车灯线光源的优化设计_2002年全国大学生数学建模A题论文
全国大学生数学建模竞赛试题集
2002年A题……车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方， 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
2002年B题……彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。
投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。
表一10选6+1（6+1/10）中奖等级 基本号码………………特别号码 说明一等奖 Abcdef…………………g 选7中（6+1）二等奖 abcdef 选7中（6）三等奖 abcdeX……Xbcdef 选7中（5）四等奖 abcdXX……XbcdeX……XXcdef 选7中（4）五等奖 abcXXX……XbcdXX……XXcdeX……XXXdef 选7中（3）六等奖 abXXXX……XbcXXX……XXcdXX……XXXdeXXXXXef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
2002年-车灯线光源的优化设计2
摘要本文是关于汽车照明灯线光源长度的优化设计问题，即在给定反射镜面为旋转抛物面和给定设计规范的条件下，确定线光源的长度，使其功率最小（见图1）。
本文从光的反射定律和能量分布规律两种视角解决该问题，建立了两个数学模型。
模型一：利用能量、功率与光照强度之间的关系，利用能量积分法建立了反射屏上任意一点光照强度与线光源上光源点之间、光源点与反射镜面上的反射点之间关系的数学模型，计算出了满足光照强度要求和功率最小要求的线光源的最大长度。
并利用计算机程序对以上结果进行了校核。
模型二：根据光线反射定律，建立了测试屏上反射光线的位置、入射光线的光源点及其反射点之间对应关系的数学模型。
在此模型的基础上讨论了反射镜面不同区域的反射规律，计算出了在满足光照强度要求下的线光源长度。
由于模型二中没有考虑功率最小的要求（因为功率与线光源长度成反比，当线光源长度最短时，其功率最大），同时C点的光照强度在模型二中很小，所以满足题目要求的最终线光源的长度为mm。
.4l18max根据所建立的两个数学模型，对满足设计要求的线光源长度在测试屏上所形成的反射光亮区进行了模拟，在有标尺的坐标系中得到了能够反映反射光变化规律的亮区模拟图（见图2）。
最后，对设计规范的合理性进行了充分和必要的论证。
图1 投影示意图（单位：毫米）图2 测试屏上所形成的反射光亮区（单位：毫米）（注：黑度反映光照强度的大小，黑度越深，光照越强）1 问题的提出：在汽车的照明装置中，前照灯是核心装置，它的反射镜是主要的光学器件。
经过真空镀铝的反射镜镜面通常制成旋转抛物面形，将灯丝发出的散射光聚合，以集中光束的形状射向汽车前进方向的路面。
灯泡灯丝是照明效果的关键，通常制成螺旋形。
灯丝的长度直接决定着光源功率的大小和照明的效果。
因此，在反射镜尺寸和设计规范一定（见A 题）的情况下，选择一定长度的灯丝就显得尤为重要。
本论文试图从最优化的角度，建立起满足设计要求的线光源光强的数学模型，借助于计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出使功率最小的线光源的长度，并画出测试屏上反射光的亮区。
10381-数学建模-车灯线光源的优化设计
车灯线光源的优化设计摘要本文依据题目要求，在光学定律和几何原理的基础上，首先建立了线光源长度优化模型，对线光源长度求解；再次根据线光源的长度，对光线依据反射定理及空间解析几何等有关知识，计算出光线在屏上的落点，从而得出反射光亮区；最后，本文针对题目所给出的设计规范进行合理性化分析。
在问题一中，本文建立空间笛卡尔坐标系，将实物数字化，同时找寻到能反射到B、C两点的光源范围，依据此范围建立以线光源长度最小为目标，B、C两点光强度达到额定值为约束建立优化模型。
为了确立光强大小，本文首先依据某定点光强与其到光源距离平方成反比确立出光强与光线数目的关系，再给出合理化系数已得到光强表达式，最后为方便数值计算，本文又将线光源离散化为一列点光源的叠加进行计算，以减少由于积分计算产生的时间损失。
经计算本文得出最短线光源长度为3.66mm。
