第五讲 事件的独立性
第五节事件讲义的独立性
的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相
互独立.
例4 设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6 , 现有若干
门炮同时独立地对飞机进行一次射击， 问需要多少门
炮才能以 0.99 的把握击中一飞机。
解 设需要 n 门炮。 B “飞机被击落”
解: 设 A = “甲射击一次命中目标” B = “乙射击一次命中目标” C = “目标被命中”
则 A, B 相互独立, 且 CAB P(C) P(AB)P (A )P (B )P (A)B P(A)P(B)P(A)P(B) 0 .5 0 .4 0 .5 0 .4 0.7
例2. 甲, 乙两人的命中率为0.5 和 0.4, 现两人独立 地向目标射击一次, 已知目标被命中, 则它是乙命中
P(D) P(A BA)C P (A) BP (A)C P (AB ) C P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) 0.776
P(A|D) P ( AD ) P ( D ) 1
P(D ) P(D)
P(B|D) P ( BD ) P ( AB ) P(A)P(B) 0.9278
实质: 任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否 的影响
思考: 两两独立与相互独立的区别
对 n ( n >2 ) 个事件
相互独立 ?
两两独立
推论: 设 A 1 ,A 2 , ,A n 是 n 个 事 件 1) 若 A1,A2, ,An相互独立, 则其中任意 k 个事件
Ai1,Ai2, ,Aik (2kn) 也相互独立.
以 上 两 个 例 子 说 明 ， 事 件 A 的 发 生 与 否 ， 不 影 响 事 件 B 发 生 的 概 率
事件的独立性名词解释
事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。
它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。
在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。
在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。
通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。
在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。
社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。
例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。
通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。
在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。
法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。
在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。
同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。
在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。
人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。
通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。
总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。
研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。
通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在概率与统计的广袤世界中，“事件的独立性”是一个至关重要的概念。
它不仅在理论研究中具有深刻的意义，而且在实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。
要理解事件的独立性，首先得清楚什么是事件。
简单来说，事件就是在一定条件下可能出现也可能不出现的情况。
比如说掷骰子掷出一个“6”，明天会下雨，这些都是事件。
那么，什么又是事件的独立性呢？我们说两个事件 A 和 B 是相互独立的，如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，同时事件B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 5 个白球。
从盒子中先后取出两个球，第一次取出红球记为事件 A，第二次取出红球记为事件 B。
如果我们在取出第一个球后，将其放回盒子中再取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的。
因为第一次取出红球后放回，盒子里球的情况没有改变，第二次取出红球的概率依然是5/10。
但如果我们在取出第一个球后，不再放回盒子中就取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就不是相互独立的。
因为第一次取出红球后，盒子里球的组成发生了变化，第二次取出红球的概率会受到影响。
独立性的概念在很多实际问题中都有体现。
比如说，一个学生在数学考试中取得好成绩和在语文考试中取得好成绩，在一定程度上可以看作是两个独立事件。
因为学生在数学上的表现不一定能决定其在语文上的表现。
再比如，一个人早上选择吃面包还是吃油条和晚上选择看电影还是看书，这也可以近似地认为是两个独立事件。
因为早上的饮食选择通常不会影响晚上的娱乐活动选择。
那么，如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到数学公式了。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么它们的概率满足 P(AB) ＝P(A)P(B) 。
