排列组合 二项式定理知识点

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35:排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

35:排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理(1)分类计数定理(加法原理):如果完成一件事,有n 类方式,在第1类方式中有1m 种不同的方法,在第2类方式中有2m 种不同的方法,......,在第n 类方式中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.(2)分步计数定理(乘法原理):如果完成一件事,需要完成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,......,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.(3)两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成,事件完成了就是分类,分类后要将种数相加;事件必须要连续若干步才能完成的则是分步,分步后要将种数相乘.2.排列(1)排列的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(2)排列数的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n A 表示.(3)排列数公式:)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地:①(全排列).123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合(1)组合的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.(2)组合数的定义:一般地,从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示.(3)组合数公式:()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地:01n C =.(4)组合数的性质:①m n n m n C C -=;②11-++=m n m n m n C C C ;③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法:先特殊后一般(有限制条件问题),先组合后排列(分组问题),先分类后分步(综合问题).例:某校开设9门课程供学生选修,其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修4门,共有多少种不同的选修方案?答:.75461336=+C C C (1)特殊元素、位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置.例4-1:0、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个?答:.3013131224=+C C C A (2)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2:从7名男同学和5名女同学中选出5人,若至少有2名女同学当选,问有多少种情况?答:.596)(471557512=+-C C C C(3)相邻问题“捆绑法”:将必须相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列,待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数,它主要用于解决相邻问题.例4-3:5个男生3个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法?答:6363A A =4320(4)不相邻问题“插空法”:先把无位置要求的元素进行排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中(注意两端).例4-4:5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?答:5354A A (5)元素相同“隔板法”:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组,共11--+m m n C 种方法.例4-5:10张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种选法?答:.49C (6)元素不多“列举法”:即把符合条件的一一列举出来.例4-6:将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内,每个方格填一个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

排列组合二项式定理

排列组合二项式定理

排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作,按照一定的顺序进行排列。

在排列中,每个元素只能使用一次。

例如,从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列,可以得到以下6个排列: 12、13、21、23、31、32。

排列的数目可以用符号P表示,表示从n个元素中选取r 个进行排列。

排列数的计算公式如下所示: P(n, r) = n! / (n - r)!其中,!表示阶乘,例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作,不考虑元素的顺序。

与排列不同,组合中的元素只有选择与不选择两种情况。

例如,从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合,可以得到以下三个组合: 12、13、23。

组合的数目可以用符号C表示,表示从n个元素中选取r 个进行组合。

组合数的计算公式如下所示: C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理,用于展开任意幂的二项式。

二项式定理公式如下所示: (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中,C(n, r)表示组合数,表示从n个元素中选取r个进行组合。

a和b表示两个变量,n表示幂。

在二项式定理中,展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积,这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。

二项式定理在代数学中有着广泛的应用,它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。

二项式定理也是高中数学课程中常见的内容,通过学习二项式定理,可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。

排列组合二项式定理

排列组合二项式定理

排列组合二项式定理知识要点【考点梳理】一、考试内容1.分类计数原理与分步计数原理。

2.排列、排列数公式。

3.组合、组合数公式。

4.组合数的两个性质。

5.二项式定理,二项式展开的性质。

二、考试要求1.掌握分类计数原理及分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它解决一些简单的问题。

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题。

三、考点简析1.排列、组合、二项式知识相互关系表2.两个基本原理(1)分类计数原理中的分类。

(2)分步计数原理中的分步。

正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3.排列(1)排列定义,排列数(2)排列数公式:系m n A =)!(!m n n -=n ·(n-1)…(n-m+1) (3)全排列列:n n A =n!(4)记住下列几个阶乘数:1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=7204.组合(1)组合的定义,排列与组合的区别(2)组合数公式:C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n (3)组合数的性质①C n m =C n n-m②r n r n r n C C C 11+-=+ ③rC n r =n ·C n-1r-1④C n0+C n1+…+C n n=2n⑤C n0-C n1+…+(-1)n C n n=0即C n0+C n2+C n4+…=C n1+C n3+…=2n-15.二项式定理(1)二项式展开公式(a+b)n=C n0a n+C n1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n(2)通项公式:二项式展开式中第k+1项的通项公式是T k+1=C n k a n-k b k6.二项式的应用(1)求某些多项式系数的和。