在问题二中，本文分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断这些光线是否能从车灯射出，若不能射出，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。
而这些亮点的集合就是一次反射光亮区。
经过求解画图得到对称图形如正文图四。
在问题三中，本文对模型中设计规范进行了定性和定量的分析，验证了该设计规范的合理性，并以此论证了选取该规范的意义。
首先，本文假定汽车宽大约为2.6m且前车灯分布在两端，对两车灯在屏上的反射光亮区进行分析，得出该设计规范在长度选取上的合理性；再次，本文对光亮区域进行分析，发现利用该设计规范得到的光亮最高区域为车正前方，符合实际要求；最后，本文对光屏距车灯距离进行分析，发现25m为城市内发现险情刹车的最佳距离。
由上述分析本文可以得出该设计规范的合理性。
关键字：线光源优化反射定理反射光亮区车灯设计规范1、问题重述安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
数学建模竞赛车灯设计张世华
车灯线光源的优化设计摘要：本文讨论了汽车线光源的优化设计问题。
文中详细讨论了光线及旋转抛物面的几何特性，并依此在计算机对光线在测试屏上的疏密进行了模拟，得到光线分布的大致图形，并进行了大胆推测。
文中进一步在问题要求下建立了一个优化模型，并在计算机上用Matlab 实现问题求解，得到过A，B，C，水平线上光照强度的对比值，并得到一个大致范围，对所得数值进行多项式拟合，根据实际要求得到线光源长度]4,94.3( l，并模拟出反射光线在测试屏上的照明强度以及照明强度的对比图。
最后对设计规范合理性作出讨论并尝试提出车灯设计方法。
关键词：计算机模拟优化模型旋转抛物面线光源1 问题重述安装在汽车头部的车灯，形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，经过车灯的焦点，在与对称轴垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下：在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取点B 和点C ，使AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍。
请解决下列问题：1） 求在该设计规范标准下计算线光源长度，使线光源的功率最小； 2） 得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区；3） 讨论该设计规范的合理性。
2 模型假设1) 将线光源看作是只有长度而没有“直径”的发光体，从而可将其理解成一组点光源的集合。
2) 均匀分布的线光源的发光强度在每一点恒定，线光源的功率与其长度成正比。
3) 光线射到测试屏上的途径只考虑直射和一次反射两种。
4)光在传播过程中与介质的相互作用未改变光的物理特性。
3 问题分析这是一个关于车灯线光源的优化设计问题。
根据题意，线光源通过直射和反射（一次反射）至测试屏，由于光的物理特性和车灯结构使得屏上的光照强度因位置的不同而不同。
车灯线光源的优化设计数学建模
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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车灯线光源的优化设计
车灯线光源的优化设计首先，光照效果是车灯线光源设计的关键要素之一、一个好的车灯线光源应该能够提供良好的照明效果，使驾驶员在夜间行驶时能够清晰地看到道路和周围物体，以减少事故的发生。
因此，在设计车灯线光源时应考虑选择高亮度、高均匀度的LED作为光源。
LED具有较高的发光效率和长寿命，可提供稳定的光照效果，并可通过调整亮度和颜色来适应不同的环境和驾驶需求。
此外，还应考虑使用透镜来聚焦光线，以增加光照强度和均匀度。
其次，能耗是车灯线光源设计中需要考虑的另一个重要因素。
为了降低能耗，可以采用智能控制系统对车灯线光源进行控制。
通过根据车辆行驶状态和环境光照条件的变化调整光源的亮度和颜色，以达到节能的目的。
此外，还可以考虑使用能源回收技术，将车灯线光源在制动和减速时产生的能量转化为电能进行储存和再利用，以进一步降低能耗。
另外，车灯线光源还应具备一定的灵活性，以满足不同的使用需求。
可以考虑设计一个可调节的车灯线光源，通过改变其形状、尺寸和排列方式，来适应不同车型和不同车辆部位的安装要求。