其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
我们通过一个具体的例子来看看如何运用这个公式判断事件的独立性。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到对事件发生可能性的探讨。
而其中一个重要的概念就是事件的独立性。
理解事件的独立性对于我们准确地分析和预测各种情况都具有关键意义。
首先，我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，同时事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6 记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的。
因为抛硬币的结果不会影响抛骰子出现 6 点的概率，反之亦然。
那么如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到概率的计算。
如果 P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
再深入一些，对于多个事件的独立性，情况会稍微复杂一些。
如果对于三个事件 A、B、C，如果它们两两独立，并且 P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)，那么这三个事件相互独立。
事件的独立性在实际应用中有很多例子。
比如在抽奖活动中，每次抽奖的结果通常是相互独立的。
不管前面的人是否中奖，后面的人中奖的概率都不会受到影响。
在统计学和概率论的研究中，事件的独立性也是一个基础且重要的概念。
通过判断事件的独立性，我们可以简化概率的计算，更准确地分析数据和预测结果。
另外，在一些复杂的系统中，例如通信系统、金融市场等，事件的独立性假设可以帮助我们建立模型和进行分析。
但需要注意的是，在实际情况中，完全独立的事件并不总是普遍存在的。
很多时候，事件之间可能存在着某种隐藏的关联或者相互影响。
例如，在股市中，一只股票的价格变动可能会受到宏观经济形势、行业发展、公司内部管理等多种因素的影响。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们日常生活和数学、统计学的学习研究中，“事件的独立性”是一个非常重要的概念。
理解事件的独立性，对于我们准确分析和预测各种情况有着关键的作用。
那什么是事件的独立性呢？简单来说，如果事件 A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，并且事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚均匀的硬币两次。
第一次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 A。
第二次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 B。
由于每次抛硬币的结果都是相互独立的，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。
所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
我们再来看一个稍微复杂一点的例子。
从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件 A 是抽到红桃牌，事件 B 是抽到 A 牌。
这两个事件就不是独立的。
因为如果抽到了红桃 A，那么事件 A 和事件 B 就同时发生了。
所以事件 A 的发生会影响事件 B 的发生概率。
那如何判断两个事件是否独立呢？我们有一个重要的公式：如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B)。
其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
比如说，一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，从中随机取出一个球，事件 A 是取出红球，事件 B 是取出偶数号球。
事件 A 的概率 P(A) ＝5/10 ＝ 1/2，事件 B 的概率 P(B) ＝ 5/10 ＝ 1/2。
而事件 A 和事件 B 同时发生，也就是取出既是红球又是偶数号球的概率P(A ∩ B) ＝ 2/10 ＝1/5。
因为 1/5 ＝ 1/2 × 1/2，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
理解了事件的独立性，对于解决很多实际问题都有帮助。
《事件的独立性》PPT课件
定义1.6 对n个事件A1,A2,...,An( n2)如果对其中 任意k 个事件 Ai1,Ai2,...,Aik (2kn)都有
P(A i1A i2...A ik)P (A i1)P (A i2)...P (A ik)
则称这 n 个事件 相互独立.
可以证明, n个事件相互独立,即其中任何一个 事件是否发生 都不受另外一个或几个事件是否发 生的影响. 如
所以A,B独 立.
精选ppt
5
二、有限个事件的独立性
定义1.5 对n个事件 A1,A2,...,An( n2)如果其中 两任意个都互相独立, 即对于 i,j1,2,...,n, i j
有
P( Ai Aj ) P(Ai)P(Aj)
则称这 n 个事件 两两独立.
这里共有C
2 n
个等式.
当P(Aj )时0,
的球 各一个,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球.
从中任取一个,事件A、B、C 分别表示取到的球上 有红色、黑色、白色,判别A,B,C的独立性.
解P(A )
2
4
P (B )
2
4
P (A B )
1 4
P(A)P(B)
P (C )
2
4P(AC )源自1 4P(A)P(C)
P (BC )
1 4
P(B)P(C)
则称事件A 与 B 是相互独立的,简称 A与 独B 立. 推论1 对于两个事件A与B
若P(B) 0则 A 与 B 独立 若P(A) 0则 A 与 B 独立
P ( A B ) P(A) P ( B A) P(B)
定义 两个事件 A 与 B , 如果其中任何一个 事件发生的概率，都不受另一个事件发生与否 的影响, 则称事件 A 与 B 是相互独立的.