(2)证明一些简单的组合恒等式。

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:nm 种)二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m nA 表示.⑷排列数公式:),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A11--=m n m n nA A 规定10==n nnC C2. 含有可重元素......的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21kn n n n n =. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1!3!3==n . 三、组合.1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m mm nmn-=+--==Λ⑶两个公式:①;mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mnC )②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C mn种,依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++Λλ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ΛΛΛ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如:)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ(利用!1)!1(1!1n n n n --=-)ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法(即用mn m n m n C C C 11+-=+递推)如:413353433+=+++n n C C C C C Λ.vi. 构造二项式. 如:nnn n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明:这里构造二项式nnnx x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ,而右边n n C 2=四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m mA 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2nA 2211A An ⋅-.②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A An n ⋅--.③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .注:①③区别在于①是确定的座位,有22A 种;而③的商品地位相同,是从n 件不同商品任取的2个,有不确定性.④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?mm n mn mn A A1+---⋅(插空法),当n– m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有nnA 种,)(n m m π个元素的全排列有m mA 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn nA A 种排列方法.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n !/ m !;解法二:(比例分配法)m mnn A A /.⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有k knnn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅.例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!224=C (平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?(!2/102022818CC C P =) 注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有mmm m n mn mn A A A/1+---⋅,当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如:124321=+++x x x x的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意:若为非负数解的x 个数,即用na a a ,...,21中ia 等于1+ix ,有Aaa a A x x x x nn =-+-+-⇒=+++1...11...21321,进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C .⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?固定在某一位置上:11--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A或11111----⋅+m n m mn A A A(一类是不取出特殊元素a ,有mn A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r 个元素都包含在内 。

高中数学-排列组合二项式定理知识点

高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点2、排列、组合3、二项式定理内容典型题定义①二项式定理:(a+b)n=C 0n a n+C 1n a n-1b1+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n=∑=nrrnCa n-rb r(n∈N+)②二项式展开式第r+1项通项公式:Tr-1=C r n a n-r b r其中C r n(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.8.二项式8)1(-x的展开式中的第5项是( )A. 70x4B. 70x2C. 56x3D. -5623x9.二项式(x-2)12展开式中第3项的系数是( )A.264B.-264C.66D.-176010.(x-2)8 的展开式中, x6的系数是( )A. 56B. -56C. 28D. 22411.(x2+)5展开式中的10x是( )A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项12.二项式x-1x6的展开式中常数项是( )A. 1B. 6C. 15D. 2013.设(3-x)n=nnxaxaxaa+⋅⋅⋅+++221,已知naaaa+⋅⋅⋅+++21=64,则n=.14.设二项式(3x+5)10=188991010axaxaxaxa++⋅⋅⋅+++,则18910aaaaa+-⋅⋅⋅-+-=.15.二项式2x-1x6的展开式中二项式系数最大的项是.性质①在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②如果二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,则中间两项的二项式系数相等并且最大.③二项式系数的和为n2,即nC+1nC+…+rnC+…+nnC=n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即nC+2nC+…=1nC+3nC+…=12-n。

高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理

高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理

高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结:第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具,它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将对这两个知识点进行总结和说明。

1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。

组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。

排列和组合都涉及到元素的选择和顺序,但它们在选择的要求上有所不同。

1.1 排列排列的计算公式为:P(n, m) = n! / (n-m)!,其中n表示元素总数,m表示需要选择的元素个数,n!表示n的阶乘。

1.2 组合组合的计算公式为:C(n, m) = n! / (m!(n-m)!),其中n表示元素总数,m表示需要选择的元素个数,n!表示n的阶乘。

2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理,它描述了一个二项式的幂展开式。

二项式是一个形如(a+b)^n的表达式,而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。

二项式定理的表达式为:(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。

其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

二项式定理的展开形式中包含了n+1个项,每一项的系数是组合数C(n, k),指数是a和b的幂。

二项式定理的应用非常广泛,在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。

它可以用来快速计算幂次方的结果,也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。

3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中,我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。

例题1:某班有10名学生,要从中选择3名学生组成一个小组,问有多少种不同的选择方式?解析:根据排列的计算公式,可以得到答案:P(10, 3) = 10! / 7! = 720。

排列、组合与二项式定理(理)

排列、组合与二项式定理(理)
二项式定理不仅具有理论价值,还有广泛的应用 价值,特别是在统计学、计算机科学和物理学等 领域。
二项式定理的未来发展方向
理论完善
随着数学的发展,二项式定理的理论体系将不断完善,新的证明方 法和技巧将不断涌现。
应用拓展
随着各学科的发展,二项式定理的应用领域将不断拓展,特别是在 大数据处理、人工智能和量子计算等领域。
排列数的计算
01
二项式定理也可以用来计算排列数,特别是当排列数的上标和
下标较大时,使用二项式定理可以简化计算过程。
排列数的性质
02
通过二项式定理,我们可以推导出排列数的性质,如排列数的
增减性等。
排列数的递推关系
03
利用二项式定理,我们可以得到排列数的递推关系,从而更方
便地计算排列数。
利用二项式定理解决实际问题
互异性
有序性
排列中的元素顺序是确定的,不能随 意调换。
排列中的元素没有重复出现的情况。
组合的定义与性质
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素 (0<m≤n),不考虑顺序,称为 从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合。
互异性
组合中的元素没有重复出现的情况。
无序性
组合中的元素顺序不影响其组合结 果。
排列与组合的关系
利用组合数的性质,通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
利用多项式乘法推导
将$(a+b)^n$展开成多项式,然后利用多项式乘法的性质推导出二 项式定理的展开式。
利用幂的性质推导
利用幂的性质,将$(a+b)^n$展开成幂的形式,然后通过数学推导 推导出二项式定理的展开式。
04 二项式定理的应用举例
利用二项式定理计算组合数

