异面直线夹角习题及答案

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立体几何练习题7异面直线夹角的计算

异面直线夹角的计算1.如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, ∠ACB=90。

,AA 1=2,AC=BC=1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的大小是＿＿.2. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD ⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=√2,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点. 求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值.3. 如图,正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2AB,则异面直线与所成角的余弦值为＿＿.4.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于＿＿.BA CA 1C 1B 1PCDBAOABCD A 1B 1C 1D 1D ABCA 1B 1C 1D 1EFH G5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2√2, ∠PAB=60。

. 求异面直线PC 与AD 所成角的大小.6. 如图，在Rt △AOB 中，∠OAB=π/6，斜边AB=4，Rt △AOC 可以通过以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B-AO-C 是直二面角，D 是AB的中点.求异面直线AO 与CD 所成角的大小.7. 如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形, ∠ABC=π/4,OA ⊥底面ABCD,OA=2,M 为OA 的中点. 求异面直线AB 与MD 所成角的大小.8.如图，α和β为平面，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，AB=5，A 、B 在棱l 上的射影分别为A ′、B ′，AA ′=3，BB ′=2，若二面角α-l-β的大小为2π/3.求异面直线l 与AB 所成的角.(用反三角函数表示)A DBCPACODB OBCDAMB ′ ABβA ′αl。

异面直线所成的角专题训练

异面直线所成的角专题训练1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和XXX所成的角为多少度？答案：90度。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是多少度？答案：60度。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

4.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1上的点，且BE=B1E，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为多少？答案：1/3.5.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为多少？答案：-1/2.6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，直线AM与CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，则直线B1C与直线AB1所成角的余弦值为多少？答案：5/13.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，点M是AC1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为多少？答案：-1/3.9.正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为多少？答案：-3/5.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1D所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

中，ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与AC所成的角的正弦值为(。

)A．12B．13C．23D．110.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与直线AC所成的角的正切值为(。

异面直线夹角习题及答案

1.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=12,BC=3,AA1=4，N在A1B1上，且B1N=1/3A1B1，求BD1与C1N所成角的余弦值。

你可以在AB上找一点N1，使AN1=1/3AB,然后连接CN1，这样的话，C1N平行与CN1,然后再连接AD1，在AD1上找一点E，使AE=2ED1,连接EN1，这样辅助线就做完了，然后计算CN1=5,BD1=13,那么根据三角形相似的性质，EN1=26/3，接下来求EC的长度，连接BC1,在BC1上找一点F，使FC1=1/2BF,连接CF,在面BCC1B1面上求出CF的长度，然后EF垂直于CF，这样在直角三角形中，求出CE，再根据余弦定理，在三角形CEN1中，求出角CN1E就是要求的角了。

看起来很麻烦，可是只要你看懂了，在根据我说的，画出图来，这道题还是很简单的，用高中的知识很容易就解决了。

要有耐心啊~~~~2.在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M，N分别是对角线AC，BD的中点，MN=5，求异面直线AB与CD所成角的大小。

做MH//CD交AD于H，连结HN角MHN是所成角或其补角MH=NH＝3，MN＝5cos角MHN=(MH^2+NH^2-MN^2)/2*MH*NH=(9+9-25)/2*3*3=-7/18所成角为arccos7/18（）1、设P=｛两异面直线所成的角｝，M=｛直线与平面所成的角｝，N=｛二面的平面角｝，则有A、PÌMÌNB、P=MÌNC、PÉMÉND、PÌM=N（）2、正四面体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB 所成的角A、45°B、60°C、90°D、30°（）3、正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，与BD成60°角的面对角线的条数为A、0B、2C、4D、8（）4、把一个正方形的纸折成一个底面为正方形的长方体，正方形的对角线就成为在长方体四侧面的一条折线，则这条折线相对的两段所成角是A、45°B、60°C、90°D、120°5、a、b为异，面直线，二面角a—a—b为q，a^a，b^b，则a、b的夹角为_______6、正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，E、F分别是BC、A¢D¢之中点，则ADE所成的角是_______7、空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD之中点，且PR=3，AC=4，BD=2 EQ R(,5) ，则AC和BD所成的角是_________8、A、CD阳两条异面直线，A=CD=3，E、F分别是线段AD、BC上的点，且AE：ED=BF：FC=1：2，EF= EQ R(,7) ，则AB与CD所成角为________ 9、正四面体S—ABC中，D、E是SA、BC之中点，求AE与BD所成角的余弦10、DABC的ÐC=90°，PA^面ABC，M、N分别是边AC、PB的中点，求证“MN^AC。

第二章空间向量与立体几何中异面直线夹角问题

是长方体，，，又，
平面，．
又在中，，，，．
（2）
解法一：如图建立空间直角坐标系
则、、、，所以、，10分
则向量与
所成角满足．
异面直线与所成的角等于．
解法二：
取的中点，连、．
，四边形为平行四边形，，等于异面直线与所成的角或其补角．，，，得，，，
(1)写出图中M、N的坐标；
(2)求直线AM与NC所成角的余弦值.
4．在正三棱柱中，若，求与所成角的大小.
5．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
6．如图，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且，求异面直线AC与所成角的余弦值.
详解1设aba?adb?1aac?所以1cos602abab?????c01o6sccaa?????c01o6sccbb?????因为acab??所以平行四边形11aacc中11acacabaac?????????22211cacbaac??????????222222acabccbba?????222coscoscos606062022babcabcca?????????1112114222??????11?111ac?所以对角线1ac的长为
，．
异面直线与所成的角等于．
3．(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2) ．
【分析】
(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；
(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值．
【详解】
(1)由于正方体的棱长为2.

专题03 立体几何中的夹角问题(解析版)

