《充要条件证明题》

《充要条件证明题》

1、数列{}n x 满足：2

*

110,()n n n x x x x c n N +==-++∈ 证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <

证明：必要条件：当0c <时，2

1n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列 充分条件：数列{}n x 是单调递减数列2

2

121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<= 得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <

2、设数列12,,n a a a 中的每一项都不为0.证明，{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n N ∈，都有1223111

111n n n n a a a a a a a a +++++= . 证明：先证必要性

设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立， 若0d ≠，则

1223132

12112233

12231111111111

1()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---=

+++=-+-++--=

-=

11

.n n

a a +=

再证充分性.

证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式

122313

112

a a a a a a += ① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列， 记公差为21,.d a a d =+则