第 10 讲待定系数法(高中版)

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第10讲-一次函数的图象与性质(课件)-2024年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)全文编辑修改

）
C．一、三、四
D．二、三、四
【详解】解：∵正比例函数 = ( ≠ 0)的函数值随的增大而减小，
∴ < 0，∴− > 0,2 < 0，
∴一次函数 = − + 2的图象所经过第一，三，四象限，故选：C．
【对点训练1】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变
化情况.
➢ 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
稿定PPT
命题预测
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要
的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各
地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在
一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方
程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
考点一一次函数的相关概念
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0； 2）x的次数为1； 3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
y随x的增大而减少
y
y
y
y
y
图象
x
O
经过象限
与y轴交点位置
x
O
x
x
O
O
b>0
b=0
b<0
b>0
一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
y
x
O
b=0

第10讲一次函数

解析:∵-1<0,4>0,∴一次函数y=-x+4的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.∵点P在一次函数y=-x+4的图象上,∴点P一定不在第三象限.故选C.
2.(2019 临沂)下列关于一次函数 y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是( D ) (A)图象经过第一、二、四象限 (B)y 随 x 的增大而减小 (C)图象与 y 轴交于点(0,b)
性质
y 随 x 的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而
增大 .
增大 .
减小 .
减小 .
3.一次函数图象的平移一次函数y=kx+b的图象可以看作是由直线y=kx向上(下)平移 |b| 个单位长度而得到的.当b>0时,将直线y=kx向上平移|b|个单位长度;当b<0时,将直线y=kx向下平移|b|个单位长度.
x＞0, x＜
3,
∴无解;
kx＜x 0,b＞0，即
x＜0, x＞
3,
∴解集为-3<x<0,
∴不等式 x(kx+b)<0 的解集为-3<x<0.
6.(2018上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米. ∴当 0≤x≤150 时,1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为 150 =6 千米.
60 35
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.

(新课程)高中数学2.2.3《待定系数法》教案新人教B版必修1

待定系数法、教学目标1、知识目标：使学生掌握用待定系数法求解析式的方法；2、能力目标： (1)尝试设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解；(2)培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。

3、情感目标：(1) 通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； (2) 通过合作学习，培养学生团结协作的品质。

、教学重点与难点重点：用待定系数法求函数解析式；难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式。

三、教学方法求 a,h.采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法；讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索。

四、教学过程教学教学内容环节复习 1、正比例函数、一次函数的几析式？弓|入2、正比例函数、一次函数的几析式中教学中通过列举例子，引导学生进行各有几个需要确定的系数? 师生互动教师通过多媒体展示问题，学生思考后回答•定义：在求一个函数时，如果已知这个函数的一般式，可以先把所求函数设为一般式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数的方法叫待定系数法. 例：二次函数的运用已知二次函数 f(x ), f ( 0) =-5,f(-1)=-4,f(2)=5, 求这个函数运用待定系数法解题步骤: 第一步：设出适当含有待定系数的解析式；第二步：根据已知条件，列出含有待定系数的方程组; . 第三步：解方程组，或消去待定系数，进而解决问题概念形成二次函数在待定系数法中的设法：学生分组讨论并总结.设法1：已知顶点坐标(m,n ),可设y=a (x m)2 n 2,再利用一个独立条件，求a. 设法2：已知对称轴x=m,设y a(x m)2b.利用两个独立条件求a,b.每种结论给出相应练习.设法3：已知最大或最小值 n ,可设y a(x h)2 n ,利用两个独立条件,XX设法4:二次函数图像与x 轴有两个交点时，设 y (x xj(x x 2),再利用一个独立条件求 a.练习: 求下列二次函数的解析式学生到黑板板①经过三点(3，0),( 0，-3)，( -2，5)演.②顶点(4,2),(2,0) 在图像上③yx 2 4x h 的顶点在y4x1上概念给疋哪些条件，才能求出一个具体的二次函数.学生分小组讨深化论，进行探索与研究.应用一根弹簧原长是 12厘米，它能挂的重量不超过 15kg ,并且每挂重量 1kg 例题由学生扮举例就伸长0.5厘米，挂后的弹黄长度 y(cm)与挂重 (kg )是一次函数的关系.演完成，对出现 (1) 求y 与x 的函数解析式；的问题及时给(2)求自变量x 的取值范围；予纠正。

第10讲一次函数

简记为“左加右减,上加下减”.
知识点四
常用方法
步骤
确定一次函数的表达式
待定系数法
(1)设函数表达式;(2)列方程(组);(3)解方程(组),确定待定系数;(4)写出函数表达式
常见类型 (1)已知两点坐标;(2)已知两对对应值;(3)利用平移规律;(4)利用实际问题中的数量关系
知识点五
一次函数与方程(组)、不等式的关系
待定系数法求函数表达式.
(2)表格型应用题:分析表格中数据,从表格中提取两组量,应用待定系数法求函数表达式.
(3)图象型应用题:从函数图象上找出两点,将其坐标代入求函数表达式;若函数为分段函数,则要注意
取同段函数图象上的两点,依此方法分别求各段函数的表达式,最后记得加上对应自变量的取值范围.
(4)方案选取问题:根据表达式分类讨论,比较几个方案在不同取值下的最优结果.

解:(1)当 x=100 时,y=- ×100+13=9,

∴B(100,9).
设线段 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0),

则
= ,
= + ,

解得

= + ,
=- ,

∴线段 BC 的表达式为

y= x- (100≤x≤140).
(2)如果从甲地到乙地全程为260 km,包括60 km限速为50 km/h的省道和200 km限速为120
A
B
C
D
)
[变式2] (2022眉山)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x的增大而增大,则点P(-m,m)所在象限为(B
)
A.第一象限

