二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应(PPT课件)
三、二阶系统的其他输入响应
即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。
结论
一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系 统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。 二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的 一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速 度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
二、二阶系统的动态过程分析
要求：能熟记以上动态性能指标在欠阻尼下的求取公式， 及求取方法（便于非欠阻尼下的计算） 例：设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标 t p 1s ，试确定系统参数K和τ，并计算单 % 20% ， 位阶跃响应的特征量， t ， 和 t。 t d s r
二阶系统的阶跃响应实验报告
二阶系统的阶跃响应实验报告实验报告：二阶系统的阶跃响应实验目的：本次实验的目的是研究二阶系统的阶跃响应，并对实验结果进行分析与讨论，以理解二阶系统在控制工程领域中的应用。
实验原理：二阶系统是指具有二阶特性的系统，即在系统受到激励信号后，系统的响应随时间的变化呈现出一定的规律。
在此实验中，我们将研究二阶系统的阶跃响应，其中阶跃信号指输入信号由零值跳变到一个恒定的值（或者说幅度无限大），通常用单位阶跃函数u(t)表示，即u(t)=1（t≥0），而二阶系统响应的公式可表示为：y(t) = K(1- e^(-ξωnt)cos(ωdt+φ))其中，K为系统的增益，ξ为阻尼比，ωn为自然频率，ωd为阻尼振荡频率，φ为相位角。
实验步骤：1. 确定实验装置的参数，并将之记录下来，包括：二阶系统的增益K、阻尼比ξ、自然频率ωn，以及阶跃信号的幅值u0等。
2. 将二阶系统的输入信号设置为阶跃信号u(t)，并将输出信号y(t)记录下来，同时进行数据采集和记录。
3. 根据数据得出实验结果，并利用软件对实验数据进行处理和分析，包括波形比较、响应曲线分析和幅值与相位移测量等。
实验结果：在此次实验中，我们得到了如下的实验参数：增益K = 1.5V阻尼比ξ = 0.1自然频率ωn = 2π x 10Hz阶跃信号幅值u0 = 2V根据实验数据，我们得到了如下的响应曲线：图1 二阶系统的阶跃响应曲线通过对响应曲线的分析和处理，我们发现：1. 二阶系统的阶跃响应具有一定的超调和振荡特性，表明系统的稳定性较差，需要进行进一步的优化和调整。
2. 阻尼比ξ的大小与系统的响应有着密切的关系，通常应根据系统的具体情况进行合理的选择和调整，以达到最佳的控制效果。
3. 自然频率ωn的大小与系统的响应速度有关，通常应根据实际控制要求进行选择和调整，以达到最佳的控制效果。
结论：本次实验研究了二阶系统的阶跃响应，并对实验结果进行分析和讨论。
通过对实验数据的处理和比较，我们发现阻尼比ξ和自然频率ωn是影响系统响应特性的关键因素，应根据实际控制要求进行合理的选择和调整。
二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一．实验目的1、学习实验系统的使用方法。
2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。
了解电路参数对环节特性的影响。
3、研究一阶系统的时间常数T对系统动态性能的影响。
4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率nω对系统动态性能的影响。
二．实验内容1．搭建各种典型环节的模拟电路，观测并记录各种典型环节的阶跃响应曲线。
2．调节模拟电路参数，研究参数变化对典型环节阶跃响应的影响。
3．运行Matlab软件中的simulink仿真功能，完成各典型环节阶跃特性的软件仿真研究，并与理论计算的结果作比较。
三．实验步骤1. 典型环节的simulink仿真分析在实验中观测实验结果时，只要运行Matlab，利用Matlab软件中的simulink仿真功能，以及Matlab编程功能，可以完成常见的控制系统典型环节动态响应。
研究特征参量ζ和nω对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(n n n s s s R s C ωζωω++=二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
典型二阶系统的结构图如图所示。
不难求得其闭环传递函数为2222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++==其特征根方程为222n n s ωζω++=0 方程的特征根: 222n n s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++s s s s T s T s 式中, ζ称为阻尼比; n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。
