7.8.2 无穷等比数列各项的和(含答案)
7.8无穷等比数列各项的和ⅠⅡ
1的无穷等比数列前n项的和S
，
n
当n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，
用符号S表示，即S a1 ( q 无1)．限个数的和与有
注意：S与
Sn
的不同 1 q
S
lim
n
S
n
限个数的和意义是
a1 不一样的 1 q
定义：
设{a n }是以q为公比的等比数列,当0<|q|<1时,
40[1 （95%）n ] 1 95%
q 1时，lim q n 0 lim (0.95)n 0
n
n
当n , Sn无限趋近于数列各项的和S
S
lim Sn n
lim n
40[1 （95%）n ]
1 95%
40 1 95%
800
钟摆摆动的所有弧的长度和为800cm．
1 1 a1 1且1 a1 0
4
4
解得a1 (0，4) (4，8)
例7、如图正方形ABCD的边长等于1，联结这个正方形 的各边中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结 这个小正方形的各边中点得到一个更小正方形
A2 B2C2 D2；如此无限的作下去． 求所有这些正方形周长的和与面积的和．
{a
n
}称为无穷
递
缩
等比数列,定义{a
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
}各项的和为S=
lim
n
Sn
.
则S=
lim
n
Sn
=
a1 1- q
(0<|q|<1)
问:(1){an“} 前n项和”与“各项的和”有何区别?
7.8无穷等比数列各项的和
1,1,1, 248
,
1 2n
,
（1）猜想：取得的所有木棒长的和是多少？
Sn
1 2
1 4
1 8
1 1 1
2n
2n
111 248
1 2n
lim
n
Sn
lim(1
n
1 2n
)
1
（2）无穷等比数列前 n 项和的极限是否一 定存在？若存在，极限是什么？
（二）新课学习
总结：无穷等比数列各项的和存在的 条件是什么？
例3 已知无穷等比数列{an }各项的和
是4，求首项a1的取值范围. 变式 设{an }是无穷等比数列,公比为q,
若a1 a2 范围.
an
1 a1
,求a1的取值
（三）总结反思
（四）作业布置
2019.5.15校本作业
概念辨析
我们把 | q | 1的无穷等比数列(无穷递缩等比数列)
的前n项和Sn当n 时的极限叫作无穷等比数列各项的 和,并用符号S表示,即
S
lim
n
Sn
a1 1 q
注意：
1.q (1,0) (0,1).
2.数列是无穷等比数列.
3.各项的和也即所有项的和.
例1 计算 lim[1 1 1 (1)n1 1 ].
n 3 9 27
3n
1 1 3
1 3n1
无限循环小数化分数
1 化为无限循环小数怎么表示？
3
1
0.3
3
反过来，思考0.9 化为分数应该是多少？
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为13，则{}n a 各项的和为（ ）A ．23B ．34 C ．43D ．322．设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为3-，1a 为其首项，则1a =（ ） A ．685B ．785C ．725D ．8453．无穷数列4 ，2-，1，12-，14，的各项和为（ ）A ．83B ．53C ．43D ．734．已知数列{}n a 是等比数列,()121lim 4n n a a a →∞++⋯+=，则1a 的取值范围是（ ）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1110442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．436．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()*13n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ） A ．13B ．13-C ．1D ．-17．若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个8．设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ ） A ．3SB ．2SC ．SD ．3S9．已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得()*3n S S n N <∈恒成立的是（ ）A ．10a >，0.80.9q <<B ．10a <，0.90.8q -<<-C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-10．无穷数列12，13，14，16，⋅⋅⋅，12n ，1132n -⋅，⋅⋅⋅的各项和为（ ） A ．83B ．53C ．43D ．7311．已知121,20151,20152n n n n a n --<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）A ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在B ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C ．lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 D ．lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在 12．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，Pn + 2是线段 Pn Pn +1的中点，则点 Pn 的极限位置应是（ ） A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b二、填空题13．首项为1，公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______．14．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 15．已知数列{}n a 是公比为q 无穷等比数列，若12i i a q +∞==∑，则1a 的取值范围是____．16．无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →+∞=，则首项1a 的取值范围是_______．三、解答题17．一个无穷等比数列前n 项和的极限存在，记作S ，首项为12a =，公比0q <，求S 的取值范围．18．一个无穷等比数列的公比q 满足1q <，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项1a 与公比q ．19．已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项之和n S 组成的数列{}()*n S n N ∈是一个公比为(||1)q q <的等比数列.（1）求证：234,,a a a ，…是一个等比数列； （2）设1122n n n W a S a S a S =+++，求lim n n W →∞，（用,b q 表示）20．已知6614=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i i i x a x .(1)等比数列{}n b 的首项11b a =，公比4=q a ，求1∞=∑i i b 的值；(2)等差数列{}n c 首项15=c a ，公差6=d a ，求{}n c 通项公式和它的前2022项和2022S .21．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列. （1）求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围； （2）若212()n n n b a a n N -=+∈，求n b 的表达式； （3）若12n n S b b b =+++，求1lim→∞n nS .22．设a b ∈R 、，已知函数2()3bf x ax x=++满足(1)(1)10f f +-=. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的奇偶性（只需写出结论）；（2）若函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：函数()f x 有且仅有一个零点q ，且存在递增的正整数列{}n a ，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立.23．