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到与事件的独立性相关的问题。
那么，什么是事件的独立性呢？简单来说，就是指一个事件的发生与否，对另一个事件的发生概率没有影响。
为了更好地理解事件的独立性，让我们先从一些简单的例子入手。
比如说，抛一枚硬币，得到正面和反面的概率各是 1/2。
我们抛第一次得到正面的结果，并不会影响第二次抛硬币得到正面或反面的概率。
也就是说，每次抛硬币都是一个独立的事件。
再比如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌。
第一次抽取到红桃的概率是 1/4，而第一次抽取的结果并不会改变第二次抽取到红桃的概率，仍然是 1/4。
接下来，我们深入探讨一下事件独立性的数学定义。
设有两个事件A 和 B，如果事件 A 发生的概率 P(A)不受事件 B 发生与否的影响，即P(A|B) ＝ P(A)；同时，事件 B 发生的概率 P(B)也不受事件 A 发生与否的影响，即 P(B|A) ＝ P(B)，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
这里需要解释一下条件概率的概念。
条件概率 P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
如果事件 A 和 B 相互独立，那么条件概率 P(A|B)就等于事件 A 本身发生的概率 P(A)。
在实际应用中，判断两个事件是否独立是非常重要的。
比如在进行多次实验或者抽样调查时，如果各个事件是相互独立的，那么我们就可以利用一些简单的概率计算方法来得出最终的结果。
我们来看一个具体的例子。
假设一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，每次从盒子里随机取出一个球，记录颜色后放回。
那么第一次取出红球的事件 A 和第二次取出红球的事件 B 就是相互独立的事件。
因为每次取球后都将球放回，所以盒子里球的组成不变，每次取到红球的概率都是 5/10 ＝ 1/2。
即 P(A) ＝ P(B) ＝ 1/2。
而且，在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率 P(B|A)仍然是 1/2，等于 P(B)。
事件的独立性 课件
• 『规律总结』 两个事件是否相互独立的判断
• (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否 相互影响．
• (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生 的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立 事件．
P(A)P(B) P( A )P( B )
• 典例 3 (西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间 歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受 欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手， 其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另 在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有 偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
• (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
• (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的 分布列．
[解析] (1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手． 观众甲选中 3 号歌手的概率为23，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－35． 所以 P(A)＝23×(1－35)＝145． 因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为145．
[解析] 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则 P(A)＝0.8， P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以 P( A )＝0.2，P( B )＝0.3，P( C )＝0.1．
(1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P1 ＝P( A BC)＋P(A B C)＋P(AB C )＝P( A )P(B)P(C)＋P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )
05事件的独立性ppt
说明：1、当A，B独立时，B, A也是独立的，
即A与B独立是相互的。 ︱ 即 P B︱ P B 且 P A B P A A
2、当A，B独立时
Ａ事件的发生 不影响事件Ｂ 发生的概率
或
P B A P B ︱
3.互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。
解：(1) 记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙 且A与B相互独立， 射 击1次,击中目标”为事件B. 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同 根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到 时发生，
P(AB)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36 答：两人都击中目标的概率是0.36
例1甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种 情况:一种是甲击中, 乙未击中（事件 B 另一种是 ） A 甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。 根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 A• B互斥， 事件的概率乘法公式，所求的概率是
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包 括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：
P P( A B) P( A B) P( A B )
P( A) P( B) P( A) P( B) P( A) P( B)
0.02 0.08 0.18 0.28
若盒中有5个球（3白2黑），每次取出1个，有放回的取两次
事件的独立性课件
(即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率)。
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品}， i=1,2。
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响。
若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立。
因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响。
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算： P(AB)=0, 而P(A) ≠0, P(B) ≠0。 B A 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。 故 A与B不独立。 即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立。
Bi={取出3件产品中恰有i件是次品}， i=0,1,2,3。
则
C P ( B0 ) , C C C P ( B2 ) , C
3 96 3 100 2 1 4 96 3 100
C C P ( B1 ) , 3 C 100 3 C4 P ( B3 ) 。 3 C 100
1 4
2 96
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习。 设A、B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 设A、B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26。 可见, P(AB)=P(A)P(B)。 说明事件A、B独立。
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
事件的独立性及贝努利概型课件
⇐ 同时成立, 则称事件 事件A 同时成立 则称事件 、B、C 相互独立 . 事件， 设 个事件的独立性定义2： 类似可写出 n 个事件的独立性定义 ： A1,A2, …,An 是 n 个事件， 如果对其中任意一组事件 Ai1, Ai 2, L, Ai k (1< k ≤ n), 有 ) P( Ai1 Ai 2 LAi k ) = P( Ai1 )P( Ai 2 )LP(Ai k ) 则称事件 则称事件 A1, A2, …,An 为相互独立 .
