关于高等数学常见中值定理证明及应用
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
高等数学中积分中值定理的几个基本应用
高等数学中积分中值定理的几个基本应用作者：朱碧来源：《新教育时代》2014年第14期摘要：对于积分中值定理，在教材中提到的用法大多是去掉积分符号，把复杂的问题简单化，在解决积分不等式、含积分的极限等问题中，往往应用积分中值定理的这些作用，使得问题得到更容易的解决。
关键词：积分中值定理应用一、积分中值定理定理：若函数f（x）在[a，b]上是连续的。
那么至少存在一点，使得成立。
推论：如果上连续，并且g（x）在[a，b]上不变号，那么至少存在一点使得成立。
[1]二、积分中值定理的几个简单应用积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用，下面我们给出几个具体的常见的例子，通过实际应用来加深对积分中值定理的理解。
1.中值定理应用于定积分不等式的证明和积分估计（1）证明不等式 .证：由积分中值定理又因为可得.（2）估计的积分解：设，那么f（x）在区间[0，1]上连续可导，且有所以，又，则，所以而，所以2.中值定理应用于含有定积分的极限的计算（3）计算其中连续.解：因为连续，则由积分中值定理，可以得出所以3.积分中值定理在等式证明中的应用（4）证明：如果f（x）在[a，b]上连续，g是连续可微的单调函数，那么存在，有证：令，那么有由已知g（x）是单调函数，所以g`（x）不变号，根据积分中值定理，存在，使得三、结论：积分中值定理是积分学说中的一个重要结论，在数学学习中起到承前启后作用的重要枢纽。
对于定积分的计算，证明等都有着不可忽视的作用，文中所举的例子并不算多，对比现在的研究来说是比较少的，并且在讨论时所给定的条件也相对单一。
但是也给出了当今积分中值定理的大概研究方向。
参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析/上册[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）[2]刘宁. 强化积分中值定理结论，使其更具应用性.金华职业技术学院学报[J].2004.6[3]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M].Mc Graw Hill Education.[4]龙爱芳，积分中值定理积分点研究的一个新结果[J].数学的实践与认知.2011.10[5]戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社[M].2002.2（2008再版）[6]衡美芹.关于积分中值定理的进一步探讨[J]. 牡丹江教育学院学报，2011，02.[7]华东师范大学数学系.数学分析/下册[M].高等教育出版社.1981.4（2007再版）[8]季孝达，薛兴恒，陆英.数学物理方程[M].科学出版社.2005.7[9]周燕. 积分中值定理的推广与应用[J]. 林区教学，2008，10.作者简介：朱碧。
七大中值定理的理解与运用
七大中值定理的理解与运用在高等数学内容中，七大中值定理（零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理）是学生在学习过程中认为最难的部分。
七大定理的难主要在于难理解、难应用。
在历次考试，包括研究生入学考试中，与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题，因此如何让学生更好的理解与掌握定理，灵活有效的使用定理，一直是我在授课过程中觉得比较难把握的。
在授课和答疑过程中也曾经积累了一些想法，但是这些想法都比较零碎。
乐老师在培训过程中对中值定理证明问题中辅助函数构造的讲解，对我帮助最大。
借这次机会将我对七大定理教学过程中的体会总结如下。
第一，七大定理的归属。
零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。
三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。
积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。
第二，对使用每个定理的体会。
学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。
关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。
1．使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b 之间有一个（或者只有一个）根”。
从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。
应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2．介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。
3．用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数（甚至是高阶导数）、含有中值（也可能有多个中值）。
正如乐老师在培训过程中所说，应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。
曾经在以往授课过程中总结了一点构造函数的方法，这次经过培训，我对构造函数的方法有了进一步的掌握，感觉乐老师讲述的方法便于记忆，更便于学生理解。
高等数学 中值定理
所以F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
又F(0)=0， F(1)=1·f(1)＝0
由罗尔定理：至少存在一点 （0，1）使 F( ) 0
即 f () f () 0
9
练习 设函数 f(x)在上 [0, ] 可导，且 0<f(x)<1, 4
在 (0, ) 内 f ( x) sec2 x 4
第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理
1
知识回顾：
1.若函数f
(x)在点x0可导，则 f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
f( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) , x0f( x0 ) Fra biblioteklim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) , x0
证明在 (0, ) 内有且仅有一个x,使f(x)=tanx 4
证 设F(x)=f(x)－tanx
F (0) f (0) 0, F () f () 1 0
4
4
∴在
(0,
) 4
内至少有一个a,
使F(a)=0，
即 f(a)=tana
10
设在
(0,
) 4
内另有一个点b,
使f(b)=tanb
则F(b)= f(b)－tanb = 0 = F(a)
(3) f (a)=f(b)， 则至少存在一点
(a,b) ，使得
使 f () 0
f ( ) = 0.