正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=，侧棱0PA 长为2，点0B 是棱PA 的中点，定义集合{}12,,B B ⋅⋅⋅如下：点n B 是棱n PA 上异于P 的一点，使得11n n n B B PB --=(1n ≥)，我们约定：若n除以3的余数r ，则r n A A =(例如：30A A =､20152A A =等等) （1）若3πα=，求三棱锥012P B B B -的体积；（2）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，求α的范围； （3）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，求各线段0PB ，1PB ，2PB ，…的长度之和(用α表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为11a S q =-(01q <<)参考答案1．D2．C3．A4．D5．A6．D7．C8．C9．D10．B11．A12．C 13．2314．(0,2)(2,4) 15．1(4,0)(0,)2-16．()()0,22,4;17．解：因为无穷等比数列前n 项和的极限存在， 所以()11lim1nn a q q∞→--1211a q q==--，且1q <， 又0q <，所以10q -<<， 又21S q=-在()1,0-上单调递增， 所以()1,2S ∈18．由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为2,q 首项为21a ，故112126114,3181a q a q a q⎧=⎪-⎪⇒==⎨⎪=⎪-⎩， 19．（1）由题知11S a b ==，所以1n n S bq -=，当2n ≥时，()12211n n n n n n a S S bq bq bq q ----=-=-=-， 所以()()()112121n n n n bq q a q n a bq q -+--==≥-， 所以234,,a a a ，…是一个等比数列；（2）由（1）知，()2,11,2n n b n a bq q n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()2223,11,2n n n b n a S b q q n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()22323lim lim 1n n n n W b b q q q q -→∞→∞=+-+++⎡⎤⎣⎦… ()()23232lim lim 1n n n b q q q b q -→∞→∞=+-+++…()2222111q b b b q q q=+-⋅=-+.20．（1）解：614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()6161C 6,N 4kk kk T x k k -*+⎛⎫=⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭，则661C 4kk k a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以，1151364512b a ==⨯=，2446115C 416q a ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则01q <<， 所以，()111313512lim151132116ni n i b q b b qq ∞→∞=-====---∑.（2）解：1513642c a ==⨯=，61d a ==，则()1112n c c n d n =+-=+， 所以，202212022202132022202210112021204626422d S c ⨯⨯=+=⨯+⨯=.21．（1）{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列，且12122a a ⋅=⋅=112n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N )，有11222(0)n n n q q q q -++>> 210q q ∴--<解得0q <<（2）121n n n n a a q a a +++=，2n n a q a +∴=，2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n b a a -=+，1123b a a ∴=+=，又12122212212212n n n n nn n n n nb a a qa qa q b a a a a +++---++===++ {}n b ∴是首项为13b =，公比为q 的等比数列，13n n b q -∴=（3）当1q =时，3n S n =，11lim lim 03n n n S n→∞→∞==； 当1q >时，3(1)1n n q S q -=-，11111lim lim lim 03(1)131n n n n n n nn q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当01q <<时，1111lim3lim 31n n n n qS S q→∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=. 综上，0,11lim 1,013n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩. 22．（1）(1)(1)10(3)(3)102f f a b a b a +-=⇒+++-+=⇒=2()23bf x x x=++的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞ 当20,()()23,()b f x f x x f x =-==+为偶函数； 当0,(1)(1)100,(1)(1),(1)(1)b f f f f f f ≠-+=≠-≠-≠- ∴()f x 既不是偶函数也不是奇函数；（2）由（1）得：2()25bf x x x=++则2()4bf x x x '=-， 若()f x在区间(,-∞上单调递减， 则2()40bf x x x'=-在区间(,-∞上恒成立， 即34b x在区间(,-∞上恒成立，当x =342x =-， 故b 的最小值为2-；（3）22()23,0,()0f x x x f x x -=++<>恒成立， 所以函数22()23f x x x -=++在(,0)-∞上无零点， 当0x >时，22()40f x x x '=+>，所以函数22()23f x x x-=++在(0,)+∞上单调递增， 2112(1)2230,2301444f f -⎛⎫⎛⎫=-+>=⨯++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点q ，23322()230223013q f q q q q q q -=++=⇒-+=⇒=-47323213n q q q q q q -==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以存在递增的正整数列{},32n n a a n =-，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立. 23．点n B 是正三棱锥012P A A A -棱n PA 上异于P 的一点，且11n n n B B PB --=(1n ≥)1n n PB B -∴是等腰三角形，且1n n B B -、1n PB -为两腰 又正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=， 01121n n A PA B PB B PB α-∴∠=∠==∠=，()1112cos 2cos 1n n n n n PB PB B PB PB n α---=⋅∠=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的等比数列，（1）当3πα=时，2101PB PB PB ===，且011220B PB B PB B PB ∠=∠=∠，则三棱锥012P B B B -为正四面体，其高h ==，底面积01221B B B S ==，故其体积01213P B B B V -==（2）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，2230,B PA B PA ∴∈∉，即223022PB PA PB PA ≤=⎧⎨>=⎩由()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，得()2222cos 4cos PB αα==，()3332cos 8cos PB αα==，∴由234cos 28cos 2αα⎧≤⎨>⎩解得213211()cos ()22α<≤ 213211arccos(),arccos()22α⎫⎡∴∈⎪⎢⎣⎭；（3）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，且()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的无穷等比数列，01112cos n PB +PB +PB α∴++=-.。
无穷等比数列各项的和
