第五讲 事件的独立性
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n
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
例6
系统的可靠性问题
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联
1 1
2
并联
2
设
两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.
P( ABC) P( A) P( B) P(C ) (2)
(1)
则称A, B, C 相互独立。
注: 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立
A, B, C 相互独立
A, B, C 两两独立
例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下 1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W Y Y Y 6 7 8
每次试验的结果与其他次试验无关—— 称为这 n 次试验是相互独立的
n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为
Pn (k )
例7 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.
解 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5
4
nB C 3 2
P ( B ) P (C ) P ( BC )
PA ( B C ) P( B C ) P A( B C )
P ( AB) P ( AC ) P ( ABC )
P( A )P( B) P(C ) P( BC )
P( A ) P( B C )
P( A2 ) P( A2 A1 )
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A2 )
定义 设 A , B 为E的两事件，若
P( AB) P ( A) P ( B)
p (2 p)
2
2
p (2 p ) P( S1 ) .
2 2
i 1
2 2
注 利用导数可证, 当 p ( 0 , 1) 时, 恒有
f ( p) (2 p) (2 p ) 0
2 2
伯努利试验概型
n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型： 试验可重复 n 次 每次试验只有两个可能的结果： A A, 且 P( A) p, 0 p 1
P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ), 1 i j k n
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件 A 与 B C 也相互独立 证
将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。 R 红色 设事件 W 白色 Y 黄色
则
3 1 P( RW ) , P(WY ) P( RY ) 8 8 1 P( RWY ) P( R) P(W ) P(Y )
8
4 1 P( R) P(W ) P(Y ) 8 2
k n k
P( A) p, 0 p 1
nk
则 Pn (k ) C p (1 p)
,源自文库
k 0,1,2,, n
若 A1, A2, …, An 相互独立, 则
1 P( A1 A2 An ) P A P A P A
1 2 n
2 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
n
n
P( Ai ) P( A1 A2 An )
i 1
§1.6 事件的独立性
事件的独立性
例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求 P( A2 ) , P ( A2 A1 ) . 解
3 P( A2 ) , 8
P( A2 A1 ) 3 / 8 ,
i 1 100
P( A) 1 1 P( Ai ) 1 (1 0.004)
i 1
100
100
0.33
若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则
P( Bn ) 1 (1 ) ,
n
0 1
n 1,2,
lim P( Bn ) 1
但
P( RW ) P( R) P(W )
P (WY ) P(W ) P(Y ) P ( RY ) P ( R) P (Y )
本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)
定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j ), 1 i j n
2 4 2
2 4 2 2
2
2
C 32 2 3 P( B) C4 4 5 5
2
2 0.3456 . 5
解二 每取一个球看作是做了一次试验 记取得白球为事件 A ， P( A) 3 / 5. 有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
事实上
P( AB) P( A AB) P( A) P( AB)
P( A) P( A) P( B)
P( A) 1 P( B) P( A) P( B)
定义 若有
P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A) P (C ) P ( BC ) P ( B ) P (C )
则称事件 A 与事件 B 相互独立。
两事件相互独立的性质
1、两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的。 若 P( B) 0, 则事件A与B独立 P( A) P( A B) 3、四对事件 A, B; A, B ; A , B; A , B 任何一对相互独立,则其它三对也 相互独立。
2、若P( A) 0, 则事件A与B独立 P( B) P( B A)
感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
2 2 2 4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3 2 P( B) C 0.3456 . 5 5
一般地，若
n
1 P( A1 A2 An ) n 1 P ( A1 A2 An ) 1 P( Ai )
1 (1 P( Ai ))
n
i 1
特别， 当 P ( Ai ) p ，则
P( Ai ) 1 (1 p )
i 1
n
n
例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A Ai
S1:
A1 B1
A2 B2
P(S1 ) P A1 A2 B1B2 P( A1 A2 ) P( B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 ) 2 4 2 2 2 p p p (2 p )
S2:
A1 B1
A2 B2
2
P(S2 ) P A1 B1 A2 B2 P ( Ai Bi ) 2 p p
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
例6
系统的可靠性问题
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联
1 1
2
并联
2
设
两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.
