：1. 数列极限和函数极限的定义。
2. 极限的性质和运算法则。
难点：1. 极限存在性的判别。
2. 复合函数极限的计算。
四、教学过程第一课时：数列极限1. 导入：通过实例引入数列的概念，引导学生思考数列的极限问题。
2. 讲解：- 数列极限的定义：给定数列{xn}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|xn - A| < ε，则称数列{xn}的极限为A。
- 收敛数列的性质：唯一性、有界性、局部保号性、子列收敛性。
3. 练习：让学生举例说明收敛数列的性质，并计算一些数列的极限。
4. 总结：强调数列极限的定义和收敛数列的性质，为后续学习函数极限打下基础。
第二课时：函数极限1. 导入：通过数列极限的概念引入函数极限的概念。
2. 讲解：- 函数极限的定义：给定函数f(x)，如果当x趋向于x0时，f(x)的极限为A，则称f(x)在x=x0处的极限为A。
- 函数极限存在判别法：海涅定理、充要条件、柯西准则。
3. 练习：让学生举例说明函数极限存在判别法，并计算一些函数的极限。
4. 总结：强调函数极限的定义和存在判别法，为后续学习极限的性质和运算法则打下基础。
第三课时：极限的性质和运算法则1. 导入：通过函数极限的概念引入极限的性质和运算法则。
2. 讲解：- 极限的性质：唯一性、有界性、局部保号性、子列收敛性。
- 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限运算法则。
3. 练习：让学生运用极限的性质和运算法则计算一些极限。
4. 总结：强调极限的性质和运算法则，为后续学习常见极限的计算打下基础。
大学数学的极限教案
课时：2课时教学目标：1. 理解极限的概念，掌握极限的定义。
2. 掌握常见的极限性质和运算法则。
3. 能够运用极限知识解决实际问题。
教学重点：1. 极限的定义。
2. 常见的极限性质和运算法则。
教学难点：1. 理解极限的直观意义。
2. 运用极限知识解决实际问题。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 通过实际例子引入极限的概念，如速度、加速度等。
2. 引导学生思考极限的定义。
二、讲解极限的定义1. 讲解极限的定义：若函数f(x)当x趋向于x0时，极限为A，则对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε。
2. 举例说明极限的定义，如求lim(x→0) x²。
三、讲解常见的极限性质和运算法则1. 极限的性质：- 有限值性质：若f(x)和g(x)的极限存在，则f(x)±g(x)的极限存在，且等于f(x)的极限±g(x)的极限。
- 乘法性质：若f(x)和g(x)的极限存在，则f(x)g(x)的极限存在，且等于f(x)的极限×g(x)的极限。
- 除法性质：若f(x)和g(x)的极限存在，且g(x)的极限不为0，则f(x)/g(x)的极限存在，且等于f(x)的极限/g(x)的极限。
2. 运算法则：- 直接代入法：对于连续函数，在极限点处可以直接代入函数值求极限。
- 换元法：通过变量代换，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题。
- 分解法：将复杂的极限问题分解为简单的极限问题，然后逐步求解。
四、练习1. 布置练习题，让学生运用所学知识解决实际问题。
2. 学生练习，教师巡视指导。
第二课时一、复习1. 复习极限的定义和性质。
2. 复习常见的极限运算法则。
二、讲解典型例题1. 讲解典型的极限问题，如“求lim(x→0) sinx/x”。
2. 分析解题思路，讲解解题步骤。
三、练习1. 布置难度较大的练习题，让学生巩固所学知识。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
大学高数极限题讲解教案
一、教学目标1. 理解极限的概念和性质。
2. 掌握极限的运算法则和求极限的方法。
3. 能够运用极限知识解决实际问题。
二、教学重点1. 极限的概念和性质。
2. 极限的运算法则。
3. 求极限的方法。
三、教学难点1. 极限的运用。
2. 求极限的方法。
四、教学过程（一）导入1. 复习函数的定义、连续性等概念。
2. 提出问题：如何判断函数在某一点的极限是否存在？（二）讲解极限的概念和性质1. 介绍极限的概念：函数在某一点的极限是指当自变量无限趋近于某一点时，函数值无限趋近于某一值。
2. 讲解极限的性质：（1）极限的保号性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点附近也有确定的符号。
（2）极限的保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点附近的值不会小于（大于）极限值。
（3）极限的可乘性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点的乘积的极限等于各函数极限的乘积。
（三）讲解极限的运算法则1. 介绍极限的运算法则：（1）极限的四则运算法则：极限的加减、乘除运算，可以分别对函数进行加减、乘除运算后再求极限。
（2）极限的复合运算法则：如果内函数在某一点的极限存在，那么外函数在该点的极限存在。
（3）极限的等价无穷小替换法则：当两个无穷小量的比值在极限过程中趋于1时，可以将其中一个无穷小量替换为另一个无穷小量。
（四）讲解求极限的方法1. 介绍求极限的方法：（1）直接法：直接运用极限的定义和性质求解。
（2）等价无穷小替换法：利用等价无穷小替换求解。
（3）洛必达法则：当函数在某一点的极限为“0/0”或“∞/∞”型时，可以使用洛必达法则求解。
（4）夹逼准则：当函数在某一点的极限存在时，可以通过夹逼准则证明。
（五）举例讲解1. 举例说明极限的概念、性质、运算法则和求极限的方法。
2. 让学生尝试求解一些简单的极限题目，教师进行点评和指导。
（六）课堂小结1. 总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