而在(0,1)内 f ( x) 5x4 5 0, 矛盾，
故方程 x5 －5x＋1=0有且仅有一个小于1 的正实根
高数大一上知识点总结中值定理
高数大一上知识点总结中值定理高等数学（一）知识点总结：中值定理在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识和定理，其中之一就是中值定理。
中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数的性质以及解决实际问题中扮演着重要的角色。
本文将对中值定理进行总结和讨论。
一、中值定理概述中值定理是微积分的基本定理之一，它包括三个重要的定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都是以其创立者的名字命名的，它们在解决函数连续性和导数性质相关问题时非常有用。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常见和基础的一个。
它得出的结论是：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在c∈(a, b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
三、柯西中值定理柯西中值定理是在拉格朗日中值定理的基础上进行拓展得到的。
柯西中值定理的条件为：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0。
那么在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的重要性在于它将一个函数的导数和在另一个函数上的值联系在一起。
这个定理可以用于证明其他重要的数学定理，如罗尔定理和拉格朗日定理的推广形式。
四、罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的一个特例，它的前提条件是函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a)=f(b)。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的直观理解是：如果一个函数在两个端点处取相同的值，那么在函数曲线上至少存在一个点处的切线斜率为零。
高等数学 中值定理及其应用
3. 积分中值定理及其应用
一、微分中值定理
定理1 (Fermat引理) 若函数f (x)在点x0处可导且
取得极值, 则 f (x0 ) 0.
定理2 (Rolle定理) 若函数 f (x) 满足: (1) 在闭区间[a,b] 上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; y
(3) f (a) f (b),
(2) 反证 假设x (0,1), 都有f (x) 2. 任取 t (0, ), 对 f (x)用拉格朗日中值定理知, c (t,), 使得
f (t) f (t) f ( ) f (c)(t ) 2(t ),
于是
f ( )
f (t)dt 2 (t )dt
0
0
2 1.
此与 f ( ) 1矛盾, 因此结论成立.
g(x) f ( ) f (x), x [0,1].
则g(x)在[0,1]上非负连续, 且g(0) f ( ) 0. 所以
1
1
0 0 g(x)dx f ( ) 0 f (x)dx,
于是 f ( ) 1, 故 (0,1). 由费马引理知f ( ) 0.
(2) (0,1), 使得f () 2.
sin x x x3 o( x3 ), 3!
lim x0
e
x
sin
x
x(1 x3
x)
x x2 x3 x3 o( x3 ) x(1 x)
lim
x0
lim
x0
x3 3
2!
o( x3 ) x3
3! x3
1. 3
2. 在等式或不等式证明中的应用 例1. 证明等式 arcsin x arccos x .
从而 x ln(1 x) x. 1 x
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是数学中的一个重要定理，它是求函数在某一区间内的最大值或最小值的一种方法。
中值定理：设f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a,b)内存在，则存在c∈(a, b)，使得f’(c)=0。
中值定理的应用：1.求函数在某一区间内的极值：由中值定理可知，如果函数f(x)在[a, b]内可导，且f’(x)在(a, b)内存在，则存在c∈(a,b)使得f’(c)=0。
因此，我们可以通过求解f’(x)=0的方程来求出函数在[a, b]内的极值。
2.求函数的泰勒公式：利用中值定理可以得出泰勒公式，即对于函数f(x)在x0处的泰勒展开式：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+O((x-x0)^2)。
导数是数学中的一个概念，它表示函数在某一点处的斜率。
导数的应用：1.求函数的单调性：如果函数f(x)在点x处的导数大于0，则函数在点x处单调递增；如果函数f(x)在点x处的导数小于0，则函数在点x处单调递减。
2.求函数的极值：如果函数f(x)在点x处的导数等于0，则函数可能在点x处取得极值。
通过对函数的二阶导数进行分析，可以判断函数在点x处的极值是最大值还是最小值。
1.求函数在某一点的切线：切线是函数在某一点的切线的图像。
切线的斜率等于函数在这个点的导数。
因此，我们可以通过求解函数在某一点的导数来求出函数在这个点的切线。
2.求函数在某一区间内的最小值和最大值：当函数在某一区间内单调递增或单调递减时，可以通过求解函数在区间端点处的导数来求出函数在该区间内的最小值和最大值。
以上是中值定理和导数的应用笔记。
通过对中值定理和导数的学习，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并运用到数学和其他领域中。
需要注意的是，中值定理和导数的应用是有一定条件的，在使用这些工具时要注意满足这些条件。
此外，中值定理和导数是高等数学中的基础概念，在深入学习数学和其他科学领域之前，要先扎实地掌握这些概念。
中值定理的一些应用
微分中值定理及其应用我们已经学习了导函数的定义以及一些基本性质，就导数的定义来看，导数是一个新的函数的极限，从而它反映的是函数的局部性质，在这一讲中，我们将学习利用导数来建立一些函数的整体性质。
所用的工具就是所谓的中值定理。