假如生男生女概率相等， 例2 假如生男生女概率相等，考虑一个有两个 孩子的家庭， 表示“ 孩子的家庭，以A表示“该家庭至多有一个男 表示 表示“ 孩”，B表示“该家庭男女孩都有”，问A和B是 表示 该家庭男女孩都有” 和 是 否独立？ 否独立？ 解 试验的样本空间为
{ （男，男），（男，女
），（女，男）（女，
显然有P(AB)=P(A)P(B)，此时 和B ，此时A和
相互独立
若事件A, 满足P( ) ( ) ( ) 定义 1 若事件 B 满足 (AB)= P(A)P(B), 则称事件 则称事件 A 与 B 相互独立 . 简称独立 . 简称独立 我们很容易验证，必然事件、 我们很容易验证，必然事件、不可能事件与任一 事件都是相互独立的
i =1 n
故 P( A) = 1 − P( A1)P( A2)LP( An) = 1 − (1− p)n
= 1 − 0. 996n. 当 n = 500 时， P(A)= 0. 865 . ( )
lim lim 只要 P(A)= p <1, 就有 n→∞ P( A) = n→∞[1 − (1− p)n ] = 1 ( ) 只要你坚持重复地做， 发生概率再小的事件总会发生 只要你坚持重复地做， 发生概率再小的事件总会发生.
精编05第五节事件的独立性资料
第五节 事件的独立性分布图示★ 引例★ 两个事件的独立性 ★ 例1★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性★ 相互独立性的性质★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 伯努利概型★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-5内容要点一、两个事件的独立性定义 若两事件A ,B 满足)()()(B P A P AB P = (1)则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立.注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证).定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立: 与B ,A 与B ,A 与B .二、有限个事件的独立性定义 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ==== 则称事件C B A ,,相互独立.对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义:定义 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立.相互独立性的性质性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独立;由独立性定义可直接推出.性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意)1(n m m ≤≤个事件换成它们的对立事件, 所得的n 个事件仍相互独立;对2=n 时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.性质3设n A A A ,,,21 是n )2(≥n 个随机事件，则n A A A ,,,21 相互独立 ←/→n A A A ,,,21 两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质,三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生(记为A ) 或 事件A 不发生(记为A ), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设),10(,1)(,)(<<-==p p A P p A P将伯努利试验独立地重复进行n 次, 称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.注: n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A 在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中A 是否发生的影响.定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为).,,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k n k k n =-==-推论 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中, 事件A 在第k 次试验中的才首次发生的概率为).,,1,0(,)1(1n k p p k =--注意到“事件A 第k 次试验才首次发生”等价于在前k 次试验组成的k 重伯努利试验中“事件A 在前1-k 次试验中均不发生而第k 次试验中事件A 发生”,再由伯努利定理即推得.例题选讲两个事件的独立性例1 (E01) 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记{抽到K }, =B {抽到的牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立?注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.解一 利用定义判断. 由,131524)(==A P ,215226)(==B P ,261522)(==AB P),()()(B P A P AB P = 故事件、A B 独立.