当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。
当ζ=0.1时的仿真结果当ζ=0.3真结果当ζ=1时的结果当ζ=2时的仿真结果三．实验总结结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ζ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ= 0时，出现等幅振荡。
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应一、实验目的通过实验观察和分析阶跃响应曲线，了解二阶系统的动态特性，掌握用MATLAB仿真二阶系统阶跃响应曲线的绘制方法，提高对二阶系统动态性能指标的计算与分析能力。
二、实验原理1.二阶系统的传递函数形式为：G(s)=K/[(s+a)(s+b)]其中，K为系统增益，a、b为系统的两个特征根。
特征根的实部决定了系统的稳定性，实部小于零时系统稳定。
2.阶跃响应的拉氏变换表达式为：Y(s)=G(s)/s3.阶跃响应的逆拉氏变换表达式为：y(t)=L^-1{Y(s)}其中，L^-1表示拉氏逆变换。
三、实验内容1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定，并记录实际的参数数值。
2.使用MATLAB绘制二阶系统的阶跃响应曲线，并与实际曲线进行对比分析。
四、实验步骤1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定。
根据实验要求，选择适当的数字电路元件组合，如电容、电感、电阻等，在实际电路中搭建二阶系统。
2.连接模拟输入信号。
在搭建的二阶系统的输入端接入一个阶跃信号发生器。
3.连接模拟输出信号。
在搭建的二阶系统的输出端接入一个示波器，用于实时观察系统的输出信号。
4.调整增益和特征根。
通过适当调整二阶系统的增益和特征根，使系统达到稳定状态。
记录实际调整参数的数值。
5.使用MATLAB进行仿真绘制。
根据实际搭建的二阶系统参数，利用MATLAB软件进行仿真，绘制出二阶系统的阶跃响应曲线。
6.对比分析实际曲线与仿真曲线。
通过对比分析实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性。
五、实验结果与分析1.实际曲线的绘制结果。
根据实际参数的输入，记录实际曲线的绘制结果，并描述其特点。
2.仿真曲线的绘制结果。
利用MATLAB软件进行仿真，绘制出仿真曲线，并与实际曲线进行对比分析。
3.实际曲线与仿真曲线的对比分析。
通过对比实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性，并讨论影响因素。
六、实验讨论与结论1.实验过程中遇到的问题。
二阶系统阶跃响应实验报告
实验一 二阶系统阶跃响应一、 实验目的（1）研究二阶系统的两个重要参数：阻尼比ξ和无阻尼自振角频率ωn 对系统动 态性能的影响。
（2）学会根据模拟电路，确定系统传递函数。
二、实验内容二阶系统模拟电路图如图2-1 所示。
系统特征方程为T 2s 2+KTs+1=0，其中T=RC ，K=R0/R1。
根据二阶系统的标准 形式可知，ξ=K/2，通过调整K 可使ξ获得期望值。
三、 预习要求（1） 分别计算出T=0.5,ξ= 0.25，0.5，0.75 时，系统阶跃响应的超调量σP 和过渡过程时间tS 。
)1(p 2e ζζπσ--=， ζT3t s ≈代入公式得：T=0.5,ξ= 0.25，σp =44.43% ， t s =6s ； T=0.5,ξ= 0.5，σp =16.3% ， t s =3s ； T=0.5,ξ= 0.75，σp =2.84% ， t s =2s ；（2） 分别计算出ξ= 0.25，T=0.2,0.5，1.0 时，系统阶跃响应的超调量σP 和过渡过程时间tS 。
ξ= 0.25，T=0.2，σp =44.43% ， t s =2.4s ； ξ= 0.25，T=0.5，σp =44.43% ， t s =6s ； ξ= 0.25，T=1.0，σp =44.43% ， t s =12s ；四、 实验步骤（1） 通过改变K ，使ξ获得0，0.25，0.5，0.75，1.0 等值，在输入端加同样幅值的阶跃信号，观察过渡过程曲线，记下超调量σP 和过渡过程时间tS，将实验值和理论值进行比较。
（2）当ξ=0.25 时，令T=0.2 秒，0.5 秒，1.0 秒（T=RC,改变两个C），分别测出超调量σP 和过渡过程tS，比较三条阶跃响应曲线的异同。
五、实验数据记录与处理：阶跃响应曲线图见后面附图。
原始数据记录：（2）ξ=0.25，改变C的大小改变T值理论值与实际值比较：对误差比较大，比如T=0.5，ξ=0.75时，超调量的相对误差为30%左右。
二阶系统的阶跃响应实验报告
二阶系统的阶跃响应实验报告实验名称：二阶系统的阶跃响应实验报告实验目的：1. 了解二阶系统的阶跃响应特性，掌握二阶系统的调节方法。
2. 学习使用计算机实验仿真软件，分析控制系统的特性和设计计算机系统的参数。
3. 进一步了解数字控制的基本原理和实现方法。
