离散数学考前复习ppt

ABC A BAC
1.3 命题公式的等值式
同一律：A 0 A, A 1 A 互补律：A A 1，A A 0 重补律：A A 等幂律：A A A, A A A, A A 1,
A A A, A A A, A A 1. 零一律：A 1 1, A 0 0
第一部分 数理逻辑
❖ 第一章 命题逻辑 ❖ 第二章 一阶谓词逻辑
第一章 命题逻辑
❖ 1.1 命题和命题联结词 ❖ 1.2 命题公式及其赋值 ❖ 1.3 等值演算与联结词完备集 ❖ 1.4 析取范式与合取范式 ❖ 1.5 推理的形式结构 ❖ 1.6 自然推理系统P
1.1 命题和命题联结词
1. 命题：能判断真假的陈述句。
称为成假赋值。
1.2 命题公式及其赋值
定义4.将公式A在其全部赋值下的真值情况列成表， 称为A的真值表。
真值表的构造步骤： （1）若公式F共有（ n n 1)个变元，则真值表第一行写出
n个变元，公式F写在第n 1列。 （2）写出n个变元的所有可能取值（2n 种）,按从低到高的
顺序写出公式的各层次。 （3）在不同赋值下求出各层次的真值及F的真值。
定义2.命题公式的层次： （1）公式A为单个命题变元，则称其为0层公式； （2）若公式B是n层公式且A＝B，则A是n＋1层公式； （3）若公式B，C分别是i，j层公式，且A＝B C或A＝B C或
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
1.1 命题和命题联结词
4).蕴涵词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“如果p,则q” 或“p条件q”。称为前件（前提），q称作后件（结论）。
是自然语言中的“如果，则”，“若，则”
的逻辑抽象。
有位父亲对儿子说：“如果我 p
q
p q
F
F
T
去书店，就一定给你买电脑 F
1.3 命题公式的等值式
例：（p q)与p q p (q r),( p q) r,( p q) r
基本等值式（A，B，C为任意命题公式） 交换律：A B A B, A B B A
结合律：A B C A B C, A B C A B C 分配律：A B C A B A C
4、命题联结词
1).否定词 用命题p和“非”、“不”、“没有”等否定词组成的复合命题， 称作p的否命题，记作p, 读作“非p”。
是自然语言中的“非”、“不”和“没有”等的逻辑抽象。
如：p : 4是质数。
p：4不是质数。
p
p
T
F
F
T
1.1 命题和命题联结词
2).合取词
p、q是命题，由p、q和 组成的复合命题，记作p q,
1.2 命题公式及其赋值
例（1）p q q r (2)r q p q p
(3) p q)
(4)r p (5) p r
同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算次序的括号也可以省去。
1.2 命题公式及其赋值
F
F
T
2.两圆的面积相等，则他们的半径相等，
F
T
F
反之亦然。
T
F
F
T
T
T
1.1 命题和命题联结词
6.异或联结词 指的是排斥或，当且仅当p、q的真值相异时，p q为真。
由定义知 有如下性质：
p
q
p q
（1）p q等价于q p
F
F
F
(2) p q等价于( p q) (p q) F
中所有的A后得到的命题公式。若B A，则(B) (A)
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
离散数学
数学与信息科学学院
离散数学
❖ 第一部分 数理逻辑 ❖ 第二部分 集合论 ❖ 第三部分 图论 ❖ 第四部分 抽象代数
第一部分 数理逻辑
数理逻辑是用数学方法研究推理中前提和 结论之间的形式关系的学科。
推理是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。 数学方法是指建立一套表意符号体系，对具体
事物进行抽象的形式研究的方法。
p不对；q且r；r或t；如果r，则s；r当且仅当s。
1.1 命题和命题联结词
注意： （1）给定句子是否是命题 ，如：我和他是同学。 （2）要善于识别自然语言 中的联结词，如：狗急 跳墙。
例1.如果你和他不都是傻子 ，那么你们俩都不会去 自讨没趣。 2.如果你走路时看书，那 么你一定会成为近视眼 。 3.他虽有理论知识但无实 践经验。 4.选小陈或小周一人为代 表。 5.如果明天天气好，我们 去郊游，否则就不去。
T
T
T
F
T
T
T
F
例：今天第一节课上离散数学或数据结构。
1.1 命题和命题联结词
联结词的优先次序： （1）由强到弱依次是：，，， ，,。 （2）按优先级书写，可以省略不必要的括号。 （3）同级的联结词，按从左往右的次序运算。
例：p：北京比天津人口多 q：2＋2＝4 r：乌鸦是黑色的
求以下命题的真值
（1） p q q r (2)r q p q p
1.1 命题和命题联结词
5、语句形式化
形式化的步骤： （1）确定原子命题（简单 命题）； （2）选择命题联结词。
例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也 是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p：2是有理数，q：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。