此外，还可以考虑将车灯线光源与车辆智能系统进行连接，实现与其他车辆和交通设施的信息交互，如通过变化的光线、颜色和图案来传达驾驶意图和车辆状态，提高安全性和驾驶者的交通参与感。
在车灯线光源的优化设计中，还需要考虑对光线的散射和抑制，以减少光的污染和对其他驾驶员的干扰。
可以通过选择适当的光学材料和设计透镜结构，来控制光线的传播和聚焦，避免过强的光线直接照射到其他驾驶员的眼睛，造成视觉疲劳和盲点。
此外，车灯线光源的设计还应考虑制造成本和可靠性。
可以通过采用模块化设计和自动化生产工艺来降低制造成本，并通过质量控制和长期可靠性测试来保证产品的性能和寿命。
总之，车灯线光源的优化设计涉及到多个方面，包括光照效果、能耗、灵活性、光线散射和抑制、成本和可靠性等。
通过合理的设计和技术手段的应用，可以得到一个较为理想的车灯线光源，并提高行车安全性和驾驶者的舒适性。
数学建模车灯线光源优化设计方案
课程设计论文学院: 理学院专业: 数学与应用数学课程名称数学建模课程设计题目车灯线光源的优化设计队号007学生姓名老衲学号01学生姓名师太学号02学生姓名学号指导教师2012年6月摘要车灯线光源的优化设计摘要汽车前照灯作为一个完整的光学照明体系，对汽车的行驶安全性有着极其重要的影响。
本文主要以车灯线光源的优化设计为研究对象，根据物理学中的光的反射定律，能量守恒定律，运用了空间解析几何，微积分等方法建立了优化模型。
在研究的过程中，以线光源上任一点为研究对象，在通过积分的手段来研究整条线光源，从而求得使线光源功率最小的线光源长度为 4.68mm。
并通过点光源在抛物面上任一点处反射光线的计算机模拟，给出了线光源反射线在测试屏上形成的亮区。
关键词:线光源，光强度，旋转抛物面目录摘要 (I)1 引言—问题重述与分析 (1)2 模型假设 (1)3 问题分析与建模求解 (1)3.1 求线光源的长度 (1)3.1.1 (1)3.1.2 (1)3.1.3 (2)3.1.4 (2)3.1.5 (2)3.1.6 (2)3.2 求反射光的亮区 (3)4 模型分析 (5)附录： (7)参考文献 (8)1 引言—问题重述与分析汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，且已经告知开口半径36mm ，深度21.6mm ，所以可以得出抛物面的焦距，经过适当建立直角坐标系，可以得到抛物面的方程。
在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
在设计规范的条件下，计算线光源长度,使线光源的功率最小。
且在此基础上，精确画出测试屏上反射光的亮区。
最后提出对规范合理性的意见。
2 模型假设1 只考虑一次反射光情形。
车灯设计数学建模实例
然后代入
x 0 z 0
得到交点坐标为 （0，y0+c，0）
，推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
将开口半径及深度等数据代入（1）式，得出焦 距 c/2=15mm=0.015（m） 然后代入,y=0.015,推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m。
建立模型
（1）计算线光源长度 首先说明一点：以下我们将对B点进行分析，对于C点， 所用方法及运算过程完全类似。
而此时线光源所消耗的功率 p=kL
④ 求反射光的强度 为了便于分析，我们将 图一抽象出来，并旋转一 定角度后得右图。 D—线光源上任一点 N—对应于D点的反射点 G—法线与中轴线的交点
对于线光源上的任意一点D（设坐标为 （t，0.015，0）），假设从它发出的光 线经旋转抛物面上的点N反射后，可以射 到B点上。下面利用向量来推导旋转抛物 面上满足此条件的所有反射点N的坐标。
可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的 点光源在B点所对应的照度值不同。但注意到 所有的差别太小，因此在实际计算中，我们对 作近似处理，令它为一个常数：
r 252 1.32 =25.034(米)
于是得出此线光源的直射光在B点辐射出的总照度为
kL kL E直 cos cos 2 S 4 r
2）点G、B、N、D四点共面，所以：
BN DN GN 0
x 1.3 x x t y 25.015 z c y 0.015
z 0 z
（4）
3）点N在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：
x z 2cy
2 2
（5）
