《单调性与最大(小)值》第一课时参考教案

1.3.1 单调性与最大（小）值

（第一课时）

一、 教学目标

1．知识与技能：

(1)理解函数单调性的概念

(2)学会判断一些简单函数在给定区间上的单调性

(3)掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的基本方法、步骤

2．过程与方法：

通过函数单调性概念的学习，让学生体验概念形成的过程，同时了解从特殊到一般、具体到抽象、感性到理性的数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力

3．情感态度与价值观：

通过函数单调性的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。同时，让学生体会到数学来自于生活、又服务于生活。

二、教学重点与难点

教学重点：函数单调性的概念

教学难点：从图像的直观感知到函数增减的数学符号语言的过渡

三、教学模式：引导探究

四、教学方法：

教师启发讲授

五、 教学基本流程：

六、 教学过程：

1．创设情境

（1）（提问学生）据说，由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请说明时间调动的原因。

（2）由图象可知，7月25日之后的16天内，北京平均气温、平均降雨量和平均降雨天数均呈现上升的趋势。而8月8日到8月24日，均呈现下降的趋势，比较适宜大型国际体育赛事。

（过渡性语言）

原来啊，8月8日除了好意头之外，还有这么一个关于天气的原因。从这个事情可以看出，如果我们可以掌握“上升、下降”的变化规律，对我们的生活是十分有帮助的。同样的，我们之前所学习的函数也有这样的一种变化规律，下面让我们一起来学习一下。

2． 探究新知

（1）观察图像，感知特征（直观感知）

首先，我们看看十分熟悉的两个函数，一次函数x x f =)(和二次函数

2)(x x f =，现在，我们一起来观察一下两个图像，有没有发现类似于我们前面天气图像的变化规律？

（预测）：学生通过感知，可以看出，从左到右，一次函数x x f =)(的图像是上升的；而二次函数2)(x x f =的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的。 （PPT 展示）：函数图像的这种“上升”、“下降”的变化规律，我们称之为函数的单调性。

（过渡性语言）

我们研究数学的过程通常可以分为观察感知——定量分析——逻辑证明这三个步骤，刚才我们已经从图像感知到函数“上升”、“下降”的性质。下面，我们接着进一步分析，用数据说明问题。

（2）定量分析，理性思考（自然语言描述）

1> 观察下面的表格，描述二次函数2)(x x f =随x 增大函数值的变化特征（PPT 展示）： x

…… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… f(x) …… 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …… 2> 引导学生用自然语言描述函数图像特征：

下降 在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的f(x)反而随着减小；

上升 在区间),0[+∞上，随着x 的增大，相应的f(x)也随着增大。

（3）自然语言——数学符号语言（只分析“上升”）

1> P28 思考：如何利用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)反而随着减小”、“随着x 的增大，相应的f(x)也随着增大”

10 “随着x 的增大”——“任取两个x 1、x 2”（学生可能会省略“任取”） 20 “相应的f(x)反而随着减小”——“f （x 1）

2> 对于“任取”

二次函数2)(x x f =的图像，满足f(-2)

以上表明：两个特殊点满足“在区间),0[+∞上，随着x 的增大，相应的f(x)也随着增大“，我们是不能保证函数“上升”的性质。

（Excel 展示）：以二次函数2)(x x f =为例，考虑区间),0[+∞，让学生任取一个自变量为起点，再任意的间隔，观测图表。

3> 学生明确“任取”的重要性（完善）

（4）给出定义

实际上，某个函数f(x)在区间D 上是“上升”的，我们称之为在区间D 上的增函数。例如，二次函数2)(x x f =在),0[+∞上是增函数。

下面，我们给出增函数更一般的定义。

一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：

如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；

同样地，对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数。

如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

那么，从定义可知，x x f =)(在R 上是增函数；2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数，而在区间),0[+∞上增函数。

（5）解剖分析

1> 几何特征：增函数的图像是呈上升的趋势；而减函数是呈下降的趋势。

2> 函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部的性质(局部性)。

有些函数在整个定义域上是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。

例如，函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数，而在区间),0[+∞上增函数，但在R 上却没有单调性。

3> x 1，x 2的任意性

判断：定义在R 上的函数f(x)满足f(-2)f(0)，则函数f(x)在区间),0[+∞上