大学数学极限授课教案范文
一、教材分析本节课是大学数学中极限部分的内容，极限是高等数学的基础，对于理解函数、导数、积分等概念具有重要意义。
本节课将重点讲解极限的定义、性质以及求极限的方法。
二、学情分析学生已经具备一定的数学基础，对函数、极限等概念有一定了解，但部分学生对极限的内涵理解不够深入，对求极限的方法掌握不熟练。
本节课将通过实例讲解，帮助学生更好地理解和掌握极限。
三、教学目标1. 知识与技能目标：（1）使学生理解极限的概念，掌握极限的定义、性质；（2）使学生熟悉求极限的方法，包括直接求极限、夹逼准则、洛必达法则等；（3）使学生能够运用极限解决实际问题。
2. 过程与方法目标：（1）培养学生分析问题和解决问题的能力；（2）提高学生的逻辑思维能力；（3）培养学生的自学能力和合作学习能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度；（2）培养学生勇于探索、不断进取的精神。
四、教学重点与难点1. 教学重点：（1）极限的定义、性质；（2）求极限的方法。
2. 教学难点：（1）理解极限的“无穷小”概念；（2）灵活运用夹逼准则、洛必达法则求极限。
五、教学准备1. 教师准备：多媒体课件、教学案例；2. 学生准备：预习教材，了解极限的概念。
六、教学过程一、导入1. 提问：什么是极限？举例说明；2. 回顾函数、导数等概念，引出极限的定义。
二、新课讲授1. 介绍极限的定义，结合实例讲解；2. 讲解极限的性质，包括连续性、保号性、有界性等；3. 介绍求极限的方法，包括直接求极限、夹逼准则、洛必达法则等；4. 通过实例讲解如何运用这些方法求极限。
三、课堂练习1. 布置课堂练习题，巩固所学知识；2. 学生独立完成练习，教师巡视指导。
四、总结与反思1. 总结本节课所学内容，强调重点、难点；2. 引导学生反思自己的学习过程，提高自学能力。
七、教学评价1. 课堂练习完成情况；2. 学生对极限概念的理解程度；3. 学生运用极限解决实际问题的能力。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。
2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。
3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。
二、教学内容：1. 极限概念的引入。
2. 两个重要极限的定义和推导。
3. 两个重要极限的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。
3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。
2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。
3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。
4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。
5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。
六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。
2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。
七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。
2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。
3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。
九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。
高中数学新课极限教案
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大的大小。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，无穷小，无穷大。
2. 极限的表示方法：极限符号“\(\lim\)”，极限表达式。
3. 求函数在某一点的极限：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
4. 无穷小和无穷大的比较：无穷小比较，无穷大比较。
5. 极限在数学分析中的应用：导数，积分。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限。
2. 难点：无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体的例子学会求函数在某一点的极限。
3. 采用比较法，让学生理解无穷小和无穷大的概念，并能比较它们的大小。
4. 采用联系实际法，让学生了解极限在数学分析中的应用。
五、教学准备1. 教学课件：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限，无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
2. 例题：求函数在某一点的极限的例题。
3. 练习题：巩固极限的概念和求函数在某一点的极限的方法。
教案一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，引导学生思考函数在某一点的极限是什么。
2. 介绍极限的表示方法，让学生熟悉极限符号“\(\lim\)”和极限表达式。
二、新课内容（15分钟）1. 讲解极限的概念，解释无穷小和无穷大的概念。
2. 讲解求函数在某一点的极限的方法：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