联立方程（3）、（4）、（5），即可求解出与线光 源上一点D对应的所有的反射点N。
车 灯 线 光 源 的 计 算
2002年全国大学生数学建模竞赛（封面）选择题号：（根据所选竞赛题目在方框内打√）学校名称温州大学学生名称黄凤鸣、苏仁杰、杨贤静指导教师徐徐全国大学生数学建模竞赛浙江赛区组委会二○○二年九月编号：车灯线光源的计算摘要：本文针对车灯线光源的有关问题作了详尽、仔细、深入的分析。
在问题一中借助光学原理将光功率之比转化为空间角之比，近而转化为所对应的球冠面积之比，利用了一重微积分求得线光源的直射光功率与反射光功率之比。
在问题二中，利用立体几何和空间解析几何两种方法分别论证了线光源上点光源在测试屏上形成一系列等圆。
该证明过程严谨，结论吻合。
在问题三中，构造了两个模型，模型一给出了反射光亮区上点的隐式解析表达式。
理论上证明算法的可行性。
模型二利用光学原理与向量解析几何的概念，构造了测试屏上反射光亮区上点的显式解析表达式，使解析式简化，从而可利用Matlab进行计算机仿真模拟，最终得到反射光在测试屏上的亮区。
一、问题的提出：汽车头部的车灯的形状可近似为旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。
现按照上述的情况，需解决以下问题问题一：求直射光总功率与反射光总功率之比问题二：在有标尺的坐标系中画出测试屏上直射光的亮区问题三：在有标尺的坐标系中，只考虑一次反射的情况下，画出测试屏上反射光的亮区二、问题的分析：图 A 图B根据上述问题，为了方便对模型的阐述，按所给的数据，用Matlab软件预先模拟出其三维图如图A，又为便于模型的直观分析，在不影响结果的前提下，经过一定的纵横比放缩将其转换为易于观察的立体图B。
（凡后文所涉及的例图均采取类似的方法，即深度比实际图形有所拉长）由于线光源均匀分布，故可以视之为点光源的集合，该集合为空间的一条线段上的点，从而问题可以分解集合I的逐点对照射面的光强的积分效果。
车灯线光源的优化设计(第三组)
车前灯线光源的优化设计摘要汽车的车前灯是汽车的重要组成部分，它的照明亮度直接影响司机夜间行车的安全，工业上对车前灯的设计要求很是严格。
题目给出了一汽车前照灯的数据和与照明度相关的要求，我们根据这些要求，运用微积分的思想（更具体的描述。
）建立数学模型，求解出满足光亮条件的线光源的长度。
在求解线光源长度的模型建立中，我们运用微积分的思想建立模型的模型很理想化，但是实际计算起来很困难，于是我们在不是很影响结果的情况下，运用离散化数值积分法对模型进行了优化，把求所有点简化成了求部分重要点，最后降低了计算量，求得了结果。
（注意摘要在整体上的一致性。
第二段是否可去掉，或者在第三段中加入适当内容即可，或者第二段是否可以放到第一段中？）该问题针对车前灯线光源的优化设计提出了两个问题。
首先，针对第一问提出的“在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使得线光源的功率最小”问题，我们基于微积分的思想，建立了数学模型，并用离散化数值积分法对模型进行了优化求解，得到最优线光源长度为5.00mm。
再来第二问要求“针对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区”一问，我们用Matlab软件带入数据画图，很容易的得到了反射屏上的亮区图。
随后第三问要求“讨论该设计规范的合理性”，我们参考计算所得数据和工业设计上对车前灯的规格要求，考虑到灯的边照和直射产生的眩光，对此题目的设计规范进行了合理的评价。
满足条件的车前灯线光源最优长度为5.00mm，从得到的亮区图来看，符合实际生活，证明我们所建立的模型是合理的。
只是建立在微积分思想上的原有模型计算起来很困难，我们不得不对模型进行了优化。
虽然结果较原有模型误差变大啦，但离散化的数值积分方法应用范围很大，改进过的模型更具有实用性。
关键词汽车前照灯；微积分思想；光迹追踪法；线光源；离散化数值积分法一、问题重述1.1问题背景在汽车工业中需要对汽车头部的车灯进行设计和测试。
由于汽车前照灯的照明效果对夜间行车安全影响很大，因而对前照灯的光学性能提出了严格的标准。
cumcm0205
四 模型建立
模型分析
考虑对车灯的设计规范标准 用某一个测试屏去截取车灯发出的所有光 包括直射光和 反射光 则在该测试屏上必然形成一个光照的区域 其中 如果 C 点的光强度不小于某一
额定值 f0 B 点的光强度不小于该额定值的两倍 即 2 f0 则认为此时的车灯的照亮区域可