罗尔中值定理定理6.1（罗尔中值定理）设函数在区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；3. ，那么，在开区间内必是（至少）存在一点，使罗尔定理的几何意义因为，所以是水平线，用中学学过的推平行线的几何方法，可以直观地看出曲线上至少有一点的切线也应该是平行的。
条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少任何一个条件，命题都不能成立。
i) 函数在区间满足条件2和条件3，该函数在上的导数恒为1。
ii)函数满足条件1和条件3，但是条件2却遭到破还（在不可导），结论也不成立。
iii)函数满足条件1和条件2,但条件3不满足，该函数在的的导数恒为1。
vi)函数在闭区间上，三个条件是充分条件，但不是必要条件。
定理的证明因为在上连续，所以由连续函数的最大最小值定理，在上取到最大值和最小值，下面分两种情况讨论：1. ，这就是说恒为常数，此时该函数的导数恒等于零。
可以在上随意取一点，当然有。
2. ，既然最大最小值不等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不在端点取到。
不妨设最大值不在端点取到。
得到：存在，使得。
因为区间内部取到的最值一定是极值，所以由费马定理，。
范例例1：设是一个多项式，且方程没有实零点，则方程至多有一个重数为1的实根。
证：设有两个实根，可以验证：在上满足罗尔定理的条件，从而存在，使得。
这与条件矛盾。
设有一个重根，则。
因为，则，矛盾。
拉格朗日定理及其应用定理6.2 设函数区间上满足：1. 在闭区间上连续；2. 在开区间上可导；那么在开区间内（至少）存在一点，使得拉格朗日定理的几何意义拉格朗日定理是罗尔定理的一个推广，推广所以它们的几何意义几乎是一致的。
（如果）这里，。
(完整版)高等数学中值定理的题型与解题方法
高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。
题型一：证明：()0nf ξ=基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。
例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.分析：由()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<，容易想到零点定理。
证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2a bx a +∈，使得1()0f x =，又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02a bf b f +<，∴存在2(,)2a bx b +∈，使得2()0f x =，∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，∴根据介值性定理(0)(1)(2)3f f f m M ++≤≤，即1m M ≤≤∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使得'()0f ξ=.例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==，∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈⊂，使得'''()0F ξ=，例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22f =，(1)2f = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：(0)1f =，11()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，又()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。
中值定理在高等数学解题中的应用
中值定理在高等数学解题中的应用中值定理是高等数学中的一种基本概念，它是整个微积分学的核心。
中值定理一般指导函数在某个区间内的平均值与某个点处的函数值具有关系。
在高等数学中，中值定理有着非常广泛的应用，在解题过程中也需要运用中值定理来处理问题，下面我们就来看一下中值定理在高等数学解题中的应用。
1.函数连续性证明在高等数学中，常常需要证明一个函数连续性，中值定理就是证明函数连续性的重要工具之一。
例如，对于一个函数f(x)，如果f(x)在某个区间[a,b]上连续，那么根据介值定理，必然存在一个点c∈[a,b]，使得f(c)等于f(a)与f(b)的平均值。
因此，只要证明函数在[a,b]上的平均值等于f(c)，即可证明函数f(x)在区间[a,b]上连续。
2.求解极值中值定理还可以用来求解函数的极值。
对于函数f(x)，如果它在点x=c处取得了极值，那么f'(c)=0. 根据利用拉格朗日中值定理，可以得到：f(x)-f(c)=f'(c)(x-c),其中x∈(c-δ,c+δ)。
因此，当x在(c, c+δ)区间内时，由于f'(c)=0，所以f(x)<f(c)。
同样地，当x在(c-δ,c)区间内时，f(x)>f(c)。
因此我们可以通过中值定理来求解函数的极值点。
3.拐点定位另一种很重要的应用是拐点定位。
对于拐点来说，f''(x)等于零，根据中值定理可以推导出x在拐点的左边和右边呈现不同符号的一阶导数，这就可以用来判断拐点是否存在以及拐点的位置，解决一些重要的问题，比如曲线的切线和凹凸性的分析。
中值定理在高等数学的学习中是一个很重要的概念，它具有非常广泛的应用。
无论是在证明函数连续性、求解函数极值、还是拐点定位中，中值定理都能够给我们提供非常有效的解题思路和方法。
因此，在学习高等数学过程中，我们需要深入掌握中值定理这个概念，并且灵活应用它来解决实际问题，提高自己的数学水平。
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第1节 中值定理
拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 法国数学家. 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献, 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 余年来 接地溯源于他的工作, 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 .