解二 利用条件概率判断. 由,131)(=A P ,131262)|(==B A P),|()(B A P A P = 故事件、A B 独立.注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.相互独立性的性质例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设=A {从甲袋中取出的是偶数号球}, =B {从乙袋中取出的是奇数号球}, =C {从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证C B A ,,两两独立但不相互独立.证明 由题意知, .2/1)()()(===C P B P A P 以,i j 分别表示从甲、乙两袋中取出球的号数， 则样本空间为}.4,3,2,1;4,3,2,1|),{(===j j i S由于S 包含16个样本点, 事件AB 包含4个样本点:),3,4(),1,4(),3,2(),1,2( 而BC AC ,都各包含4个样本点,所以.4/116/4)()()(====BC P AC P AB P于是有),()()(B P A P AB P =),()()(C P A P AC P =),()()(B P A P AB P =因此C B A ,,两两独立. 又因为,∅=ABC 所以,0)(=ABC P 而,8/1)()()(=C P B P A P 因),()()()(C P B P A P ABC P ≠故C B A ,,不是相互独立的.例3（E02） 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.解 本题应先计算合格品率, 这样可以使计算简便.设4321,,,A A A A 为四道工序发生次品事件, D 为加工出来的零件为次品的事件, 则D 为产品合格的事件, 故有,4321A A A A D =)()()()()(4321A P A P A P A P D P =%)31%)(51%)(31%)(21(----=%;60.87%59779.87≈= )(1)(D P D P -=%.40.12%60.871=-=例4 如图是一个串并联电路系统.H G F E D C B A ,,,,,,,都是电路中的元件. 它们下方的数字是它们各自正常工作的概率. 求电路系统的可靠性.解 以W 表示电路系统正常工作, 因各元件独立工作, 故有),()()()()()(H P G F P E D C P B P A P W P =其中 ,973.0)()()(1)(=-=E P D P C P E D C P .9375.0)()(1)(=-=G P F P G F P 代入得 .782.0)(≈W P例5 (E03) 甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p , p ≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利, 设各局胜负相互独立.解 采用三局二胜制, 甲最终获胜, 其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不相容, 于是由独立性得甲最终获胜的概率为).1(2221p p p p -+=采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛3局(可能赛3局, 也可能赛4局或5局), 且最后一局必需是甲胜, 而前面甲需胜二局. 例如, 共赛4局, 则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”, 且这三种结局互不相容. 由独立性得甲最终获胜的概率为232432332)1()1(p p C p p C p p -+-+= 于是)312156(23212-+-=-p p p p p p ).12()1(322--=p p p当2/1>p 时, ,12P P >即对甲来说采用五局三胜制较为有利; 当2/1=p 时,,2/112==p p 即两种赛制甲,乙最终获胜的概率相同.伯努利概型例6 某种小数移栽后的成活率为90%, 一居民小区移栽了20棵, 求能成活18的概率. 解 观察一棵小树是否成活是随机试验,E 每棵小树只有“成活”)(A 或“没成活”)(A 两种可能结果, 且.9.0)(=A P 可以认为, 小树成活与否是彼此独立的, 因此观察20 棵小树是否成活可以看成是9.0=P 的20重伯努利试验.设所求概率为),(B P 则由伯努利公式可得.285.01.09.0)(2181820=⨯⨯=C B P例7 一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求:(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;(2) 一次取1件, 无放回地抽取, 求当取到第二件次品时, 之前已取到8件正品的概率. 解 (1) 由于一条自动生产线上的产品很多, 当抽取的件数相对较少时, 可将无放回抽取近似看成是有放回抽取, 每抽1件产品看成是一次试验,抽10件产品相当于做10次重复独立试验, 且每次试验只有 “次品” 或 “正品” 两种可能结果,所以可以看成10重伯努利试验.设A 表示 “任取 1 件是次品”, 则,04.0)(==A P p .96.0)(==A P q设B 表示 “10件中至少有两件次品”, 由伯努利公式有)1()0(1)()(101010210P P k PB P k --==∑=91101096.004.096.01⨯⨯--=C .0582.0=(2) 由题意, 至第二次抽到次品时, 共抽取了10次, 前9次中抽得8件正品1件次品. 