无穷等比数列各项的和教学目标1. 明白得无穷等比数列各项的和的意义；2. 利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，专门是无穷循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清楚、完整的熟悉；3. 通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中显现的有关无穷的问题有一个初步的熟悉，并对解决无穷问题的方式有一个初步的了解.重点难点1. 无穷等比数列各项的和概念的引入和概念的准确表述；2. 如何转变学生在熟悉无穷问题上一些感性熟悉的错误，比如等式.0.90.9991==的成立是不是是准确的.教学进程一、引入课题今天咱们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同窗们学习过度数化小数，咱们明白分数能够化成有限小数或无穷循环小数.例如： 3333.03.031==，可是咱们是如何明白得无穷循环小数，如何明白得 3333.03.0=的呢？我想大伙儿对此是不多加试探的，明白它确实是31.那么关于 9999.09.0=呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，仍是小于1？今天咱们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上全然解决这些问题.二、概念产生的进程咱们已经学过无穷等比数列，可是什么是各项的和呢？咱们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列}21{n ，即： ,21,,41,21n各项的和. 分析：求数列各项的和，顾名思义，确实是求数列全数项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，如何相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.可是那个问题是数学进展进程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.关于新问题，就要用新思维、新方式加以研究解决，与时俱进，有所创造.制造要有必然的基础，咱们先回忆一下与那个问题有关的咱们已知什么？咱们已知的是数列的前n 项的和n S ，下面咱们就探讨n S 与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，依照和的大体含义，是要把它们加起来，之前面开始加起来，它的基础是前n 项和n S ，关于数列}21{n ，nn S 211-=.咱们想像一直加下去能取得“和”，即“和”是存在的，是一个确信的数“S ”，那么前n 项和n S 与“S ”的关系为：当n 愈来愈大时，n S 就会接近、无穷制地接近那个和“S ”.依照前面学习过的极限的知识，那个和“S ”应该是前n 项和n S 的极限.通过上面的分析：咱们第一要明确什么是“无穷项的和”，即要给予“无穷项的和”的意义（概念）.有了意义，才能讨论如何计算，也确实是给出计算方式.用已知刻画未知.咱们已知的是前n 项和n S 和它的极限（若是极限存在）.未知的是无穷项的和.关于数列}21{n ，已知n n S 211-=，且1)211(lim lim =-=+∞→+∞→n n n n S .依照前面所熟悉到的前n 项和n S 的极限与咱们所探讨的“各项和”的关系，咱们有如下概念. 关于无穷等比数列}21{n ，咱们概念n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即1lim ==+∞→n n S S .即：121814121=+++++ n . （2）上升到一样的无穷等比数列}{n a ，其中11-=n n q a a ，１）1=q ，1na S n =，n S 的极限不存在；２）1≠q n n n q qa q a q q a S ---=--=111)1(111， 当1≥q ，n S 的极限不存在； 当1<q 时：0lim =+∞→n n q ，因此：qa q q a q a S n n n n -=---=+∞→+∞→1)11(lim lim 111， 即前n 项和n S 的极限存在且等于qa -11. 概念：关于1<q 的无穷等比数列}{n a ，咱们概念n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即qa S S n n -==+∞→1lim 1. 三、应用（1）无穷循环小数的问题 咱们明白分数化小数 3333.03.031==，逆过来呢？ +++==003.003.03.03333.03.0是表示首项为3.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和，即319.03.01.013.03333.03.0==-== .由此也能够看出咱们概念的合理性.关于 9999.09.0=， +++=009.009.09.09999.0是表示首项为9.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和， 即19.09.01.019.09999.09.0==-== . 19999.09.0== ，121814121=+++++ n. 这两个等式的成立是准确的呢，仍是近似的？即左侧是不是真的等于１，仍是近似等于１，仍是小于１？关于这两个等式，同窗们感觉上总以为等式左侧小于右边，总感觉差一点.本质上同窗们仍是用有限来明白得无穷，通过今天的学习，咱们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是依照无穷等比数列各项和的概念取得的.（2）例题例：正方形ABCD 的边长为1，连接那个正方形各边的中点取得一个小的正方形1111D C B A ；又连接那个小正方形各边的中点取得一个更小的正方形2222D C B A ；如此无穷继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第n 个正方形的面积为n a ，由条件：11=a由题设，可取得：11211211211222)()2()2(--------==+=n n n n n n n n n n B A B A C B B A B A ，CA 1 1 D 1进而：1211221)(21)(---===n n n n n n a B A B A a ， 因此，所有正方形的面积组成的数列}{n a 是首项为1，公比为21的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：22111=-=S .四、总结1）本节课咱们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同窗们第一次真正意义上碰着有关无穷的问题，也确实是无穷个数相加.请同窗们归去好好体会一下今天咱们是如何处置有关无穷的问题，好好试探一下咱们处置无穷问题的方式.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，咱们解决了无穷循环小数的问题，也确实是无穷循环小数都能够化成份数，对有理数有了更清楚和完整的熟悉.教学设计说明1． 教材分析咱们利用的是上海市二期课改的教材.本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜.本章节教材内容翔实、主次分明，给了教师专门大的进展空间.针对不同的学生有了更多不一样的适合学生的设计.无穷等比数列各项的和是数列与数列极限以后的内容，是数列学习中的一个重要的概念.求无穷等比数列各项和，是无穷级数求和的一个最简单的特例.对高中生来讲，是从初等数学到高等数学过渡的一个重要桥梁.2． 教学目标的设计 遵循二期课改的“以学生进展为本”的理念，依照本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼，思维活跃，学习数学的踊跃性高，初步具有对数学问题进行合作探讨的意识与能力，和学生的现有数学知识的预备：已把握了数列和数列极限的概念及性质等，我设计了适当的教学目标.通过本节课的学习，很重要的一个方式确实是要同窗们对无穷（或无穷）有一个初步的熟悉，对在数学上如何处置无穷的问题有一个初步的了解.通过本节课的学习，另外一个方式确实是通过新概念引入的进程，使同窗们慢慢学会从一个问题的提出，到一个问题解决的进程，学会如何准确的描述一个数学对象，从学习的进程中提高自己的数学思维能力.总之在学习的进程中使学生“学会学习、学会试探”，增强对数学概念的学习和明白得.3．教学进程的设计本节课是求无穷等比数列各项和，对高中生来讲，是未见过的新问题、新概念，需要帮忙试探、研究、明白得，使之能正确成立新概念，不仅能明白得把握，而且能启发思维，增进以后的学习，为可持续进展打下良好的基础.由于之前的求和都是求有限项的和，因此说到求和，无形当中就把有限项的求和的思想方式移植过去，阻碍正确明白得无穷项和的概念和它的必要性和合理性.为此，在教学进程的引入问题、分析问题、解决问题中强调了以下三点：1．在问题引入时期中，通过学生熟悉的一些例子，强调求无穷项和是数学进展进程中客观产生的一个新问题，必需加以研究解决.引导学生踊跃试探，参与解决问题.2．在分析问题时期中，强调在传统的算术求和概念里，求无穷项的和是无法解决的，是不可能求出和来的，是不存在和的.不破不立，不破旧概念，难立新概念.3．在解决问题时期中，用新思想、新方式研究新问题，从研究新问题的最大体的思想方式动身，用已知刻画未知，用有限刻画无穷来加以研究解决.由于在传统算术意义上求无穷项和是没成心义的，因此第一要给出概念（什么是、是什么），再寻觅求法（怎么求），在教学进程中，这两个问题是同时取得解决的.在整个教学进程中，遵循学生的思维进程，引导学生自己发觉问题、解决问题，并在此进程中形成质疑精神，主动参与问题的解决，在积存知识的同时，能力取得提高，思维品质取得提升.4．本节课的特点强调进程教学，启发思维，调动学生学习数学的踊跃性，让学生真正的参与其中，体验学习数学的乐趣.在学习无穷项的和的进程中，在教师的引导下、学生进行理性的试探，通过思辩，不仅使学生知其然，而且还知其因此然.。