P( ABC) P( A) P( B) P(C ) (2)
(1)
则称A, B, C 相互独立。
注: 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立
A, B, C 相互独立
A, B, C 两两独立
例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下 1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W Y Y Y 6 7 8
每次试验的结果与其他次试验无关—— 称为这 n 次试验是相互独立的
n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为
Pn (k )
例7 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.
解 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5
4
nB C 3 2
P ( B ) P (C ) P ( BC )
PA ( B C ) P( B C ) P A( B C )
P ( AB) P ( AC ) P ( ABC )
P( A )P( B) P(C ) P( BC )
P( A ) P( B C )
P( A2 ) P( A2 A1 )
事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A2 )
定义 设 A , B 为E的两事件，若
P( AB) P ( A) P ( B)
p (2 p)
2
2
p (2 p ) P( S1 ) .
2 2
i 1
2 2
注 利用导数可证, 当 p ( 0 , 1) 时, 恒有
f ( p) (2 p) (2 p ) 0
2 2
伯努利试验概型
n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型： 试验可重复 n 次 每次试验只有两个可能的结果： A A, 且 P( A) p, 0 p 1
P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ), 1 i j k n
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件 A 与 B C 也相互独立 证
将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。 R 红色 设事件 W 白色 Y 黄色
则
3 1 P( RW ) , P(WY ) P( RY ) 8 8 1 P( RWY ) P( R) P(W ) P(Y )
8
4 1 P( R) P(W ) P(Y ) 8 2
k n k
P( A) p, 0 p 1
nk
则 Pn (k ) C p (1 p)
,源自文库
k 0,1,2,, n
若 A1, A2, …, An 相互独立, 则
1 P( A1 A2 An ) P A P A P A
1 2 n
2 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
n
n
P( Ai ) P( A1 A2 An )
i 1
§1.6 事件的独立性
事件的独立性
例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求 P( A2 ) , P ( A2 A1 ) . 解
3 P( A2 ) , 8
P( A2 A1 ) 3 / 8 ,
i 1 100
P( A) 1 1 P( Ai ) 1 (1 0.004)
i 1
100
100
0.33
若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则
P( Bn ) 1 (1 ) ,
n
0 1
n 1,2,
lim P( Bn ) 1
但
P( RW ) P( R) P(W )
P (WY ) P(W ) P(Y ) P ( RY ) P ( R) P (Y )
本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)
定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j ), 1 i j n
2 4 2
2 4 2 2
2
2
C 32 2 3 P( B) C4 4 5 5
2
2 0.3456 . 5
解二 每取一个球看作是做了一次试验 记取得白球为事件 A ， P( A) 3 / 5. 有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
事实上
P( AB) P( A AB) P( A) P( AB)
P( A) P( A) P( B)
P( A) 1 P( B) P( A) P( B)
定义 若有
P ( AB) P ( A) P ( B ) P ( AC ) P ( A) P (C ) P ( BC ) P ( B ) P (C )
则称事件 A 与事件 B 相互独立。
两事件相互独立的性质
1、两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的。 若 P( B) 0, 则事件A与B独立 P( A) P( A B) 3、四对事件 A, B; A, B ; A , B; A , B 任何一对相互独立,则其它三对也 相互独立。
2、若P( A) 0, 则事件A与B独立 P( B) P( B A)
感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
2 2 2 4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3 2 P( B) C 0.3456 . 5 5
一般地，若
n
1 P( A1 A2 An ) n 1 P ( A1 A2 An ) 1 P( Ai )
1 (1 P( Ai ))
n
i 1
特别， 当 P ( Ai ) p ，则
P( Ai ) 1 (1 p )
i 1
n
n
例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A Ai
S1:
A1 B1
A2 B2
P(S1 ) P A1 A2 B1B2 P( A1 A2 ) P( B1B2 ) P( A1 A2 B1B2 ) 2 4 2 2 2 p p p (2 p )
S2:
A1 B1
A2 B2
2
P(S2 ) P A1 B1 A2 B2 P ( Ai Bi ) 2 p p