待定系数法求数列的通项公式

待定系数法求数列的通项公式尹伟云（贵州省仁怀市周林高中５６４５００）尹伟云全国高中数学联赛优秀教练员，多次荣获优秀教师称号。

发表论文２０多篇。

数列的通项公式是高中数学的核心知识点，根据条件式求通项是近几年高考考查的热点之一．本文从条件的结构特征入手，探讨几类数列通项公式的求法．１．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ”型例１已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝３ａｎ＋１，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋ｘ＝３（ａｎ＋ｘ），即ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ｘ，与ａｎ＋１＝３ａｎ＋１对比知２ｘ＝１，即ｘ＝１２，所以ａｎ＋１＋１２＝３　ａｎ＋１２（），从而数列ａｎ＋１２｛｝是首项为ａ１＋１２，公比为３的等比数列，所以ａｎ＋１２＝ａ１＋１２（）·３ｎ－１，得ａｎ＝３ｎ－１２．２．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｎ＋Ｃ”型例２已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝－１，且ａｎ＋１＝３ａｎ－２ｎ＋３，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋Ａ（ｎ＋１）＋Ｂ＝３（ａｎ＋Ａｎ＋Ｂ），即ａｎ＋１＝３ａｎ＋２Ａｎ＋２Ｂ－Ａ，与原式对比知２Ａ＝－２，２Ｂ－Ａ＝３，烅烄烆解得Ａ＝－１，Ｂ＝１，烅烄烆即ａｎ＋１－（ｎ＋１）＋１＝３（ａｎ－ｎ＋１），所以ａｎ－ｎ＋１＝－３ｎ－１，故ａｎ＝－３ｎ－１＋ｎ－１．３．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｑｎ＋１”型例３已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝－１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋４×３ｎ－１，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解法１设ａｎ＋１＋α·３ｎ＋１＝２（ａｎ＋α·３ｎ），即ａｎ＋１＝２ａｎ－α·３ｎ，所以α＝－４３，从而ａｎ＋１－４３·３ｎ＋１＝２　ａｎ－４３·３ｎ（），所以ａｎ－４３·３ｎ＝－５·２ｎ－１，即ａｎ＝４·３ｎ－１－５·２ｎ－１．解法２原式化为ａｎ＋１３ｎ＋１＝２３·ａｎ３ｎ＋４９，设ａｎ＋１３ｎ＋１＋α＝２３ａｎ３ｎ＋α（），易得α＝－４３，所以ａｎ＋１３ｎ＋１－４３＝２３ａｎ３ｎ－４３（），即ａｎ３ｎ－４３＝－５３２３（）ｎ－１，所以ａｎ＝４·３ｎ－１－５·２ｎ－１．４．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂｑｎ＋１＋Ｃ”型例４已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａｎ＋１＝·２１·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２１年第２期３ａｎ＋５·２ｎ＋４，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α·２ｎ＋１＋β＝３（ａｎ＋α·２ｎ＋β），①将ａｎ＋１＝３ａｎ＋５·２ｎ＋４代入①式，得３ａｎ＋５·２ｎ＋４＋α·２ｎ＋１＋β＝３（ａｎ＋α·２ｎ＋β），整理得（５＋２α）２ｎ＋４＋β＝３α·２ｎ＋３β．令５＋２α＝３α，４＋β＝３β，烅烄烆解得α＝５，β＝２，烅烄烆代入①式得ａｎ＋１＋５·２ｎ＋１＋２＝３（ａｎ＋５·２ｎ＋２），②由ａ１＋５×２１＋２＝１＋１２＝１３≠０及②式，得ａｎ＋５·２ｎ＋２≠０，所以ａｎ＋１＋５·２ｎ＋１＋２ａｎ＋５·２ｎ＋２＝３，故数列｛ａｎ＋５×２ｎ＋２｝是以１３为首项、３为公比的等比数列，即ａｎ＋５×２ｎ＋２＝１３×３ｎ－１，所以ａｎ＝１３×３ｎ－１－５×２ｎ－２．５．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·Ａｎ＋１＋Ｃ”型例５已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝８，ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α３ｎ＋１＝ａｎ＋α３ｎ＋１，整理得ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２α，与ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２比较，得α＝１，所以ａｎ＋１＋１３ｎ＋１＝ａｎ＋１３ｎ＋１，ａｎ＋１３ｎ＝ａ１＋１３１＋（ｎ－１）×１＝ｎ＋２，故ａｎ＝（ｎ＋２）·３ｎ－１．６．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·ｑｎ＋１＋Ｃｎ＋Ｄ”型例６已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝８，ａｎ＋１＝２ａｎ＋４×３ｎ＋２ｎ＋１，求数列｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α·３ｎ＋１＋β（ｎ＋１）＋γ＝２（ａｎ＋α·３ｎ＋βｎ＋γ），即ａｎ＋１＝２ａｎ－α·３ｎ＋βｎ＋γ－β，所以α＝－４，β＝２，γ－β＝１，烅烄烆从而γ＝３，ａｎ＋１－４×３ｎ＋１＋２（ｎ＋１）＋３＝２（ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３），所以数列｛ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３｝是首项为８－４×３＋２＋３＝１、公比为２的等比数列，所以ａｎ－４×３ｎ＋２ｎ＋３＝１×２ｎ－１，故ａｎ＝４×３ｎ＋２ｎ－１－２ｎ－３．７．“ａｎ＋１＝Ａａｎ＋Ｂ·Ａｎ＋１＋Ｃｎ＋Ｄ”型例７已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝６，ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２ｎ＋３，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１＋α（ｎ＋１）＋β３ｎ＋１＝ａｎ＋αｎ＋β３ｎ＋１，整理得ａｎ＋１＝３ａｎ＋３ｎ＋１＋２αｎ－α＋２β，所以α＝１，β＝２，即ａｎ＋１＋（ｎ＋１）＋２３ｎ＋１＝ａｎ＋ｎ＋２３ｎ＋１，得ａｎ＋ｎ＋２３ｎ＝ａ１＋１＋２３＋（ｎ－１）×１＝ｎ＋２，故ａｎ＝（ｎ＋２）·３ｎ－ｎ－２．８．“ａｎ＋２＝Ａａｎ＋１＋Ｂａｎ”型例８已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａ２＝２，且当ｎ≥２时，ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ－１２，求｛ａｎ｝的通项公式．解设ａｎ＋１－αａｎ＝β（ａｎ－αａｎ－１），即ａｎ＋１＝（α＋β）ａｎ－αβａｎ－１，与ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ－１２对比得α＋β＝１２，αβ＝－１２，烅烄烆·３１·２０２１年第２期数学中的思想和方法《数理天地》高中版所以α，β是方程ｘ２－１２ｘ－１２＝０的两根，解得α＝１，β＝－１２，烅烄烆或α＝－１２，β＝１，烅烄烆取α＝１，β＝－１２，烅烄烆得ａｎ＋１－ａｎ＝－１２（ａｎ－ａｎ－１），即ａｎ＋１－ａｎａｎ－ａｎ－１＝－１２，所以数列｛ａｎ＋１－ａｎ｝是首项为ａ２－ａ１＝１、公比为－１２的等比数列，即ａｎ＋１－ａｎ＝－１２（）ｎ－１，从而ａｎ＝ａ１＋（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋…＋（ａｎ－ａｎ－１）＝１＋１＋－１２（）＋…＋－１２（）ｎ－２＝１＋１－－１２（）ｎ－１１－－１２（）＝５３－２３－１２（）ｎ－１，又ｎ＝１时，ａ１＝５３－２３×－１２（）１－１＝１，故ａｎ＝５３－２３×－１２（）ｎ－１．（上接第１１页）球Ｏ的表面积Ｓ＝４πＲ２＝１００π．４．向量法例４已知在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＰ＝ＡＣ＝２，求三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的半径Ｒ．图４解过Ａ作Ａｙ⊥ＢＣ，以Ａ为空间坐标原点，分别以ＡＢ→ ，Ａｙ→ ，ＡＰ→为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向，建立如图４所示的空间直角坐标系．设三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的球心为Ｏ（ｘ，ｙ，ｚ），由题可知Ｂ（２，０，０），Ｐ（０，０，２），Ｃ（－１，槡３，０），又ＯＰ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＡ，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ｘ２＋ｙ２＋（ｚ－２）２，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝（ｘ＋１）２＋（ｙ　－槡３）２＋ｚ２，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝（ｘ－２）２＋ｙ２＋ｚ２，烅烄烆解得ｘ＝１，ｙ＝槡３，ｚ＝１，烅烄烆即球心Ｏ（１，槡３，１），所以三棱锥Ｐ－ＡＢＣ外接球的半径Ｒ＝槡５．５．截面圆法例５已知正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（）（Ａ）８１４π．（Ｂ）１６π．（Ｃ）９π．（Ｄ）２７４π．解连接ＡＣ，ＢＤ交于Ｅ，连接ＡＯ，ＰＥ，如图５所示．设球心为Ｏ，球Ｏ半径为Ｒ，由题可知，△ＡＯＥ所在的平面是球Ｏ大圆所在的平面，图５在Ｒｔ△ＡＯＥ中，（４－Ｒ）２＋（槡２）２＝Ｒ２，解得Ｒ＝９４，所以该球的表面积为４πＲ２＝８１４π，故选（Ａ）．·４１·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２１年第２期。