高二数学上册 7.8《无穷等比数列的各项和》教案（1） 沪教版
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无穷项求和”．教材如此处置，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限熟悉无穷、从已知熟悉未知、从近似熟悉精准的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的爱好．本末节的难点是正确明白得无穷等比数列的各项和的概念．冲破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出概念，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的爱好，引导学生进行思维创新，在不断探讨中发觉问题、解决问题．二、教学目标设计1．明白得无穷等比数列的各项和的概念；2．把握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．明白得无穷个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题进程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确明白得无穷等比数列的各项和的概念.四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计一、温习引入 试探以下问题：一、0.9•和1哪个数大？什么缘故？二、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.关于问题1，先让学生进行讨论，然后展现他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）若是你以为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）若是你以为0.91•<，那么你可否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个. 于是能够把0.9•看做n S 当n →∞时的极限，从而课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和 公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.关于问题2，一样进行分析.对照以上两个问题，它们有何一起特点？ 二、教学新课一、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，咱们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同窗们试探，是不是无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？若是它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 知足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=. ∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导进程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 二、无穷等比数列的各项和的概念提问：通过适才的讨论，你可否给无穷等比数列各项和下一个概念？请用数学语言来描述一下． 咱们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化以下循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生一起总结得出：循环小数化为分数的法那么：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数． 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部份的数减去不循环部份所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部份的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求以下循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和． 解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求以下循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结那个正方形各边的中点取得一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结那个小正方形各边的中点取得一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无穷继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长211222n n a a --==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为121221,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为124,2,2,,4,2n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，D 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2B 1C 1A 11DABC这是首项为4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212l ==+-.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S 为 12112S ==-.练习：473P .补充练习：（能够和作业的试探题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点1A 、1B ，得矩形11ABB A ；取11A B 、DC 中点2A 、2B ，得一小矩形212A B CB ；再取1A D 、22A B 中点33A B 、，得一小矩形1233A A B A ；如此无穷继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的进程可知，让作图无穷下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa -11(1<q )； 2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，而且那个极限是能够达到的； 3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 知足01q <<； 4．要学会从特殊问题的解决进程中体会一样化问题的解决方式． 四、课后作业一、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P BA 44B 332A 21A 1CA二、试探题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法那么再也不适用．求无穷多个数的和事实上是求一个极限（而且那个极限能够达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．因此，在新课引入时，利用讲义的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计用意在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的进程中体会无穷的思想，真正明白得什么缘故要用极限来概念一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念明白得后，应用也就瓜熟蒂落了．。
无穷等比数列各项的和
（ ）.
强调：只有当无穷等比数列的公比 满足 时，其前n项和的极限才存在．
例
题
讲
解
例1 化下列循环小数为分数：
（1） ； （2） .
