正弦定理知识点与典型例题

正弦定理

【基础知识点】

1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2

1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC,

sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2

2．三角形中的边角不等关系: A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b

3．【正弦定理】：A a sin ＝B b sin ＝C

c sin ＝2R （外接圆直径）； 正弦定理的变式：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；

a ∶

b ∶

c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．

asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA

sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R

4．正弦定理应用范围：

①已知两角和任一边，求其他两边及一角．

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．

③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．

已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：

(1)A 为锐角 b a b a a b a

B A

C A C

A B C

a=bsin A bsin A

(2)A 为锐角或钝角

当时有一解.

也可利用正弦定理a

A b

B sin sin =进行讨论． 如果sinB>1，则问题无解；如果sinB ＝1，则问题有一解；

如果求出sinB<1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”

等三角形有关性质进行判断

典型例题：

例1、在ABC ∆中， 45,1,2===

A b a 求

B 的大小。

例2、在△ABC 中，已知3=

a ，2=

b ，B=45︒ 求A 、C 及

c .

例3、在△ABC 中，a=15,b=10,A= 60,则cosB 的值

例4、在△ABC 中， 30=B ，32=AB ，AC=2，求△ABC 的面积。

例5、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.

例6、在△ABC 中，)sin()()sin()(2

222B A b a B A b a +-=-+，试判断△ABC 的形状

例7、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c

(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为？

例8、在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010

，若最长边为1，则最短边的长

例9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255

，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；

例10、设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12

c ＝b . (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．

例11、在△ABC 中，sin(C-A)=1,sinB=

3

1.(Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)设AC= 6 求△ABC 的面积.