三、案例分析（15分钟）1. 通过具体的例子，让学生学会求函数在某一点的极限。
2.让学生尝试解决一些求极限的问题，并及时给予指导和解答。
四、无穷小和无穷大的比较（10分钟）1. 讲解无穷小比较和无穷大比较的方法。
《重要极限》课件
使用洛必达法则需要注意的问题
洛必达法则的条件
洛必达法则是求函数极限的重要法则，但应用时需要 满足一定的条件。例如，所讨论的函数在所考虑的点 上必须可导，且导数不为零。
洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是求函数极限的有力工具，但并非所有 函数的极限都可以通过该法则求得。在使用洛必达法则 时，需要注意其局限性，并了解其他求极限的方法。
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THANKS
三角函数型重要极限
要点一
总结词
三角函数型重要极限是数学分析中一类重要的极限，它涉 及到三角函数的性质。
要点二
详细描述
三角函数型重要极限通常表示为lim(x→∞) (sin(x)/x) = 0 和 lim(x→∞) (cos(x)/x) = 0。这两个极限表明当x趋于无 穷大时，sin(x)与x的比值和cos(x)与x的比值都趋近于0。 三角函数型重要极限在解决一些积分和无穷级数问题时非 常有用，因为它提供了一种处理无穷大和无穷小关系的方 法。
03
重要极限的应用
在求极限中的应用
重要极限在求极限中有着广泛的应用，如求数列极限、函数极限等。通过利用重要极限，可以简化极限的求解过程，得到更 加准确的结果。
例如，利用重要极限 $lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x} = 1$，可以求解一些复杂的极限问题，如 $lim_{x to 0} frac{ln(1 + x) x}{x^2}$。
重要极限的起源和历史
重要极限的起源可以追溯到古代数学 ，如毕达哥拉斯学派和欧几里得几何 学。
在微积分学的发展过程中，这些极限 公式被进一步明确和系统化，成为现 代数学分析的基础之一。
重要极限在数学中的地位和作用
高数两个重要极限教案
讲授新课35’
学生练习
教师评价35
（5）
2
32
321
lim
2
x
x x
x x
→∞
--
-+。
二、讲授新课
1.第一个重要极限（熟记）
1
sin
lim
=
→x
x
x
（含有三角函数的）
变形推广：
1）
例1：求
解:=
例2：求
解:=
例3：求极限：
练习：1.
分析讲解
启发式教学
对比教学
讲练结合
PPT
布置作业归纳总结10’
2.第二个重要极限（熟记）
1
lim(1)x
x
e
x
→∞
+=
适用于型的幂指函数
变形形式
（1）()
()
1
lim(1)
()
f x
f x
e
f x
→∞
+=
（2）
1
()
)0
lim1())f x
x
f x e
→
+=
f（
（
特征:底为两项之和，第一项为1，第二项是无穷小量，指数与第二项互为倒数
例1：求极限
例2：求极限
例3：求极限
例4：求极限
=
例5：求极限
=
练习：计算下列极限
1.
2.
四、课堂小结（提问回答）
两个重要极限。
课后作业自出题课后体会。
高中数学新课极限教案
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的定义及极限的基本性质。
2. 学会求解函数在某一点的极限，理解极限在数学分析中的重要性。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 极限的概念：引入极限的概念，解释极限的含义，举例说明极限在数学分析中的应用。
2. 极限的定义：讲解极限的定义，分析极限的性质，如保号性、单调性等。
3. 求解极限：教授求解极限的方法，如直接求解、因式分解、有理化等。
4. 极限在实际问题中的应用：通过实例讲解极限在实际问题中的应用，如物理中的速度与加速度、化学中的浓度等。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念、极限的定义及求解方法。
2. 难点：理解极限的保号性、单调性等性质，以及极限在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解极限的概念、定义及求解方法。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图形等形式直观地展示极限的过程。
3. 结合实际问题，引导学生运用极限解决实际问题。
4. 开展课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与度。
五、教学过程1. 导入：通过实例引入极限的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解极限的概念：解释极限的含义，强调极限在数学分析中的重要性。
3. 讲解极限的定义：详细讲解极限的定义，分析极限的性质。
4. 求解极限：教授求解极限的方法，并进行示例讲解。
5. 应用极限解决实际问题：通过实例讲解极限在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
8. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
10. 学生反馈：收集学生对课堂教学的反馈，了解学生的学习情况，调整教学方法。
六、教学评价1. 评价内容：对学生在本节课中所学的极限概念、极限的定义及求解方法进行评价。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂表现等。
3. 评价标准：能准确理解极限的概念，熟练掌握极限的定义及求解方法，能够运用极限解决实际问题。
大学高数课件重要极限
a ? ? ? yn ? xn ? zn ? a ? ? , 即 xn ? a ? ? 成立,
?
lim
n? ?
xn
? a.