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.
解：（1）
等式右边是首项为 ，公比是 的无穷等比数列的各项的和，所以
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
解：由题意得第1个正方形的边长 ，第n个正方形的边长 ， .
即所有正方形的边长组成的数列为
，
于是所有正方形的周长组成的数列为
，
这是首项为4、公比为 的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和 .
所有正方形的面积组成的数列为 ，
这是首项为 、公项为 的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和 .
课
堂
练
习
.
换一个角度来看，事实上
而 是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，它的前n项和为
于是可以把 看作等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将 看成首项为 、公比为 的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在如果它的极限存在，那么极限等于什么
课堂
小结
1.无穷等比数列的各项和的公式：S= ( )；
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
7.8.2 无穷等比数列各项的和
B
C
例2.在 Rt ABC 内有一系列的正方形，边长依次为 a1 , a2 , , an , , 已知 AB 1, BC 2 求所有正方形的 面积的和.
A
1 a1 AB 1 2 解： a1 3 a1 BC 2 an an 1 AB 1 同理 an 1 BC 2 B
y
1 4
P ( a, b)
1 8
1 2
1 1 a 1 4 16
4 2 因此该动点 P 的极限位置是 ( , ) 3 3
4 1 3 1 4 1 1 1 1 2 2 b 1 3 2 8 32 1 4
1
1
O
x
n
一、无穷等比数列各项的和
几何级数又称为等比级数，当级数收敛时，它的
和也叫做无穷等比数列各项的和.
n 1 { a } 无穷等比数列 n 中， an a1q
当 | q | 1 时，它各项的和
a q
n 1 1
n 1
a1 a1q a1q
2
a1 1 q
例2.在 Rt ABC 内有一系列的正方形，边长依次为 a1 , a2 , , an , , 已知 AB 1, BC 2 求所有正方形的 面积的和.
a1 a2
an
an 1
2 * an 1 an , n N 3
2 1 2 2
n
2 2 ( ) 4 3 2 2 5 1 ( ) 3
a a
2 1
a
2 n
收敛
例3.一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天 服用0.05mg, 设体内的药物每天有20%通过各种渠 道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的 水平？ 解：设第n天，病人体内药量为 an mg a1 0.05 a2 (1 20%)a1 0.05 0.05(1 0.8)
无穷等比数列的各项和
93 2
于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC， 从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行 下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为 分 数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1
无穷等比数列的各项和
(2)若数列 an }满足: an+1 = an + 6, a1 = 3, 且lim an {
n→∞
, 存在 lim an = _________ .
n→∞
(1)无穷等比数列各项的和有哪些等价的表达方式？ 无穷等比数列各项的和有哪些等价的表达方式？ 无穷等比数列各项的和有哪些等价的表达方式
1 1 1 1 猜想： 猜想： + + +⋯+ n +⋯= ? 2 4 8 2
1
问题2：若日取其三分之一、三分之二或四分之一， 问题 ：若日取其三分之一、三分之二或四分之一， 取得的所有木棒长的和又将是多少？ 取得的所有木棒长的和又将是多少？
, a 更一般的若日取其 (0 < a < 1)呢?
猜想：取得的所有木棒长的和都是 ※ 猜想：取得的所有木棒长的和都是1(※) 问题3：为什么？如何证明你的猜想？ 问题 ：为什么？如何证明你的猜想？ 方法基础:化无限为有限的极限思想 方法基础 化无限为有限的极限思想 知识基础:等比数列的前 项和公式 知识基础 等比数列的前n项和公式 等比数列的前
• •
• •
• •
• •
0.031 1 − 0.01
பைடு நூலகம்
1.4 3 1 = 1 + 0.4 + 0.031 + 0.00031 + ⋯ = 1 + 0.4 + 4 × (100 − 1) 31 427 =1 + =1 990 990 990
0.031 1 − 0.01
发现四：化循环小数为分数的一般方法： 发现四：化循环小数为分数的一般方法： 分数的整数部分为循环小数的整数部分； ①分数的整数部分为循环小数的整数部分； 循环小数的小数部分中有几位循环，分数的分母就有几个9， ②循环小数的小数部分中有几位循环，分数的分母就有几个 ， 有几位不循环，分母后面添几个零； 有几位不循环，分母后面添几个零； 分数的分子为循环小数的小数部分减去不循环部分。 ③分数的分子为循环小数的小数部分减去不循环部分。
7.8无穷等比数列各项的和
7.8 无穷等比数列各项的和一、新课引入情境一：有人说，，你认为对吗？如果你认为，那么比小多少？能在与1之间插入一个实数吗？又有人说，因为，两边同乘以3，得.你赞同哪种说法呢？情境二：如果把你家和学校看做两个点，这两点间的距离是1000米，从家出发你先走了500米，然后再走剩余路程500米中的一半即250米，再走剩余路程的一半即125米，照此下去，理论上来讲，你永远也到不了学校，正所谓“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，而实际情况是，你早坐在了教室里上课，问题出现在哪里呢？情境三：芝诺悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。
如果有一只乌龟在阿基里斯前100米的地方，乌龟的速度是1米/秒，而阿基里斯的速度是10米/秒。
注意到追者首先必须到达被追者的出发点，然而当阿基里斯跑至乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬了10米，于是一个新的起点产生了，阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，他只能再追向那个1米就这样，乌龟会制造出无数个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但阿基里斯就是追不上乌龟！芝诺，古希腊数学家、哲学家，埃利亚学派代表人物，被亚里士多德誉为辩证法创始人。
二、新课导学1.温故：（1）对于无穷等比数列通项公式：前项和公式）（2）极限：当时，运算法则：若则2.情景再回顾情景1：而，，，，，是以为首项，为公比的无穷等比数列，它的前项和为.于是可把看作当时的极限，即因此，.情景2：3.知新：无穷等比数列各项的和符号：显然：时，不存在；时不存在；是摆动数列；时，不存在；时，；4.定义：我们把的无穷等比数列的前项和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即5.对定义的理解：（1）无穷等比数列前项的和与它各项和的区别与联系：前项的和是数列中有限项的和，而无穷等比数列各项和是数列中所有项的和，它们之间有着本质的区别；无穷等比数列各项和是其前项的和当时的极限，是用有限手段解决无限问题；（2）运用公式求和的前提：；（3）由无穷等比数列各项和的公式可知，求一个无穷等比数列各项的和，只要求出数列的首项与公比即可解决问题。
7.8无穷等比数列各项的和
三、课堂小结
无穷等比数列各项和公式 利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围 无穷等比数列各项和的实际应用
二、无穷等比数列各项和公式的应用：
类型一、利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围
例 1、已知数列{an}为等比数列， a1 2 ，
1）设{an}各项的和为 5，求各项平方的和，各项立方的和；
2）设{an}各项的和为 5，求各奇数项的和，各偶数项的和.