第三篇立体几何专题03 立体几何中的夹角问题常见考点考点一线线角典例1．如图，在多面体ABCEF 中，ABC 和ACE 均为等边三角形，D 是AC 的中点，EF BD ∥，2BD EF ==(1)证明：AC BF ⊥；(2)若平面ABC ⊥平面ACE ，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明一条直线垂直于另一条直线，可以先证明前者垂直于后者所在的那个平面；（2）求异面直线的夹角，优先考虑建立空间直角坐标系，用向量的方法来计算. (1)证明：连接DE .因为AB BC =，且D 为AC 的中点，所以AC BD ⊥. 因为AE EC =，且D 为AC 的中点，所以AC DE ⊥.因为BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，且BD DE D ⋂=，所以AC ⊥平面BDE . 因为EF BD ∥，所以BF ⊂平面BDE ，所以AC BF ⊥；(2)由（1）可知DE AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面ACE ，平面ABC 平面ACE AC =，DE ⊂平面ACE ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DC ，DB ，DE 两两垂直.以D 为原点，分别以DC ，DB .DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()1,0,0A -，()B ，F ⎛ ⎝，(E ，从而(AE =，0,2BF ⎛=- ⎝. 则15cos 5AE BF AE BF AE BF⋅==⋅，，即异面直线AE 与BF变式1-1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC =，90ACD ︒=∠，以AC 为折痕将ACD ∆折起，使点D 到达点M 的位置，且AB AM ⊥.(1)证明：平面ACM ⊥平面ABC ；(2)E 为线段AM 上一点，F 为线段BC 上一点，且13AE CF AD ==，求异面直线AC 与EF 所成的角的余弦.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由题易知AB AC ⊥，由根据线面垂直的判定定理可推出AB ⊥平面ACM ，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值； (1) 证明：平行四边形ABCD ，//AB CD ∴，90BAC ACD ∴∠=∠=︒，即AB AC ⊥，AB AM ⊥，AC AM A ⋂=，AC 、AM ⊂平面ACM ， AB ∴⊥平面ACM ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ACM ⊥平面ABC ．(2)解：由（1）平面ACM ⊥平面ABC ，MC AC ⊥，平面ACM ⋂平面ABC AC =，MC ⊂平面ACM ，所以CM ⊥平面ABC ，因为CD ⊂平面ABC ，所以MC CD ⊥，如图建立空间直角坐标系，令3AB AC ==，所以()0,0,0C ，()0,3,0A ，()1,1,0F -，()0,2,1E ，所以()0,3,0CA =，()1,1,1FE =，设异面直线AC与EF 所成的角为θ，则3cos 33CA FE CA FEθ⋅===⋅，故异面直线AC 与EF变式1-2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ，1AB =，AC =2BAC π∠=，D 是棱1CC 上一点．(1)若1A C BD ⊥，求1CDCC ； (2)在（1）的条件下，求直线1B D 与11AC 所成角的余弦值．【答案】(1)112CD CC=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解即可；（2）利用向量求解即可. (1)如图，以AB ，AC ，1AA 的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B，()C，(1A，(1B，(1C ．设()D a，则()BD a =-，又(1AC =，1A C BD ⊥，∴130AC BD ⋅==，∴a =D 为1CC 的中点， ∴112CD CC =．(2)由（1）得1B D ⎛=- ⎝⎭，()11AC =，∴111cos ,B D AC ==．变式1-3．如图，在正方体1111ABCDA B C D -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点.(1)求证：1D F AE ⊥；(2)求直线EF 和1CB 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)6π 【解析】【分析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算得出10D F AE ⋅=，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线EF 和1CB 所成角的大小. (1)解：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()10,0,2D 、()2,2,1E 、()0,1,0F 、()0,2,0C 、()12,2,2B ，()10,1,2D F =-，()0,2,1AE =，所以，112210D F AE ⋅=⨯-⨯=，1D F AE ∴⊥.(2)解：()2,1,1EF =---，()12,0,2CB =，111cos ,6EF CB EF CB EF CB ⋅<>===⋅，因此，直线EF 和1CB 所成角为6π.考点二线面角典例2．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，2ABC π∠=，22AB BC AD ===，E ，F 分别为边AB ，CD 上的动点，且EF BC ∥，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)求AE 为何值时，BD EG ⊥；(2)在（1）的条件下，求BD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)1 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0BD EG ⋅=，得出1AE =；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出BD 与平面ABF 所成角的正弦值． (1)沿EF 将梯形ABCD 翻折后，以E 为原点，以EB 所在直线为x 轴，EF 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设,(0,2)EA t t =∈，则(0,0,0),(0,0,),(2,0,0)E A t B t -，(0,1,),(2,1,0)D t G t -(2,1,)BD t t ∴=-，(2,1,0)EG t =-,0BD EG BD EG ⊥∴⋅=，即2(2)10t --+=，解得1t =或3t =（舍）故当1AE =时，BD EG ⊥(2)在（1）的条件下，(0,0,1)A ，3(1,0,0),0,,0,(0,1,1)2B F D ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(1,1,1),(1,0,1),1,,02BD BA BF ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭设平面ABF 的法向量为(,,1)n a b =，由0,0n BA n BF ⋅=⋅=，解得21,3a b == 故21,,13n ⎛⎫= ⎪⎝⎭设BD 与平面ABF 所成角为θ，则sin cos ,BD n θ=1||||3BD n BD n -+⋅===⋅⋅ 故BD 与平面ABF . 变式2-1．如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别是棱BC ，CD 上的点，且2BE EC =，2DFFC =，点G 为棱1CC 上的动点，13AA =，1O 为上底面1111D C B A 的中心，1AO ∥平面EFG .(1)求CG 的长度；(2)求直线1BO 与平面EFG 所成的角的正弦值. 【答案】(1)1(2)11【解析】【分析】（1）假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ，连11A C ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，得到11AO OC ∥，设OC EF H ⋂=，连接GH ，易证1AO HG ∥，再利用线面平行的判定定理证明；（2）分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，由111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==求解. (1)解：假设当1CG =时，1AO ∥平面EFG ，如图所示，连11A C ，因为1O 为上底面的中心，所以1O 是棱11A C 的中点. 连AC ，取棱AC 的中点O ，连1OC ，则11AO OC ∥，设OC EF H ⋂=，连接GH ，由2BE EC =，2DF FC =；得13CH CO =，又因为113CG CC =，所以1OC HG ∥，所以1AO HG ∥，又因为GH ⊂平面EFG ，1AO ⊄平面EFG ，所以1AO ∥平面EFG ，所以假设成立，即1CG =. (2)由题可知DA ，DC ，1DD 两两相互垂直，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2,2,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,,03F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,1G ，()11,1,3O ，()2,2,0B ，所以()11,1,3BO =--，22,,033EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,0,13EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()22,,,,00332,,,0,103x y z x y z ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，令3x =，得3y =-，2z =，所以()3,3,2n =-，设直线1BO 与平面EFG 所成的角为α，则111sin cos ,n BO n BO n BO α⋅==，=. 变式2-2．如图，三棱锥P －ABC 中，PAB △为正三角形，侧面P AB 与底面ABC 所成的二面角为150°，AB ＝AC ＝2，AB AC ⊥，E，M ，N 分别是线段AB ，PB 和BC 的中点.(1)证明：平面PEN ⊥平面ABC ；(2)求直线PN 与平面MAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由PAB △为正三角形，可得PE AB ⊥，再由三角形中位线定理结合已知条件可得EN AB ⊥，再由线面垂直和面面垂直的判定可得结论，（2）以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可 (1)由PAB △为正三角形，E 是AB 的中点，则知PE ⊥AB ，因为E ，N 分别是线段AB 和BC 的中点，所以EN ∥AC ，因为AB ⊥AC ，所以EN ⊥AB ，又PE EN E ⋂=，所以AB ⊥平面PEN ，因为AB 平面ABC 所以平面PEN ⊥平面ABC . (2)由（1）知，∠PEN ＝150°，以E 为原点，EB 、EN 所在的直线分别为x 、y 轴，过点E 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），C （－1，2，0），A （－1，0，0），30,2P ⎛- ⎝⎭，13,24M ⎛- ⎝⎭，N （0，1，0），∴50,,2PN ⎛= ⎝⎭，33,24AM ⎛=- ⎝⎭，()0,2,0AC =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2033024y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令x ＝1，则y ＝0，z =-(1,0,n =-，设直线PN 与平面MAC 所成角为θ，则sin cos ,7PN n PN n PN nθ⋅====故直线PN 与平面MAC变式2-3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1222AC AB AA ===，11A B AB M =，11A B B C ⊥.(1)求证：AB AC ⊥；(2)若点N 在线段1A C 上，满足MN ∥平面ABC ，求直线1B N 与平面1A BC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)49【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面11AA B B ，即可证明AC AB ⊥. （2）连接1A C ，MN ，1B N .先证明出N 为1A C 的中点.以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. (1)∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又1AA AB =，所以四边形11AA B B 为正方形， ∴11A B AB ⊥，又11A B B C ⊥，111AB B C B ⋂=， ∴1A B ⊥平面1AB C ，又AC ⊂平面1AB C ，∴1A B AC ⊥，又1AC AA ⊥，111A B AA A ⋂=，∴AC ⊥平面11AA B B ，又AB 平面11AA B B ， ∴AC AB ⊥. (2)连接1A C ，MN ，1B N .∵MN ∥平面ABC ，又MN ⊂平面1A BC ，平面1A BC 平面ABC BC =， ∴MN BC ∥.又M 为1A B 的中点，∴N 为1A C 的中点.如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，()1,0,0B ，()0,2,0C ，()11,0,1B ，10,1,2N ⎛⎫⎪⎝⎭.∴111,1,2B N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，又()11,0,1A B =-，()10,2,1AC =-，由1100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x z y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取z =2，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,1,2n =∴直线1B N 与平面1A BC 所成角θ的正弦值为11124sin cos ,3932B N n B N n B N nθ⋅====⨯.考点三二面角典例3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是矩形，AC AB ⊥，12AB AA ==，3AC =，1120A AB ∠=︒，E ，F 分别为棱11A B ，BC 的中点，G 为线段CF 的中点．(1)证明：1//AG 平面AEF ； (2)求二面角A EF B --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】（1）作图，由对应比例证明1//OF A G ，即可证明1//AG 平面AEF ；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，从而得对应平面向量的坐标，求解出法向量，利用向量夹角计算公式代入计算. (1)连接1A B ，交AE 于点O ，连接OF ，由题意，四边形11ABB A 为平行四边形，所以11AB A B =，因为E为11A B 中点，∴112A E AB =，∴1AOE BOA △△，且相似比为12，∴112AO OB =，又∵F ，G 为BC ，CF 中点，∴12GF BF =，∴1//OF A G ，又OF ⊂平面AEF ，1AG ⊄平面AEF ，∴1//AG 平面AEF .(2)连接1AB ，因为1120A AB ∠=︒，12AB AA ==，所以11AB A B ⊥，112,AB A B ==间直角坐标系，则()()1130,1,0,,,0,,222A B E F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333313,,0,,,0,3,1,22222AE BE EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 和平面BEF 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z ==，则{AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =0⇒{√32x 1−32y 1=0−√3x 1+y 1+32z 1=0⇒m ⃑⃑ =(3√3,3,4)，{BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =0⇒{3√32x 2−12y 2=0−√3x 2+y 2+32z 2=0⇒n ⃑ =(√3,9,−4)，所以927cos ,13213m n m n m n⋅+===，因为二面角A EF B --的平面角为锐角，所以二面角A EFB --.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.变式3-1．如图，ABC中AB BC⊥，且2=，将AEF沿中位线EF折起，使得AE BEAB BC⊥，连结AB，AC，M为AC的中点.(1)证明：MF⊥平面ABC；(2)求二面角E MF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性质得出FM AC⊥，MF BM⊥，再由线面垂直的判定证明即可；（2）以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由向量法得出面面角. (1)设2BC =，则1,2,EF AE BE AF FC =====,AE EF AE BE ⊥⊥，EFBE E =，AE ⊥平面BCFEEC ⊂平面BCFE ，AE EC ∴⊥连接BM ，BF，AC AE ==2,BC AB ==222,AC BC AB BC AB ∴=+⊥12BM AC ∴==MF BF ===222BF MF BM ∴=+，即MF BM ⊥又,AF FC FM AC =∴⊥BM AC M ⋂=，∴MF ⊥平面ABC(2),,AE BE AE EF EF BE ⊥⊥⊥，∴以点E 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系(0,0,2),(2,2,0),(1,1,1)(0,1,0),(0,0),0,A C M F E(1,0,1),(1,1,1),(2,1,0)MF EM FC ∴=--==设平面EMF 的法向量为()111,,n x y z =，平面MFC 的法向量为()222,,m x y z =11111000x z MF n x y z EM n ⎧--=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩，令11z =-，则(1,0,1)n =- 同理可得(1,2,1)m =--，2cos ,||||32m n m n m n ⋅〈〉===⋅⨯ 又二面角E MF C --为钝角，故二面角E MF C --的余弦值为变式3-2．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是棱PB 的中点.(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明DC ⊥平面P AD ，再根据面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面PCD ；（2）建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，继而求得相关向量的坐标，再求出相关平面AMC 和平面BMC 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，∴PA DC ⊥,又由题设知AD DC ⊥，且直线P A 与AD 是平面P AD 内的两条相交直线， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)∵PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，∴以A 为坐标原点，以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()0,0,1P ,10,1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，10,1,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1,1,0)AC =,设平面AMC 的法向量为()1,,n x y z =，则由1100n AM n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2z y x y =-⎧⎨=-⎩，令1y =，得()11,1,2n =--为平面AMC 的一个法向量.由10,1,2BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设平面BMC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则2200n BM n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即102102b c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1a = ,可得平面BMC 的一个法向量为()21,1,2n =. ∴1212122cos ,3n n n n n n ⋅==-, 故所求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为23.变式3-3．如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥，2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上，且2PN NB =.(1)证明：BD 平面CMN ；(2)求平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标, （1）求出平面CMN 的法向量，利用BD n =0证明即可；（2）由（1）知平面CMN 的法向量，再求平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. (1)证明：三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC ⊥∴分别以AB ，AC ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系∵2AB AC ==，4PA =，点M 是P A 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =∴()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2M ，44,0,33N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0D设平面CMN 的法向量()000,,n x y z =，()0,2,2CM =-，44,2,33CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，由00000220442033n CM y z n CN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩得00012x zy z ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 令02z =- 得0012x y =-⎧⎨=-⎩ ∴()1,2,2n =---∵()()2,1,01,2,20BD n ⋅=-⋅---= ∴BD n ⊥又BD ⊄平面CMN ∴BD 平面CMN ； (2)PA AB ⊥，PA AC ⊥，AB AC A ⋂=∴PA ⊥平面ABC∴PA 为平面ABC 的法向量 ()0,0,4AP =则AP 与n 的夹角α的补角是平面ABC 与平面CMN 所成二面角的平面角θ82cos cos 433AP n AP nθα⋅-=-=-=-=⨯⋅. ∴平面MNC 与平面ABC 所成角的余弦值为23.巩固练习练习一线线角1．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D 是BC 的中点，求异面直线 A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()110,0,4,2,0,0,0,2,4,1,1,0A B C D ，所以()()112,0,4,1,1,4A B C D =-=--，设异面直线 A 1B 与C 1D 所成的角为θ，所以111111cos cos ,25A B C D A B C D A B C Dθ⋅====⋅. 2．如图，直棱柱111,ABC A B C -在底面ABC 中，1,90CA CB BCA ∠===，棱12,,AA M N =分别为111,A B A A 的中点.（1）求异面直线1BA ､1CB 成角的余弦值；（2）求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】（1（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据条件中的垂直关系，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，求向量1BA 和1CB 的坐标，再根据公式11cos ,BA CB <>的值；（2）利用向量数量积证明11,C M BN C N BN ⊥⊥，证明线面垂直. 【详解】（1）如图所示，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -，依题意得()()()()()110,1,0,1,0,1,1,0,2,0,0,0,0,1,2,B N A C B()()111,1,2,0,1,2BA CB ∴=-= ()111011223BA CB ∴⋅=⨯+-⨯+⨯= 又116,5BA CB ==11111130cos<,10BA CB BA CB BA BB⋅∴>==故11,BA CB （2）证明：依题意得()()()()11111,0,2,0,0,2,0,1,0,1,0,1,,,2,22A CB N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()1111,,0,1,0,1,1,1,122C M CC N BN ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭()()()111111010,11011122C M BN C N BN ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=⋅=⨯+⨯-+-⨯=0,11,C M BN C N BN ∴⊥⊥11,BN C M BN C N ∴⊥⊥又：1111,C M C N C C M ⋂=⊂面11,C MN C N ⊂面1C MNBN ∴⊥平面1.C MN3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,,AC AB A A AB AC D E F ⊥===分别为1,,AB BC BB 的中点.（1）证明：//DF 平面11AB C ；（2）证明：11AFB E ⊥；（3）求异面直线111A F B C 与所成角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3 【解析】【分析】（1）通过证明1//DF AB 来证得//DF 平面11AB C .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11AFB E ⊥. （3）利用向量法求得异面直线1A F 与11BC 所成角的余弦值. 【详解】（1）在三角形1ABB 中，,D F 分别是1,AB BB 的中点，所以DF 是三角形1ABB 的中位线，所以1//DF AB ，由于DF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ，所以//DF 平面11AB C . （2）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1110,0,2,0,2,1,0,2,2,2,0,2,1,1,0A F B C E ，所以()()110,2,1,1,1,2A F B E =-=--，11220A F B E ⋅=-+=，所以11A F B E ⊥，即11AF B E ⊥.（3）()()1110,2,1,2,2,0A F B C =-=-，设异面直线1A F 与11B C 所成角为θ，则1111cos 55A F B E A F B Eθ⋅===⋅. 所以异面直线1A F 与11B C4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值；（3）求CE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2（3【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，证明0EF CF ⋅=即可；（2）求出cos cos ,EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>=⋅即可；（3）利用空间两点间距离公式即可求出. 【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,022CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111110022222EF CF ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, EF CF ∴⋅，∴EF CF ⊥；（2）设EF 与CG 所成角为θ，111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,0,2CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1cos cos ,153EF CG EF CG EF CGθ⋅=<>===⋅所以EF 与CG（3）CE ==练习二线面角5．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面11,60,ABC AA BAA ABC =∠=︒为等腰直角三角形，2AC BC ==．(1)若O 为AB 的中点，求证：1CO AA ⊥； (2)求直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意可得CO AB ⊥，由面面垂直的性质可得CO ⊥平面11AA B B ，结合线面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面11ACC A 的法向量和1BC ，结合空间向量的数量积计算即可. (1)ABC 为等腰直角三角形，2AC BC ==，由O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =．CO ∴⊥平面11AA B B ，又1AA ⊂平面111AA B B CO AA ∴⊥，． (2)ABC为等腰直角三角形，2AC BC AB ==∴=，又11260AA BAA =∠=︒∴，四边形11AA B B 为菱形，1AA B 为正三角形，1A O AB ∴⊥，又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B 平面ABC AB =，1AO ∴⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,A B C A ，，，，111(2,BC BC CC BC AA =+=+=+=．又1(2,2,0)(0,2,AC AA ==，，设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，则100n AA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,+== 令1z =，则(3,x y n ===-．设直线1BC 与平面11ACC A 所成的角为θ，则1201sin cos ,7n BC θ⨯+===．6．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB =，1BC =，2CD =，点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ．(1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；. 【解析】【分析】（1）通过线线垂直先证明BC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值. (1)因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，因为PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ． (2)取CD 中点E ，连接AE ，因为90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB BC ==，2CD =，所以四边形ABCE 是矩形，所以AB AE ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以AB 、AE 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)E ，(1,1,0)D -，设(0,0,)(0)P t t >，则20,,33t G ⎛⎫⎪⎝⎭，20,,33t AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,,33t CG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,33t DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG CG ⊥，所以0CG AG ⋅=，所以220099t -+=，t =(0,1,0)BC =，(1,0,PB =，令(2,0,1)m =，因为0BC m ⋅=，0PB m ⋅=，所以m 是平面PBC 的法向量，DG 的方向向量是11,,33DG ⎛=- ⎝⎭，所以直线CG 与平面PBC 所成角θ的正弦值为||3sin |cos ,|3||||3m DG m DG m DG θ⋅=〈〉===⋅. 故直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值为3. 7．已知平行四边形ABCD ，2AB =，1BC =，3A π∠=，点E 是AB 的中点，沿DE 将ADE 翻折得PDE △，使得PC =，且点F 为PC 的中点.(1)求证：BF ∥平面PDE ；(2)求直线PE与平面BCDE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】（1）取PD 的中点H ，证明四边形FHEB 为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.(1)取PD 的中点H,连接EH,HF∵F ，H 分别为PC ，PD 的中点，∴1//2FH CD FH CD =，又∵E 为AB 的中点，∴1//,2EB CD BE CD =，∴//,FH EB FH EB =，∴FHEB 为平行四边形，∴FB HE ∥，又∵BF ⊄面PDE ，HE ⊂面PDE ，∴BF ∥平面PDE .(2)∵2AB =，1AD =，3A π∠=，∴AD BD ⊥，如图建立平面直角坐标系：令(),,P x y z ，由条件可知()1,0,0A，()B，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C -，由11PD PE PC ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴()(22222222211121014x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎛⎪⎛⎫-++= ⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪+++=⎩，∴1834x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴1384P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴53,884EP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，又∵面BCDE 的法向是()0,0,1m =，记PE 与面BCDE 所成角为θ. ∴||3sin 4||EP n n →→→⋅==θ，即PE 与面BCDE 所成角的正弦值为34.8．如图1，在△MBC 中，24,BM BC BM BC ==⊥，A ，D 分别为棱BM ，MC 的中点，将△MAD沿AD 折起到△P AD 的位置，使90PAB ∠=，如图2，连结PB ，PC ，BD ．(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)推导出PA AD ⊥，PA AB ⊥，利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，利用向量法即可求出直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值.(1)由题意知，因为点A 、D 分别为MB 、MC 中点，所以//AD BC ，又BM BC ⊥，所以BM AD ⊥，所以PA AD ⊥.因为90PAB ︒∠=，所以PA AB ⊥，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ︒∠=，所以AP AB AD 、、两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0)(2,0,0)(2,2,0)(0,1,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C D P E ，，，，，，则(1,0,1)(2,1,0)(2,0,2)DE BD BP ==-=-，，，设平面PBD 的一个法向量为()n x y z =，，，则0202200n BD x y x z n BP ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令2y =，得11x z ==，，所以(1,2,1)n =，设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则1sin cos 2DE n DE n DE n θ⋅====，所以直线DE 与平面PBD练习三二面角9．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB DC ∥，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，四边形11ADD A 为菱形，1A 在平面ABCD 内的射影O 恰好为AD 的中点，M 为AB 的中点.(1)求证：BC ⊥平面1AOM ； (2)求平面11A BC 与平面11AA D D 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）先证明1A O BC ⊥，BC OM ⊥，即可证明BC ⊥平面1AOM ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.(1)因为O 为1A 在平面ABCD 内的射影，所以1A O ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1A O BC ⊥.如图，连接BD ，在Rt △ABD 中，BD =设CD 的中点为P ，连接BP ，因为//AB DC ，AB AD ⊥，224CD AB AD ===，所以BP CD ⊥，且2BP PC ==，则BC =因为22216BD BC CD +==，所以BC BD ⊥，易知//OM BD ，所以BC OM ⊥.因为1A O ⊂平面1AOM ，OM ⊂平面1AOM ，1A O OM O ⋂=，所以BC ⊥平面1AOM . (2)由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，所以可以点O 为坐标原点，以OA ，1OA ，所在直线分别为x ，z ，以平面ABCD 内过点O 且垂直于OA 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B，(1A ，()1,4,0C -，(12,C -所以(1,0,0)OA =,1OA =,(11,2,A B =，(1BC =-，设平面11AA D D 的法向量为()111,,m x y z =，0m OA ⋅=，10m OA ⋅=，则110,0,x =⎧⎪=可取平面11AA D D 的一个法向量为()0,1,0m =. 设平面11A BC 的法向量为()222,,n x y z =，10n BC ⋅=，10n A B ⋅=，则222222320,20,x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令2y 11A BC的一个法向量为()23,n =.设平面11A BC 与平面11AA D D 的平面角为α，由法向量的方向可知α与法向量的夹角大小相等，所以3cos 311m nm n α⋅===⨯⋅，所以平面11A BC 与平面11AA D D . 10．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD为菱形，SAD 为等边三角形，120ABC ∠=︒，点S 在平面ABCD 内的射影O 为线段AD 的中点.(1)求证：平面SOB ⊥平面SBC ；(2)已知点E 在线段SB 上，32SE BE =，求二面角B OE C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明OB BC ⊥和OS BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证明出BC ⊥平面SOB ，再利用面面垂直的判定定理证明出平面SOB ⊥平面SBC .（2）以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法求解.(1)（1）如图，连接BD .在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，故ABD △为等边三角形.因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥.因为AD BC ∥，所以OB BC ⊥.由条件可知SO ⊥底面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以OS BC ⊥，因为OS OB O =，OS ，OB ⊂平面SOB ，所以BC ⊥平面SOB .因为BC ⊂平面SBC ，故平面SOB ⊥平面SBC .(2)因为SO ⊥底面ABCD ，OB AD ⊥，所以可以以,,OA OB OS 为正方向建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA =，则OS OB =因为()0,0,0O ，()B ，()C -，(S ，所以()OC =-.由32SE BE =，得35OE OS SB ⎛=+= ⎝⎭，设(),,m x y z =是平面OEC 的法向量，由{OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0OC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·m ⃑⃑ =0得32020y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令2y =，则x =3z =-，则()3,2,3m =-，又因为平面BOE 的一个法向量为()1,0,0n =，所以cos ,3m n m n m n ⋅===+，故由图可知二面角B OE C --的平面角为锐角，所以二面角B OE C -- 11．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，,M N 分别是11A B ，1AA 的中点.(1)求BN 的长；(2)求证：11A B C M ⊥；(3)求二面角11A BC B --的余弦值.【答案】(2)证明见解析【解析】【分析】（1）以点C 为原点建立空间直角坐标系，求得向量BN 的坐标求解；（2）求得向量1A B ，1C M 的坐标，利用向量的数量积运算求解；（3）先求得平面1A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，易知(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，再由cos<n CA n CA n CA ⋅⋅>=⋅求解.(1) 解：依题意，以点C 为原点建立空间直角坐标系（如图），则(1,0,0)A ,(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N ,1(1,0,2)A ,1(0,1,2)B ,1(0,0,2)C ，所以向量(1,1,1)BN =-则21BN ==(2) 向量1(1,1,2)A B =--，向量111(,,0)22C M =，因为11A B C M ⋅()11112022=-⨯+⨯+-⨯0= ，所以11A B C M ⊥ 所以11A B C M ⊥；(3)向量1(1,1,2)A B =--，向量()11,0,2AC =--，设(,,)n x y z =为平面1A BC 的一个法向量，则1100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z -+-=⎧⎨--=⎩, 不妨令2x =-，可得(2,0,1)n =-，又(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，则cos<n CAn CA n CA⋅⋅>=⋅= 12．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，4AB =，AD EF ∥，2AF EF ==，90FAD AEC ∠=∠=︒.(1)证明：AF ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B ED C --的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）取AD 的中点为M ，连接EM ，易证AE ⊥平面ECD ，得到AE CD ⊥，再由CD AD ⊥，得到CD ⊥平面ADEF ，进而得到CD AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）连接BE ，BD，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面BED 的一个法向量(),,m a b c =和平面CED 的一个法向量(),,n x y z =，然后由cos ,n m n m n m ⋅=求解. (1)证明：取AD 的中点为M ，连接EM ，则2EF AM AF ===，又90FAD ∠=︒，//AD EF ，故四边形AFEM 为正方形，故2EM AM MD ===，故90AED ∠=︒，又AE EC ⊥，EC ED E =，故AE ⊥平面ECD ，则AE CD ⊥．又CD AD ⊥，AE AD A =，故CD ⊥平面ADEF ，则CD AF ⊥．又AF AD ⊥，AD CD D =，AD ，CD ⊂平面ABCD ，故AF ⊥平面ABCD ．(2)连接BE ，BD ，以A 为原点，AB ，AD ，AF 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图：则B （4，0，0），C （4，4，0），D （0，4，0），E （0，2，2），则()4,4,0BD =-，()4,2,2BE =-，()4,0,0CD =-，()0,2,2DE =-．设平面BED 的一个法向量为(),,m a b c =．则0,0,m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440,4220,a b a b c -+=⎧⎨-++=⎩令1a =，则()1,1,1m =．设平面CED 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即40,220,x y z -=⎧⎨-+=⎩令1y =，则()0,1,1n =，2cos ,32n m n m n m ⋅===⨯，则3sin ,3n m =，故二面角B ED C --。