2019/9/10
微积分--两个重要极限
6
注:1) 条件（1）可放宽为：
? N ? 0, 使得当 n ? N 时， yn ? x n ? zn
x? ?
x
解
原式 ?
lim[(1
? 1 )? x ]－1=e－1
一般地：
lim
x ??
???1
?
x ??
k x
x
? ??
?
?x
?
lim
x ??
?????1
?
k x
x
?k ??
k
? ? ?
=ek
(1? 型) ?
?
2019/9/10
微积分--两个重要极限
18
例12
求
lim( 3 ? x )2x x?? 2 ? x
?
.
8.
对于代数和中 的各无穷小不 能分别替换.
2019/9/10
微积分--两个重要极限
14
例7 求 lim tan x ? sin x .(0 型)
x? 0 sin 3 2 x
0
错解 当x ? 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
? 原式 ? lim x ? x ? 0. x? 0 (2x )3
2019/9/10
微积分--两个重要极限
3
又
un
?
1?
1?
1 (1 ? 2!
高等数学教案 1.4 两个重要极限
§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限【教学内容】：1、夹逼准则2、单调有界准则3、两个重要极限【教学目的】：1、了解函数和数列的极限存在准则2、会用两个重要极限求极限【教学重点】：应用两个重要极限求极限【教学难点】：应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】：首先通过几个具体的数列的求极限例子：从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识。
介绍两条极限存在准则（夹逼准则，单调有界准则）及其利用他们求数列函数的极限（50分钟）。
再介绍两个重要极限及x xxx (1sin lim 0=→为弧度）的证明（20分钟），讲解例题（20分钟），课堂练习（10分钟）。
【教学内容】：引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中12-+=n n x x ，21=x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则夹逼准则：当),(0δx U x o∈时，有)()()(x h x g x f ≤≤，且A x f x x =→)(lim 0=)(lim 0x h x x →，则A x g x x =→)(lim 0。
推论：设}{n x 、}{n y 、}{n z 都是数列，且满足n n n z y x ≤≤，又=∞→n n x lim A z n n =∞→lim ，则有A y n n =∞→lim 。
例1、 求∑=∞→+ni n in 121lim 。
解：因为=+12n n 111111222++++++n n n ≤++++++≤n n n n 22212111nn nn nn ++++++222111 nn n +=2而=++∞→1lim2n nn 1lim 2=++∞→nn nn所以∑=∞→+ni n in 121lim =1注意：夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则单调有界数列必有极限（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
第六节两个重要极限
所以 un+1 > un. 因此{un }是
单调递增数列.
此外，由 un 的展开式可得
un
1
1 n ≤
n
2 1 1 1
2! 3!
n!
≤
11 1 2
1 22
1 2n1
1
1
1 2n
1 1
3
1 2n1
≤
3.
2
所以 {un} 是有界数列.
综上所述，{un} 是单调有界数列，因此极 限存在.
这个结果可以作为公式使用
tan x
lim
1
x0 x
例2 解
计算
lim
x0
1
cos x2
x
.
1 cos x
lim
x0
x2
2 sin2
lim
x0
x2
x 2
lim
1
sin
x 2
2
x0 2 x
2
1
lim
sin
x 2
2
1
1
x
例 5 计 算 lim1 1 2 .