方法专题10用待定系数法求一次函数解析式的常见类型

方法专题10用待定系数法求一次函数解析式的常见类型
类型一点与点结合求解析式(KP78)
1.若直线l经过点A(- 1,-4)和B(1,0),则直线l的函数解析式为
2.已知一次函数y=kx+b,当－2≤x≤1时,有一3≤y≤3,求这个一次函数的解析式.
类型二点与平行结合求解析式
3.若一次函数y=kx+b的图象与直线y=3x平行，且经过点(- 2, 1)，则该一次函数的解析式是
类型三点与对称或折叠结合求解析式
4.若直线=3x-6与直线l关于y轴对称,则直线l的解析式是
5.如图,已知点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),连接AB,将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A'处,折痕所在直线交y轴正半轴于点C.
(1)求点A'的坐标;
(2)求直线BC的解析式.
类型四点与垂直结合求解析式
6.如图,直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,直线BC⊥AB于点B,求直线BC的解析式.
类型五点与特殊角结合求解析式
7.已知直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l经过点P(1,4),且与x轴的
夹角为45°,求直线l的解析式.。

第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义

第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta .(3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．2．空间平面的向量表示式①如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb.②如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．易错辨析：（1）空间中给定一个点A 和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．（3）由空间点A 和直线l 的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能知识点2空间平行、垂直关系的向量表示1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．2、利用待定系数法求法向量的步骤3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为04、用空间向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．5、用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．考点一：求直线的方向向量例1．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．【答案】1)-【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz ，则(0,0,1)P ，C ，所以1)PC =-即为直线PC 的一个方向向量.变式1．（2023春·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y =________.【答案】－2012【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.【详解】∵直线的方向向量平行，∴8532x y ==-，∴20,12x y =-=，故答案为：20-；12.变式2．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线l 的一个法向量是)n =，则l 的倾斜角的大小是（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．π2【答案】A【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到y =，即可求解.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =.则0u n y ⋅=-=，即y =，则tan y xθ==又[)0,πθ∈，解得π3θ=，故选：A.变式3．【多选】（2022秋·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（）A ．1AA B ．1C EC ．ABD ．1A A【答案】ABD【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案.【详解】因为111////C E AA A A ，所以1AA ，1C E ，1A A都可作为直线1AA 的方向向量.故选：ABD.变式4．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据//m AB求解即可.【详解】由题知：()1,2,3AB y z =---，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A考点二：求平面的法向量例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（）A ．(1,1,1)---B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-【答案】A【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.【详解】(2,2,0)AB =- ，(2,0,2)AC =- ，令法向量为(,,)m x y z = ，则220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，y z x ∴==，可取(1,1,1)m =---.故选：A.变式1．（2023春·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（）A ．()1,1,1B．C ．111(,,)333D．(,)333-【答案】B【分析】待定系数法设平面ABC 的一个法向量为n，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.【详解】设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，又()()0,1,1,1,1,0AB BC =-=- ，由0000AB n AB n y z x y BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ ，即x y z ==，又因为单位向量的模为1，所以B 选项正确，故选：B.变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，=90BDC ∠︒，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,0【答案】B【分析】根据题意，设1BD AB CD ===，可得A 、C 、D 的坐标，由此可得向量DC 、AD的坐标，由此可得关于x 、y 、z 的方程组，利用特殊值求出x 、y 、z 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设1BD AB CD ===，则()0,1,0D ，()1,1,0C ，()0,0,1A ，则()1,0,0DC = ，()0,1,1AD =- ，设平面ACD 的一个法向量为(),,m x y z=，则有00DC m x AD m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得1z =，则()0,1,1m = .故选：B ．变式3．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为a ，则(0,,0)D a ，1(0,,)D a a ，1(0,0,)DD a = ，则1DD与(0,0,1)平行，故直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)，故①正确；因为(,0,0)B a ，1(,,)C a a a ，所以1(0,,)BC a a = ，因为1BC与(0,1,1)平行，所以直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)，故②正确；因为(0,0,0)A ，(0,,0)D a ，所以(0,,0)AD a = ，因为AD 是平面11ABB A 的一个法向量，且AD与(0,1,0)平行，所以平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)，故③正确；因为(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，所以(,0,0)CD a =-，因为(1,1,1)(,0,0)(1,1,1)0CD a a ⋅=-⋅=-≠ ，所以CD与(1,1,1)不垂直，所以(1,1,1)不是平面1B CD 的一个法向量，故④不正确.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；【答案】()（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.【详解】由题意可知23CH OC DH===，则(),0,1,0,0,,333H B D⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,0,3HD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,1,3BH⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z=为平面BHD的一个法向量，则3n HD zn BH x y⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，不妨设1x=，则()n=.故平面BHD的一个法向量为().故答案为：()（答案不唯一）变式5．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别为棱1111,A D A B的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.【答案】(1)(2,2,0)=-AC(答案不唯一)(2)(2,2,1)n=--(答案不唯一)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.【详解】（1）由题意，可得()()()()()0,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,1,0,2D B A C E ,连接AC ，因为底面为正方形，所以AC BD ⊥,又因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且1BD DD D = ，则AC ⊥平面11BDD B ，∴(2,2,0)=-AC 为平面11BDD B 的一个法向量.(答案不唯一).（2）(2,2,0),(1,0,2).DB DE ==设平面BDEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则,0220,,120,.02y x n DB x y x z z x n DE =-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨+=-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩令2x =，得2, 1.y z =-=-∴(2,2,1)n =--即为平面BDEF 的一个法向量.(答案不唯一).变式6．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】BCD【分析】A ：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在R λ∈使AB AC λ= ；B ：与AB同向的单位向量是||ABAB 即可判断；C ：由投影向量的定义可解；D ：应用平面法向量的求法求平面ABC 的一个法向量，即可判断.【详解】A ：若AB与AC 共线，存在R λ∈使AB AC λ= ，则2120λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩无解，故不共线，错误；B ：与AB同向的单位向量是||AB AB ==，正确；C：由cos ,11||||AB BCAB BC AB BC ⋅==-，则BC 在AB方向上的投影向量是()cos ,2,1,0AB BC AB BC AB ⎛=⨯-- ⎝⎭，正确；D ：若(,,)m x y z = 是面ABC 的一个法向量，则2020m AB x y m AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令=2y -，则(1,2,5)m =- ，正确.故选：BCD变式7．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是（）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,1【答案】B【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有()()()0,1,02,0,20,1,00⋅=⋅=a ，()()()0,1,03,0,00,1,00⋅=⋅=b ，所以平面α，β交线的方向向量可以是()0,1,0故选：B变式8．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知四面体ABCD 的顶点坐标分别为()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D ．(1)若M 是BD 的中点，求直线CM 与平面ACD 所成的角的正弦值；(2)若P ，A ，C ，D 四点共面，且BP ⊥平面ACD ，求点P 的坐标．