研究生期末试题矩阵论a及答案
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.
于是取
，（8分）
从而有
.（10分）
三、（10分）解令 ，正交化可得
构造矩阵
，
则有 .
四、（10分）首先求出A的Jordan标准形
，
所以不变因子 ；
行列式因子 ，
那么A的初等因子为 ，
故A的Jordan标准形为 ．(10分)
五、（10分）由 ，得 的全部互异特征根 （二重）， ,（3分）
令 ， .（7分）
二、(10分)已知正规矩阵 ，求酉矩阵 ，使得 为对角形矩阵。三、(10分)用Schmidt正交化方法求矩阵 的QR分解.
四、(10分)设矩阵 ,求 的行列式因子,不变因子,初等因子组，
Jordan标准形。
五、(10分)求可对角化矩阵 的谱分解式.
六、(10分)在线性空间 中，对任意矩阵 ，定义函数 ，证明此函数是矩阵范数。
计算 ,
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，wenku.baidu.com
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
因 ， ， ， ，故 在此基下的矩阵为 ．因 ，不为可逆矩阵，所以 不是可逆变换（10分）
二、已知正规矩阵 ，求酉矩阵 ，使得 为对角形矩阵。
解首先求出矩阵 的特征多项式为 ，所以 的特征值为 .
对于特征值 ，求得一个特征向量 .
对于特征值 ，求得一个特征向量 .（4分）
由于 为正规矩阵，所以 是彼此正交的，只需分别将 单位化即可
.（10分）
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
于是取
，（8分）
从而有
.（10分）
三、（10分）解令 ，正交化可得
构造矩阵
，
则有 .
四、（10分）首先求出A的Jordan标准形
，
所以不变因子 ；
行列式因子 ，
那么A的初等因子为 ，
故A的Jordan标准形为 ．(10分)
五、（10分）由 ，得 的全部互异特征根 （二重）， ,（3分）
令 ， .（7分）
二、(10分)已知正规矩阵 ，求酉矩阵 ，使得 为对角形矩阵。三、(10分)用Schmidt正交化方法求矩阵 的QR分解.
四、(10分)设矩阵 ,求 的行列式因子,不变因子,初等因子组，
Jordan标准形。
五、(10分)求可对角化矩阵 的谱分解式.
六、(10分)在线性空间 中，对任意矩阵 ，定义函数 ，证明此函数是矩阵范数。
计算 ,
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，wenku.baidu.com
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
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长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
因 ， ， ， ，故 在此基下的矩阵为 ．因 ，不为可逆矩阵，所以 不是可逆变换（10分）
二、已知正规矩阵 ，求酉矩阵 ，使得 为对角形矩阵。
解首先求出矩阵 的特征多项式为 ，所以 的特征值为 .
对于特征值 ，求得一个特征向量 .
对于特征值 ，求得一个特征向量 .（4分）
由于 为正规矩阵，所以 是彼此正交的，只需分别将 单位化即可
.（10分）
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．