设C 表示 “前9次中抽到8件正品1件次品”, D 表示 “第十次抽到次品”, 则由独立性和伯努利公式, 所求的概率为.0104.004.096.004.0)()()(891=⨯⨯⨯==C D P C P CD P例8 一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.(1) 如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.(2) 如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率.解 记i A 为事件 “第i 次取到的是黑球”, 则 ,2,1,10/3)(==i A P i(1) 记B 为事件 “10次中能取到黑球”, k B 为事件 “10次中恰好取到k 次黑球” ),10,1,0( =K 则有,)10/7(1)(1)(1)(100-=-=-=B P B P B P(2) 记C 为“恰好要取 3 次”,D 为“至少要取 3 次”,则),10/3()10/7()(2⋅=C P.)10/7()()()()(22121===A P A P A A P D P例9 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第i 站停车的概率以及在第i 站不停车的条件下第j 站的概率，并判断“第i 站停车”与“第j 站停车”两个事件是否独立.解 记k A 为 “第k 位乘客在第i 站下车”, k .25,,2,1 = 考察每一位乘客在第i 站是否下车, 可视为一个25重的伯努利试验, 记B 为 “第i 站停车”, C 为 “第j 站停车”, 则C B ,分别等价于 “第i 站有人下车” 和 “第j 站有人下车”, 于是有,)9/8(1)(25-=B P .)9/8(1)(25-=C P在B 不发生(即B 发生)的条件下, 每位乘客均等可能地在第i 站以外的8站中任意一站下车, 于是每位乘客在第j 站下车的概率为1/8, 故有.)8/7(1)|(25-=B C P 因),()|(C P B C P ≠故B 与C 不独立, 从而B 与C 不独立.例10(E04) 一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25, 为试验一种新药是否有效, 把它给10个病人服用, 且规定若10个病人中至少有四个治好则认为这种药有效, 反之则认为无效, 求:(1) 虽然新药有效, 且把痊愈率提高到0.35, 但通过试验却把否定的概率.(2) 新药完全无效, 但通过试验却被认为有效的概率.分析 将10个病人服此药视为10次重复试验，在每次试验种，只有两种可能结果：此人痊愈或不痊愈，而且10人的痊愈与否彼此独立(即使是传染病也是隔离治疗的).这样，本问题便可利用伯努利概型解决.解 (1) 设=A “通过试验新药被否定”，则由题意，A 发生当且仅当事件“10人至多只有3人痊愈”发生. 注意：依题意，新药有效，痊愈率为0.35，从而∑=--=301010)35.01()35.0()(k k k k C A P738291065.035.012065.035.04565.035.01065.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.5136.0=(2) 设=B “通过试验判断新药有效”，则B 发生当且仅当事件“10个人至少有4个痊愈”发生.注意：依题意，新药无效，这时痊愈率等于自然痊愈率0.25，从而∑=--=10410 10)25.01(25.0)(kkkkCB P∑=-≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=31010.224.043411kkkkC课堂练习某工人一天出废品的概率为0.2, 求在4天中:(1) 都不出废品的概率;(2) 至少有一天出废品的概率;(3) 仅有一天出废品的概率;(4) 最多有一天出废品的概率;(5) 第一天出废品, 其余各天不出废品的概率.。
概率论与数理统计：事件的独立性与相关性.ppt
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，C 不相互独立.
三 相互独立事件的性质
性质1 如果 n 个事件 A1, A2,, An 相互独立，则 将其中任何 m(1 m n)个事件改为相应的对立事 件，形成新的 n 个事件仍然相互独立. 性质2 如果 n 个事件 A1, A2,, An 相互独立，则有
Ai (i =1,2,…,100 ).
则
100
A Ai
i 1
100
P(A) 1 1P(Ai ) i 1 1 (1 0.004)100 0.33
若Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则
P(Bn) 1 (1 )n, 0 1 n 1,2,
lim
n
P
(
Bn
)
1
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
n
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
i 1
例4 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝 炎病毒的概率.
解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为
事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件
注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个 事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的 影响.