例（1）p q r (2)r q p q p
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
定义3.设A为含有命题变元p1
,
p2
Hale Waihona Puke Baidu,,
p
的命题公式，
n
给p1 , p2 ,, pn一组确定的取值，称为对A的一组赋值或解释。 若指定的一组值使A的真值为1，则称其为A的成真赋值，否则
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
1.1 命题和命题联结词
2. 命题的真值：判断结果
真 — 真命题 假 — 假命题
注意：此处不纠缠具体命题的真假问题，只是将其作为数学概念来处理。
3.命题和真值的符号化 命题 : 一般用p, q, r,或pi , qi ,表示。
真值：真用T或1表示，假用F或0表示。
1.1 命题和命题联结词
定理1.若A和B为重言式，则A B, A B也是重言式。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
1.2 命题公式及其赋值
例（1）p q r (2)r q p q p
定义5.公式A， 1)若A在所有赋值下的取值均为真，则称A为永真式； 2）若A在所有赋值下的取值均为假，则称A为永假式； 3）若至少有一组赋值使A的值为真，则称A为可满足式。
1.2 命题公式及其赋值
T
T
报“。问：在什么情况下， T
F
F
T
T
T
父亲算失信呢？
1.1 命题和命题联结词
注意：①“只要p，就q‘，’因为p，所以q”，“p仅当q”， ‘只有q，才p“，”除非q才p“，”除非q，否则非p“都可 抽象为p→q。 ②p，q可以没有任何内在联系。
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。
p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
p q的逻辑关系为p与q互为充要条件
p
q
pq
例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。
吸收律：A (A B) A, A A B A 德摩根律： A B A B, A B A B
1.3 命题公式的等值式
蕴含等值式：A B A B, 假言易位：A B B A
等价等值式：A B A B B A A B A B B A A B A B A B
读作“p与q”或“p合取q”。
是自然语言中的“并且”、
p
“既又”、“不但
F
而且”、“虽然但是”
F
、“一面一面”等的逻辑抽象。 T
T
q
pq
F
F
T
F
F
F
T
T
p：王化的成绩很好。
q：王化的品德很好。
p∧q： 王化不但成绩好而且品德好。
1.1 命题和命题联结词
3).析取词 命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p或q”。
包含两层意思：
自然语言中的陈述句
（1）必须是陈述句。等式
不等式
（2）能够确定（分辨）其真值。
注意：能否分辨真假与是否知道真假是不同的。 如：张校长的头发有一万根。
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 2）2 6 9。 3）火星上有生命。 4）三角形的内角和等于180。 5）你喜欢数学吗？ 6）我们要努力学习。 7）啊，我的天哪！ 8）我正在说谎。
是自然语言中的“或”、“或者”中的可兼或的逻辑抽象。
p：开关坏了。 q：灯泡坏了。
p∨q：开关坏了或灯泡坏了。
p
q
p q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
1.1 命题和命题联结词
例：1.张晓婧爱唱歌或爱听音乐。 2.张晓婧是内蒙人或是陕西人。 3.张晓婧只能挑选202或203房间。
注意：当排斥或两边的情况实际根本不可能同时发生的时候，排斥或也 可抽象为∨。但为了方便起见一般不这样抽象。
1.1 命题和命题联结词
原子命题：不能被分解为更简单的陈述句 复合命题：原子命题通过联结词联结而成
例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也 是素数；2是素数当且仅当3也是素数。
p：2是有理数，q：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。
1.1 命题和命题联结词
1.2 命题公式及其赋值
命题常元：表示具体确定内容的命题。 命题变元：表示不确定具体内容的命题。
定义1.命题公式的递归定义： （1）单个命题变元是命题公式，称其为原子命题公式； （2）若p、q是命题公式，则p, p q, p q, p q, p q,
p q也是命题公式； （3）有限次的使用（1）、（2）得到的符号串都是命题公式。
等价否定等值式：A B A B 归谬论：(A B)(A B) A 因A，B，C可以代入任意的命题公式，故以上等值式称为等值式模式。 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。
1.3 命题公式的等值式
置换规则：设( A)是含公式A的命题公式，(B)是用公式B置换了( A)