异面直线所成的角专题训练

异面直线及其所成的角(一)1.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．90︒ D ．60︒ 2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点M ，1DD 的中点N ，则异面直线1B M 与CN 所成的角是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 3.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11AC 的中点，则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为( )A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 4．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，4AB =，16AA =．若E 是棱1BB 上的点，且1BE B E =，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为( )A 13B 213C 513D 8135.如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为( )A ．14B 2C ．2D ．126．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) A ．25- B ．25C ．35D ．10 7．如图，直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，且12C A C C C B==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为( )A ．5 B ．5 C ．25 D ．358．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．22C ．32D ．129.正三棱锥A PBC -的侧棱两两垂直，D ，E 分别为棱PA ，BC 的中点，则异面直线PC 与DE 所成角的余弦值为( )A ．3 B ．5 C ．3 D ．6 10.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若点E 为BC 的中点，点F 为11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的余弦值为( )A ．23B 5C 5D 2511．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，2AB =，12AA =，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为( )A ．1B 7C ．12D 312．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的正切值为( )A 5B ．23C 25D 5异面直线及其所成的角(二)1.正四棱锥的侧棱与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A ．13BC ．23D 2.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是( )3.四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,且PA ⊥平面ABCD ,PA AB =,则直线PB 与直线AC 所成角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 4.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点,2AB =,AD =,2PA =,则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 5.在如图所示的正方体1111A B C D ABCD 中,E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A. B.120- C.1206.正方体1111ABCD A B C D -中,E 是AD 的中点,则直线1C E 与BC 所成的角的余弦值是( )C.137.如图,在正四面体ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为CD 的中点,则异面直线EF 与AC 所成的角为( )A.90︒B.60︒C.45︒D.30︒ 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11AC 的中点,则直线1DC 与AP 所成角的余弦值为( )C.129.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,12AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )C.1510.已知直三棱柱111ABC A B C -,120ABC ∠=︒,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值为( )A.1511.如图,在三棱锥A BCD -中,三条棱DA 、DB 、DC 两两垂直,且DA DB DC ==,M 、N 分别是棱BC 、AD 的中点,则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为( )A.1212.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别为11C D 和1CC 的中点,则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为( )13.三棱柱ABC A B C ''-'的所有棱长都等于2，并且AA '⊥平面ABC ,M 是侧棱BB '的中点,则直线MC '与A B '所成的角的余弦值是( )异面直线及其所成的角(一)答案1-6 DDCABB 7-12 ABDBAC异面直线及其所成的角(二)答案1-6 DDCBDC 7-13 CDABDAA。