x
x
解 因为
1
x
1 2
1
1
1
x
2
，且
lim
1
1 x
e，
x x
x x
所以，有
lim 1
x
1 2
lim1
《重要极限》课件
重要极限的推导过程
极限的定义：极限是函数在某点附近的变化趋势 重要极限的定义：重要极限是指在数学分析中具有特殊意义的极限 重要极限的推导：通过数学分析中的极限理论，推导出重要极限的公式 重要极限的证明：通过数学分析中的极限理论，证明重要极限的公式是正确的
重要极限的证明方法
极限的定义：极限是函数在某点附近的变化趋势 极限的性质：极限具有保号性、有界性、单调性等性质 极限的证明方法：可以通过极限的定义、性质、定理等来证明 重要极限的证明：例如，可以通过洛必达法则、泰勒公式等方法来证明重要极限
极限的保号性：如 果函数f(x)在x0的某 个去心邻域内单调 递减，且f(x0) < 0， 则f(x)在x0的某个去 心邻域内极限小于0。
极限的保号性：如 果函数f(x)在x0的某 个去心邻域内单调 递增，且f(x0) = 0， 则f(x)在x0的某个去 心邻域内极限等于0。
极限的保号性：如 果函数f(x)在x0的某 个去心邻域内单调 递减，且f(x0) = 0， 则f(x)在x0的某个去 心邻域内极限等于0。
式
概率论与数理 统计：重要极 限在概率论与 数理统计中用 于计算概率分
布和统计量
线性代数：重 要极限在线性 代数中用于求 解线性方程组
和矩阵运算
复变函数论： 重要极限在复 变函数论中用 于求解复变函 数的极限和积
分
重要极限的进一步研究与展望
重要极限的推广： 将重要极限推广 到更广泛的函数 和极限形式
利用重要极限证明不等式
重要极限的定义：lim(x→0)sin(x)/x=1
利用重要极限证明不等式：lim(x→0)sin(x)/x>1 证明过程：利用重要极限的定义，将sin(x)/x替换为1，得到 lim(x→0)sin(x)/x>1 结论：利用重要极限可以证明不等式lim(x→0)sin(x)/x>1
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课 题: 两个重要极限 目的要求：
教学重点：
教学难点：
教学课时：
教学方法： 教学内容与步骤：
1. 0sin lim 1x x x
→=． 证明 作单位圆如下图所示,取AOB x ∠=(rad),于是有：
BC =sin ,x »
AB x =,tan AD x =.由图得OAB OAD OAB S S S ∆∆<<扇形，即 111sin tan 222x x x <<得 sin tan x x x <<,从而有sin cos 1x x x
<<. 上述不等式是当π02x <<时得到的,但因当 x 用x -代换时cos x ,sin x x
都不变号,所以 x 为负时,关系式也成立. 因为0limcos 1x x →=,又0
lim11x →=,由极限的夹逼准则知介于它们之间的函数sin x x 当
0x →时,极限也是1.这样就证明了0sin lim
1x x x
→=. 说明： （1）这个重要极限主要解决含有三角函数的
00
型极限． （2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成0sin lim 1x x →=x
(方框□代表同一变量)． 例6 求0sin 3lim sin 4x x x →. 解：
003040sin 3sin 3433sin 343lim
lim()lim lim .sin 43sin 4443sin 44
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→=⋅⋅=⋅= 例7 求201cos lim x x x →-. 解 2
2220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 22
2x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭． 例8 求30tan sin lim
x x x x →-． 解： 332000tan sin tan (1cos )1sin 1cos lim lim lim cos x x x x x x x x x x x x x x →→→---⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭
由例7知
21cos 1(0)2
x x x -→→, 故30tan sin 1lim 2x x x x →-=. 2. 1lim 1e x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭
． 解释说明：列出11x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的数值表(如下表)，观察其变化趋势.
从上表可看出,当x 无限增大时,函数11x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
变化的大致趋势,可以证明当x →∞时, 11x
x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的极限确实存在,并且是一个无理数,其值为e 2.718282828=L ,即
1lim 1e x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭
说明：（1）此极限主要解决 1∞型幂指函数的极限．
（2）它可形象地表示为 1lim 1e, →∞+=W W W
（） (方框□代表同一变量)． （3）另一表示形式：10lim(1)e →+=W
W W 。
(方框□代表同一变量)． （4）两种计算方法：
熟练者：拼凑法，凑出方框□代表的代数式）
初学者：1∞型幂指函数的极限，换元法，设底数为1+u （或为1+1/u ）,求出U
来。
再凑出指数1/U （或U ）
练习9 求3lim 1x
x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
. 解: 所求极限类型是1∞型,（换元法） 令3x u =,则:3x u =. 333311lim 1lim 1lim 1e x u u x u u x u u →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
． 例10 求2lim 1x x x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 解： 所求极限类型是 1∞
型.（拼凑法）
22221lim 1lim 1e .2x x x x x x ---→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎢⎥-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 例11 求2lim 3x x x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
. 解 所求极限类型是 1∞型,令2113x x u
-=+-,解得3x u =+.当x →∞时, u →∞.于是 33
2111lim lim 1lim 1lim 1 e.3x u u x u u u x x u u u +→∞→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
作业：教学总结：。