实验原理：二阶系统指的是包含两个振动元件的控制系统，例如质量弹簧阻尼系统、旋转系统等。
通过向系统输入一个单位阶跃信号，可以使系统达到稳态。
在达到稳态后，可以观察到系统的响应特性，例如响应时间、超调量等。
二阶系统的阶跃响应有三种情况，分别为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
欠阻尼的二阶系统的响应曲线会出现振荡，超调量较大；临界阻尼的二阶系统响应曲线的超调量最小，但响应时间较长；过阻尼的二阶系统响应曲线是退化的，没有振荡。
在实验中，我们使用计算机模拟二阶系统，并通过输入一个单位阶跃信号，观察系统的响应特性。
具体操作步骤如下：1. 在仿真软件中建立一个二阶系统，可以让仿真软件自动生成一个简单的二阶系统。
2. 将系统设置为单位阶跃信号输入，运行仿真，观察系统的响应特性。
3. 记录系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化。
实验器材：1. 计算机2. 仿真软件实验步骤：1. 打开计算机，并运行仿真软件。
2. 在仿真软件中建立一个二阶系统，并设置其为单位阶跃信号输入。
3. 运行仿真，并记录系统的响应特性，包括超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化，并记录变化后的参数。
5. 分析实验结果，并总结出二阶系统的阶跃响应特性。
实验结果：在实验中，我们使用了仿真软件模拟了一个简单的二阶系统，并进行了阶跃响应实验。
通过实验，我们观察到了系统的响应特性，并记录了系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
我们对比了欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况下的响应特性，发现欠阻尼时会出现较大的超调量，临界阻尼时超调量最小，但响应时间较长，过阻尼时响应曲线是退化的，没有振荡。
二阶阶跃响应动态性能指标求取
二阶阶跃响应动态性能指标求取二阶系统是控制系统中常见的一种模型，其阶跃响应动态性能指标是评估系统的性能好坏的重要指标。
本文将从二阶系统的阶跃响应的定义、特点和性能指标的求取方法等方面进行阐述。
首先，二阶系统的阶跃响应是指系统在输入为单位阶跃信号时的响应。
假设二阶系统的传递函数为：G(s)=K/(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)其中，K为增益，ξ为阻尼比，ω_n为自然频率。
二阶系统的阶跃响应具有以下特点：1.超调量：超调量是指阶跃响应中峰值与系统最终稳定值之间的差值，用百分数表示。
超调量越小，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
2.响应时间：响应时间是指系统从单位阶跃响应开始到稳定的时间。
响应时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越迅速。
3.调整时间：调整时间是指系统从初始状态到达超调量指定范围内的时间，一般取超调量为5%。
调整时间越短，表示系统对阶跃输入的响应越快速、平稳。
4.峰值时间：峰值时间是指系统对阶跃输入的响应达到其最大值的时间。
5.匀稳态误差：系统在稳态下的输出与输入的差值，反映系统的控制准确性。
若单位阶跃输入的稳态输出为1，则对于系统的阶跃响应不应有静态误差。
有了以上的定义和特点之后，下面将介绍二阶系统阶跃响应动态性能指标的求取方法。
首先，根据传递函数可求得系统的特征方程：s^2+2ξω_ns+ω_n^2=0然后，通过特征方程可以求得系统的根：s_1=-ξω_n+ω_n√(ξ^2-1)s_2=-ξω_n-ω_n√(ξ^2-1)根据系统根的位置可以对系统的动态性能进行评估。
1.超调量的计算：超调量的计算公式为：MP=e^(-πξ/√(1-ξ^2))其中，MP为超调量，ξ为阻尼比。
2.响应时间的计算：响应时间的计算公式为：t_r=π/ω_d其中，t_r为响应时间，ω_d为峰值时的角频率，可通过特征方程得到：ω_d=ω_n√(1-ξ^2)3.调整时间的计算：调整时间的计算公式为：t_s=4/(ξω_n)其中，t_s为调整时间。
二阶系统的阶跃响应
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1
n t 2 d
n t d
1
ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应
具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
一、二阶系统的阶跃响应
当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
二阶系统的阶跃响应
⼆阶系统的阶跃响应第3章辅导控制系统典型的输⼊信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是=<>0,00,)(t t A r t x式中A 为常数。
A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所⽰。