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学排列组合及二项式定理知识点高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理:分类计数原理:完成某事有多种不同的方法,这些方法间是彼此独立的,任选其中一种方法都能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理:完成某事必须分成几个步骤,每个步骤都有不同的方法,而每个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接,只有依次完成所有各步,才能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别:如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”;如果只有当n个步骤都做完,这件事才能完成,则选用分步计数原理,即步与步之间是相互依存的,连续的,即“分步完成”。

二、排列与组合:1)排列与组合的区别和联系:都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题;区别:前者有顺序,后者无顺序。

2)排列数、组合数:排列数的公式:Ann(n-1)(n-2)。

(n-m+1)=n。

注意:①全排列:Ann。

②记住下列几个阶乘数,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720;排列数的性质:①AnnAn-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,分两步完成:第一步从n个元素中选出1个排在指定的一个位置上;第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上)②AnmAn-1An-1将从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,分两类完成:第一类:m个元素中含有a,分两步完成:第一步将a排在某一位置上,有m不同的方法。

第二步从余下n-1个元素中选出m-1个排在余下的m-1个位置上)即有mAn-1种不同的方法。

第二类:m个元素中不含有a,从n-1个元素中取出m个元素排在m个位置上,有An-1种方法。

组合数的公式:Cmnmm!(n-m)!/m!组合数的性质:CnCn从n个不同的元素中取出m个元素后,剩下n-m个元素,也就是说。

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

排列与组合一、两个根本计数原理:〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理:做一件事,完成它可以有类方法,在第一类方法中有种不同的方法,在第二类方法中有种不同的方法,……,在第类方法中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地,从个不同元素中取出个元素,按照一定顺序排成一列。

排列数公式:我们把正整数由1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示,即,并规定。

全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕(二)组合定义:一般地,从个不同元素中取出个元素合成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合;组合数用符号表示组合数公式:变式:组合数的两个性质:1、三、二项式定理1、二项式定理:n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点:① 项数:共有1+n 项;② 系数:依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的,即为n 次,展开式依a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+(展开式中的第1+r 项为:),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时,中间项是第12+n 项,它的二项式系数2n n C 最大; II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第21+n 项和第121++n 项,它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和: 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理:分类计数原理:如果完成某事有几种不同的方法,这些方法间是彼此独立的,任选其中一种方法都能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理:如果完成某事,必须分成几个步骤,每个步骤都有不同的方法,而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接,只有依次完成所有各步,才能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别:如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”;如果只有当n 个步骤都做完,这件事才能完成,则选用分步计数原理,即步与步之间是相互依存的,连续的,即“分步完成”。

二、排列与组合:(1)排列与组合的区别和联系:都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题; 区别:前者有顺序,后者无顺序。

(2)排列数、组合数:排列数的公式:)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意:①全排列:!n A n n =; ②记住下列几个阶乘数,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720;排列数的性质:①11--=m n m n nA A (将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素,分两步完成:第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上;第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上)②m n m n m n A mA A 111---+=(将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素,分两类完成:第一类:m 个元素中含有a ,分两步完成:第一步将a 排在某一位置上,有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上)即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类:m 个元素中不含有a ,从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上,有m n A 1-种方法。