【答案】3(2)482,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意分别求出向量()1,0,0CM = 和平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，(),,BP n λλλλ==--，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，由P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+ ，将,AP AD AC ,坐标分别代入即可解得23λ=-，从而求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意，()1,2,1AC =- ，()2,2,0AD = ，()2,2,1M ，()1,0,0CM =，可设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，化简得z xy x=-⎧⎨=-⎩．令1x =，则1y =-，1z =-，可得平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，设直线CM 与平面ACD ，则sin 3CM n CM n θ⋅===⋅ ，即直线CM 与平面ACD（2）由题意，(),,BP n λλλλ==-- ，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，又P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+，即()()()2,2,22,2,01,2,1x y λλλ+---=+-，即222222x y x y y λλλ+=+⎧⎪-=+⎨⎪--=-⎩，解得23λ=-，所以所求点P 的坐标为482,,333⎛⎫⎪⎝⎭．变式9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面α内，()3,1,2=n 是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据每个选项中P 点的坐标，求出AP的坐标，计算AP n ⋅ ，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点P 是否在平面α内.【详解】对于选项A ，()1,5,1AP =-- ，所以1351120AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯= ，根据线面垂直的性质可知AP α⊂,故()1,1,1P -在平面α内；对于选项B ，11,9,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11391202AP n ⋅=-⨯+⨯+⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项C ，11,3,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11331202AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项D ，113,3,4AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则113331204AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭不在平面α内；故选：A变式10．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点()01,2,3P -在平面α内，平面{}00P n P P α=⋅= ∣，其中()1,1,1n =-是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是（）A ．()2,4,8-B ．()3,8,5C ．()2,3,4-D ．()3,4,1-【答案】B【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定y =x+z ，再判断选项.【详解】设(),,P x y z 是平面α内的一点，则()01,2,3P P x y z =+--，所以()()()1230x y z +--+-=，即y =x+z ，选项B 满足．故选：B考点三：用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系例3．（2023秋·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，则（）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交【答案】A【分析】直线的一个方向向量()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，计算数量积，即可判断出结论．【详解】直线的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，2570a u →→∴⋅=+-=，∴a u →→⊥，l α∴∥或l ⊂α，故选：A变式1．（2023春·高二单元测试）若平面α与β的法向量分别是()1,0,2a =-，()1,0,2b =-r，则平面α与β的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r是平面α与β的法向量，则a b =-，所以两法向量平行，则平面α与β平行.故选：A变式2．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知平面α与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面α与平面ABC 的位置关系是________.【答案】平行【分析】分别计算AB m ⋅ ，AC m ⋅ ，可得0m AB ⋅= ，0m AC =⋅ ，从而可知m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，所以可得平面α与平面ABC 平行.【详解】平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，()220410AB m =⨯⨯=⋅++- ，()2116410AC m =⨯+-⨯+⨯=⋅，所以m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，平面ABC 的一个法向量为(2,1,4)m =-，又因为平面α与平面ABC 是不重合的两个平面所以平面α与平面ABC 平行.故答案为：平行.变式3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -''''中，222AA AB AD '===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD '所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．【答案】2:2:1【分析】利用法向量的求法进行求解即可【详解】由题意得()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2D '，()1,1,0AC =- ，()1,0,2AD '=-，因为平面ACD '的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AD n '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()20x k k =≠，则2,y k z k ==，故::2:2:1x y z =故答案为：2:2:1变式4．【多选】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-，则l //αC ．若两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//αβD ．若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=【答案】ACD【分析】利用空间向量共线定理判断A 即可；由,a μ的关系式即可判断B ；由12,n n 的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，所以a b =-，所以,a b 共线，又直线1l ，2l 不重合，所以12//l l ，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-且53a μ=-，所以l α⊥，故B 不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则有212n n =-，所以//αβ，故C 正确；平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --==又向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，所以1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩则1u t +=，故D 正确，故选：ACD.（二）已知直线、平面的平行关系求参数例4．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =- ，平面α的法向量()222,,n x x x =+-，若直线//l 平面α，则x =______．【答案】2【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可.【详解】解：若直线//l 平面α，则0s n ⋅=，22220x x x x ∴-++-=-=，解得2x =，故答案为：2.变式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面α的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l α，则实数x =_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】因为//l α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，即(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=，解得：10x =.故答案为：10变式2．（2022秋·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s →=，平面α的法向量()21,,n x x x →=--，若直线l α∥，则x =___________.【答案】1【分析】结合已知条件可得s n →→⊥，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.【详解】由题意可知，s n →→⊥，因为()1,1,1s →=，()21,,n x x x →=--，从而210s n x x x →→⋅=+--=，解得1x =.故答案为：1.变式3．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面α的一个法向量为()11,2,3n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k 的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把//αβ转化为12//n n，可得k 的值.【详解】因为平面α的一个法向量为()11,2,3n =- ，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，又因为//αβ，所以12//n n，可得()()342k -⨯-=，即得6k =.故答案为：6.（三）证明直线、平面的平行问题例5．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；【解析】以点A 为坐标原点，AB ､AC ､1AA 所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,4A ，()2,0,0B ，()0,2,2M ，()1,1,0N ，()1,0,4P ．取向量()2,0,0AB = 为平面11ACC A 的一个法向量，()0,1,4PN =-，∴()0210400PN AB ⋅=⨯++-=⨯⨯，∴PN AB ⊥ ．又∵PN ⊄平面11ACC A ，∴PN ∥平面11ACC A ．变式1．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；【解析】连接OC ，因为//,AO BC AO BC =，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC ，所以OC AD ⊥，以OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则(P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C．11,22CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,PA =-，(1,1,PB =- ，设平面PAB 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100PA n y PB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，则0x =，令1z =-，y =平面PAB的一个法向量()11n =-，1022CE n ⋅== ，则1CE n ⊥ ，又CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．变式2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114AC =.证明：//DE 平面11ACC A ；【解析】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，2BC =，AB =114AC =.