例 2、若无穷等比数列中任意一项都等于它后面所有各项的和， 求此数列的公比。
一半。求：
（1）动点 P 行进路线的长度
（2）动点 P 与坐标平面内哪一点无线接近
变式：在直角坐标平面内，点 P 从原点出发沿 x 轴的正方向前进 a 后向左转 90 ，继续前进
a 2
后向左转 90 ，再继续前进
a 22
后再向左转 90 ，......，这样无限地继续下去，点 P 最后
到达哪一点？
例 5、在 RtABC中, AB a, BC 2a ，在其内有一系列的正方形，边长依次为
a1, a2 , , an , ，求所有这些正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形的面积之和.
a 例 6、动点 P 从原点出发沿 x 轴正向移动距离 a 到达点 P1 ，再沿 y 轴正向移动距离 2 到达
a 点 P2 ，再沿 x 轴正向移动距离 22 到达点 P3 …依此规律，无限进行，每次移动，距离缩小
我们把0时的极限叫做无穷等比数列各项的和并用符号s表示类型一利用无穷等比数列各项和求参数值或取值范围例1已知数列各项的和为5求各奇数项的和各偶数项的和
7.8（二）无穷等比数列各 项和公式的应用
一、知识回顾：
无穷等比数列各项和公式：
我们把 0 q 1的无穷等比数列的前 n 项和 Sn 当 n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号 S 表示
7.8(1)无穷等比数列各项的和讲解
•
321 321 321 7 10 4 10 10 10 321 321 4769 10000 1.4 1.4 1 9990 3330 1 3 10
相等
0.9 1 1 0.1
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n 1 4 2 2 4 2 ( 2) lim 1 n 3 1 1 1 1 n1 1 3 9 3 1 3 n个 (3) lim (0. 1 2 0.0 1 2 0.001 2 0.001 2)
q (1,0) (0,1)
1 1 a1 (0, ) ( ,1) 2 2
例6.(1)若一个无穷等比数列中每一项都是它以后各项和的k倍, 求实数k的取值范围.
an 1 an k 1 q an (1 q ) 1 q 1 k 1, q (1, 0) (0,1) an 3 2
13 13 13 4 6 2 10 10 10
13 13 211 2 100 2 1 99 99 1 100
(2) 1.4 3 21 1.4
例2.判断0.9 与1的大小
0.9 0.9 0.09 0.009
(2)若 lim S n 存在, 求实数x的范围.
n
1 3 5 x 1且3 5 x 0 2 3 3 4 x( , ) ( , ) 5 5 5 5
例5.若等比数列{an }满足： lim(a1 a2
n
1 an ) , 求a1的范围. 2
1 q a1 1 a1 2 1 q 2
7.8(1) 无穷等比数列各项的和
引例1.
一位古希腊学者芝诺(Zenon,公元前496～前429 ) 曾提出一 个著名的“追龟”诡辩题.大家知道,乌龟素以动作迟缓著称,阿 基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言: 阿基里斯与龟赛跑, 将永远追不上乌龟!
第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和
1.无穷等比数列的各项和：
把│q│<1的无穷等比数列前n项的和Sn当n→∞时的
极限
lim
n
Sn
S 叫做无穷等比数列各项的和,即
S a1 (0< | q | 1)
1q
2.注意事项：
这种“无限个数的和”与“有限个数的和”从意义上
来说是不一样的.
Ⅱ.基本方法 无穷等比数列各项和的应用：
1.求无穷数列的各项和.
例1.一个无穷等比数列的各项和为4，各项的平方和为6，
求各项的立方和.
第32讲 §7.8 无穷等比数列的各项和 Ⅱ.基本方法
无穷等比数列各项和的应用：
2.化循环小数为分数.
例2.化循环小数 0.19 9 8 为分数.
3.求参数的取值范围.