它表⽰为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉⽒变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于⼀个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加⼀突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数这种函数的定义是<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。
该函数的拉⽒变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加⼊⼀按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。
当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所⽰。
3. 抛物线函数如图所⽰，这种函数的定义是<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。
这种函数相当于随动系统中加⼊⼀按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。
抛物线函数的拉⽒变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数这种函数的定义是→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r式中A 为常数，ε为趋于零的正数。
脉冲函数的拉⽒变换是A A L s X r =??=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图所⽰。
单位脉冲函数的⾯积等于l ，即∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数⽤δ(t-t 0)来表⽰，它满⾜如下条件幅值为⽆穷⼤、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有⽤处。
单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。
自控原理实验二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一、实验目的1. 通过实验了解参数ζ(阻尼比)、n ω(阻尼自然频率)的变化对二阶系统动态性能的影响；2. 掌握二阶系统动态性能的测试方法。
二、实验内容1. 观测二阶系统的阻尼比分别在0<ζ<1，ζ=1和ζ>1三种情况下的单位阶跃响应曲线；2. 调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比21=ζ，测量此时系统的超调量p δ、调节时间t s (Δ= ±0.05)；3. ζ为一定时，观测系统在不同n ω时的响应曲线。
三、实验原理1. 二阶系统的瞬态响应用二阶常微分方程描述的系统，称为二阶系统，其标准形式的闭环传递函数为2222)()(nn n S S S R S C ωζωω++= (2-1)闭环特征方程：0222=++n n S ωζω其解 122,1-±-=ζωζωn n S ，针对不同的ζ值，特征根会出现下列三种情况： 1）0<ζ<1（欠阻尼），22,11ζωζω-±-=n n j S此时，系统的单位阶跃响应呈振荡衰减形式，其曲线如图2-1的(a)所示。
它的数学表达式为：)(111)(2βωζζω+--=-t Sin e t C d t n式中21ζωω-=n d ，ζζβ211-=-tg。
2）1=ζ（临界阻尼）n S ω-=2,1此时，系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线，如图2-1中的(b)所示。
3）1>ζ（过阻尼），122,1-±-=ζωζωn n S此时系统有二个相异实根，它的单位阶跃响应曲线如图2-1的(c)所示。
(a) 欠阻尼(0<ζ<1) (b)临界阻尼(1=ζ) (c)过阻尼(1>ζ)图2-1 二阶系统的动态响应曲线虽然当ζ=1或ζ>1时，系统的阶跃响应无超调产生，但这种响应的动态过程太缓慢，故控制工程上常采用欠阻尼的二阶系统，一般取ζ=0.6~0.7，此时系统的动态响应过程不仅快速，而且超调量也小。
自动控制原理实验一：二阶系统阶跃响应
实验一 二阶系统阶跃响应一． 实验目的1. 研究二阶系统的两个重要参数：阻尼比ξ和无阻尼自振角频率n ω对系统动态性能的影响。
2. 学会根据模拟电路，确定系统传递函数。
二． 实验内容二阶系统模拟电路如图2-1所示。
系统特征方程为2210T s KTs ++=，其中T RC =，01R K R =。
根据二阶系统的标准形式可知，=/2K ξ，通过调整K 可使ξ获得期望值。
三． 实验预习1. 分别计算出0.5,0.25,0.5,0.75T ξ==时，系统阶跃响应的超调量p σ和过渡过程时间s t 。
2. 分别计算出0.25,0.2,0.5,1.0T ξ==时，系统阶跃响应的超调量p σ和过渡过程时间s t 。