所以114AC AC ==，则222AC AB BC =+，则AB BC ⊥，则如下图，以B 为原点，1BC BA BB ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，设1BB h =，则()()()00000200A B C ,,,,,,,,()()()()()111000200010A h B h C h D E h ,,,,,,,,,,,,所以()1DE h =，()()12000AC AA h =-=，，，，，设平面11ACC A 的一个法向量为()n x y z =，，，所以1200AC n x AA n hz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，则0x z ==，即)0n =，，所以())1000DE n h ⋅=⋅==，，得DE n ⊥，又DE ⊄平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A ；变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；【解析】因为PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，建立空间直角坐标系如图所示，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,),(,1,0),(0,0,2)22A B C D E M N P ，所以(0,1,0),(1,0,1)DE DB ==-，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)n = ，又11,1,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，可得0MN n ⋅=，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，变式4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ⊥，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；【解析】证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()2,4,0C ，()1,2,1M ，()2,1,0E ，()1,0,1DM =，易知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0AD = ，故0DM AD ⋅=，则DM AD ⊥ ，又DM ⊂/平面PAB ，故//DM 平面PAB ．变式5．（2023·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD MN ⊥，2AB =，4AD AP ==，M ，N 分别是BC ，PD 的中点.求证：MN ∥平面PAB ；【解析】（1）由题意，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD AP ==，AB AD ⊥,M ，N 分别是BC ，PD 的中点，∴11222BM CM BC AD ====，2AB CD ==，在四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，AB AD ⊥，∴AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，∴PA AB ⊥，取AP 中点E ，连接BE ，由几何知识得BE MN ∥，∵AD MN ⊥，∴AD BE ⊥，AD AB⊥∵BE ⊂面PAB ，AB ⊂面PAB ，AB BE B = ∴AD ⊥面PAB ，∴PA AD⊥以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如下图所示，∴()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,4,2,2,0,0,2,2A B C D P M N ，∴()2,0,2MN =- ，面PAB 的一个法向量为()0,4,0AD =，∵2004200MN AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴MN ∥平面PAB .变式6．（2021·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F AG ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【分析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，令1,,AB a BC b BB c ===写出EF 、EG uu ur 、PQ 、PR ，进而求面EFG 、面PQR 的法向量m 、n ，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F AG ===，1CP CQ CR ===，∴(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ，∴(0,1,1)EF = ，(1,0,1)EG =- ，(0,1,1)PQ =--，(1,0,1)PR =- ，设(,,)m x y z = 是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，(1,1,1)m =- ，设(,,)n i j k = 是面PQR 的一个法向量，则00PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1i =，(1,1,1)n =- ，∴面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.变式7．（2023·上海普陀·ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；【解析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==-，∴DE ∥FB 1，1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，∴平面//BDE 平面11B D F ．考点四：利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，则（）A ．12l l ⊥B ．1l ∥2l C ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合【答案】A【分析】由题意可得0a b ⋅= ，即得a b ⊥，从而得12l l ⊥，即得答案.【详解】解：因为直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，(1,3,1)(8,2,2)8620a b ⋅=--⋅=--=所以a b ⊥ ，即12l l ⊥.故选：A.变式1．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=-，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则直线l 和平面α位置关系是（）A ．l α⊥B ．//l αC ．l α⊂D ．不确定【答案】A【分析】根据题意判断直线l 的方向向量和平面α的法向量的关系，即可判断直线l 和平面α位置关系.【详解】由题意直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,可知e 2n =-，故l α⊥,故选：A变式2．【多选】（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面α,β的法向量（α,β不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A ．12n n αβ⇔∥∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．1v n l ⇔ α∥∥D ．1v n l ⊥⇔⊥ α【答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若12n n∥,因为α,β不重合,所以αβ∥,若αβ∥,则12,n n 共线,即12n n∥,故选项A 正确;若12n n ⊥,则平面α与平面β所成角为直角,故αβ⊥,若αβ⊥,则有12n n ⊥,故选项B 正确;若1v n ∥,则l α⊥,故选项C 错误;若1v n ⊥,则l α∥或l ⊂α,故选项D 错误.故选:AB变式3．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=--，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥【答案】AC【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于A ，两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)a b =-=--，则b a =-，所以//a b ，即12l l //，故A 正确；对于C ，两个不同的平面α，β的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)u v =-=-，则0u v =⋅，所以αβ⊥，故C 正确；对于B ，直线l 的方向向量(1,1,2)a =- ，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则16142(1)0a u ⋅=⨯-⨯+⨯-= ，所以a u ⊥，即//l α或l ⊂α，故B 错误；对于D ，直线l 的方向向量(0,3,0)a = ，平面a 的法向量是(0,5,0)u =-，则53u a =-，所以//μα ，即l α⊥，故D 错误．故选：AC ．变式4．【多选】（2022·高二课时练习）下列命题是真命题的有()A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．【详解】解：对于A ，A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN共面，可得A ，B ，M ，N 共面，故A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a ⊥ ，可得l 与m 垂直，故B 正确；对于C ，0110a n ⋅=-+= ，故a n ⊥，可得在α内或l ∥α，故C 错误；对于D ，()1,1,1AB =- ，易知AB n ⊥，故﹣1+u +t ＝0，故u +t ＝1，故D 正确．故选：ABD ．（二）已知直线、平面的垂直关系求参数例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面α的法向量为()1,2,0n = ，直线l 的方向向量为v，则下列选项中使得l α⊥的是（）A ．()2,1,0v =-B ．()2,1,0v =C ．()2,4,0v =D ．()1,2,0v =-【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若l α⊥，则直线l 的方向向量v垂直于平面α，所以v与平面α的法向量()1,2,0n = 平行，显然只有选项C 中2v n = 满足.故选：C变式1．（江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+∈R.若l α⊥，则3a b +的值为（）A ．5-B ．2-C ．1D ．4【答案】A【分析】根据题意得到//e n ，进而得到方程组12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()2,,n a b a b =--+ ，因为l α⊥，可得//e n ，所以2212a b a b--+==-，即12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得13,22a b =-=-，所以193522a b +=--=-.故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+∈ 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r是平面α的法向量．若l α⊥，则ab =______．【答案】27【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得u n ∥，进而求得,a b ，即得.【详解】∵l α⊥，∴//u n ，∴3124a b a b-+==，故612a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得93a b =⎧⎨=⎩，∴27ab =．故答案为：27.变式3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m 为（）A ．1B ．2C ．4D ．54-【答案】C【分析】由l α⊥可知l 的方向向量为与平面α的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出．【详解】l α⊥ ，l ∴的方向向量为()2,1,m 与平面α的法向量11,,22⎛⎫⎪⎝⎭平行，∴1(2,1,)(1,,2)2m λ=．∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得4m =．故选：C ．变式4．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC中，AB =，2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO λ=uu u r uuu r，若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（）A ．12B ．13-C．4D．6【答案】D【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC 的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数λ即可.【详解】由题设，△ABC2DA DB DC ===，等边△ABC32=，在正棱锥中，以O 为原点，平行CB 为x 轴，垂直CB 为y 轴，OD 为z 轴，如上图示，则11(0,1,0),(,,0),(,,0),2222A B C D --，且)P ，所以)AP =，1,)2PB =，CB = ，若(,,)m x y z = 为面PBC的法向量，则1020PB m y z CB m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1z =，则(0,,1)m = ，又PA ⊥平面PBC ，则AP km = 且k为实数，101k k λ⎧=⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩，故λ=.故选：D（三）证明直线、平面的垂直问题例8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .。