高中数学 排列组合及二项式定理 知识点和练习

高中数学 排列组合及二项式定理 知识点和练习

资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除排列组合及二项式定理【基本知识点】1.分类计数和分步计数原理的概念m?n mn)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序2.排列的概念:从(个不同元素中,任取排成.....nm个元素的一个排列一列,叫做从个不同元素中取出....m?n nmmn 元素(个不同元素中,任取)个元素的所有排列的个数叫做从3.排列数的定义:从个元素中取出m A的排列数,用符号表示n?m,m?n,n?Nm1)??mn?2)(n?An(n?1)()( 4.排列数公式:nn!0!?1nn.的连乘积,叫做5.阶乘:的阶乘表示正整数1到规定n!m A=.排列数的另一个计算公式: 6nm?)!(n??nmnm nm?个元素的一个组合个不同元素中取出从个元素并成一组,个不同元素中取出叫做从7.组合概念:??nm?nmnm个个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从8.组合数的概念:从个不同元素中取出m C表示.元素的组合数.用符号...n n!m An(n?1)(n?2)(n?m?1)?m,且m?n,m?N)(nC?mn??C或 9.组合数公式:nn)!?mm!(n m!Am mmn?m0C?CC?1;.规定:10.组合数的性质1:nnnmm?m1CCC01nn=2+C11.组合数的性质2:= + C+C+…nnn nn1n?1n-1kn-kkn0nnn…+Cab+…+Cbb+a二项式展开公式:12.(a+b)=C+Ca nnnn 13.二项式系数的性质:n021nr)ba(?CCCCC)r(f r,定义域是,展开式的二项式系数是,可以看成以为自变量的函数,…,.nnnnn{0,1,2,,n},只供学习与交流.请联系网站删除资料收集于网络,如有侵权m?mn C?C 1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵.)(nnn1n?n?1nn CCC222取得最大,)增减性与最大值:当取得最大值;当是奇数时,中间两项是偶数时,中间一项(2nnn值.n1nrr xCx????Cx?(1?x)1?(3)各二项式系数和:∵,nnn2rn011x?CC?C?C???C2??,则令nnnnn【常见考点】一、可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?433344(:(1)3(2))【解析】高☆考♂资♀源€.题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列二.相邻问题捆绑法:☆网BA,EC,D,A,B,AB的右边,那么不同的排法种数有(4)五人并排站成一排,如果必须相邻且在4BA,24?A AB4人的全排列,视为一人,且固定在【解析】:把种的右边,则本题相当于43 3位男生和位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,(5)3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A. 360 B. 188 C. 216 D.962222=432AAAC高☆考♂位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,种3 【解析】:间接法 6位同学站成一排,2243☆资♀源€网22221=144ACAAA288 其中男生甲站两端的有,符合条件的排法故共有23223只供学习与交流.资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除三.相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.(6)七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是5252AA?3600AA种个排列数为种,种,再用甲乙去插6个空位有不同的排法种数是【解析】:除甲乙外,其余56565(7)书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法(具体数字作答)111=504AAA:【解析】9789九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的1,2,3…,(8)马路上有编号为二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?3C所以满足条件的关种方法5个空隙中插入3盏不亮的灯,【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5灯方案有10种.四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。

高考数学基础知识总结:第10章 排列组合二项定理

高考数学基础知识总结:第10章 排列组合二项定理

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求:(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.§10. 排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可.以有..的排列...重复..元素从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多m种)少种不同放法?(解:n二、排列.1. ⑪对排列定义的理解.定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑫相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号mn A 表示.⑭排列数公式:),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素......的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑬两个公式:①;m n n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C )②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n ,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C mn种,依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n (利用!1)!1(1!1n n n n --=-) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如:nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ,而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A A nn ⋅--. ③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .注:①③区别在于①是确定的座位,有22A 种;而③的商品地位相同,是从n 件不同商品任取的2个,有不确定性.④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?m m n m n m n A A 1+---⋅(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有n n A 种,)(n m m 个元素的全排列有m m A 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn n A A 种排列方法.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n !/ m !;解法二:(比例分配法)m m n n A A /.⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有kknnn n k n kn AC C C )1(-⋅.例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!224=C (平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (!2/102022818C C C P =)注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅,当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.例如:124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得x 2x 4球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意:若为非负数解的x 个数,即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ,有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321,进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?固定在某一位置上:11--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A (一类是不取出特殊元素a ,有mn A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r 个元素都包含在内 。

高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解(5分)

高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解(5分)
练:在 的展开式中系数最大的项是多少?
解:假设 项最大,
,化简得到 ,又 , ,展开式中系数最大的项为
题型七:含有三项变两项;
例:求当 的展开式中 的一次项的系数?
解法①: , ,当且仅当 时, 的展开式中才有x的一次项,此时 ,所以 得一次项为
它的系数为 。
解法②:
故展开式中含 的项为 ,故展开式中 的系数为240.
2、 2、
2、4n
3、 的展开式中的有理项是展开式的第项
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
5、 ,要得到含x4的项,必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项 作积,第一个因式中的-x3与(1-x)9展开式中的项 作积,故x4的系数是
解:设 展开式中各项系数依次设为
,则有 ①, ,则有 ②
将①-②得:
有题意得, , 。
练:若 的展开式中,所有的奇数项的系数和为 ,求它的中间项。
解: , ,解得
所以中间两个项分别为 , ,
题型六:最大系数,最大项;
例:已知 ,若展开式中第 项,第 项与第 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
练:求式子 的常数项?
解: ,设第 项为常数项,则 ,得 , , .
题型八:两个二项式相乘;
例:
解:
.
练:
解:
.
练:
解:
题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和;
例:

排列组合_二项式定理知识点复习

排列组合_二项式定理知识点复习

中起来,然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡,则4张
贺年卡不同的分配方式有( )
A.6种
B.9种
C.11种
D.23种
解法1:设四人A,B,C,D写的贺年卡分别是a,b,c,d, 当A拿贺年卡b,则B可拿a,c,d中的任何一个,即B拿a, C拿d,D拿c或B拿c,D拿a,C拿d或B拿d,C拿a,D拿c, 所以A拿b时有三种不同分配方法.同理,A拿c ,d时也各
是( C )
2 若系A数(2之x2比81x)为n 展-B5开,则式3n中8等含C于x1(21项B或)的38系数D 与1含或2x18 4 项的
A4 B6 C8
D 10
3.1 3 32 399 被4除所得的系数为( A )
A.0 B.1
C.2
D.3
二填空题
1(05湖南 ) (1 x) (1 x)2 (1 x)3 (1 x)6 展开式中x2 的系数是___3_5__________
3×3×3×3=81
1.排列和组合的区别和联系:
名称
排列
组合
一个~
从n个不同元素中取出m个元 素,按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素,把它并成一组
~~数 所有排列的的个数
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
两式相加
2Sn n(Cn0 Cn1 Cn2 Cnn1 Cnn ) n 2n
Sn n 2n1
巩固练习
一选择题
a 1(04福建)已知 展开式的常数项是1120, (x a )8

高中数学专题讲解排列组合及二项式定理

高中数学专题讲解排列组合及二项式定理

排列组合及二项式定理【基本知识点】1.二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C .r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ,定义域是{0,1,2,,}n ,(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵m n m n n C C -=). (2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间一项2nn C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC -,12n nC+取得最大值.(3)各二项式系数和:∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n rn nn n n n C C C C C =++++++【常见考点】一、可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数。

(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法? (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1)43(2)34 (3)34二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.(4),,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种 (5)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144,符合条件的排法故共有288三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.(6)七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种(7) 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答)【解析】: 111789A A A =504(8)马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的 二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元 素;再排其它的元素。