以满足安全行车的要求 该条件可以描述如下
C 的光强度
对 C 点的光强度要求的额定值
概念解释
对称轴 过抛物面的顶点以及焦点的直线 照亮区域 从车灯发出的光线所到达的范围内满足一定要求 如可视度满足 一定标准 的区域 反射面 光线射到该平面后发生反射 即所有反射点所在的平面 对于车灯来说 反射 面即车灯的内表面
建模前的准备
由于车灯的反射面以及线光源都是标准的几何形状 而且由光线的反射定律 反射光与 入射光与法线之间有严格的几何意义 我们考虑可以建立空间的直角坐标系 借助于解析几 何来分析 以旋转抛物面的定点为原点 O 以对称轴为 Y 轴 指向开口方向为正方向 建 立如图一所示的空间直角坐标系 (以一毫米为一单位长度)
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数学建模竞赛论文
概念解释
关于车灯线光源的优化设计
对称轴 过抛物面的顶点以及焦点的直线 照亮区域 从车灯发出的光线所到达的范围内满足一定要求 如可视度满足一定标准 的区域 反射面 光线射到该平面后发生反射 即所有反射点所在的平面 对于车灯来说 反射 面即车灯的内表面
2002a获奖论文1
国防科技大学唐晋韬杨国强江海燕（女）问题的重述安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
基本假设1、旋转抛物面反射系数为1，无反射衰减2、线光源上每个点的发光强度相同，功率相同3、不考虑光在传播过程中的干涉等其他现象4、灯丝所用材料为当前汽车前照灯一般所使用的材料，即卤素钨丝灯，其发光效率约为20流明/瓦符号说明η：点光源的发光效率，为一常数E点光源i发射的光线在b点产生的光强:ibФ：点光源发射的光通量p: 单位长度线光源的功率P: 线光源的功率I: 点光源的发光强度L: 线光源的长度ɑ：光线与测试屏的夹角模型的建立1． 线光源的功率由于线光源是均匀分布的，因此我们将其看成由许多功率相同的点光源组成。
那么可将线光源分为若干个长度为dl 的小段，每段视为一个点光源。
假设单位长度线光源的功率为p ，则每个点光源的功率为pdl ,由此可得： 线光源的功率：⎰-=22l l pdl P 。
2． 点光源i 在某点b 附近产生的光照度:ib E某点的光照度与射到这点附近单位面积上的光通量数值成正比，即:ds d E φ=而点光源单位时间内发射的总光通量为pdl ηφ=，故其发光强度πηπφωφ44p d d I ===容易导出从点光源i 发出立体角为ωd 的光束以角度α射到与其距离为r 的一点b 附近产生光斑的面积为:ib ib d r ds αωcos 2=由此可知点光源在与其距离为r 的表面产生的光照度是.22.4cos cos ib ib ib ib ib r pdl r I ds Id dsd E παηαωφ==== 即: 2.4cos ib ib ib r pdl E παη=3． 测试屏上任意一点b 的光强对于点光源发射的光线经过旋转抛物面反射后到达测试屏的情况，因为不考虑反射衰减，所以我们可将其看作是这个点所成的虚像发射的光线。
车灯线光源的优化设计——_02高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题参考答案02A0
车灯线光源的优化设计——_02高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题参考答案02A0问题1:车灯线光源的计算安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。
请解决下列问题:(1) 计算直射光总功率与反射光总功率之比。
(2) 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。
(3) 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形(只须考虑一次反射)。
解: 建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W，B,C点的光强度分别为W和h(l)BW，先求和的表达式，再建立整个问题的数学模型. h(l)h(l)h(l)CCB22x，y以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为z,，焦点坐标为60(0,0,15)。