异面直线所成的角经典例题

异面直线所成的角经典例题在正方体ABCD-ABCD中，求异面直线BA1和CC1所成的角。

解：首先找到两条直线的方向向量，BA1的方向向量为(-1,1,0)，CC1的方向向量为(0,1,-1)。

它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,0)·(0,1,-1) / √2√2 = -1/2所以异面直线BA1和CC1所成的角的余弦值为-1/2.求异面直线BA(3)AC和BD1和CB1所成的角。

解：这个问题有些问题，因为没有给出异面直线的具体定义。

不过我们可以求出两条直线之间的夹角余弦值。

BA(3)的方向向量为(-1,1,1)，AC的方向向量为(-1,0,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,1)·(-1,0,1) / √3√2 = -1/√6BD1的方向向量为(-1,-1,2)，CB1的方向向量为(1,-1,2)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,-1,2)·(1,-1,2) / √6√6 = 0所以求出的两个角的余弦值分别为-1/√6和0.若E为AD中点，求异面直线EC1和CB所成的角。

解：EC1的方向向量为(1,-1,-1)，CB的方向向量为(1,0,-1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,-1)·(1,0,-1) / √3√2 = -1/√6所以异面直线EC1和CB所成的角的余弦值为-1/√6.若M,N分别为AB1和BB的中点，求AM和CN所成的角的余弦值。

解：AM的方向向量为(1,-1,0)，CN的方向向量为(0,-1,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,0)·(0,-1,1) / √2√2 = -1/2所以AM和CN所成的角的余弦值为-1/2.在四面体A-BCD中，E，F分别为AD,BC上的点，且AE=BF=1，已知AB=CD=3,EF=7/4，求异面直线AB和CD所成的角。

解：首先计算出EF的方向向量，EF的长度为7/4，所以EF的方向向量为(3/7,-4/7,0)。

异面直线夹角练习-普通用卷

异面直线夹角练习副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. √33B. √66C. √34D. √362.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=1,AA1=√2，则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为( )A. −√36B. √33C. √36D. −√333.如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ).A. √3010B. 12C. √32D. √1510二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）4.如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为________．5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为______ ．6.如图所示，在正四面体S－ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是________．7.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DC的中点，N是AB的中点，AD=AA1=√2，AB=2，那么，NC与D1M所成角的余弦值是______．9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，且AA1=2AB，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力．先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可．【解答】解：设=，=，=，棱长均为1，则=，=，=，∵=+，=+，∴=（+）•（-+）=+1=1，||====，||===，∴cos=，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题．作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可.【解答】解：联结A1C,交AC1于点M，取A1B1的中点为N，联结MN，AN，则MN//CB1，则AC1与CB1夹角为MN与AC1夹角或其补角，可知MN=CB1=1，NA1=,MA=，NA=,在三角形MNA中，所以cos∠AMN=．故选C.3.【答案】A【解析】【分析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．【解答】解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D.平行且等于BD,四边形为平行四边形，∴D1B∥DF1.∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角，设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=∴为等腰三角形，DF1的中位线垂直DF1则在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选：A．4.【答案】60°【解析】【分析】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.利用三角形中位线定理把异面直线所成的角转化成平面角，利用余弦定理求解.【解答】解：取AC的中点M，连接EM,MF，如图所示.因为E，F分别是AP，BC的中点，所以MF∥AB，MF=AB=3，ME∥PC，ME= PC= 5，所以∠EMF即为AB与PC所成的角(或其补角).在三角形MEF中，cos∠EMF==-=-，所以∠EMF=120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°.故答案为60°.5.【答案】√22【解析】解：∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，∴tan∠B1BD1==．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6.【答案】√36【解析】【分析】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．由题意画出图象再取AC的中点E，连接DE，BE，则可证得∠BDE就是BD与SA所成的角，在三角形BDE中利用余弦定理求解即可．【解答】解：如图取AC的中点E，连接DE、BE，则DE∥SA，∴∠BDE就是BD与SA所成的角．设SA=a，则BD=BE=，DE=，在△中，cos∠BDE===，∴BD与SA所成角的余弦值．故答案为．7.【答案】13【解析】解：由题意，M是DC的中点，N是AB的中点，连接AM，可得CN∥AM，∴NC与D1M所成角的平面角为∠AMD1．连接D1A，AD=AA1=，AB=2，在三角形AMD1中：AM=，D1M=，D1A=2余弦定理可得：cos∠AMD1===故答案为：．由M是DC的中点，N是AB的中点，连接AM，可得CN∥AM，NC与D1M所成角的平面角为∠AMD1．在三角形AMD1中，利用余弦定理求解即可．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8.【答案】710【解析】解：以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系．设AA1=2，则A（0，0，0），，，C1（0，2，4），∴，，设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故答案为：．以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．。

高考数学复习--立体几何--异面直线距离与夹角基础练习卷(解析版)

异面直线距离与夹角基础（共22题）一、选择题（共8题）1.（2020·上海嘉定区·期末）在空间内，异面直线所成角的取值范围是( )A．(0,π2)B．(0,π2]C．[0,π2)D．[0,π2]2.（2021·北京石景山区·期末）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )A．45∘B．60∘C．90∘D．120∘3.（2021·北京西城区·期末）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与BC所成角的余弦值为( )A．25B．35C．13D．234.（2020·专项）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线B1C与直线A1C1所成角是( )A．45∘B．60∘C．90∘D．120∘5.（2021·单元测试）在空间中，下列命题正确的是( )A．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行，那么这两个角相等B．两条异面直线所成角的范围是[0,π2]C．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行D．如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行6.（2020·上海徐汇区·期中）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√22，则下列结论中错误的是( )A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱柱A−BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值7.（2020·专项）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=AA1=2，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为( )A．√54B．√34C．√24D．148.（2018·真题）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=√3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A．15B．√56C．√55D．√22二、多选题（共4题）9.（2021·单元测试）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M在线段B1C上运动，则( )A．直线BD1⊥平面A1B1CDB．三棱锥M−A1C1D的体积为定值C．异面直线AM与A1D所成角的取值范围是[π4,π2 ]D．直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为√6310.（2020·专项）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为( )A．直线AM与C1C是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线MN与AC所成的角为60∘11.（2021·北京·同步练习）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，下列结论中正确的是( )A．B1D1∥平面EFGB．BD1⊥平面ACB1C．异面直线EF与BD1所成角的正切值为√22a3D．四面体ACB1D1的体积等于1212.（2020·天津市·同步练习）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论中正确的是( )A．AC⊥BD B．AB，CD所成角为π3C．△ADC为等边三角形D．AB与平面BCD所成角为π3三、填空题（共4题）13.（2019·上海·单元测试）两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是．14.（2019·上海静安区·期末）如图，在正方体中，AB与CD所成角的大小为．15.（2019·上海·同步练习）已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90∘，且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值为．16.（2017·天津红桥区·期中）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的度数是．四、解答题（共6题）17.（2020·上海闵行区·模拟）如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为3，E是棱BB1的中点．(1) 求异面直线A1D与C1E所成角的大小（用反三角函数值表示）；(2) 求四面体A1−C1DE的体积．18.（2020·专项）如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点．(1) 求异面直线AB1与BM所成角的余弦值；(2) 求二面角C−AN−M的余弦值．19.（2019·上海·同步练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1) EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3) EG 的长；(4) 异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值．20. （2019·上海·同步练习）已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1．(1) 画出两个平面 ABC 1D 1 与 A 1B 1CD 的交线；(2) 若正方体的边长为 4，求异面直线 A 1B 与 B 1C 所成角的大小．21. （2019·上海·同步练习）如图，正方体 ABCD −EFGH 中，求 BE 与 CG 所成的角．22. （2019·上海·同步练习）如图，在菱形 ABCD 中，AB =AC =1，其对角线的交点为点 O ，现将△ADC 沿对角线 AC 向上翻折，使得 OD ⊥OB ．在四面体 ABCD 中，点 E 在 AB 上移动，点 F 在 DC 上移动，且 AE =CF =a （0≤a ≤1）．(1) 求线段 EF 的最大值与最小值；(2) 当线段 EF 的长最小时，求异面直线 AC 与 EF 所成角 θ 的大小．答案一、选择题（共8题）1. 【答案】B【解析】由异面直线所成角的定义可知，过空间一点分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成]，故选B．的直角或锐角为异面直线所成角，所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,π2【知识点】异面直线所成的角2. 【答案】B【解析】如图，连接A1B，BC1，A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成角等于60∘．【知识点】异面直线所成的角3. 【答案】D【知识点】异面直线所成的角4. 【答案】B【知识点】异面直线所成的角5. 【答案】C【解析】在空间中，如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补，故A错误；]，故B错误；两条异面直线所成角的范围是(0,π2如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，故C正确；如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，故D错误．【知识点】异面直线所成的角、空间的平行关系6. 【答案】D【知识点】异面直线所成的角7. 【答案】A【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角8. 【答案】C【解析】以 D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1 为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则 D (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(1,1,√3)，D 1(0,0,√3)，所以 AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)，因为 cos⟨AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2×√5=√55，所以异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为√55，选C ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角二、多选题（共4题） 9. 【答案】B ；D【解析】以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD 1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，则 D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，所以 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，所以 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，所以 BD 1⊥DA 1，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1≠0，所以 BD 1 不垂直于 DC ，故 BD 1 不垂直于平面 A 1B 1CD ，故A 不正确．因为 B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊄平面A 1DC 1，A 1D ⊂平面A 1DC 1，所以 B 1C ∥平面A 1DC 1，又因为点 M 在线段 B 1C 上运动，所以点 M 到平面 A 1DC 1 的距离等于 B 1 到平面 A 1DC 1 的距离，易知点 B 1 到平面 A 1DC 1 的距离为定值，故 V M−A 1C 1D 为定值．故B 正确．易知 A 1D ∥B 1C ，当点 M 与线段 B 1C 的端点重合时，异面直线 AM 与 A 1D 所成角为 π3，设 B 1C 的中点为 M 0，当点 M 由 B 1C 的端点向中点 M 0 运动时，∠AMM 0 为异面直线 AM 与 A 1D 所成的角，在 △ACB 1 中，AC =AB 1，所以 AM 0⊥B 1C ，在 △AMM 0 中，AM 0 不变，MM 0 逐渐变小，所以 tan∠AMM 0=AM 0MM 0逐渐增大，当点 M 与 M 0 重合时，异面直线 AM 与 A 1D 所成角为 π2，所以异面直线 AM 与 A 1D 所成角的取值范围是 [π3,π2]，故C 不正确．设 M (a,1,a )，易知 DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,a −1)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，因为 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+1=0，DA 1∩DC 1=D ，所以 BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以 BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1) 为平面 A 1C 1D 的一个法向量，设直线 C 1M 与平面 A 1C 1D 所成的角为 θ，则sinθ=∣∣cos⟨C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3×√a 2+(a−1)2=√3×√2(a−2)2+2当 a =12 时，sinθ 取得最大值，为√63，所以直线 C 1M 与平面 A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为 √63，故D 正确．故选BD ．【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题10. 【答案】C ；D【知识点】异面直线所成的角11. 【答案】B ；C【解析】如图所示，取 A 1D 1 的中点 H ，CC 1 的中点 I ，BC 的中点 M ，连接 HG 并延长，连接 MI 并延长，记 HG 与 MI 的延长线交于点 P ，延长 EF ，记 EF 的反向延长线交 MI 的反向延长线于点 Q ，EF 的延长线交 HG 的反向延长线于点 N ．连接 BD ，BC 1，因为 B 1D 1 与 HG 相交，故 B 1D 1 与平面 EFG 相交，故A 不正确．因为 BD ⊥AC ，DD 1⊥AC ，BD ∩DD 1=D ，所以 AC ⊥平面BDD 1，所以 AC ⊥BD 1．因为 BC 1⊥B 1C ，C 1D 1⊥B 1C ，BC 1∩C 1D 1=C 1，所以 B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以 B 1C ⊥BD 1，又 AC ∩B 1C =C ，所以 BD 1⊥平面ACB 1，故B 正确．以 D 为原点，DA ，DC ，DD 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz ，则 D (0,0,0)，E (a,a2,0)，F (a,0,a2)，B (a,a,0)，D 1(0,0,a )，所以 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a 2,a 2)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,a )，所以cos⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=0×(−a )+(−a2)×(−a )+a 2×a √0+a 24+a 24×√a 2+a 2+a 2=2√62a =√63.所以sin⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√1−cos 2⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√1−69=√33.所以tan⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=sin⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩cos⟨EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√33√63=√22.所以异面直线 EF 与 BD 1 所成角的正切值为√22，故C 正确．易知四面体 ACB 1D 1 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即 a 3−4×13×12a 3=13a 3，故D 不正确．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角12. 【答案】A；B；C【解析】如图，A．取BD中点为O，连接AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故BD⊥AC．B．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD边长为a，则A(√22a,0,0)，B(0,√22a,0)，C(0,0,√22a)，D(0,−√22a,0)，故AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22a,√22a,0)，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√22a,−√22a)．由两向量夹角公式得cos〈CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=−12，故异面直线AB，CD所成的角为π3．C．在直角三角形AOC中，由AO=CO=√22a，AO⊥CO，得AC=√2AO=a，故△ADC为等边三角形．D．易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，易得∠ABO=π4，故D错误．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、异面直线所成的角三、填空题（共4题）13. 【答案】0<θ≤π2【知识点】异面直线所成的角14. 【答案】π4【解析】如图，记C点正上方的顶点为E．在正方体中，显然BE∥CD，所以∠ABE即是AB与CD所成的角，易得：∠ABE=π．4【知识点】异面直线所成的角15. 【答案】√2【知识点】异面直线所成的角16. 【答案】90°【解析】取AA1的中点E，连接EN，BE交B1M于点O，则EN∥BC，且EN=BC，所以四边形BCNE是平行四边形，所以BE∥CN，所以∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角，而Rt△BB1M≌Rt△ABE，所以∠ABE=∠BB1M，∠BMB1=∠AEB，所以∠BOM=90∘．【知识点】异面直线所成的角四、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 如图，以 D 为原点，以 DA ，DC ，DD 1 分别为 x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．由已知 DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−32)，设两向量夹角为 θ，则 ∣cosθ∣=√1365，所以异面直线 A 1D 与 C 1E 所成角为 arccos√1365． (2) 利用割补法：正四棱柱体积 V =12．连接 DB ．V E−A 1B 1C 1=1，V D−A 1C 1D 1=2，V D−ABEA 1=V D−CBEC 1=3，所以 V A 1−C 1DE =V −V E−A 1B 1C 1−V D−A 1C 1D 1−V D−ABEA 1−V D−CBEC 1=3．【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18. 【答案】(1) 如图，以 A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则 B 1(2,0,2)，B (2,0,0)，M (0,2,1)，N (1,1,0)，所以 AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,1)．所以 cos⟨AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=√4+0+4√4+4+1=6√2=−√26，所以异面直线 AB 1 与 BM 所成角的余弦值为√26． (2) 平面 ANC 的一个法向量为 n ⃗ =(0,0,1)．设平面 AMN 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )．因为 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，由 m ⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得， {2y +z =0,x +y =0,不妨取 x =1，则 y =−1，z =2，所以 m ⃗⃗ =(1,−1,2)，所以 cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=√6=√63，所以二面角 C −AN −M 的余弦值为√63．【知识点】二面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题19. 【答案】(1) 设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则 ∣a ∣=∣∣b ⃗ ∣∣=∣c∣=1，a 与 b ⃗ ，b ⃗ 与 c ，c 与 a 所成的角都为 60∘．因为 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12c −12a ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ，所以 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12c −12a )⋅(−a )=12a 2−12a ⋅c =14． (2) 因为 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −c ，所以EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(c −a )⋅(b ⃗ −c )=12(b ⃗ ⋅c −a ⋅b ⃗ −c 2+a ⋅c )=−14.(3) 因为EG⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +b ⃗ −a +12c −12b ⃗ =−12a +12b ⃗ +12c , 所以∣∣EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=14a 2+14b ⃗ 2+14c 2−12a ⋅b ⃗ +12b ⃗ ⋅c −12c ⋅a =12,则 ∣∣EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√22．(4) 而 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ +12c ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +12a ，则 cosθ=AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=−23．由于异面直线所成角的范围是 (0,π2]，所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 23．【知识点】异面直线所成的角20. 【答案】(1) 图略．(2) 60∘．【知识点】异面直线所成的角21. 【答案】因为 CG ⊥BF ，所以 ∠EBF （或其补角）为异面直线 BE 与 CG 所成的角，又 △BEF 中，∠EBF =45∘，所以 BE 与 CG 所成的角为 45∘．【知识点】异面直线所成的角22. 【答案】(1) 以 O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 O −xyz ．由已知可求得 E (√32a,a−12,0)，F (0,1−a 2,√32a)，则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32a,1−a,√32a)，所以 EF =√(−√32a)2+(1−a )2+(√32a)2=√52(a −25)2+35．所以，当 a =25 时，线段 EF 的最小值为√155；当 a =1 时，线段 EF 的最大值为√62． (2) 当 a =25 时，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√35,35,√35)，而 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，所以 cosθ=∣∣∣EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣=35√155×1=√155．所以，θ=arccos √155．【知识点】异面直线所成的角、空间线段的长度、利用向量的坐标运算解决立体几何问题。