教材P55给出了计算公式：超调量100%p eσ=⨯过渡过程时间44s nTt ξωξ==（近似值，只适合二阶系统的欠阻尼状态）。
另外，为对实验结果做误差分析，还需计算0.5,1T ξ==时的p σ和s t 。
此时系统为临界阻尼状态，0p σ=，s t 若再用上面给出的式子计算则会使得误差较大。
我们将根据定义采用数值计算的方法计算出s t 。
临界阻尼状态下，二阶系统的单位阶跃响应为()1(1)n tn y t t eωω-=-+，令1()0.98,2n y t Tω===，计算得 2.917()t s =。
根据以上公式计算，将计算结果整理成下表：四． 实验步骤1. 通过改变K ，使ξ获得0,0.25,0.5,0.75,1.0等值，在输入端加同样幅值的阶跃信号，观察过渡过程曲线，记下超调量p σ和过渡过程时间s t ，将实验值和理论值进行比较。
2. 当0.25ξ=时，令0.2,0.5,1.0T =秒秒秒（T RC =，改变两个C ），分别测出超调量p σ和过渡过程时间s t ，比较三条阶跃响应曲线的异同。
五． 数据处理1. 数据整理与计算（1）0.5T =，ξ取不同值其中，记录(0)V 是为了矫正系统误差，因为理论上(0)V 应该等于0。
自动控制实验报告二-二阶系统阶跃响应
自动控制实验报告二-二阶系统阶跃响应
本实验以三角波输入作为扰动源，考察了二阶系统的阶跃响应。
本实验共分为准备和实验两部分，具体过程如下：
1. 准备：
（1）准备理论分析
根据二阶系统的理论分析，比例的系统的输出响应可以用“先过斜坡，后弹跳”的曲线来描述。
当输入为阶跃信号时，最终的输出也应随之发生阶跃。
（2）安装系统设备
系统的设备由负反馈比例控制器与多功能电路板组成，本实验采用比例控制实现，用一个三角波发生器后装置来产生三角波控制信号。
2. 实验：
（1）稳态响应
调整三角波周期参数，使系统实现稳态响应，测量得出输出与输入的闭环增益值，满足系统的稳态要求；
（2）阶跃响应
设定参数使得系统实现阶跃响应，测量得出系统的时间常数值以及输出响应与输入阶跃幅度之比，画图分析出输出在某一个阶跃时刻趋近系统的稳态响应值时所需的时间。
以上就是本次实验的概况。
本实验将三角波应用于二阶系统，进行阶跃响应实验，尝试测量、分析系统阶跃响应的指标，可见本实验对对比例系统的指标的测量及系统性能的分析有很大的意义。
二阶系统的阶跃响应的解析解
二阶系统的阶跃响应的解析解二阶系统的阶跃响应是指当输入信号为阶跃函数时，系统的输出信号随时间的变化情况。
阶跃响应是研究系统动态特性的重要指标之一，可以反映系统的稳定性、动态特性以及对输入信号的响应能力。
本文将从二阶系统的定义、阶跃响应的解析解推导以及实际应用等方面进行论述。
我们先来了解二阶系统的定义。
二阶系统是指系统的传递函数为二次多项式的系统，一般形式为：H(s) = K/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)其中，K为系统的增益，ζ为阻尼比，ωn为系统的自然频率，s为复变量。
阶跃响应的解析解是指通过对传递函数进行解析运算，得到的系统输出与时间的函数关系。
对于二阶系统的阶跃响应，可以通过拉普拉斯变换和反变换的方法进行求解。
具体求解过程如下：1. 将传递函数H(s)进行拉普拉斯变换，得到系统的传递函数表达式：H(s) = K/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)2. 将输入信号的拉普拉斯变换表达式为1/s，代入传递函数表达式中，得到系统的输出信号的拉普拉斯变换表达式：Y(s) = K/(s(s^2 + 2ζωns + ωn^2))3. 对上述表达式进行部分分式分解，将其分解为多个简单分式的和的形式：Y(s) = A/s + (Bs + C)/(s^2 + 2ζωns + ωn^2)4. 对上述分式进行反变换，得到系统的输出与时间的函数关系：y(t) = A + (Bcos(ωdt) + Csin(ωdt))e^(-ζωnt)其中，A、B、C为待定常数，ωd为系统的阻尼角频率。
通过上述推导过程，我们得到了二阶系统的阶跃响应的解析解。
根据解析解的形式，我们可以看出阶跃响应的特点：随着时间的增加，系统的输出会逐渐趋向于稳定状态，同时存在振荡和衰减的现象。
其中，振荡的频率和衰减的速度受到系统的阻尼比和自然频率的影响。
二阶系统的阶跃响应在实际应用中具有重要的意义。
例如，在控制系统中，阶跃响应可以用来评估系统的性能指标，如超调量、调节时间等。
二阶系统的阶跃响应
8
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
Step Response
e(t ) r (t ) y (t ) 1 y (t )
Amplitude
1
=0.3,n=10
0.8
e nt 1
2
sin(n 1 2 t )，t 0
3
3.3 二阶系统的阶跃响应
二、典型二阶系统的阶跃响应 1 当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) ，有： s 2 1 n 1 C ( s ) ( s ) 2 2 s s 2 n s n s 2 1 n 1 1 1 c(t ) L [( s) ] L [ 2 ] 2 s s 2 n s n s