例为3.1设，无求穷a1等的比取数值列范{a围n}的. 公比为q，首项为a1,其各项和 2
4.解应用题.
例4.一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2
2
求球所经过的路程.
例4 一个球从距离地面h处下落.球下落后弹起的高度为原
1
1
高的 .以后每次下落后弹起的高度为下落前高度的 ,
2 求球所经过的路程.解：路程
L
h+2(
h
+
h
+
h
h
+
2 )
h
2 4 8 16
h+h(1+
1 2
+
1 22
7.8无穷等比数列各项的和
n1
lim
n
S
n
，
通过等式两边同时取极限的方法求和；
(2)
若 lim n
an
存在，可利用
lim
n
an1
lim
n
an
，
通过等式两边同时取极限的方法求an 的极限。
合作讨论六：若数列
an 满足：an1
1 2
an
3，a1
1，且 lim n
an
存在，求
lim
n
an
[分析]
记
lim
n
an1
lim
n
an
A，则 A
可得数列
a n
：1
2
，1 4
，1 8
， ，1 2n
，
合作讨论一：取得的所有木棒长的和是多少？
为什么？
1 1 1 248
1 2n
___1___.
无穷等比数列各项和的概念
证明:
1 1 1 248
1 2n
lim 1 1 1 n 2 4 8
1 2n
lim
1 2
1
1 2n
1
lim
n
S
n
1
发现五：我们还可以通过求前 n 项和 S n 的极限，
求各项和 S(即用定义求和)。
证明三： Sn1
Sn
an1
Sn
a(1
Sn )
a
(1
a)Sn
，由
lim
n
S
n
存在，
记
lim
n
S
n1
lim
n
S
n
S ，则S
a
7.8无穷等比数列各项和.
3 2 2 2
使用公式
a1 S 1q
要注意三个问题:
（1）所给数列是等比数列； （2）公比的绝对值小于1; (3)前n项和与所有项和的关系: a1 S lim Sn n 1 q
例3.把下列各数化为分数
1 0.28 2 1.243 3 0.7 0.07 0.007 4 0.7 0.07 0.007
1 q 1 解：
2
lim
n
Tn lim
n
n 1 1 n
1 qn 1 q n1 q 1 Sn , S n1 1 q 1 q 0 q 1 1 q n 1 1 Tn lim lim n n n 1 q q 1 q
几个基本数列的极限
1 lim 0 n n
q 1时, lim q 0
n n
c为常数 , lim c c
n
引例:把无限循环小数 0.333· · · · · 化为一个分数.
定义:我们把|q|<1的无穷等比数列前 n的和Sn,当n→∞时的极限叫做无穷 等比数列各项和.
an 是首项为a1，公比为q q 1的等比数列 求该数列的1前n项的和 2所有项的和各项的和 3lim S n
n
1 1 1 1 例1.求数列 ， ， ， n 的所有项的和 . 2 4 8 2
1 1 解： a1 , q 2 2 1 1 1 n 1 2 2 sn 1 n 1 2 1 2
1 S lim sn lim 1 n 1 n n 2
例2.求无穷等比数列 2 1 ，2 1 ， 的各项的和 .
解： a1 2 1, a2 2 1
无穷等比数列各项的和
7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。
3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。
问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。
无穷等比数列各项的和
6 5
n 1
, (n N )
*
则 lim (a1 a2 an ) (
（法2 an an1 ）
n
6 5
n1
5 5 bn 5 an , 则5bn bn1 6 bn1 1 5(bn 1)
a1 1 q .( q 1)
即无穷递缩等比数列各 项的和公式为 S
例1 ：化下列循环小数为分 数：
(1)0. 29
(2)0.431
( 3)0. 9
解： )0.29 0.292929 (1
0.29 0.29 0.01 0.29 (0.01) 0.29 (0.01)
)(
1 2
1 3
) (
2005
lim S n lim [ S 2005 ( a 2006 a 2007 S n )]
n
2005 2006
1
2 3 1 3
1 2006
.
例 2：若数列
n
a n 满足
a1 lim a n .
n
S
a1 1 q
4 q 1
a1 4
.
a1 1且1 a1 0,
又 q 1且q 0 1
0 a1 8且a1 4,
4 4 a1 1 1 1且a1 4 4
a1 (0,4) (4,8).
例3：如图：正方形 ABCD的边长等于 ，连接这个正方形 1 各边的中点得到一个小 正方形A1 B1C1 D1 ; 又连接这个小正 方形各边的中点得到一 个更小的正方形 2 B2C2 D2 ; 如此无 A 限继续下去，求所有这 些正方形的周长的和与 面积的和 .
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【课堂例题】
例1.已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比q 满足||1q <，求证：11
11
1n n a a q q
∞
-==
-∑.
例2.在Rt ABC ∆内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,,,n a a a .
若1,2AB BC ==，求所有正方形的面积的和.
例3.一慢性病人需每天服用某种药物，按医嘱每天服用0.05mg ,设体内的药物每天有20%通过各种渠道排泄掉，问长期服药后体内药量维持在怎样的水平？
例4.一个动点P 从原点(0,0)O 开始先沿x 轴正方向移动一个单位，然后沿y 轴正方向移动
12个单位，接着又沿x 轴正方向移动14个单位，再沿y 轴正方向移动1
8个单位，无限进行下去，求点P 的极限位置.