异面直线的夹角专题(教师版)

异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．方法一：抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是？解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得cos B 1GF ＝222222111(2)(3)(5)2223B G GF B F B G GF +-+-=•••＝0，故∠B1G F ＝练习1.1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．1A 1B 1C 1D ABCD E FG练习1.2：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2cm ，AA 1=4cm ，求异面直线BD 1与AD 所成的角的余弦值？方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2：设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小为多少？AB E M图1ACDMNG图2A 1解：取AE 中点G , 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠B EA＝∠BA E ＝，又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ．即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度．练习2.1：S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQBN BQ NQ BN练习2.2：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角的余弦值．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+.练习2.3：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，B MAN CS ACBNM ACBE 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法(解析版)

专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法（解析版）异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0。

,90。

].1．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，直线PA 与直线BC 所成角大小为60°．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求异面直线PC 与BD 所成角大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2arccos4. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AC ⊥面PBD ；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，则//OE PC ，得到EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD AC ⊥，又∵BD AC ⊥，PD BD D ⋂=，PD ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，∴AC ⊥面PBD ， ∵AC ⊂面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，ED ，则//OE PC ， ∴EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，∵60PAD ∠=︒，∴23PD =2ED =，又4PC =，∴2OE =，2OD =∴2222cos 2222EO OD ED EOD EO OD +-∠===⋅⋅⋅， ∴直线PB 与直线AC 所成角大小为2arccos 4．【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角，属于常考题型.2．空间四边形ABCD 中，AB CD =，点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点.（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，求直线AB 与CD 所成角的大小；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ，求直线AB 与MN 所成角的大小.【答案】（1）60︒；（2）2θ或1802θ︒-. 【分析】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，且PMN 为等腰三角形；（1）根据条件，得到60PMN ∠=︒，求出MPN ∠，即可得出结果；（2）根据条件，得到MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，进而可求出结果.【详解】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，因为点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点，所以//PM AB ，//PN CD ，且12PM AB =，12PN CD =，则MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，又AB CD =，所以PM PN =，即PMN 为等腰三角形；（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，即60PMN ∠=︒，则18026060MPN ∠=︒-⨯︒=︒，所以直线AB 与CD 所成角的大小为60︒；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ，则MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，若MPN θ∠=，则18018022MPN PMN θ︒-∠︒-∠==，即直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-；若180MPN θ∠=︒-，则18022MPN PMN θ︒-∠∠==，即直线AB 与MN 所成角的大小为2θ. 综上，直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-或2θ. 【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的定义即可，属于常考题型. 3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，AB =4，AD =2，1215BB =，求异面直线1B D 与MN 所成角的余弦值.25 【分析】如图，连接1B C ，则1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，然后在直角三角形1DB C 中求解即可【详解】解：如图，连接1B C ，因为M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，所以1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，因为长方体1111ABCD A B C D -中，AB =4，AD =2，1215BB = 所以2221116441545DB AB AD BB =++=++⨯=，221141548B C BB BC =+=⨯+=，DC ⊥平面11BB C C ，所以1DC B C ⊥，所以11125cos 545B C DB C DB ∠===，所以异面直线1B D 与MN 25【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查转化思想和计算能力，属于基础题4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1A A 、AB 的中点.（1）求证：1//MN D C ；（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60°【分析】（1）易知1//MN A B ，11//D C A B ，根据平行的传递性得出结论;（2）由（1）的平行知异面直线MN 与1B C 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在三角形中求得此角即可．（1）连接1A D ，∵M 、N 分别为1A A 、AB 的中点，∴1//MN A B ,正方体中，11A D 与BC 平行且相等，∴11A BCD 是平行四边形，∴11//D C A B ，所以1//MN D C ，（2）由（1）知异面直线MN 与1BC 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在立方体中，1111B C CD D B ==11B CD ∴∆是等边三角形，∴11B CD ∠60=︒，∴异面直线MN 与1BC 所成成角是60°．【点睛】本题考查证明线线平行以及求异面直线所成的角，属于基础题型.5．如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=.（1）BC 和A C ''所成的角是多少度？（2）AA '和BC '所成的角是多少度？【答案】（1）45；（2）60（1）根据//BC B C ''可知所求角为A C B '''∠，由Rt A B C '''中的长度关系可求得结果；（2）根据//AA BB ''可知所求角为B BC ''∠，由Rt BB C ''△中的长度关系可求得结果.【详解】（1）连接A C ''，//BC B C ''，∴异面直线BC 和A C ''所成角即为直线B C ''和A C ''所成角，即A C B '''∠，在Rt A B C '''中，23A B AB ''==，23B C AD ''==，tan 1A C B '''∴∠=，45A C B '''∴∠=，即异面直线BC 和A C ''所成角为45；（2）连接BC '，//AA BB ''，∴异面直线AA '和BC '所成角即为直线BB '和BC '所成角，即B BC ''∠，在Rt BB C ''△中，23B C AD ''==，2BB AA ''==，tan 3B BC ''∴∠=60B BC ''∴∠=，即异面直线AA '和BC '所成角为60.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.6．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体．（1）求直线DA 1与BC 所成角；（2）求直线D 1A 与BA 1所成角；（3）求直线BD 1和AC 所成角．【答案】（1）4π （2）3π （3）2π 【分析】（1）由//AD BC 得1DAD ∠是直线1DA 与BC 所成角，求出1DAD ∠即可得解；（2）由11//AD C B 得11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角,求出11C BA ∠即可得解；（3）证明AC ⊥平面1BDD 后即可得1AC BD ⊥，即可得解.【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，∵//AD BC ，∴1ADA ∠是直线1DA 与BC 所成角，∵1AD AA ＝，1AD AA ⊥，∴14ADA π∠=， ∴直线1DA 与BC 所成角为4π．（2）∵11//AD C B ，∴11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角，∵1111BA AC BC ==，∴ 113C BA π∠=， ∴直线1D A 与1BA 所成角为3π．（3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1DD AC ⊥，∵1DD BD D =，∴AC ⊥平面1BDD ，∵1BD ⊂平面1BDD ，∴1AC BD ⊥，∴直线1BD 和AC 所成角为2π．【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法及线面垂直的判定和性质，属于基础题.7．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ⊥，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成角的大小.【答案】45°. 【分析】取BD 的中点G ，连接,EG FG ，根据题意可得GFE ∠（或其补角）即为EF 与AB 所成角，由EG GF =，AB CD ⊥，可得EFG ∆为等腰直角三角形，进而可求解.【详解】如图所示，取BD 的中点G ，连接,EG FG .∵,E F 分别为,BC AD 的中点，且,//,//AB CD EG CD GF AB =∴，且11,22EG CD GF AB ==，即EG GF =， GFE （或其补角）即为EF 与AB 所成角.,,90AB CD EG GF EGF ︒⊥∴⊥∴∠=，EFG ∴∆为等腰直角三角形，45GFE ︒∴∠=，即EF 与AB 所成角的大小为45°.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解得的关键是找出与异面直线所成角相等的角，属于基础题. 8．正三棱锥S ABC -的侧棱长与底面边长都为a ,,E F 分别是,SC AB 的中点,求直线EF 和SA 所成的角.【答案】45°【分析】取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF ，于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角)，在EFG ∆中求解.【详解】解析如图,取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF .在SAB ∆中,,F G 分别是AB ,SB 的中点,//FG SA ∴,且12FG SA =. 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角).在SAB 中,SA SB a ==,12AF FB a ==,SF AB ∴⊥,且SF =.同理可得CF AB ⊥,且CF =.在SFC 中,2SF CF a ==,SE EC =, FE SC ∴⊥,且2FE a ==. 在SAB 中,FG 是中位线,122a FG SA ==. 在SBC 中,GE 是中位线,122a GE BC ∴==. 在EGF △中,22222a FG GE FE +==,EGF ∴是以FGE ∠为直角的等腰直角三角形,45EFG ︒∴∠=.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°. 【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力，和基本的证明方法，属于基础题型. 9．在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .若AC DE ⊥,且3AC BC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小. 【答案】（2）60°. 【分析】由条件可知ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角，再求解. 【详解】解析 (2)因为PN 为ABE ∆的中位线, 所以//PN AB .又//BC DE ,所以ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角. 又AC DE ⊥,所以AC BC ⊥. 在Rt ACB △中,3tan 3AC BCABC BC ∠===所以60ABC ︒∠=. 所以异面直线DE 与PN 成的角为60°. 【点睛】本题考查四点共面和异面直线所成的角，意在考查推理，证明能力，属于基础题型. 10．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA 与,AC AB 所成的角均为60°,90BAC ︒∠=,且1AB AC AA ==,求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值.【答案】33【分析】首先利用补体，将三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -，由条件可知11//AC BD ，则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，根据三边关系求11cos A BD ∠. 【详解】解析如图所示,把三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -,连接111,,BD A D AD ,由四棱柱的性质知11//BD AC ,则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角. 设AB a ,1AA 与AC ,AB 所成的角均为60°,且1AB AC AA ==,1A B a ∴=,1112cos303BD AC AA a︒==⋅=.又90BAC ︒∠=,在矩形ABDC 中,2AD a =,112A D a ∴=,2221111A D A B BD ∴+=,1190BA D ︒∴∠=,在11Rt BA D 中,11113cos 33A B A BD BD a∠===. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 11．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB AD ==，2AA '=，求：（1）直线BC 和A C ''所成的角的大小；（2）直线AA '和BC '所成的角的大小. 【答案】（1）45°.（2）60°. 【分析】（1）确定B C A '''∠是异面直线A C ''与BC 所成的角，在Rt A B C '''中根据长度关系得到答案。