待定系数法

待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。

A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。

A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。

高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用

第十讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值．题组三走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140，即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值．角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得：当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。

待定系数法在高中数学解题中的应用

待定系数法在高中数学解题中的应用作者：张雨嫣来源：《青年时代》2016年第21期摘要：高中数学题目逻辑性较强，在解题过程中一些常用的方法往往计算量过大或难以奏效。

因而需要针对不同的题型选用合适的解题方法，待定系数法是高中数学中一项常用的解题方法。

待定系数法在因式分解、求解函数解析式及数列的通项公式的求解等问题中应用广泛，通过待定系数法可以将复杂的问题简单化。

本文结合具体的例题就待定系数法的应用技巧进行了详细的论述。

关键词：待定系数法；高中数学；应用待定系数法师在高中数学阶段一种常用的解题手段，待定系数法是将一些具有某种特殊形式的数学问题，通过引入待定的系数，利用命题恒成立的条件得到一系列的方程组。

通过对这些方程组的求解得到待定系数的数值，从而解决相应的数学问题。

待定系数法在许多数学问题中都有运用，例如因式分解、曲线方程、数列及函数解析式等。

一、待定系数法在因式分解中的应用待定系数在因式分解中应用广泛，对一元三次、四次等较为复杂的多项式，用常规的因式分解方法往往难以解决，此时就可以选择用待定系数法进行求解。

对其它类型的多项式，在分解过程中也可以尝试用待定系数法解决。

下面结合实例对待定系数法在因式分解中的应用进行讨论。

例题1.对多项式x3+5x2+2x-8进行因式分解。

对例题进行分析：该多项式的最高次幂为3次方，该项的系数为1，因此可以假定该多项式可以分解为（x+A）（x2+Bx+C）的形式。

将该式子展开可得，（x+A）（x2+Bx+C）--x3+（A+B）x2+（AB+C）x+AC。

如果假设成立，则有：对该方程组进行求解，得：A=2；B=3；C=-4二、待定系数法在函数解析式待定系数法在函数解析式的求解中也有很多运用。

在解题过程中可以先设出函数解析式的一般形式，再根据已知条件利用待定系数法求得函数解析式。

对复杂函数解析式的求解这一过程可以综合函数的性质，选择合适的待定系数。

将函数解析式的求解化成对方程组的求解。

高中数学解题方法系列：待定系数法

高中数学解题方法系列：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m 的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

