行列式在几何中的应用(黄洁定稿) (1)

上饶师范学院

本科毕业论文

论文题目：行列式在解析几何中的应用专业：数学与应用数学

班级：09级数计学院（2）班学号：09010213

学生姓名：黄洁

指导教师姓名：谭海女

上饶师范学院数学与计算机科学学院

2013 年 4 月

行列式在解析几何中的应用

摘要

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。作为基本的数学工具，无论是几何、线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，它都有着重要的应用。本文根据行列式在解析几何中的应用进行相关讨论与探究，介绍了行列式应用产生的背景，特点，以及行列式在解析几何中应用的优点。

关键词

行列式；解析几何；代数。

目录

一．预备知识

引言 .......................................................................................1 §1.1一些定义和基本定理............................................................1 二．运用行列式解决解析几何问题的几个结果及证明 (2)

1

12

21

11

x

y y y =0是经过不同两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程………2 §2.2 三顶点为A (1x ,y 1)，B （2,2x y )，C 3,3()x y 的三角形的面积S=1

2

1

12

23

3111

x y x y x y 的绝对值 (3)

§2.3 平面上三点(1x ,y 1)，（2,2x y )，3,3()x y 共线的充要条件是112

23

31

11

x y x y x y =0……4 §2.4 方程1110a x b y c ++=，2220a x b y c ++=，3330a x b y c ++=表示三直线共点

的必要条件是1

11

2

223

3

3

a b c a b c a b c =0.....................................................................5 三. 行列式在解析几何中应用的意义......................................................6 四．结语..........................................................................................6 五．致谢..........................................................................................6 参考文献 (7)

一、 预备知识

引言：行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追随到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国的数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。

1545年，卡当在著作《大术》中给出了一种解两个一次方程的方法。而这在后来就演变成行列式了。

在解析几何中，许多问题的解决都需要运用高等代数中行列式的知识，行列式是解决解析几何问题的重要桥梁。因此行列式与矩阵知识可以帮助我们更加深入和广泛地研究解析几何的问题。为此先介绍一些基本知识。详细内容可参阅【1】，【2】，【3】。

§1.1 一些定义与基本定理

1112

12122

212

n n

n n nn

a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯

等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积1212...n j j nj a a a （1）的代数和，这里12...n j j j 是1,2，...，n 的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当12...n j j j 时偶排列时，（1）带有正号；当12...n j j j 是奇排列时，（1）带有负号。这一定义可以写成

111212122212n n

n n nn

a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

=121212(...)12...(1)...n n n j j j j j nj j j j a a a ϕ-∑，其中12...n j j j ∑表示对所有n 级排列求和。

定义1.2 在行列式1112121

22

212

n n n n nn

a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

中划去元素ij a

所在的第i 行与第j 列，剩下的2

)1(-n 个元素按原来的排法构成一个

n-1

级的行列式

nn

j n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ............................................................1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-称为元素

ij

a 的余子式

定理1.1 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

二、 运用行列式解决解析几何问题的几个结果及证明

行列式在解析几何中的应用可谓是非常广范的，大致可以分为三类： 第一类：借助行列式解决平面几何的相关问题，例如，求通过定点的曲线方程，求平面上的三点是否共线，求平面上三点所围成三角形的面积等等；

第二类：借助行列式解决空间二次曲线的相关问题，例如，求二次曲线的特征根，二次曲线方程的化简等等；

第三类：借助行列式解决空间二次曲面的相关问题，例如，求二次曲面的主径面与主方向、特征方程与特征根，应用部变量化简二次曲面等等。

下面我们主要介绍第一类，借助行列式解决平面几何的相关问题。 §2.1借助行列式解决平面几何中的面积问

定理1 1

12

21

11

x

y x y x y =0是经过不同两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程。 证明： 由行列式的定义知

112

21

11

x y x y x y =121221120xy x y x y x y x y y x ++---= ○

1 而由解析几何知识，知过两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程为

11

22

x-x y-y x-x y-y =，化简即1221212xy xy x y x y xy xy x y y x --+=--- ○

2 ○

2的两边同时消去xy ，并将左式移到右边，得 121221120xy x y x y x y x y y x ++---=与一式相同。

命题得证。