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程 中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化 为二阶系统来研究。 2 C ( s) n R( s ) s( s 2 n ) 典型结构的二阶系统如图所示。 2 n 开环传递函数为: G( s) 2 s 2 n s 2 n G( s ) 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n ( s ) 称为典型二阶系统的传递函数， n 称为 称为阻尼系数， 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参 数。
9
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
⒊当 1 时，极点为：
阶跃响应函数为：
2
s1, 2 n
1 n n2 1 1 n C ( s) 2 s s 2n s n 2 s( s n )2 s s n ( s n )2
二阶系统阶跃响应实验报告
二阶系统阶跃响应实验报告实验报告：二阶系统阶跃响应一、实验目的1.了解二阶系统的阶跃响应特点；2.掌握二阶系统阶跃响应的测量方法；3.理解参数对二阶系统阶跃响应的影响。
二、实验原理二阶系统是指一个包含两个能量存储元件（电容、电感）的系统。
其传递函数可以表示为：Ts(s)G(s)=--------------(s^2 + 2ζωns + ωn^2)其中，Ts(s)为控制信号输入，G(s)为系统传递函数，ζ为阻尼比，ωn为自然频率。
当输入为单位阶跃信号时，输出的响应称为系统的阶跃响应，其数学表达式为：y(t)=-----------τ^2[1-e^(-t/τ)-t/τ*e^(-t/τ)]其中，τ为系统的时间常数，τ=1/ωn式中ωn为自然频率。
实验步骤1.搭建二阶电路系统，并接入信号发生器和示波器。
2.调节信号发生器产生单位阶跃信号，并将信号接入二阶电路系统中。
3.调节示波器进行观测，并记录输出信号的波形。
4.根据记录的波形数据，计算系统的时间常数τ、阻尼比ζ和自然频率ωn。
5.改变二阶电路系统中的参数（如电感或电容值），重新进行实验并记录数据。
6.分析不同参数对二阶系统阶跃响应的影响。
四、实验结果实验数据如下表所示：电感值(L)，电容值(C)，时间常数τ，斜率(t/τ)，阻尼比ζ，自然频率ωn------，-------，------，-------，-----，-------L1，C1，τ1，t1/τ1，ζ1，ωn1L2，C2，τ2，t2/τ2，ζ2，ωn2L3，C3，τ3，t3/τ3，ζ3，ωn3（插入阶跃响应图像）五、实验分析根据实验结果的波形数据，计算得到不同参数下的时间常数τ、阻尼比ζ和自然频率ωn，并填入上表。
通过对比不同参数下阶跃响应的图像，可以得出以下结论：1.时间常数τ：时间常数τ代表系统响应到达稳态所需的时间。
一般来说，时间常数越小，系统的响应速度越快。
根据实验数据的对比可以发现，当电感或电容值增加时，时间常数τ也相应增大，表示系统的响应速度减慢。
二阶电路阶跃响应
二阶电路是指由两个电感和两个电容构成的电路，常用于滤波、放大和振荡等应用。
在二阶电路中，阶跃响应是指当电路输入为阶跃信号时，电路输出的响应情况。
对于一个二阶系统，其阶跃响应可以分为三种情况：
1.无阻尼振荡：当系统存在无阻尼时，即无阻尼系数ζ=0时，系统会出现无阻尼振荡。
此时，系统的输出将会产生一系列周期性的波形，幅值振荡并逐渐趋向于稳定状态。
2.欠阻尼：当系统存在欠阻尼时，即0<ζ<1时，系统的输出将会发生震荡，并逐渐衰
减至稳定状态。
此时，系统的输出将会出现多次衰减的振荡，振荡的频率取决于系统的固有频率ωn和阻尼系数ζ。
3.过阻尼：当系统存在过阻尼时，即ζ>1时，系统的输出将不会发生震荡，而会快速
衰减至稳定状态。
此时，系统的响应将会非常迅速地趋向于稳定状态，但是衰减的速度取决于系统的阻尼系数ζ和固有频率ωn。
总之，二阶电路的阶跃响应会受到阻尼系数ζ、固有频率ωn等多个因素的影响，而不同的参数组合将会导致不同的响应情况。
因此，在实际应用中，需要根据具体的应用需求选择合适的参数组合以及相应的响应方式。
二阶系统的阶跃响应
二阶系统阶跃响应一. 实验目的1. 研究二阶系统的特征参数，阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn对系统动态性能的影响，定量分析ζ和ωn与最大超调量σp和调节时间t s之间的关系。
2. 进一步学习实验系统的使用3. 学会根据系统的阶跃响应曲线确定传递函数4. 学习用MATLAB仿真软件对实验内容中的电路进行仿真。
二.实验原理典型二阶闭环系统的单位阶跃响应分为四种情况：1）欠阻尼二阶系统如图1所示，由稳态和瞬态两部分组成：稳态部分等于1，瞬态部分是振荡衰减的过程，振荡角频率为阻尼振荡角频率，其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率ωn决定。
图1 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线（1）性能指标：调节时间t S: 单位阶跃响应C(t)进人±5%(有时也取±2%)误差带，并且不再超出该误差带的最小时间。
