2017年高考试题：正余弦定理解三角形

2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题：ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ，2=a ，2=c ，则=C （ ） A.

12π B.6π C.4π D.3

π 本题解答：0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++⇒=-+C A C A C A C C A B

0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+⇒=-++⇒C A A C C A C A A C C A

4

31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π

=

⇒-=⇒-=⇒

-=⇒=+⇒A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到：

21222

2sin sin sin sin =⨯

==⇒=a

A

c C C c A a ，C 是锐角6

π=⇒C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知ABC ∆的面积为A

a sin 32

。

（Ⅰ）求C B sin sin ；

（Ⅱ）若1cos cos 6=C B ，3=a ，求ABC ∆的周长。

本题解答：（Ⅰ）ABC ∆的面积为

A a sin 32222sin 2

3

sin 3sin 21a A bc A a A bc =⇒=⇒ 3

2

sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=⇒=⇒=⇒C B C B A A C B 。 （Ⅱ）61cos cos 1cos cos 6=⇒=C B C B ，3261sin sin cos cos 32sin sin -=-⇒=C B C B C B

3

21cos 21cos 21)cos(π

=⇒=⇒-=-⇒-=+⇒A A A C B 。

根据余弦定理得到：921

29cos 22222222=-+⇒⨯-+=⇒-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。

根据（Ⅰ）得到：898

9

3)23(23sin 232222=⇒=⇒=⨯⇒=bc bc bc a A bc ②。

②代入①中得到：3382172)(17982222222=⨯+=++=+⇒=+⇒=-+bc c b c b c b c b

ABC c b ∆⇒=+⇒33的周长为：333+=++c b a 。

2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题：ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。

本题解答：根据射影定理得到：b A c C a =+cos cos ，b B b A c C a B b =⇒+=cos 2cos cos cos 2

3

21cos 1cos 2π=⇒=

⇒=⇒B B B 。 2017年高考理科数学新课标Ⅱ卷第17题：ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知2

sin 8)sin(2B

C A =+。 （Ⅰ）求B cos ；

（Ⅱ）若6=+c a ，ABC ∆的面积为2，求b 。

本题解答：2cos 2sin 2)22sin(sin )sin(B B B B C A =⨯==+，2

sin 82cos 2sin 22sin 8)sin(22B

B B B

C A =⇒=+

2sin 42cos

B B =⇒，17

12sin 12sin 1712sin 162sin 12cos 2sin 222222=⇒=⇒=+⇒=+B B B B B B 17

15171212sin 21)22cos(cos 2=⨯-=-=⨯=⇒B B B 。

（Ⅱ）178sin 289642892251cos 1sin 22=⇒=-

=-=B B B 。217

17

822sin 2sin 21=⨯==⇒=∆∆B S ac B ac S ABC ABC 。

19362

17

236236)(62222222=+⇒=⨯

++⇒=++⇒=+⇒=+c a c a ac c a c a c a 。 根据余弦定理得到：2417

15

217219cos 2222=⇒=⨯⨯

-=-+=b B ac c a b 。 2017年高考文科数学新课标Ⅲ卷第15题：ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知：060=C ，6=b ，3=c ，则=A 。

本题解答：根据正弦定理得到：

2

2323

6sin sin sin sin =⨯

==⇒=c

C

b B C

c B b 。 根据大边对大角得到：B C B c b ⇒<⇒<为锐角045=⇒B 。 根据三角形的内角和得到：00000756045180180=--=--=C B A 。

2017年高考理科数学新课标Ⅲ卷第17题：ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知：0cos 3sin =+A A ，72=a ，2=b 。 （Ⅰ）求c ；

（Ⅱ）设D 为BC 边上一点，且AC AD ⊥，求ABD ∆的面积。 本题解答：（Ⅰ）3tan 3cos sin cos 3sin 0cos 3sin -=⇒-=⇒

-=⇒=+A A A A A A A 3

2π=⇒A 。 根据余弦定理得到：0242)2

1

(22428cos 222222=-+⇒-⨯⨯-+=⇒-+=c c c c A bc c b a