1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量22,,x，ya(,,)b设反射点的坐标为Qxy.记入射向量为,该点反射面外法线方向为,不难得60,c到反射向量满足 ,,,z ,,2a,b c,a,b.,2A C B bc 222记,由r,x，y,2ra,(x,y,w,,15),60 ,b,(x/30,y/30,,1)P ,a c,(c,c,c)从而得的表达式 xyzy 0 Q 2xywc,x2r，900b x 22w(2y,r,900)c, y2r，90042r，1800r,3600wy，810000c,z260(r，900)注意到反射光通过C点,应有kc,,x,xkc,2600,y,y2kc,25015,r/60z2r900，kx,0其中为常数. 从上述第一式可解得或.由此得反射点坐标满足以下两k,,2wy组方程:x,0,5432,y,(w，2600)y，1800y，(1498200w,4680000)y，(9360000w，810000)y,,,1350810000w,2106000000,0.,3750w,y,,13(w2600),,2,x,,5200y,900,y,22CC 通过计算可知,存在,当时第一组方程不存在满足的实根,r,36w,,1.56w,w00C2即无反射点. 而当时,有两个反射点. w,wQ(0,y,y/60),i,1,20iii22,3.8119,w,,1.5609 而第二组方程仅当时存在满足r,36的一对实根,即有两22x，y(,,),个反射点记为. ,xyQ,Q3460若反射点的坐标为,则位于点的单位功率点光源经点反射到CQ(x,y,z)P(0,w,15)Q点的功率密度(单位面积单位时间的能量, 正比于光强度)近似为,cos L,24,PQ其中2222PQ,x，(y,w)，(r/60,15) 而为反射向量与z轴的夹角, ,2,r25015/60, cos,.QCh(l),h(l)2)的表达式 BCldw 长的具有单位功率的线光源位于点的长的微小线光源段反射到C点P(0,w,15)的功率密度为4E(w),f(w)/l,,ii,1其中,cos,Ci,w,[,l/2,w]00,2,f(w),,i,1,2,4PQiiC,0,w,[,30,w]0,,cos,i,w,[,3.8119,,1.5609],2fwi(),,,3,4,i4,PQi,0,,[,3.8119,,1.5609]w, l 长的具有单位功率的线光源反射到C点的功率密度为l/2h(l),E(w)dw.C,l/2,类似可得的表达式.相应的反射点方程为 h(l)Bx,0,5432,y(w1300)y1800y(1498200w2340000)y(4680000w810000)y,，，，,，，,,,1350810000w,1053000000,0.,7500w,y,,13(w1300),,2,x,,2600y,900,y,B相应的而第二组方程的有两个反射点的范围为w,[,1.906,,0.7800005].w,,0.78,03) 优化设计的数学模型设线光源的功率为W, 则它反射到B点和C点的功率密度分别为和.h(l),Wh(l),WminWCB,ll问题的数学模型为:,s.t.h(l)W20,,B0,,,h(l)W1C,,三. 模型的求解h(l),h(l)可以用数值积分求得. 应具备下列性质: h(l)BCBB,0,0ll2w,,,B0,'h(l),lll,,,, ,BBB',,lll,,,B0,'lh(l)l其中为起亮值，为最大值点，为考察的最大范围，例如取为20mm。
基于数学模型构建的车灯线光源优化设计
关键词 ：线光 源； 微元 法； 优化设计； 教 学模型 Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｌ ｉ ｈｔ ｇ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ； ｍ ｉ ｃ ｒ ｏ — ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； ｏ ｐ ｔ ｉ ｍ ａ ｌ ｄ ｅ ｓ ｉ ｎ； ｇ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ 中图分类号 ： Ｇ ４ ０ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） １ ｉ 一 ０ ２ １ ９ — ０ ３