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点以及典型例题总结考纲要求:1.知道分类计数原理与分步计数原理的区别,会用两个原理分析和解决一些简单的问题2.知道排列和组合的区别和联系,记住排列数和组合数公式,能用它们解决一些简单的应3.知道一些组合数性质的应用.4.了解二项式定理及其展开式5.记住二项式展开式的通项公式,并能够运用它求展开式中指定的项6.了解二项式系数的性质,能够利用二项式展开式的通项公式求出展开式中二项式系数最大的项.7.了解二项式的展开式中二项式系数与项的系数的区别知识点一:计数原理1.分类加法计数原理如果完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.两个基本计数原理的区别:分类计数原理——每一类办法都能把事单独完成;分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成.2.分步乘法计数原理如果完成一件事,需分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1·m2·…·m n种不同的方法.知识点二:排列1.排列的定义:一般地,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.如果m <n ,这样的排列叫作选排列.如果m =n ,这样的排列叫作全排列.2. 排列数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号P mn 表示.3. 排列数的公式: (1) P m n =n ·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1);(2) P m n =()!!n n m -; 规定:0!=1.知识点三:组合1.组合的定义:一般地,从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C mn 表示.3. 组合数公式: (1)()()()121P C P !m mn n m n n n n n m m ---+==(2)()!C !!m n n m n m =-(n ,m ∈N +,且m ≤n ) 4. 组合数性质:(1) C =C m n m n n -;(2) 111C +C C mm m n n n +++=知识点四:二项式定理1. 二项式定理(a +b )n =011222C C C C C n n n m n m nn n n n n n a a b a b a b b ---++++++, n ∈N +其中C m n (m =0,1,2,…,n )叫做二项式系数;T m +1=C m n m m n a b -叫做二项式展开式的通项公式.2. 二项式系数的性质:(1)每一行的两端都是1,其余每一个数都是它“肩上”两个数的和;(2)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C C r n r n n -=(3)如果二项式的幂指数n 是偶数,那么中间一项即第12n +项的系数最大;如果二项式的幂指数n 是奇数,那么中间两项即第12n +项和第32n +项的二项式系数相等且最大; (4)(a +b )n 的二项式系数之和为2n ,即012C C C ++C ++C m n n n n n n ++=2n ; (5)(a +b )n 的二项展开式中,奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等12n -,024C C C +n n n ++135C +C C n n n =++12n -=.题型一 分类加法计数原理例1 一个盒子里有4个不同的红球,3个不同的黄球和5个不同的蓝球.从盒子中任取一个球,有多少种不同的取法?分析:盒子中取出一个球就可以完成任务,所以考察分类加法计数原理.解答:从盒子中任取一个球,共有三类方案:第一类方案,从4个不同的红球中任取一球,有4种方法;第二类方案,从3个不同的黄球中任取一球,有3种方法;第三类方案,从5个不同的蓝球中任取一球,有5种方法.所以,选一个班担任升旗任务的方法共有:12+10+10=32(种)题型二分步乘法计数原理例2 一个盒子里有4个不同的红球,7个不同的黄球和5个不同的蓝球.从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个,有多少种不同的取法?分析:盒子中各取出一个球需要分三步,所以考察分步乘法计数原理.解答:完成这件事需要分三步.第一步,从4个不同的红球中任取一球,有4种方法;第二步,从3个不同的黄球中任取一球,有3种方法;第三步,从5个不同的蓝球中任取一球,有5种方法.由分步乘法计数原理,从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个共有⨯⨯435=60种不同的取法.例3 邮政大厅有4个邮筒,现将三封信逐一投入邮筒,共有多少种投法?分析:三封信逐一投入邮筒分成三个步骤,每个步骤投一封信,分别均有4种方法.解答:应用分步计数原理,投法共有44464⨯⨯=种.题型三分类分步混合运算例4 一个盒子里有4个不同的红球,7个不同的黄球和5个不同的蓝球.从盒子中任取2个颜色不同的球,有多少种不同的取法?分析分类计数原理与分步计数原理混合使用的问题,一般要“先分类,后分步”.解答:可按所选两球的颜色分为如下3类.第1类:红球、黄球各一个,有4×7=28种选法;第2类:红球、蓝球各一个,有4×5=20种选法;第3类:黄球、蓝球各一个,有7×5=35种选法.根据分类计数原理,不同的选法种数为N =28+20+35=83(种).知识点二 排列题型一 排列数公式的运用例5 已知221P P n n +-=10,则n 的值为( ). A .4 B .5 C .6 D .7解答:由221P P n n +-=10,得(n +1)n -n (n -1)=10,解得n =5.故选B .题型二 排列的运用例6 小华准备从7本世界名著中任选3本,分别送给甲、乙、丙3位同学,每人1本,共有多少种选法?分析 选出3本不同的书,分别送给甲乙丙3位同学,书的不同排序,结果是不同的.因此选法的种数是从7个不同元素中取出3个元素的排列数.解答:不同的送法的种数是 37P 765210=⨯⨯=.即共有210种不同送法.题型三 某元素一定在某位置例7 4名男生和3名女生排成一排照相,分别按下列要求,求各有多少种不同的排法.(1)男生甲一定在中间位置;(2)男生甲不在中间位置.分析 本题是有限制条件的排列问题,若有特殊元素优先考虑特殊元素,若有特殊位置,优先考虑特殊位置.(1)分两步完成:第一步,男生站在中间位置,有一种排法;第二步,排其他的元素,共有66P 种排法.所以,男生甲一定在中间位置共有661P 720⨯=种排法.(2)分两步完成:第一步,男生不在中间位置,有5种排法;第二步,排其他的元素,共有66P 种排法.所以,男生甲一定在中间位置共有665P 3600⨯=种排法. 题型四 某几个元素相邻例8 4名男生和3名女生排成一排照相,同学甲、乙相邻有多少种排法?分析:解决“相邻”问题采用的是“捆绑法”解答:第一步,把甲、乙看成一个元素,与其他5人共6个元素进行全排列;第二步,甲、乙二人进行全排列.即6262P P =720×2=1440(种).题型五 某几个元素不相邻例9 4名男生和3名女生排成一排照相,同学甲、乙不相邻有多少种排法?分析:解决“不相邻”问题采用的是“插空法”.