专题十：异面直线夹角问题-2021高考数学冲刺(含详细解析)

专题十：异面直线夹角问题-2021新高考考点专项冲刺-解析版一、单选题1.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AC和A1B所成的角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】C【解析】【解答】连接A1C1、BC1，如图：由正方体的性质可得A1C1//AC，则∠BA1C1或其补角即为异面直线AC和A1B所成的角，由BA1=A1C1=C1B可得∠BA1C1=60∘，所以异面直线AC和A1B所成的角的大小为60∘.故答案为：C.【分析】根据题意作出辅助线由正方体的性质即可找出异面直线所成的角，由正方体的几何关系在三角形中计算出角的大小即可。

2.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AD1与C1D所成的角为（）A. π6B. π4C. π3D. π2 【答案】 C【解析】【解答】由 AD 1∥BC 1 ，可得 ∠BC 1D 是 AD 1 与 C 1D 所成的角，易得△ BDC 1 为等边三角形，所以 ∠BC 1D =60∘ ，故答案为：C 。

【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件，再利用线线平行结合异面直线所成的角求法，从而得出∠BC 1D 是 AD 1 与 C 1D 所成的角，再利用等边三角形的定义，从而求出异面直线 AD 1 与 C 1D 所成的角。

3.如图，在三棱锥S －ABC 中，SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，SA ＝2 √3 ，则异面直线SB 与AC 所成角的余弦值是（）A. 18B. −18C. 14D. −14 【答案】 A【解析】【解答】分别取 BC 、 AB 、 AS 的中点 E 、 F 、 G ，连接 EF 、 EG 、 FG 、 EA 、 ES ，如图：由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得EA=ES=√32BC=2√3，所以EG⊥SA，EG=√SE2−(12SA)2=√12−3=3，由中位线的性质可得FG//SB且FG=12SB=2，FE//AC且FE=12AC=2，所以∠GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，在△GFE中，cos∠GFE=GF2+EF2−GE22GF⋅EF =4+4−92×2×2=−18，所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为18.故答案为：A.【分析】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、EA、ES，由题意结合平面几何的知识可得EG=3、FG=EF=2、∠GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.4.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=BC=2，CC1=2√2，则异面直线AC1与A1B1所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【解答】由题意知，A1B1//AB，所以直线AC1与AB所成的角∠BAC1即为异面直线AC1与A1B1所成的角，又BC1=√BC2+CC12=√22+(2√2)2=2√3，AC1=√AC2+CC12=4，AB=2，则在△ABC1中，由余弦定理得cos∠BAC1=AB2+AC12−BC122×AB×AC1=12又∠BAC1∈(0，π)，所以∠BAC1=60°，所以C正确，故答案为：C.【分析】由异面直线所成角的概念易知∠BAC1为所求角，再由余弦定理求解即可.5.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=60°，则异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为（）A. √32B. 34 C. 14 D. 13【答案】 C【解析】【解答】解：因为 AB =AC ， ∠BAC =60° ，所以三角形 △ABC 是等边三角形，取 AC 的中点 D ，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设 AB =2 ，则 B(√3,0,0) ， A(0,−1,0) ， A 1(0,−1,2) ， C 1(0,1,2) ，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,2) ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2) ， |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2 ， |AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2 ， BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 ，所以异面直线 BA 1 和 AC 1 所成角的余弦值为 cosθ=|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×2√2=14，故答案为：C.【分析】利用直三棱柱的结构特征结合已知条件，从而利用等边三角形的定义判断出三角形 △ABC 是等边三角形，取 AC 的中点 D ，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，再利用空间向量的方法结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线 BA 1 和 AC 1 所成角的余弦值。

异面直线所成角练习

1．如图，在正方体ABCD - A B C D中，异面直线 A1D 与 BC1所成的角为1111A．30°B．45°C． 60°D． 90°【答案】 D【分析】试题剖析：以下图，连结B1C，则B1C∥A1D，B1C⊥BC1，∴ A1D⊥BC1，∴ A1D 与 BC1所成的角为 90°．应选： D．考点：异面直线及其所成的角2．已知平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1 的正方形，AA＝ 2，∠ A AB＝∠ A AD＝120°，则异面直线 AC 与 A D所成角的余弦值（1）1111A．6B． 14C． 15D． 10 3755【答案】 B【分析】uuur r uuur r uuur r uuuur r r r uuuur r r试题剖析：设向量AB a, AD b, AA1 c ，则 AC1a b c, A1D b c ，uuuur uuuurAC12, A1Duuuur uuuur cos AC1 , A1D7，uuuur uuuurAC1 A1 Duuuur uuuurAC1 A1 D14。

7考点：空间向量的会合运算及数目积运算。

3．正方体ABCD A1B1C1D1中，E, F , G, H 分别是 AA1, AB , BB1, B1C1的中点，则直线 EF 与GH所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】 C【分析】试题剖析：由三角形中位线可知EF PA1 B,GH PBC1，所以异面直线所成角为A1 BC1，大小为60°考点：异面直线所成角4．在正方体ABCD A1 B1C1D1中，E是 B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为（）A．2 5B ．10C ．10D ． 2 5 5555【答案】 B【分析】试题剖析：取 BC 中点F，连结FD , FC1，则DC1F为异面直线所成角，设边长为 2，C1F5, DC18, DF5cos10 DC1F5考点：异面直线所成角5．如图，正四棱柱ABCD A B C D 中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），AA3AB ，则异面直线 A B 与 AD 所成角的余弦值为（）A、9B、4C、7D、3 105105【答案】 A【分析】试题剖析：连结 BC '，异面直线所成角为A' BC '，设 AB 1,在A'BC'中' '''10AC2, A B BC考点：异面直线所成角6．点P在正方形 ABCD 所在平面外，PA⊥平面 ABCD ，PA AB ，则 PB 与AC 所成的角是．60B ．90C．45D30A．【答案】 A【分析】试题剖析：作出空间几何体以以下图所示：设正方形的边长为 2 ，．所以 PB 与AC所成的角就是FEA ，由题意可知：EF AE AF 2 ，所以FEA 60．考点：异面直线的地点关系．7．以下图，在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中， M 是棱CD的中点，则 A1M 与 DC1所成角的余弦值为（）A.2B.2C.10D.10 661010【答案】 A 【分析】试题剖析：以 D为原点，分别以DA, DC , DD1为 x, y, z 轴的正半轴成立空间直角坐标系 D - xyz ，由棱长为1，则 D (0,0,0), A1(1,0,1), M (0, 1,0), C1 (0,1,1) ,所以2uuuur1uuuur 0 +1- 122= -，应选 A.A1M = (- 1,2, - 1), DC1 = (0,1,1) ,故 cos < A1M , DC1 >=3262考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中， E、 F 分别为 AB、BC 中点，则异面直线EF 与AB1所成角的余弦值为A．3 B ．3C．2 D ．12322【答案】 D【分析】试题剖析：联络 AC、 B1C则 B1AC即为所成的角。

异面直线所成角的计算（向量法）（含答案）

异⾯直线所成⾓的计算（向量法）（含答案）异⾯直线所成⾓的计算（向量法）⼀、单选题(共10道，每道10分)1.若向量，，夹⾓的余弦值为，则等于( )A.1B.-1C. D.2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓2.如图，在正⽅体中，是的中点，则异⾯直线与所成⾓的余弦值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：3.如图，长⽅体中，，，则异⾯直线和所成的⾓的余弦值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平⾯ABC，∠BAC=90°，，，，则直线与所成的⾓的余弦值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓5.如图，在底⾯边长为a的正⽅形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平⾯ABCD，且PA=a．若M为PC中点，则直线AM与CD所成⾓的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓6.（上接第5题）若点M为PD中点，则直线CM与PB所成⾓的⼤⼩为( )A.60°B.45°C.30°D.90°答案：C解题思路：7.如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=AB=，点M为PA中点，则直线BM与PD所成⾓的正弦值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓8.（上接第7题）直线BM与PC所成⾓的余弦值是( )C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓9.如图，将正⽅形沿对⾓线折起，使平⾯平⾯，是中点，则与所成⾓的正切值为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓10.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底⾯三⾓形的边长为1，则直线与所成的⾓为( )A.30°B.60°C.45°D.90°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：⽤空间向量求直线间的夹⾓。

异面直线的夹角-线面角(含答案)

异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。

解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。

异面直线的夹角

异面直线的夹角异面直线的夹角测试题1. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为__________. 2. 异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ属于集合（）A 、{θ│0°＜θ＜40°}； B、{θ│40°＜θ＜50°}C 、{θ│40°＜θ＜90°}； D、{θ│50°＜θ＜90°}3. 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小为_________________.4. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4DD1=3，求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余5. 在空间四边形ABCD 中, 已知AD=1,BC=3, 且AD ⊥BC, 对角线BD=AC 和BD 所成的角.6. 已知几何体A-BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V 的大小；（2）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值。

2,AC=32, 求7. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点.(1)证明AD ⊥D 1F ；(2)求AE 与D 1F 所成的角.相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。

考点02 异面直线的夹角(人教A版2019)(含答案解析)