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｑ ｕ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａ ｏ ｆ Ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｏ ｆ ２ ０ ０ ２” Ｈｉ ｇ ｈ ｅ ｒ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｉ ｆ ｏ ｎ ＇ ｓ Ｃ ｕ ｐ ” ， ｔ ｈ ｉ ｓ Ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｍａ ｄ ｅ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗ－ ｕ ｐ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｃ ａ ｒ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ． Ｉ ｎ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ ｃ ｅ ｗｉ 山 ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． ｔ ａ ｋ ｉ ｎ ｇ ｍｉ ｎ ｉ ｍｕ ｍ ｐ ｏ ｗｅ ｒ
ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ｈｅ ｔ Ｃ ｒ ａ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ａ ｓ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ ｏ ａ ｌ ， ｈｅ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ｉ ｌ ｇ ｈ ｔ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｒ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ｗ ａ ｓ ｄ ｉ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ａ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｌ ｉ ｈｔ ｇ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ ，
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2003年第18卷第4期 电 力 学 报 Vol.18No.42003 (总第65期) J OU RNAL OF EL ECTRIC POWER (Sum.65)
文章编号: 1005-6548(2003)04-0262-02
车灯线光源的优化设计
———2002年全国大学生数学建模A题论文Ξ
郭 洋1, 常 哲1, 刘品贤1
(11山西大学工程学院,山西太原 030013)
Optimum Design of H eadlight’s Filament
———Mathematical Contest in Modeling in2002
GUO Yang1, CHAN G Zhe1, L IU Pin2xian1
(11Engineering College of Shanxi University,Taiyuan 030013,China 030013,China)
摘 要: 根据设计规范的要求对线光源的最短长度进行了数值分析。
首先用解析法建立了一个多元函数模型得出合理的数值,然后利用向量代数知识借助MA TLAB模拟出屏上的蝶形形状亮区。
关键词: 数学模型;多元函数;优化设计
中图分类号: O182 文献标识码: A Abstract: A numerical analysis of the shortest length of headlight’s filament is made in the paper.
A multiplex function model is established on the basis of optical principle and then an extent is drawn in the light of MA TLAB.