解答:第一步,把甲、乙之外的5名同学进行全排列;第二步,在5名同学之间或两端共6个空中插入甲、乙两名同学.即5256P P =120×30=3600(种). 例10 4名男生和3名女生排成一排照相,男女同学相间排列,有多少种排法? 分析:“相间”是特殊的“不相邻”问题解答:第一步,男生全排列,有44P 种排法;第二步,女生全排列,有33P 种排法;第三步,相间插入有2中插入方法.即男女同学相间排列,有4343P P 2576⨯=种种排法.题型六 数字的排列问题例11 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数,求:(1)组成的三位数的个数;(2)组成的三位数中偶数的个数;分析:对数字进行排列时,如果数字中含有0,应区别对待.因为0作为特殊元素,不能在首位出现.解答:(1)应采用特殊位置优先法.因为0不能为首位(百位),所以首位的排法有14P 种,其他两位是从剩余的4个数字中选2个的一个排列,有24P 种,所以共有1244P P =48(种).(2)由于0的存在,应分两类:第一类个位是0,有24P 个;第二类,个位不是0,先确定个位,从2,4中选一个,有12P 种,再确定首位,有13P 种,剩余的一位是从3个数中选1个,有13P 种.所以共有21114233P P P P +=30(种). 知识点三 组合题型一 组合的应用例12 学校组织一项活动,要从5名男同学,3名女同学中选4名.共有多少种选法? 分析: 从5名男同学,3名女同学中选4名, 选出的4名同学任务是一样的,因此选法的种数是从8个不同元素中取出4个元素的组合数. 解答:不同的选法种数是488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种. 题型二 一定包含或一定不包含某元素例13 学校组织一项活动,要从5名男同学,3名女同学中选4名.(1)若甲同学必须去,有多少种选法?(2)若甲同学一定不去,有多少种选法?分析:若甲同学必须去,再从其他7人中选3人即可.解答:(1)共有37765C 321⨯⨯=⨯⨯=35种选法. 分析:若甲同学一定不去,从其他7人中选4人即可.解答:(2)共有47C 35=种选法.题型三 至多、至少问题例14 学校组织一项活动,要从5名男同学,3名女同学中选4名.若男生甲、女生乙至少有一个被选中,有多少种选法?分析:至多、至少问题从正面解,一般情况先分类,再求解.当从正面求解困难时,可从对立面求解.解答:方法一 男生甲、女生乙至少有一个被选中,分成两类:第一类 男生甲、女生乙只有一个人被选中,有1326C C 260120=⨯=种选法; 第二类 男生甲、女生乙都被选中,有2226C C 21530=⨯=种选法.所以,男生甲、女生乙至少有一个被选中,共有120+30=150种不同的选法.题型四 组合数性质的的相关计算例15 若44511C C C n n n --=+,求n .分析:考察组合数的性质111C +C C m m m n nn +++=;C =C m n m n n-. 解答:45511C +C =C ,n n n --∴45C =C ,n n∴n =4+5=9.题型四 排列、组合混合应用例16 从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一行,有多少种不同排法? 分析:可以首先将男生选出,再将女生选出,然后对选出的5名学生排序.解 不同排法的总数为32565565454C C P 543212400032121⨯⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯(种). 知识点四 二项式定理题型一 求二项式展开式的指定项例17 求二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第4项. 分析:.二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式第4项,则n 的值为10,m 的值为3,可直接用二项式的通项T m +1=C m n m m n a b -求解.解答:T 4=T 3+1=337103C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-3240x 4, ∴第4项是-3240x 4.. 例18 求二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 6的项. 分析:二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 6的项,则n 的值为10,m 的值未知.此类问题应先写出二项式的通项,结合条件“含x 6的项”确定出m 的值.从而求出含x 6的项.解答: ∵T m +1=()1010210103C 3C m m m mm m x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 令10-2m =6,得m =2.∴含x 6的项为T 3=T 2+1=(-3)2210C x 6=405x 6. 例19 在二项式103x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式,求: (1)常数项;(2)二项式系数最大的项.分析:(1)求常数项,因为不知道m 的值,要根据“常数项”之一条件确定m 的值.所以,与例18过程相似;(2)可计算出第10162+=项为二项式系数最大的项,其实就是求第6项,所以与例17过程相似.解答:(1)∵T m +1=()1010210103C 3C m m m mm m x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 10-2m =0,即m =5.∴展开式的第6项是常数项,即T 6=T 5+1=5555510103C =(3)C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-61236. (2)∵n =10,∴展开式有11项,中间一项的二项式系数最大,中间一项为第6项. ∴T 6=T 5+1=5555510103C =(3)C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-61236. 题型二 求二项式展开式的某一项系数与某一项的二项式系数.例20 求92)x -(的二项展开式中6x 的系数和该项的二项式系数. 分析:二项展开式中某项的的系数与这一项二项式系数是两个不同的概念. 某项的系数是除字母外的所有数乘积的结果,某项的二项式系数是该项的组合数,和其他无关. 解答: 92)x -(的展开式的通项公式为99199C (2)C (1)2m m m m m m m m T x x --+=-=-⋅⋅ 由9-m =6,得m =3.即二项展开式中含6x 的项为第4项.故这一项的系数是3339987C (1)2(8)672321⨯⨯⨯-⨯=⨯-=-⨯⨯.该项的二项式系数为39987C 84321⨯⨯==⨯⨯. 题型三 二项式各项系数和与二项式系数和例21 在(1-x )5的二项展开式中,各项系数和为____________;所有项的二项式系数之和为____________.分析:在二项式中令式子中的字母为1,可得各项系数和;所有项的二项式系数之和为2n ,即012C C C ++C ++C m n n n n n n ++=2n ,故所有项的二项式系数之和只和n 有关.解答:在(1-x )5中,令x =1,可得各项系数和为0.(1-x )5的二项式系数之和为25=32.。