高一数学必修一第十课时

学生行为设计意图（活动）学生利用早教师可以通读，规定早读当堂的反馈，安排内容。课看看学生是上随机抽测。否会利用早读，把当天课上的内容预习好。培养学生定期复习前面学过的重要知识和概念。
教
学
过
二新课讲授
程Leabharlann （一）映射的概念教学：由学生通过教师归纳总定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某讨论得出结结一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一论：个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（mapping）。记作： f : AB 观察学生对于知识的理讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？解是否到位。及时纠正和强调。例 1．（课本 P22 例 7）以下给出的对应是不是从 A 到集合 B 的映射？（1）集合 A={P | P 是数轴上的点}，集合 B=R，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合 A={P | P 是平面直角坐标系中的点}， B= ( x, y ) x R, y R ，对应关系 f：平面由学生通过讨论得出结直角坐标系中的点与它的坐标对应；论：（3）集合 A={x | x 是三角形}，集合 B={x | x 是圆}，对应关系 f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合 A={x | x 是新华中学的班级}，集合 B={x | x 是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。
观察学生对于知识的理解是否到位。及时纠正和强调。
例 4．已知 f(2x+1)=3x-2，求函数 f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

第10讲：因式分解(二)

第十讲因式分解（二）七．中级方法1．添项、拆项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

1.1拆开中项前面已经说过，在分组分解时，常常将项数平均分配，但是，像443x x -+这样的式子，只有三项，怎么才能平均分成两组呢？方法是先将一项拆为两项，如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的，那么以拆开中项为宜。

例1：分解因式：443x x -+ 解：443x x -+433x x x =--+[拆开中项] 2(1)(1)3(1)x x x x x =-++-- [分组分解]32(1)(3)x x x x =-++-[提公因式]注：在这道题中，分解的结果有一个因式为x 的一次多项式，在后面的因式定理中将讨论求一次因式的一般方法。

1.2旧事重提在很早以前，我们就学习过了关于配方的方法，在添项、拆项时它的应用比较广泛。

比如4224a ab b ++，12324+-x x ，148++x x 等都是采用配方法进行因式分解。

例2：分解因式：4224a ab b ++ 解：首先注意到42242a a b b ++是一个完全平方和公式，为了把4224a ab b ++配成完全平方，可以把22a b 拆成两项的代数和，即2222222a b a b a b =-于是4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-[拆项] 2222()()a b ab =+-[完全平方和]2222()()a b ab a b ab =+++-[平方差公式]1.3 无中生有例3：证明：在m n 、都是大于1的整数时，444m n +是合数。

证明：这个问题的实质是将444m n +因式分解，仍然采用例2中的配方法。

可是，发现444m n +只有两项，所以要配成完全平方就得在中间添上一个交叉项224m n ，然后在后面再减去224m n ，即444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22)m n mn m n mn =+++-由于在m n 、都是大于1时，两个因数中较小的那个2222m n mn +-222()1m n n n =-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数。

高中数学 2.2.3待定系数法课件新人教B版必修1

探究点三用待定系数法求二次函数问题 1 二次函数解析式有哪几种表达式？
答二次函数解析式有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c；两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ；顶点式：y＝a(x－h)2＋k. 问题 2 我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？为什么？答需要三个条件，因为二次函数解析式中有三个待定的系数．
问题 4 对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件时，它们才相等？答当且仅当它们对应同类项的系数相等，则这两个多项式相等．
探究点二用待定系数法求一次函数问题 1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通
常需要几个条件？答只需要一个条件．问题 2 我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？答需要 2 个独立的条件．因为一次函数的解析式中有 2 个待定的系数．
问题 3 如何根据题设条件来设二次函数的解析式？答 (1)已知二次函数图象过三个已知点，可设解析式为 y＝ax2＋bx＋c； (2)已知二次函数图象的顶点坐标(m，n)，可设解析式为 y＝a(x－m)2＋n； (3)已知二次函数图象与 x 轴有两个交点，可设解析式为 y＝a(x－x1)(x－x2)．
小结用待定系数法求函数解析式是常用的方法，其步骤为：先设出含有待定系数的函数解析式，再根据条件列出含有待定系数的方程或方程组，最后求出方程或方程组的解，从而写出所求的解析式．其步骤可简记为四个字“设、列、求、写．”
跟踪训练 3 二次函数的图象与 x 轴交于 A(－2, 0)，B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0，－3)，求此二次函数的解析式．解因为二次函数的图象与 x 轴交于 A(－2, 0), B(3, 0)两点，所以可设二次函数为 f(x)＝a(x＋2)(x－3)，将 C 点坐标(0，－3)代入 f(x)的表达式，得－6a＝－3，

苏教版数学高二-山东省冠县武训高级中学高二数学同步辅导教材(第10讲)

一、本讲进度7．6曲线和方程课本第67页至72页二、本讲主要内容1、理解概念“曲线的方程”和“方程的曲线”。

2、掌握求轨迹方程的步骤和方法。

3、会求两条曲线交点；理解两曲线交点的代数意义。

三、学习指导1、理解曲线和方程的对应关系，可从函数图象描点法的角度进行。

不是任意的曲线和方程都可以建立对应关系。

平面上曲线C 和二元方程F(x ，y)=0若互相对应，则必须满足课本第68页两个条件，条件（1）称为纯粹性，它强调的是曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外；条件（2）称为完备性，它强调的是符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏。

从集合角度理解，若记集合A={P|P 为平面曲线C 上任一点}，集合B={(x ，y)|F(x ，y)=0}，在坐标系这个工具之下，纯粹性、完备性分别指的是：A ⊆B ，且B ⊆A ，从而A=B 。

从定义的性质看，若曲线C 与二元方程F(x ，y)=0建立了对应关系，则纯粹性强调的是从形到数：（1）点P ∈C ，P(x 0，y 0) ⇒ F(x 0，y 0)=0；（2）完备性强调的是从数到形：F(x 0，y 0)=0⇒点(x 0，y 0)在曲线C 上。

2、正因为曲线和方程之间存在对应关系，所以在坐标系这个工具之下，总可以求出某条曲线C 对应的方程。

这正是解析几何的基本问题之一。

从运动的角度看，既然平面内的点与作为它的坐标的有序数对之间建立了一一对应关系，那么它在某种条件下运动形成轨迹C 时，其对应的坐标也应当满足某个制约关系式：F(x ，y)=0，所以曲线C 对应的方程又称为轨迹方程。

求轨迹方程的方法一般有：直译法、转移法（代入法）、参数法、几何法。

在学习一些基本轨迹之后，还会涉及到定义法、待定系数法。

求轨迹方程中的注意点：（1）在设出动点坐标后，应视其为已知量，从而用它去表示其它量，寻找等量关系；（2）求轨迹方程的关键寻找适当的等量关系，这个等量关系可能不直接与动点有关；（3）对原始轨迹方程的化简要同解。