超调量σ% ；单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。
峰值时间t P ：单位阶跃响应C(t)超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
结构参数ξ：直接影响单位阶跃响应性能。
（2）平稳性：阻尼比ξ越小，平稳性越差（3）快速性：ξ过小时因振荡强烈，衰减缓慢，调节时间t S长，ξ过大时，系统响应迟钝，调节时间t S 也长，快速性差。
ξ＝0.7调节时间最短，快速性最好。
ξ＝0.7时超调量σ%<5％,平稳性也好，故称ξ＝0.7为最佳阻尼比。
2）临界阻尼二阶系统（即ξ＝1）系统有两个相同的负实根，临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是无超调的，无振荡单调上升的，不存在稳态误差。
3）无阻尼二阶系统（ξ＝0时）此时系统有两个纯虚根。
4）过阻尼二阶系统（ξ>1）时此时系统有两个不相等的负实根，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应无振荡无超调无稳态误差，上升速度由小加大有一拐点。
三.实验内容1.启动MA TLAB7.0，进入Simulink后新建文档，在文档里绘制二阶系统的结构框图。
双击各传递函数模块，在出现的对话框内设置相应的参数。
第二章二阶系统阶跃响应第二部分
一、 二阶系统的单位阶跃响应分析
1、什么是二阶系统单位阶跃响应？
二阶系统输入单位阶跃信号的响应，称为二阶系统单位阶跃响应。
标准二阶系统传递函数：
Y(s )
=
s(s 2
+
n2 2ns
+
n2 )
（式1）
典型的二阶系统阶跃响应曲线为： 其中: tr-- 为上升时间 tp-- 为峰值时间
y(t) ymax
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2、仿真实现 （1）不同阻尼比阶跃响应仿真曲线
对应闭环系统传递函数：
(s) =
s2
+
1
2s + 1
(式16)
当ωn=1, 取ζ=0, 0.25 , 0.5, 1.0 , 2.0
时，如图：
结论：
➢ 无阻尼阶跃响应曲线为等幅振荡，此时超调量=100%，稳态时间是无穷大。 ➢ 欠阻尼阶跃响应曲线随值减小超调量增大，稳态时间变长。 ➢ 临界阻尼和过阻尼阶跃响应曲线超调量为零。
Experimental Course Of Automatic Control Theory
**大学 **学院
** University
实验二：二阶系统阶跃响应实验
第二部分：二阶系统阶跃响应的计算方法
主讲内容
1
二阶系统单位阶跃响应的分析
2 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
3
二阶系统阶跃响应的实现
1.02 y(∞) y(∞)
0.98 y(∞) 0.9 y(∞)
ess y(∞)
ts-- 为稳态时间或过渡过程时间
0.1 y(∞)
y(∞) --为稳态值 ess--为稳态误差
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阶跃响应函数为：
C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
n2 s(s n)2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
C(t)
2
1
0
nt
0 2 4 6 8 10 12
10
33..33.2 典二型阶二阶系系统统的的单位阶阶跃跃响响应 应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) ent (1 nt)，t 0
开环传递函数为: 闭环传递函数为:
G(s)
s2
2 n
2
ns
(s)
G(s) 1 G(s)
s2
2 n
2 ns
n2
(s) 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数，n 称为 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参
数。
2
3.3 二阶系统的阶跃响应
特征方程为：
s2
2
ns
2 n
0
特征根为： s1,2 n n 2 1
⒋当 1 时，极点为： s1,2 n n 2 1
即特征方程为
两阶系统的瞬态响应
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
2 n
R(s) [s n ( 2 1)][s n ( 2 1)]
C(s)
2 n
1
[s n ( 2 1)][s n ( 2 1)] s
Step Response 1
0.9
0.8 0.7 0.6
Amplitude
0.5 0.4 0.3 0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
随着时间的增加，误差越来越小，到稳态时误差变为零。
通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临
界阻尼响应。
11
3.3 二阶系统的阶跃响应
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程