考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 B．5C．5D ．162．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为 A ．720 B．20 CD5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14C ．4-D ．47．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 B ．6CD8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ． BC ．6-D9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B ．15CD ．5-11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．6 B ．23CD ．1212．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13C ．12D 13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为A ．12BC ．10D ．1014．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34C ．14D ．1315．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．217．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O ，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为A ． BC ．D 18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．3021．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A BCD23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为 A ．13 B ．22C ．324D ．1224．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，2AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC 与PD 所成角的余弦值是A 3B 6C 6D ．2225．在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A ．427 B 15 C 3D 6二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD '''' C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1AC D ．//CD 平面11AB C5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．6．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，AB =2BC =，若E ，F 是PC 的三等分点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值________．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为________．10．四棱锥P -ABCD 的底面是一个正方形，P A ⊥平面ABCD ，4PA AB ==，E 是棱P A 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是________．11．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值为________．13．已知(0,1,2)AM =，(1,0,2)CN =，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是__________．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，ADC=90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是________．15．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是________．四、双空题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则该棱柱的体积为________；异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．2．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =________，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为________． 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为________；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为________．4．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为________，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为________．5．如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC ==，则此三棱锥四个面中直角三角形的个数为________，异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．五、解答题1．如图，在三棱锥D -ABC 中，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥且2BC =，3AB =，4=AD ．（1）证明：BCD △为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且2AE =，45EAD ∠=︒，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．2．如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小；（2）求三棱锥P BMC -的体积．考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 BCD ．16【试题来源】A 佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测【答案】D【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，2a c ⋅=，2b c ⋅=，从而1AB a c =+， 1BC b c a =+-，22112AB BC a b b c c a ⋅=⋅+⋅+-=，22124AB a c a c =++⋅=+=22212224BC a b c b c a b a c =+++⋅-⋅-⋅=+=所以1111111cos ,6||||AB BC AB BC AB BC ⋅==．故选D ．2．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒【试题来源】四川省自贡市2019-2020学年高二年级上学期期末（理）【答案】B【解析】如图，根据条件，1AB =，令AB =，11B B =；又1111()AB B A B B =-+，1111C B B C B B =-+；2211111111111111211102AB C B B A B C B A B B B B B C B B ∴=-+-=⨯-=-=；∴11AB C B ⊥；1AB ∴和1C B 所成的角的大小为90︒．故选B ．3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得103λ<<，当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意，所以103λ≤<，故选A. 4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为A ．720B ．20C．20D．20【试题来源】第八单元立体几何（A 卷基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷【答案】C【解析】如下图所示，设3AD =，取BC 的中点O ，B C ''的中点M ，连接OA 、OM ，在正三棱柱ABC A B C '''-中，//BB CC ''且BB CC ''=，则四边形BB C C ''为平行四边形，//BC B C ''∴且BC B C ''=，由于O 、M 分别为BC 、B C ''的中点，则//OB MB '且OB MB '=，所以，四边形OBB M '为平行四边形，则//OM BB '且OM BB '=，BB '⊥平面ABC ，则OM ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且O 为BC 的中点，则OA BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、30,,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,32C ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，3,12AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1EC '=-，77cos ,2010AD EC AD EC AD EC -'⋅'<>===-'⋅，2sin ,1cos ,120AD EC ADEC ''<>=-<>==，因此，异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为20．故选C ．5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷【答案】D【解析】解法一：如图，在平面ABFE 中，过F 作//FG AE 交AB 于G ，连接CG ，则CFG ∠或其补角为异面直线AE 与CF 所成的角．设1EF =，则3AB =，2AD =．因为//EF AB ，//AE FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以2FG AE AD ===，1AG =，2BG =，又AB BC ⊥，所以GC =，又2CF BC ==，所以222CG GF CF =+，所以2CFG π∠=．解法二：如图，以矩形ABCD 的中心O 为原点，CB 的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，ADE 和BCF △都是正三角形，所以EF ⊂平面yOz ，且Oz 是线段EF 的垂直平分线．设3AB =，则1EF =，2AD =，31,,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，10,2E ⎛- ⎝，31,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝，所以(AE =-，(1,CF =-，所以111(1)AE CF ⋅=-⨯+⨯-0=，所以AE CF ⊥，所以异面直线AE 与CF所成的角为2π．故选D ．6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14 C．4-D．4【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题【答案】B【解析】以A 为原点，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题得(0A ，0，0)，1(0,0,2)A，B ，1(0C ,2，2)，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,2)AC =，设异面直线1A B 与1AC 所成角为θ，则1111111cos |cos ,|||||4||||88A B AC A B AC A B AC θ=<>===． ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为14．故选B ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 BC ．3D ．3【试题来源】河北省深州市中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【解析】因为PA ⊥底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，所以以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)E ，(0,2,0)D ，(2,1,2)PE =-，(2,2,0)BD =-，设异面直线BD 与PE 所成的角为θ，(0,]2πθ∈，则||cos||||PE BD PE BD θ⋅==6=．所以异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为6．故选A ． 8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ．18-BC ．6-D 【试题来源】河南省新乡市新乡县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）【答案】B【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系所以()()()()0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,2,1P B C E ，所以()()2,2,1,2,4,2=-=-BE PC ，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为6⋅=BE PC BE PCB ． 9．已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1 (0,1,2)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(1,1,2)AC =-，(1,0,1)BE =-，设1AC 与BE 所成角为θ，则11cos 6||AC BE AC BE θ⋅===⋅，所以30θ=︒．所以异面直线1AC 与BE 所成的角为30．故选A ． 10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC ABBC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A．5B．15 CD ．【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考（理）【答案】A【解析】如图：以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,00B ，()10,1,1C ，()10,1,1BC =，因为120ABC ∠=，则cos1201A y AB ==-，sin1203A xAB == 即)1,0A-，()1AB =-，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，1111cos 5AB BC AB BC θ⋅===A ．11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．6B ．23C ．2D ．12【试题来源】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试【答案】A【解析】因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1,0,2)B ，1(0,1,C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC AB BC AB BC ⋅<>===．所以直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13 C ．12D 【试题来源】河北省沧州市第三中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,1E ，()2,2,1F ，()0,2,0D，()10,2,0D ，∴ ()0,2,1ED =-，()12,0,1D F =，∴直线ED 与1D F 所成角θ的余弦值为111c 5os 0ED D ED D F Fθ⋅===⋅．故选A ．13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为 A ．12B ．2 CD ．10【试题来源】山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考（文）【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设棱长AB ＝2．A （0，0，0），C （2，2，0）．因为E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，所以E （0，1，2），F （1，1，2），所以()()0,1,2,1,1,2AE CF ==--，所以cos ,1AE CF AE CF AE CF⋅===．所以异面直线AE 与CF ．故选C ． 14．直三棱柱111ABC A B C -中，1ABAC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34 C ．14D ．13【试题来源】福建省莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】C【解析】因为AB AC =，60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设2AB =，则B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ，所以1(1,2)BA =--，1(0,2,2)AC ，122BA =，122AC =112BA AC ⋅=，所以异面直线1BA 和1AC所成角的余弦值为11111cos 42BA AC BA AC θ⋅===⋅，故选C ．15．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【试题来源】浙江省衢州五校2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在线为y 轴，DP 所在线为z 轴，建立空间坐标系，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，令1PD AD ==，(1A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)∴(1PA =，0，1)-，(1BD =-，1-，0)，·1cos 22PA BD PA BDθ∴===-⨯，故两向量夹角的余弦值为12，即两直线PA 与BD 所成角的度数为60︒．故选C ．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考【答案】C【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D ，所以()()11,,3,0,AC a a a CD a =-=-，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos AC CD a AC CD θ⋅-===⋅．故选C. 17．在长方体1111ABCD A B C D -中，1ABAD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为 A． BC ．D 【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AB AD ==，12AA =，所以()11,0,2A ，()1,1,0B ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,2D ， 111,,222A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,1,2BD =--，则11cos ,9A O BD ==．故选D ．18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=【试题来源】天津市第五十五中学2020-2021学年高二（上）第一次月考【答案】C 【解析】两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，∴·3312(2)19u v =⨯+⨯+-⨯=，231u =+=，232v =+=，又两条异面直线所成的角为(0,]2πθ∈，∴·9cos cos ,14·14u v v u vθ====⋅，sin 14θ=．故选C ．19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°【试题来源】河北省承德第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考【答案】D【解析】以B 为原点．1,,BC BA BB 分别为..x y z 轴建立空间直角坐标系：令12AB BC AA ===，则(0,0,0)B ，(0,1,0)E ，(0,0,1)F ，1(2,0,2)C ，所以(0,1,1)EF =-，1(2,0,2)BC =，所以111cos ,||||EF BC EF BC EF BC ⋅<>=12==，所以直线EF 和1BC 所成的角为60．故选D ．20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．30【试题来源】山东省青岛市第十七中学2019-2020学年高一下学期期中考试【答案】C【解析】连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，．因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45，故选C ．21．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【试题来源】辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=．依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点，所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ，则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．3 BCD【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考【答案】C【解析】四面体A BCD -是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M ，(1,1,1),(0,2,0)BM CD ==，cos ,3||BM CD BM CD BM CD⋅〈〉===⋅0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以异面直线BM 与CD C ．23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为A ．13 B．3 CD ．12【试题来源】天津市第二十中2020-2021学年高二（上）期中【答案】B【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅，∴异面直线MB 与1AA ，故选B ．24．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC与PD 所成角的余弦值是ABCD【试题来源】安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（理）【答案】B【解析】因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥ 平面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，所以()))()(0,0,0,,,0,1,0,A BCD P ，因为点E 是棱PB的中点，22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭ ，所以(22,1,,0,1,EC PD⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以11cos ,31PD EC PD ECPD EC⋅===⋅，所以异面直线EC 与PD ．故选B. 25．在棱长为2的正方体1111—ABCD A BC D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A．7 BCD【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】B【解析】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2F OE D =-=-，所以111cos ,53FD OE OE OE FDFD ⋅<>===，所以异面直线OE 和1FD ，故选B ．二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中【答案】BCD【解析】对于选项A ，由题意以A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1A 、A 1D 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A 1(0，0，0)，D (0，2，2)，D 1(0，2，0)，A (0，0，2)，B (2，0，2)，C (2，2，2)，则P (2，1，2)，设Q (x 0，y 0，0)，则AP =(2，1，0)，1D Q =(x 0，y 0－2，0)，由AP ⊥1D Q ，可得10AP DQ ⋅=，即2x 0+y 0－2=0，对于选项A ，由DP =(2，－1，0)，可得1cos DP DQ =，，45===，为定值，所以选项A 错误；对于选项B ，四面体ABPQ 的体积111122123323A BPQ Q ABP ABP V V S AA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，为定值，即体积不变，所以选项B 正确；对于选项C ，因为AA 1⊥A 1Q ，且A 1Q=11111222AA QS AA AQ ∆=⨯⨯=⨯===，因为[]002x ∈，，所以15AA Q S ∆≥=，所以选项C 正确；对于选项D ，如图，因为点Q 满足2x 0+y 0－2=0，即点Q 在直线2x 0+y 0－2=0上运动，取A 1B 1的中点为E ，即点Q 在D 1E 上，因为点P 到D 1E 的距离为2，E (1，0，0)，1D E =(1，－2，0)，11D E =+=，11122PD EE SD ∴⨯⨯== 则平面D 1PQ 截正方体所得截面为1FED G ，其中12CG GD =，112BF FB =，所以，1EFGD 且1EF GD =，又由P 为中点，,BF CG PB PC ==，90B C ∠=∠=︒，所以，PEF 和1PGD 全等，所以，PF PG =，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形1FED G ，该四边形的面积为2△D 1PE ，则截面面积为 2△D 1PE =115122222PD ESD E ⨯⨯⨯==，则截面面积为定值，所以选项D正确．故选BCD ．2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD ''''的截面面积为4C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中【答案】AC【解析】以A '为坐标原点，以A D ''，A B ''，A A '为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz '-，则(0A ，0，1)，1(2M ，1，1)，(1D '，0，0)，(0B '，1，0)，∴1(2AM =，1，0)，(1D B ''=-，1，0)，cos AM ∴<，·10AM D B D B AM D B ''''>==''，AM ∴与D B ''所成角的余弦值为10，故A 正确；取CC '的中点N ，则////MN BC AD ''，故梯形MND A '为过A 、M 、D '的正方体的截面，2MN =，AD '=，AM D N ='=，∴梯形MND A '的高为=，∴梯形MND A '的面积为19)228⨯=，故B 错误；四面体A C BD ''的体积为111414111323D A C D V V -'''-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，又四面体A C BD ''的所有棱长均为，∴四面体A C BD ''的表面积为244⨯⨯=A C BD ''的内切球半径为r ，则123⨯13r =，解得r =，∴四面体A C BD ''的内切球的表面积为243r ππ=，故C 正确；MAC PAC ∠'=∠'，P ∴点在以AC '为轴，以AM 为母线的圆锥的侧面上， (1AC '=，1，1)-，1(2AM =，1，0)，故·15cos AM AC MAC AM AC '∠'=='设AC '与平面A B C D ''''的夹角为α，则2cos cos 353A C AC A AC α''=∠''===>'， MAC α∴<∠'，P ∴点在平面A B C D ''''上的轨迹是双曲线，故D 错误．故选AC ．3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】ABD【解析】如图1所示，由题意，11//C D CD ，11C D ⊂/平面CHD ，CD ⊂平面CHD ，所以11//D C 平面CHD ，所以A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB =，则1(1AC =-，1，1)，(1BD =-，1-，0)，1(1DA =，0，1)；所以11100AC BD =-+=，111010AC DA =-++=，所以1AC BD ⊥，11AC DA ⊥，所以1AC ⊥平面1BDA ，所以B 正确；三棱锥11D BA C -的体积为1111114D BA C ABCD A B C D V V --=-三棱锥正方体11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=，所以C 错误；(1E ，12，0)，(0F ，0，1)2，所以(1EF =-，12-，1)2，1(1BC =-，0，1)，所以cos EF <，111110||||3EF BC BC EF BC ++>===⨯ 所以EF 与1BC 所成的角是30，所以D 正确．故选ABD ．4．如图，在三棱柱111ABCA BC -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1ACD ．//CD 平面11AB C【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】AC【解析】A ：因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥，A 正确；以D为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1A -，()1,0,0A -，(1C，(1B，所以(11,0,A D =，(11,AC=，所以111111cos ,7A D ACA D AC A D AC ⋅===，所以异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14，B 不正确，C 正确；因为(1AB =，(11,AC=，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则1120n AB xn AC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2n =-，因为()0,CD =，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选AC ．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【试题来源】山东省新泰市第一中学（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--，因为1DC =，212BC ==，所以1113cos ,17DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为17，故答案为17． 2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．【试题来源】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B 、()0,2,2E 、()1,1,0F ，()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，111111cos ,2A E BF A E B F A E B F⋅<>===⋅，因此，直线1A E 与直线1B F ． 3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥、PA BC⊥，过点A 作//AE CB ，又CB AB ⊥，则AP 、AB 、AE 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，直线AB 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()000A ，，、()002P ，，、(400)B ，，、(420)C -，，，又D 为PB 中点，则(201)D ，，，故(422)PC =--，，，(201)AD =，，，所以cos 102PC AD PC AD PC AD⋅===⋅，，故答案为104．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】19【分析】建立空间直角坐标系，利用公式11sin DM A N DM A Nθ⋅=⋅，进行求解即可【解析】如图，设正方体的边长为a ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立坐标系得，(,0,0)D a ，(0,,)2a M a ，1(,,)A a a a ，(0,0,)2a N ，所以，(,,)2a DM a a =-，1(,,)2a A N a a =--，所以，11sin 9a DM A N DM A N θ⋅==⋅19=，故答案为19. 5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习考点扫描【答案】45【分析】以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得出(,,1)DH m m =，()1001CC =，，，进而根据向量的乘积公式求解【解析】如图，以D 点为原点，以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：()()()1000100001D DA CC ==，，，，，，，，，连接11BD B D ，，在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于点H ，设(,,1)DH m m =，(0)m >，DP 与1CC 所成角为θ 由已知60HDA ∠=︒，根据cos DA DH DA DH HDA ⋅=∠，可得221m m =+，解得21m DH⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1112cos 2C DH D C co C H DH s CC C θ⋅===⋅，， ∴45θ=︒，故答案为456．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP359】【数学】【答案】15【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则())()()0,0,0,,0,2,0,0,1,2A EC F ，所以()()3,1,1,0,1,2AE CF ==-，所以1cos ,55AE CF AE CFAE CF⋅===⋅，故答案为15．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．。