待定系数法：容易被人遗忘的角落

待定系数法：容易被人遗忘的角落作者：刘红英来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第12期[摘要] 待定系数法是中学数学的基本方法之一，但在日常教学中发现它没有引起师生的足够重视，往往被忽视，文章以历年浙江高考数学题为例对待定系数法应用做一个比较全面的概括，以回归其应有的地位.[关键词] 浙江高考题；待定系数法；方法应用对于某些数学问题，若是知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数来表示这样的结果，通过变形与比较，建立起含有待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，进而使问题获解，这种方法称之为待定系数法. 其理论依据是多项式的恒等定理即以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项系数相等. 待定系数法是中学数学的基本方法之一，但在日常教学中发现它没有引起师生的足够重视，往往被忽视，本文试图以历年浙江高考数学题为例对待定系数法应用做一个比较全面的概括，以回归其应有的地位，现分述如下：利用待定系数法求参变量例1 （2014年浙江卷理6）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且0A. c≤3？摇？摇？摇？摇？摇？摇B. 3C. 69解析：因f（-1）=f（-2）=f（-3），所以可设f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+d，比较两者f（x），由待定系数法可得d=c-6，令x= -1，得d=c-6∈（0，3]，故6评注：一般地，若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的零点为x1，x2，x3，可设f（x）=a（x-x1）·（x-x2）（x-x3）；若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的值满足f（x1）=f（x2）=f（x3），可设f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）+d+ax1x2x3；高次函数也可类似设.例2 （2015年浙江卷理15）已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2=，若空间向量b满足b·e1=2，b·e2=，且对于任意x，y∈R，b-（xe1+ye2）≥b-（x0e1+y0e2）=1（x0，y0∈R），则x0=______，y0=______，b=______.解析：b-（xe1+ye2）2=b2+x2+y2-4x-5y+xy=x++（y-2）2+b2-7，由题意可知，当x=x0，y=y0时，b-（xe1+ye2）有最小值1.由待定系数法得x0+=0，y0-2=0，b2-7=1，所以x0=1，y0=2，b=2.评注：解决本题的关键有二：一是明确b-（xe1+ye2）的最小值为定值b-（x0e1+y0e2），二是模的平方后的配方，然后由待定系数法列出方程组. 一般地，向量模的问题往往通过平方或构造图形或建立坐标系来解决，然后挖掘图形或坐标间内在联系建立含有待定系数的恒等关系.例3 （2010年浙江卷理7）若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m等于（）A. -2？摇？摇？摇？摇？摇B. -1？摇？摇？摇？摇？摇C. 1？摇？摇？摇？摇？摇？摇D. 2解析：由图像可知：当x+y取最大值9时，直线x+y=9过2x-y-3=0与x-my+1=0的交点，因2x-y-3=0与x+y=9的交点为（4，5），把（4，5）代入直线x-my+1=0，由待定系数法得m=1.评注：本题的待定系数m已给出，无须再引进参数，问题反过来转化为根据结论x+y的最大值为9结合图形来确定已知中的待定系数m的值.利用待定系数法求函数解析式例4 （2016年浙江卷理10）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A>0），则A=________，b=________.解析：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin2x++1 ，所以A=，b=1.评注：本题的实质就是把一个代数式从一种形式变换为另一种形式，并且保持变形前后的两个代数式是恒等的，也就是形变而值不变，然后用待定系数法求出A，b值.例5 （2011年浙江卷文18）已知函数f（x）=Asinx+φ，x∈R，A>0，0（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），∠PRQ=，求A的值.解析：（Ⅰ）由题意得，T==6.因为P（1，A）在y=Asinx+φ的图像上，所以sin+φ=1.又因为0？摇（Ⅱ）设点Q的坐标为（x0，-A），？摇由题意可知x0+=，得x0=4，所以Q（4，-A）.？摇连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=，由余弦定理得？摇cos∠PRQ===-.解得A2=3. 又A>0，所以A=.评注：一般地，解决函数与图像有关的问题关键是充分挖掘图像包含的信息，然而利用几何条件建立关于待定系数的方程（组）.利用待定系数法求方程例6 （2010年浙江卷理21）已知m>1，直线l：x-my-=0，椭圆C：+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）略.解析：（Ⅰ）因为直线l：x-my-=0经过F2（，0），所以=，得m2=2.又因为m>1，所以m=，故直线l的方程为x-y-1=0.例7 （2009年浙江卷理20）已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-，设c=，bn=，求数列{bn}的通项公式.解析：bn+1===+2，即bn+1=4bn+2. 设bn+1+λ=4（bn+λ），由待定系数法得λ=，则bn+1+=4bn+，故bn+是首项为-，公比为4的等比数列，即bn+=-×4n-1，则bn=--.评注：求形如数列an+1=pan+q的通项公式，可引进待定系数得an+1+λ=p（an+λ），从而构造新数列{an+λ}是公比为p的等比数列.利用待定系数法求最值例8 （2011年浙江卷理16）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________.解析：待定系数λ，μ，则：（2x+y）2=4x2+y2+4xy=4x2+y2+2λxμy+（4-2λμ）xy≤4x2+y2+（λx）2+（μy）2+（4-2λμ）xy=（4+λ2）x2+（1+μ2）y2+（4-2λμ）xy（λ，μ>0）.取4+λ2=4（1+μ2）=4（4-2λμ），则λ2=，μ2=.即（2x+y）2≤（4x2+y2+xy）=，所以2x+y≤.类似地还可进一步求：例9 若x，y，z是正数，且满足x+2y+3z=1，求++的最小值.解析：待定系数α，β，γ，设+αx+αx+αx≥4，同理+3βy≥4，+3γz≥4，三式相加.因为x+2y+3z=1，可见当且仅当α∶β∶γ=1∶2∶3时，即∶∶=1∶2∶3时取等号，结合x+2y+3z=1，得x=，y=，z=时取等号，++的最小值为1296.评注：根据题目需要可引进2个及以上待定系数，一般地求不等式最值往往采用多个待定系数，同时还要考虑等号能否同时成立.从上可知，待定系数法是历年浙江高考数学卷中的“常客”，应该把它放到足够高的地位，同时利用待定系数法解题的关键是把握好三关：一是“引进关”：根据题意引进恰当的待定系数，转化为我们熟悉的结构形式；二是“联列关”：根据已知条件，利用恒等式相等或几何条件或定义本身的属性等列出方程（组）；三是“求解关”：求出各待定字母系数，进而解决问题.。

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