(完整版)排列组合与二项式定理

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8、九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问可以组成多少个三位数? 【参考答案】可以分为两类情况:① 若取出6,则有()211182772P C C C +种方法; ②若不取6,则有1277C P 种方法.根据分类计数原理,一共有()211182772P C C C ++1277C P =602种方法. 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.【参考答案】由分析,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原装计算机中任意选取2台,有26C 种方法;第二步是在组装计算机任意选取3台,有35C 种方法,据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理,完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 经典例题:例1.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同取法共有( )A .150种B. 147种C. 144种D. 141种【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂,可采用间接法,先不加限制任取四点,再减去四面共点的取法.在10个点中任取4点,有410C 种取法,取出的4点共面有三类 第一类:共四面体的某一个面,有446C 种取法;第二类:过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点,如图中的平面ABE ,有6种取法; 第三类:过四面体的四条棱的中点,面与另外两条棱平行,如图中的平面EFGM ,共有3个. 故取4个不共面的点的不同取法共有410C -(446C +6+3)=141,因此选D例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课(上午四节,下午二节),要求上午第一节不排体育,。

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排列组合二项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求:(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可.以有..重复..的排列...元素从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种)二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式:注意:!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素......的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式:)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm nmn-=+--== ⑶两个公式:①;mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C )②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n ,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C mn 种,依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n(利用!1)!1(1!1n n n n --=-)ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如:nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ,而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2n A 2211A An ⋅-. ②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A An n ⋅--.③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n nA A. 注:①③区别在于①是确定的座位,有22A 种;而③的商品地位相同,是从n 件不同商品任取的2个,有不确定性.④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?mm n m n m n A A 1+---⋅(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列有n n A 种,)(n m m 个元素的全排列有m m A 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn n A A 种排列方法.例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m !;解法二:(比例分配法)m m n n A A /.⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!224=C (平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少? (!2/102022818C C C P =)注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有mm m m n m n m n A A A /1+---⋅,当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.例如:124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分2x 4成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意:若为非负数解的x 个数,即用na a a , (21)ia 等于1+i x ,有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321,进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?固定在某一位置上:11--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A (一类是不取出特殊元素a ,有mn A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内 。

先C 后A 策略,排列k k r k r n r r A C C --;组合r k r n r r C C --.ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列(或组合),规定某r 个元素都不包含在内。

先C 后A 策略,排列k k k r n A C -;组合k r n C -.iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都只包含某r 个元素中的s 个元素。

先C 后A 策略,排列kk s k r n s r A C C --;组合sk r n s r C C --.II. 排列组合常见解题策略:①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.2. 组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组:将n 个不同元素分成不编号的m 组,假定其中r 组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为r r A A /(其中A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K 组均匀分组应再除以k k A .例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为1575/224448210=A C C C .若分成六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为44222224262819110/A A C C C C C C ⋅②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为m mA A ⋅ 例:10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:335538210A C C C ⋅⋅⋅种.若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有334538210A C C C ⋅种③均匀编号分组:n 个不同元素分成m 组,其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为m mr r A A A ⋅/. 例:10人分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为33224448210A A C C C ⋅ ④非均匀不编号分组:将n 个不同元素分成不编号的m 组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为1m n C A =21m m -n C …k m )m ...m (m -n 1-k 21C +++ 例:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为25205538210=C C C若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为1、2、3,其分法种数为126003729110=C C C .五、二项式定理.1. ⑴二项式定理:nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点: ① 项数:共有1+n 项;② 系数:依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的,即为n 次,展开式依a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+(展开式中的第1+r 项为:),0(1Z r n r b aC T r rn r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数.....最大. I. 当n是偶数时,中间项是第12+n 项,它的二项式系数2nn C 最大;II. 当n 是奇数时,中间项为两项,即第21+n 项和第121++n 项,它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和:附:一般来说b a by ax n ,()(+为常数)在求系数最大的项或最小的项...........时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时,一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k kk k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值)的办法来求解. ⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢?其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式,先找出含有r C 的项r r n rnC b a C -+)(,另一方面在rn b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=,故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为rr q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时,常用近似公式na a n +≈+1)1(,因为这时展开式的后面部分n n n n n a C a C a C +++ 3322很小,可以忽略不计。

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