y
C M•
y = f ( x)
•
D
A•
•N
ξ1 x
o a
ξ2 b
x
分析: 证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) = f (b) .
f (b) − f (a ) ( x − a) . 弦 AB方程为 y = f (a ) + 方程为 b−a 曲线 f ( x )减去弦 AB ,
所得曲线 a , b 两端点的函数值相等 .
(1)
f ′(ξ ) = 0 .
例如, 例如 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) .
在[−1 , 3]上连续 , 在( −1 , 3) 上可导 , 且 f ( −1) = f ( 3) = 0 , Q f ′( x ) = 2( x − 1) , 取 ξ = 1 (1 ∈ ( −1 , 3)) , f ′(ξ ) = 0 .
f (b) − f (a ) F ( x ) = f ( x ) − [ f (a ) + ( x − a )] . b−a F ( x ) 满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ ,
作辅助函数
使得 F ′(ξ ) = 0 . 即
f (b) − f (a ) f ′(ξ ) − =0, b−a 拉格朗日中值公式 或 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) .
高等数学拉格朗日中值定理
高等数学拉格朗日中值定理高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它被广泛应用于求解函数的极值、证明函数的性质以及推导其他数学定理等方面。
拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的，它建立在导数的基础上，描述了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。
拉格朗日中值定理的表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
简单来说，拉格朗日中值定理告诉我们，对于任意一段曲线，至少存在一个点，该点的切线斜率等于该曲线两个端点间的斜率之差。
为了更好地理解拉格朗日中值定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个汽车在某段时间内行驶了一段距离，我们希望知道在这段时间内汽车的平均速度与某一刻的瞬时速度之间的关系。
根据拉格朗日中值定理，平均速度等于瞬时速度。
具体而言，在某一刻，汽车的瞬时速度等于汽车在该段时间内的总位移除以该段时间的长度，即平均速度。
拉格朗日中值定理的应用远不止于此，它可以用于证明很多重要的数学定理。
例如，利用拉格朗日中值定理，我们可以证明柯西中值定理、罗尔中值定理和费马定理等。
这些定理在微积分中具有重要的地位，并且被广泛应用于求解极值问题、证明函数的性质以及推导其他数学定理。
总之，高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项基础且重要的定理。
通过该定理，我们可以了解函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明其他重要的数学定理，为我们研究函数的性质和求解实际问题提供了有力的工具。
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。
微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。
积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若f(x)在［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一点，b使得f(x)dx f( )(b a)。
积分第二中值定理为前者的推广，即若f(x),g(x)在a［a,b］上连续，且g(x)在［a,b］上不变号，则在［a,b］上至少存在一点，使得b ba f (x)g(x)dx f( ) a g(x)dx。
a a一、微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一.设(X)在［0,1］上连续可导，且(0) 0, (1) 1。
证明：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得」b a b成立。
() ()证法1 :任意给定正整数a，令t(x) ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对fdx), f2(x)应用柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一◎红卫a。
() (1) (0)任意给定正整数b，再令g,x) bx,g2(x) (x),则在［0,1］上对5(x),g2(x)应用柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一^ 匚°b。
()(1) (0)两式相加得：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得a ba b() ()成立。
证法2：任意给定正整数a,b，令£3 ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对分析：鉴于所要证明的等式中含有两个中值， 中，因此可考虑用两次柯西中值定理，即证法 2分式中函数值差的部分改用拉格朗日中值定理进行进一步f i (x), f 2(x)应用柯西中值定理得：存在 (0,1),使得g i (x) (a b) (x) bx,g 2(x)(x)，则在［0,1］上对 g i (x), g 2(x)应用柯西中值定理得：存在 (0,1),使得(a b) () b (a b) b a 0因此有() (1) (0)亠(a b) ()ba b 上，移项得：」 Lab 。
关于高等数学常见中值定理证明及应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用中值定理是微积分中的重要定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理在数学中有广泛的应用，尤其在求解函数的零点、证明不等式等问题上起到了重要的作用。
下面我将详细介绍这些中值定理的证明及应用。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：拉格朗日中值定理是微积分中最基本的中值定理之一、设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在xi∈(a, b)，使得f'(xi) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内其中一点的导数等于函数在闭区间两端的函数值之差与区间长度的比值。
证明：我们可以通过引入辅助函数g(x)=f(x)-kx来证明，其中k是一个常数，使得g(a)=g(b)。
然后根据罗尔中值定理，我们得到存在一个ξ∈(a, b)，使得g'(ξ)=0。
进而，我们得到f'(ξ)-k=0，即f'(ξ)=k。
由于k=(f(b)-f(a))/(b-a)，得到f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
应用：拉格朗日中值定理常用来证明不等式、求解方程和不定积分等问题。
例如，若函数在区间[a, b]上连续且处处大于零，则存在一个ξ∈(a, b)，使得f(ξ)>(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx。
这可以直接利用拉格朗日中值定理证明。
2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它描述的是两个函数之间的关系。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在xi∈(a, b)，使得(f'(xi)/g'(xi))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章 微分中值定理与导数的应用
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章微分中值定理与导数的应用一、微分中值定理1.费马引理：若函数在区间内某一点取得极值且在该点可微，则f'(x)=0。
2.罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a)=f(b)，则至少可以找到一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
3.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