伯恩斯坦反例
事件的独立性与非独立性
事件的独立性与非独立性事件的独立性和非独立性是概率论和统计学中的基本概念，用于描述事件之间是否相互影响或相关。
在本文中，我们将探讨事件的独立性和非独立性的含义、特征以及其在实际问题中的应用。
一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件在发生上相互独立，即一个事件的发生不会对其他事件的发生产生影响。
数学上，事件A和事件B是独立事件，当且仅当它们满足以下条件：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立事件的关键特征是事件之间的无关性。
例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是两个独立的事件。
硬币落地时，正反两面的结果相互独立，无论之前的结果如何。
在实际问题中，事件的独立性有着广泛的应用。
例如，在概率计算中，我们经常通过事件的独立性来计算复杂事件的概率。
此外，在统计学中，事件的独立性也是很多统计方法的基础假设之一。
二、事件的非独立性与独立事件相对应，非独立事件指的是两个或多个事件在发生上相互有关联或影响。
在数学上，事件A和事件B是非独立事件，当且仅当它们不满足独立性的条件，即：P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B)非独立事件的特征是事件之间存在相关性。
例如，抽取一张扑克牌，第一次抽到一张红心牌，第二次再抽到红心牌的概率就会受到第一次抽到红心牌的结果影响。
在实际问题中，事件的非独立性也有着重要的应用。
例如，在风险管理和金融领域，我们经常需要考虑事件之间的相关性，以提前识别风险并采取相应的措施。
三、事件独立性和非独立性的意义事件的独立性和非独立性对于概率计算和统计推断具有重要的意义。
通过了解事件之间的关系，我们可以更准确地估计事件发生的概率，做出相应的决策。
当事件是独立的时候，我们可以简单地将不同事件发生的概率相乘，得到复杂事件的概率。
这在概率计算中非常有用，可以大大减少计算的复杂度。
5事件的独立性两事件独立
三、事件独立性的应用
1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互 独立, 则
2、在பைடு நூலகம்靠性理论上的应用
如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的 概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通 路的概率。
设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5 由全概率公式
1.5 事件的独立性
一、两事件独立
定义 设A、B是两事件，P(A) ≠0,若 P(B)＝P(B|A)
则称事件A与B相互独立。等价于： P(AB)＝P(A)P(B)
引例 从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以 A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与 B是否独立？
定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。
P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik) 则 称n个事件A1，A2，…，An相互独立。
思考：
1.设事件A、B、C、D相互独立，则
A B与CD独立吗？
2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次
至少得一个双六，这两件事， 哪一个有更多的机会遇到？
答:0.518, 0.496
二、多个事件的独立
定义 若三个事件A、B、C满足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),
P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足： (2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。
一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 … ik n，具有等式
第五讲：事件的独立性
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
1-5 独立事件
P ( A B ) P ( A B)
1 P ( A B)
1 P ( A B)
1 [ P ( A) P ( B) P ( AB)]
1 [ P ( A) P ( B) P ( A) P ( B)] [1 P ( A)] P ( B)[1 P ( A)] [1 P ( A)] [1 P ( B)]
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成
A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
3.性质1.5 (1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
即 与A独立.
1 P ( A1 A2 A100 )
1 P ( A1 A2 A100) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A100)
1 [1 P ( A1 )]100
1 (1 0.004)100 1 (0.996)100 0.33
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立.
P(C ) P( A B)
P( A) P( B) P( AB)
P( A) P( B) P( A) P( B)
0.5 0.6 0.5 0.6
0.8
(二) 多个事件的独立性
P ( A B ) P ( A)
1.引例 盒中有5个球( 3绿 2红 ), 每次取出一个,
有放回地取两次.记 A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P ( B A) P (B ) 5
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们日常生活和学习中，经常会遇到各种各样的事件。
有些事件之间存在着紧密的联系，而有些事件则相互独立，不受彼此的影响。
理解事件的独立性对于我们正确分析和处理问题具有重要的意义。
首先，让我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件 A 的发生与否对事件 B 发生的概率没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，得到点数 6 记为事件 B。
抛硬币的结果并不会影响抛骰子得到点数 6 的概率，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
那么，如何判断两个事件是否独立呢？我们可以通过概率的计算来进行判断。
如果 P(B|A) ＝ P(B)，也就是说在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率等于事件 B 本身发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
事件的独立性在很多领域都有广泛的应用。
比如在统计学中，当我们从一个总体中进行多次抽样时，如果每次抽样都是独立的，那么我们就可以利用独立事件的概率性质来进行统计推断。
在概率论中，有一些重要的定理与事件的独立性相关。
比如，多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的乘积。