异面直线夹角基础版

异面直线夹角基础版例1.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ⎳CD ．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A.②③B.①②③C.①③D.①③④【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线及异面直线所成的角，属于中档题．先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可．【解答】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，F CAN M EDB则AB ⊥EF ，EF 与MN 为异面直线，AB //CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．故选C ．例2. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =CD =4,M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为( )A.23B.34C.33D.24【答案】C【分析】本题主要考查了异面直线所成的角的求法，是中档题．由题目条件，可构造边长为4的正方体，由异面直线所成角的定义，找到夹角，再计算即可．【解答】解：构造边长为4的正方体如图所示：∵BE ⎳CD ，∴BM 与CD 的夹角即为BM 与BE 的夹角，也就是∠MBE ，在△MBE 中，AB CDEF MNBM =12AD =12×43=23，ME =23，取BE 的中点F ，则MF ⊥BE ，∴cos ∠MBE =BF BM =223=33，故选C ．例3.(多选)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，其中正确的结论为( )A.直线BN 与MB 1是异面直线B.直线AM 与BN 是平行直线C.直线AM 与C 1C 是相交直线D.直线MN 与AC 所成的角为60°【答案】AD【分析】本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交或平行，属基础题．利用两条直线是异面直线的判断方法来验证AC 的正误，利用平行关系判定B ，由MN //D 1C 可得∠D 1CA 即为直线MN 与AC 所成的角，在△D 1CA 中计算∠D 1CA 即可判断D ，得到结论．【解答】解：对于A ，∵BN ⊂平面BCC 1B 1，B 1M ∩平面BCC 1B 1=B 1，B 1∉BN ，∴直线BN 与直线B 1M 异面，故A 正确；对于B ，取D 1D 中点G ，连接AG ，GN ，由正方体性质可得GN ⎳DC ，GN =DC ，又因为AB ⎳DC ，AB =DC ，所以GN //AB ，GN =AB ，所以四边形ABNG 为平行四边形，所以BN //AG ，若AM //BN ，则AG 与AM 重合，显然不成立，所以直线AM 与直线BN 异面，故B 不正确；对于C ，∵CC 1⊂平面CC 1D 1D ，AM ∩平面CC 1D 1D =M ，M ∉CC 1，∴直线AM 与直线CC 1异面，故C 不正确；对于D ，因为M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，所以MN //D 1C ，所以∠D 1CA 即为直线MN 与AC 所成的角，在△D 1CA 中，由正方体性质可得D 1C =AD 1 =CA ，所以△D 1CA 为正三角形，所以∠D 1CA =60°，即直线MN 与AC 所成的角为60°，故D 正确．故选AD ．例4.如图，在四面体ABCD 中，点P ,Q ,M ,N 分别是棱AB ,,BC ,CD ,AD 的中点，截面PQMN 是正方形，则下列结论正确的为( )ABCDPQMNA B CDA 1B 1C 1D 1MNA.AC ⎳截面PQMNB.异面直线PM 与BD 所成的角为60°C.AC ⊥BDD.BD ⊥平面ACD【答案】AC【解析】【分析】本题考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，着重考查了线面平行的判定与性质及线面垂直的判定与性质、异面直线所成角，属于中档题．首先由正方形中的线线平行推导线面平行，这样就把AC 、BD 的关系转化为MN 与QM 的关系，即可利用平面图形知识做出判断．【解答】解：∵点P 、Q 分别是棱AB 、BC 的中点，∴PQ ⎳AC ，∵PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，∴AC ⎳截面PQMN ，故A 正确；∵点Q 、M 分别是棱BC 、CD 的中点，MQ ⎳BD ，∴异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角为45°，故B 错误；∵截面PQMN 是正方形，∴MN ⊥QM ，又∵点P ,Q ,M ,N 分别是棱AB ,,BC ,CD ,AD 的中点，∴MN ⎳AC ，QM ⎳BD ，∴AC ⊥BD ，故C 正确；若要使BD ⊥平面ACD ，则需要BD ⊥AC ，BD ⊥DC ，但由题意知BD ⊥DC 不一定成立，故D 错误．故选AC ．例5.如图在三棱锥A -BCD 中，点E ，F ，M ，N 分别为相应棱的中点，(1)求证：四边形EFMN 为平行四边形；(2)若AC =BD =2，EM =2，求异面直线AC 与BD 所成的夹角．【答案】(1)证明：∵E ，F 为棱AB ，BC 的中点，∴EF = //12AC ，又∵M ，N 为棱AD ，CD 的中点，∴MN = //12AC ，∴由平行公理得EF = //MN ，∴四边形EFMN 为平行四边形；(2)解：由题意知，FM ⎳BD ，EF //AC ，∴∠EFM 为异面直线AC 与BD 所成的角，∵AC =BD =2，EM =2，又由FM =12BD =1，EF =12AC =1，∴在ΔEFM 中，EF 2+FM 2=EM 2，∴EF ⊥FM ，即∠EFM =90°，∴异面直线AC 与BD 所成的夹角为90°．【解析】本题考查平行公理与等角定理，空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，考查逻辑推理能力，属于基础题．(1)由三角形中位线定理和平行公理可得；(2)通过平移得∠EFM 为异面直线AC 与BD 所成的角，利用解三角形可得．例6.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中ABCP点．(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中哪些棱所在的直线与直线A1B是异面直线?(2)分别求异面直线EF与GH，EF与CC1所成的角．【答案】解：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，所在的直线与A1B是异面直线的棱有：AD，B1 C1，CD，C1D1，DD1，CC1．(2)连接BC1，A1C1，因为E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，所以EF//A1B，GH//BC1，所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角．由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°．因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1//AA1，所以∠AEF即为EF与CC1所成的角．因为△AEF为等腰直角三角形，所以∠AEF=45°，即EF与CC1所成的角为45°．【解析】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线，异面直线所成的角的应用，(1)根据已知及空间中直线与直线的位置关系，异面直线的判断，可知哪些棱所在的直线与直线A1B是异面直线，(2)根据已知及异面直线所成的角的计算，求出异面直线所成的角的值．例7.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体(如图)．(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线?(2)求证直线AA1与BC垂直．(3)求直线BC1与AC的夹角．【答案】解:(1)正方体共有12条棱，与BC1相交的棱有6条，与BC1平行的棱不存在．因此余下的6条棱所在直线分别与直线BC1是异面直线，它们是A 1A ，A 1B 1，A 1D 1，DA ，DC ，DD 1．(2)因为AD //BC ，所以AA 1与AD 的夹角就是AA 1与BC 的夹角.因为 ∠A 1AD =90°，所以 AA 1⊥BC ．(3)连接A 1C 1，因为AA 1= //BB 1= //CC 1，所以四边形AA 1C 1C 是平行四边形，故AC //A 1C 1，从而BC 1与AC 的夹角就是BC 1与A 1C 1的夹角.连接A 1B .因为A 1B ，BC 1与A 1C 1都是正方体的面对角线，所以A 1B =BC 1=A 1C 1，故△A 1BC 1是正三角形．因此，BC 1与A 1C 1的夹角为60°，即BC 1与AC 的夹角为60°．例8.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，AD ，CD ，BC 的中点．(1)求证：四边形EFGH 为平行四边形;(2)当对角线AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形?(给出一个满足题意的条件即可，不必证明)．【答案】解：(1)证明：连接BD ，因为E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，所以EF //BD ，EF =12BD .同理HG ⎳BD ，HG =12BD ．所以EF //GH 且EF =GH .所以四边形EFGH 是平行四边形．(2)当AC ⊥BD 且AC =BD 时，四边形EFGH 为正方形．例9.三棱锥P -ABC ，PA =4，BC =6．(1)该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；(2)若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．【答案】解：(1) 3对；PC-AB，PB-AC，PA-BC．(2)取AB的中点D，连接MD、ND，∵M为PB中点，D为AB中点∴MD为△PAB中位线，∴MD ⎳ PA且MD=12PA=2同理，ND ⎳ BC且ND=12BC=3 ，∴∠MDN为异面直线PA与BC所成角或其补角又∵MN=4 ∴在△MND中，cos∠MDN=ND2+MD2-MN22ND⋅MD=32+22-422×3×2=-14∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为1 4．。

异面直线的夹角,线面角含答案

170（°，"2】*几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

例1在正方体 ABCD A BCD 中，E 是AB 的中点,（1）求B A 与cC 夹角的度数. （2）求B A 与CB 夹角的度数. （3）求AE 与CB 夹角的余弦值.例2:长方体ABCD-ABCD 中，若AB=BC=3 AA=4,求异面直线 B i D 与BC 所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线 a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线平行线。

解法一：如图④，过 B 点作BE// BC 交CB 的延长线于E 点。

则/ DBE 就是异面直线 DB 与BC 所成角，连结 DE 交AB 于M DE=2DM=3 5 ,fVI-4解法二：如图⑤，在平面 DDBB 中过B 点作BE / DB 交D B 的延长线于E ,则Z C BE 就是异面直线 DB 与BC 所成的角，连结C 丘，在厶B i C E 中,课堂思考:空间角1异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围:cos Z DBE 逍1 7°A (A.JT | J | X.7./: \■一■f I \r\D ：/r. .... I C"图⑤Z C B E=1 35°, C E=3 5 ,COS Z C BE=C1 .如图，PA 矩形ABCD已知PA=AB=8 BC= 1 0,求AD与PC所成角的余切值为。

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