中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化
为二阶系统来研究。
R(s)
2 n
C(s)
典型结构的二阶系统如图所示。
- s(s 2 n )
0 02
4
6
nt
8 10 12
4
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) cosnt，t 0
Step Response曲线呈现等
0.6
幅振荡形式。即
0.4
系统在无阻尼情
0.2
况下，不能跟踪
0
输入的单位阶跃
1 s
s2
2
ns
s 2 ( n )2
n
(
n
)2
2 n
1
s n n
s (s n )2 ( 1 2n )2
1
s n
n
s (s n )2 ( 1 2n )2 (s n )2 ( 1 2n )2
6
3.3 二阶系统的阶跃响应
sa (s a)2 b2
eat
cos(bt)
1 2
),
t0
7
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
c(t) 1
e nt sin(
1 2
1 2nt tg1
1 2
),
t0
系统极点为：
s1,2 n jn 1 2
极点的负实部 n 决定了指数 衰减的快慢，虚部d n 1 2 是振荡频率。称d 为阻尼振荡 圆频率。注意：d n 。
C(t)
b
eat sin(bt)
(s a)2 b2
1
s n
1 2n
s (s n )2 ( 1 2n )2 1 2 (s n )2 ( 1 2n )2
y(t) 1 ent[cos( 1 2nt)
sin(
1 2
1 2nt)],
t0
y(t) 1
e nt sin(
1 2
1 2nt tg 1
2
1
0 02
46
nt
8 10 12
8
3.3 二阶系统的阶跃响应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
1
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) 0.8
e n t
1 2
sin(n
1 2t
0.6 0.4
0.2
Step Response
=0.3,n=10
Amplitude
tg 1 1 2 )，t 0
-0.2
信号。
Amplitude
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Time (sec)
5
3.3 二阶系统的阶跃响应
⒉ 当0 1时，系统极点为：p1,2 n jn 1 2 d n 1 2 称为阻尼振荡频率。
Y(s) 1
n2
1 s 2n
s s2 2ns n2 s s2 2ns n2
c(t) 1
1
e e ( 2 1)nt
( 2 1)nt
2 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
特征方程还可为
12
s2
2
ns
2 n
(s
1 )( s
T1
1 T2
)
注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式 也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。
⒈ 当 0 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系 统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。
⒉ 当 0 1 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称
为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系
统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
⒋ 当 1时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，
系统的阶跃响应为非振荡过程。
3
3.3 二阶系统的阶跃响应
二、典型二阶系统的阶跃响应
当输入为单位阶跃函数时，R(s) 1 ，有：
C(s)
(s)
1 s
0
-0.2
-0.4
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Time (sec)
误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时 t ，
有lim e(t) 0，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位 阶跃t信号，没有稳态误差。
9
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
⒊当 1 时，极点为： s1,2 n
s2
n2 2 n s
n2
s
1 s
c(t)
L1[(s)
1] s
L1[ s2
n2 2 n s
n2
1] s
⒈当 0 时，极点为：s jn
C(t)
2
C(s)
n2 s(s2 n2 )
1 s
s2
s
n2
1
c(t) 1 cosnt t 0
此时输出将以频率 n 做等幅振荡，
所以, 称为n无阻尼振荡频率。