K ey Words: mathematical model;multiplex func2 tion;optimum design
1 题目描述
现知一汽车前灯的形状为旋转抛物面,开口半径36mm,深度21.6mm,其对称轴水平地指向正前方。
经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F 正前方25m处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引一与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使A C=2A B=2.6m。
要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。
需要解决下列问题:
a1在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。
b1对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
c1讨论该设计规范的合理性。
2 问题分析
a1问题要使线光源的功率最小,即可等效为线光源的长度最小。
因为理想线光源可视为由无穷多个点光源组成,其功率相应等价为无穷多个点光源功率的积分。
b1光强是单位面积上通过的光通量,据此可知光强与发光点的发光功率成正比,与距离发光点的
Ξ收稿日期: 2003-06-27
作者简介: 郭 洋(1982-),男,河南南召人,山西大学工程学院动力工程系学生;
常 哲(1979-),男,山西芮城人,山西大学工程学院动力工程系学生;
刘品贤(1981-),男,浙江乐清人,山西大学工程学院动力工程系学生。
距离的平方成反比。
c 1反射光线方程: r = r M +λ β(λ是参数、 r M
是M 点的向径);其中, β=2( a , n ) n - a , a 表示曲面上M 点到点光源的单位向量, n 是M 点的内单位法向量。
3 问题假设
a 1连续性假设:假设线光源和旋转抛物面是连
续的;
b 1均匀性假设:假设线光源的发光功率是均匀
分布的;
c 1不计能量损失和漫反射的影响;
d 1只考虑一次反射。
4 模型的建立与求解
411 利用平面解析几何知识求出合理数值
根据设计规范的要求,可以把三维立体问题简化为二维平面问题,只考虑特殊情况下B 、C 两点接收反射光线的情况。
截取主轴线所在水平面作为研究平面,由题意知抛物面的方程为:y 2
+z 2
=60x ,相应的抛物线方程为y 2
=60x ,其焦点为F (15,0)。
如图1所示,抛物线顶点O 在坐标原点,点E (21.6,36)为端点,N (15,a )是线光源上的任一点(代表一个点
光源),假设P (x ,y )为抛物线上的任一点,则有
y
2
=60x ,过点P 的切线斜率为k =30/y ,PM 是
入射光线N P 所对应的反射光线,其中M (25015,
M )为直线PM 与A C 的交点。
又有A (25015,0),B (25015,1300),C (25015,2600)。
图1 二维平面光路示意图
由反射定律得:
k -k PN 1+kk PN =
k PM -k
1+kk PM
整理为关于b 的多元函数:
b =
f (a ,y )
=〔y 5-ay 4+1800y 3+
1498200ay 2+810000y -1350810000a 〕/〔y 4+
1800y 2-3600ay +810000〕
考虑到参数a 、y 的连续性和有界性,因而可用离散的数学思想借助C 程序统计b 在特定范围内出现的次数,从而得出在设计规范下的灯丝最短长度为3.108。
412 利用空间解析几何知识校核
如图2所示,P (x p ,y p ,z p )是旋转抛物面上任一点,对应的内法向量为 n =(60
,-2y p ,-2z p ),内法线方程为
x -x p -30=y -y p y p =z -z p
z p
,则法线与x 轴交点为Q (x p +30,0,0)。
图2 三维空间光路示意图
由空间几何知识易知N 、Q 、C (B )三点共线,可将空间图形投影到xoy 平面上。
当恰好有反射光线到达C 点时,早已有光到达了B 点。
进而校核出该数值的合理性。
5 反射光亮区的确定
旋转抛物面方程为y 2+z 2=60x ,点光源N 的坐标为(15,a ,0),内法向量为 n =(60,-2y p ,-2z p ),依次求出N P ϖ
、 a 、 n 、 β,然后结合反射光线方程 r = r P +λ β,根据X =X A =25015,依次求出λ、Y 、Z ,最后用MA TLAB 作图。
6 设计规范的合理性讨论
可以从以下三方面分析。
a 1照射亮区要有足够的范围,使司机发现障碍
后有足够的制动时间,避免发生碰撞等交通事故;
b 1照射亮区要有足够的宽度,使路标等物体在
照射范围之内;
c 1亮区的上下高度较小,左右的宽度较大,符
合实际要求。
参考文献:
[1] 崔冠之1空间解析几何[M ]1北京:中央民族出版社,
19891
[责任编辑:杨兆强]
362第4期 郭 洋等:车灯线光源的优化设计———2002年全国大学生数学建模A 题论文 。