4.拉格朗日中值定理的其他表示形式：①f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)；②f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a),0<θ<1；③f(x+Δx)-f(x)-f'(x)=f'(x+θΔx)Δx,0<θ<1。
其中③式也称为有限增量公式。
5.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是连续的，在开区间(a,b)内可微，且对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(a<ξ<b)6.以上三个定理之间的关系：罗尔定理推广得到拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理推广得到柯西中值定理。
反之，在柯西中值定理中，令g(x)=x即得拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中，令f(a)=f(b)即得罗尔定理。
7.对这系列定理的简单解释：这些定理其实都很好意会。
所谓极值，就是指函数增加（或减少）到了一定程度之后又开始减少（或增加），中间肯定有一个增加到最大或减小到最小的地方，这个地方对应的函数值就是极值，对应的自变量就是极值点。
注意极值点是函数取到极值时的自变量的值，是一个数。
在此基础上，费马引理很好解释。
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中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、 积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξPs ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b a -=⎰ξ证明：设⎰=x a dx x f x F )()(，],[b a x ∈因为)(x f 在闭区间上连续，则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为)(x f ）。
则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：),(b a ∈∃ξ使得a b dxx f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ而)()`(ξξf F =所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。
定理运用：1、设)(x f 在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f .证明：(1))2,0(∈∃η使)0()(f f =η(2))3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。
具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。
（1）、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x 则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，)3()2()0(2f f f +=，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明： ]3,0[)(在x f Θ上连续，则在]3,2[上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，分别设为M,m;则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤ 从而，M f f m ≤+≤2)3()2(，那么由介值定理就有： 则有罗尔定理可知：0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ，0)`(),,(22=∈∃ξηξf cPs：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:ξξ-ξ)1(f使得)1,0(、∈=∃1)(本题第一问较简单，用零点定理证明即可。
（1）、首先构造函数：]1,0[x=xxfFx+),1-()(∈由零点定理知：ξξξ-ξ)(F即使得)1,0(f,0(=∈=)∃1(2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没想法，便无从下手。
另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个ξ，如果我们在0与ξ，ξ与1上对f运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
)(x写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：将第一问中)f代入即可。
(ξPs：本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。
做任何题，最重要的不是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下手。
3、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1/3.对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把ηξ、放在两个范围内，不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、，这个分界点1/2 的作用是干吗的。
很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是我们的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，22)`()`(ηξηξ+=+f f 我们把等式变一下：0)`()`(22=-+-ηηξξf f ，2)`(ξξ-f 这个不就是331)(ξξ-f 关于ξ的导数（而且题目中f(1)=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢，有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来。
Ps ：本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出发，如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，如果只给)1,0(∈ξη、，那就更难了 得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧的。
一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用。
4.设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式(2)、证明在[-a,a]上至少存在一点η使得⎰-=aa dx x f f a )(3)``(3η第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础（1）、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++= (2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来⎰⎰--⋅=a a aa dx x f dx x f 22)``()(ξ，)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x 无关的数。
做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。
题目中说道f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。
所以有：因为f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m 则对于区间[-a,a]，222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ所以由介值定理有结论成立。
Ps ：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。
题目中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。
5、设f(x)在],0[π上连续，且0cos )(,0)(00=⋅=⎰⎰ππxdx x f dx x f .证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、本题看似很简洁，但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。
令：],0[,)()(0π∈=⎰x dt t f x F x ，0)()0(==πF F似乎只需在找出一点F(c)=0即可。