假设我们有三个相互独立的事件 A、B、C，它们发生的概率分别为P(A)、P(B)、P(C)，那么它们同时发生的概率就是 P(A)×P(B)×P(C)。
再来看一个实际生活中的例子。
假设一家工厂有三条生产线，生产线 A 产品合格的概率为 09，生产线 B 产品合格的概率为 085，生产线C 产品合格的概率为 095。
这三条生产线的生产过程相互独立。
那么，三条生产线同时生产出合格产品的概率就是 09×085×095 ＝ 072675。
另外，事件的独立性也有助于我们简化复杂问题的分析。
当我们面对一个由多个相互独立的子事件组成的复杂事件时，可以分别计算每个子事件的概率，然后通过乘法法则得到整个复杂事件的概率。
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试证其一 A, B 独立 A, B 独立
事实上
P( AB) P( A AB) P( A) P( AB)
P( A) P( A) P( B)
P( A) 1 P( B) P( A) P( B)
定义 若有
P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A) P (C ) P ( BC ) P ( B ) P (C )
n
1 P( A1 A2 An ) n 1 P ( A1 A2 An ) 1 P( Ai )
1 (1 P( Ai ))
n
i 1
特别， 当 P ( Ai ) p ，则
P( Ai ) 1 (1 p )
i 1
n
n
例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A Ai
P( ABC) P( A) P( B) P(C ) (2)
(1)
则称A, B, C 相互独立。
注: 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立
A, B, C 相互独立
A, B, C 两两独立
例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下 1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W Y Y Y 6 7 8
若 A1, A2, …, An 相互独立, 则
1 P( A1 A2 An ) P A P A P A
1 2 n
2 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
n
n
P( Ai ) P( A1 A2 An )
i 1
k n k
P( A) p, 0 p 1
nk
则 Pn (k ) C p (1 p)
,
k 0,1,2,, nS1:源自A1 B1A2 B2
P(S1 ) P A1 A2 B1B2 P( A1 A2 ) P( B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 ) 2 4 2 2 2 p p p (2 p )
S2:
A1 B1
A2 B2
2
P(S2 ) P A1 B1 A2 B2 P ( Ai Bi ) 2 p p
P( A2 ) P( A2 A1 )
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A2 )
定义 设 A , B 为E的两事件，若
P( AB) P ( A) P ( B)
p (2 p)
2
2
p (2 p ) P( S1 ) .
2 2
i 1
2 2
注 利用导数可证, 当 p ( 0 , 1) 时, 恒有
f ( p) (2 p) (2 p ) 0
2 2
伯努利试验概型
n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型： 试验可重复 n 次 每次试验只有两个可能的结果： A A, 且 P( A) p, 0 p 1
P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ), 1 i j k n
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件 A 与 B C 也相互独立 证
P ( B ) P (C ) P ( BC )
PA ( B C ) P( B C ) P A( B C )
P ( AB) P ( AC ) P ( ABC )
P( A )P( B) P(C ) P( BC )
P( A ) P( B C )
将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。 R 红色 设事件 W 白色 Y 黄色
则
3 1 P( RW ) , P(WY ) P( RY ) 8 8 1 P( RWY ) P( R) P(W ) P(Y )
8
4 1 P( R) P(W ) P(Y ) 8 2
但
P( RW ) P( R) P(W )
P (WY ) P(W ) P(Y ) P ( RY ) P ( R) P (Y )
本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)
定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j ), 1 i j n
感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
2 2 2 4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3 2 P( B) C 0.3456 . 5 5
一般地，若
则称事件 A 与事件 B 相互独立。
两事件相互独立的性质
1、两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的。 若 P( B) 0, 则事件A与B独立 P( A) P( A B) 3、四对事件 A, B; A, B ; A , B; A , B 任何一对相互独立,则其它三对也 相互独立。
2、若P( A) 0, 则事件A与B独立 P( B) P( B A)
i 1 100
P( A) 1 1 P( Ai ) 1 (1 0.004)
i 1
100
100
0.33
若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则
P( Bn ) 1 (1 ) ,
n
0 1
n 1,2,
lim P( Bn ) 1
每次试验的结果与其他次试验无关—— 称为这 n 次试验是相互独立的
n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为
Pn (k )
例7 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.
解 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5
4
nB C 3 2
n
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
例6
系统的可靠性问题
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联
1 1
2
并联
2
设
两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.
2 4 2
2 4 2 2
2
2
C 32 2 3 P( B) C4 4 5 5
2
2 0.3456 . 5
解二 每取一个球看作是做了一次试验 记取得白球为事件 A ， P( A) 3 / 5. 有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai
§1.6 事件的独立性
事件的独立性
例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求 P( A2 ) , P ( A2 A1 ) . 解
3 P( A2 ) , 8
P( A2 A1 ) 3 / 8 ,