1a 2a A B
C
【知识再现】
1.无穷等比数列{}n a 中，1*1,n n a a q n N -=∈，当公比q 满足 时， 无穷级数
121
n
n n a
a a a ∞
==++++∑ 收敛于 ，
该值就称为此无穷等比数列各项的和.
【基础训练】
1.无穷等比数列1
11
{(1)
}4
n n ---⋅
各项的和是 . 2.无穷等比数列{}n q 各项的和是3，则q = .
3.计算：1112411139
+++=+++ . 4.已知无穷等比数列{}n a 各项的和为2，求首项1a 的取值范围.
某同学的解答过程如下，请问结果是否正确？若不正确请改正他(她)的错误. 解：设该数列公比为q ，
1
1221n a a a a q
++++=
=- ，因此112a q =-
因为||1q <，所以1|1|12
a
-< 从而解得：104a << 解毕
. 5.如图，已知等边ABC ∆的边长为1，联结这个三角形各边的中点得到一个小的111A B C ∆，又联结111A B C ∆的中点得到一个更小的222A B C ∆，无限继续下去，求所有三角形的周长之和与面积之和.
6.已知数列{}n a 是无穷等比数列，且1231
1n a a a a a +++++= ， 求实数1a 的取值范围.
A B
C
1
1
B 1
A 2
C 2
B 2
A
7.一慢性病人需长期服药，按照病情，体内药量需维持在0.2mg ，设体内药物每天有15%通过各种渠道排泄掉，问该病人每天服药量应该为多少？
【巩固提高】
8.如图，直线:3440m x y +-=与以12,,,,n O O O 为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆1O 与y 轴相切，半圆圆心都在x 轴的正半轴上，半径分别为12,,,,n r r r ，求所有半圆弧长的总和L
9.动点P 的初始位置在原点，首先向右移动1个单位到1P ，然后向上移动1
2
个单位到2P ，然后向左移动14个单位到3P ，然后向下移动18个单位到4P ，接着向右移动1
16个单位到5P ，
接着向上移动1
32
个单位到6,P ，即点
P 每次都按右上左下方向反复移动且每次移动的距离恰为前一次移动距离的一半.这样无限下去，求 (1)粒子移动的总路程；(2)粒子到达的极限位置.
(选做)10.以下两题任选一题： (1)已知1n
n a
∞
=∑收敛，求证：
①
1
1
()n
n
n n ka k a
∞
∞
===∑∑，其中k 为常数；②
1
1
1
m n
n
n
n n n m a a a
∞∞
===+=+∑∑∑，其中*
m N ∈.
(2)如图1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形2P ,然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形
34,,,,n P P P 记纸板n P 的周长、面积分别为,n n L S 求①lim n n L →∞
；②lim n n S →∞
.
【温故知新】
11.计算： 21
1
1222lim
1393n n n --→∞++++=++++ .
P 1
P 2
P 3
P 4
【课堂例题答案】
例1.证：1q ≠ ，11(1)
1n n n a q S a a q
-∴=++=-
11(1)||1,lim lim 11n n n n a q a q S q q →∞→∞-<∴==
-- ，1111
lim 1n n n n a
a q S q ∞
-→∞=∴==-∑. 证毕 例2.45
例3.0.25()mg
注：答案源于递推式11
0.05
(120%)0.05n n a a a +=⎧⎨=-+⎩；
如果使用另一种递推式11
(120%)0.05
(120%)(0.05)n n a a a +=-⎧⎨=-+⎩，答案将是0.2()mg
例4.42(,)33
【知识再现答案】 1.||1q <，
1
1a q
- 【习题答案】
1.
45 2.34 3.43
4.因为0q ≠，所以12a ≠，正确结果是：1(0,2)(2,4)a ∈
5.6,3
L S ==
6.(1)(1,0)(0,1)--
7.0.03()mg
注：答案源于递推式11(115%)n n a x
a a x +=⎧⎨=-+⎩；
如果使用另一种递推式11
(120%)(120%)()n n a x a a x +=-⎧⎨=-+⎩，答案将是3
()0.035()85mg mg ≈ 8.23
L π=
9.(1)2;(2)42
(,)55
提示：总路程=111
12248
++++= ；
极限点的横坐标=111141()()14
166451()4+-++-+==-- ；
极限点的纵坐标=1
111122()()1283212851()4
+-++-+==-- .
10.(1)①证：
121212lim()lim[()]lim()n n n n n n ka ka ka k a a a k a a a →∞
→∞
→∞
+++=+++=+++ ，
即
1
1
()n
n
n n ka k a
∞∞
===∑∑ 证毕
②证：1121lim()lim[()()]m n n m n n a a a a a a a +→∞
→∞
++=+++-++
121lim()()n m n a a a a a →∞
=+++-++
即
1
1
1
m
n
n n
n m n n a a a
∞∞=+===-∑∑∑，因此
1
1
1
m
n n
n
n n n m a a
a
∞∞
===+=+
∑∑∑ 证毕
提示：这两题证明的关键是抓住无穷级数的和就是其部分和的极限， 即：12312lim()n n a a a a a a →∞
+++=+++
(2)①lim 2n n L π→∞
=;②lim 3
n n S π
→∞
=
提示：11
lim (2)(
1)()()24284
n n L π
πππ→∞
=++-+-+-+ lim ()2832128
n n S π
πππ
→∞
=
-+++
11.0。