第 10 讲 待定系数法(高中版)

第 10 讲 待定系数法(高中版)

（第课时）

D

重点：1．

；2．；3．。 难点

：1．；2．；

3．；。 其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。

使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。

二次函数解析式有三种表达形式，

1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。

解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。

若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。

1．待定系数法在求数列通项中的应用

例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n =

21

a 1

n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

分析：一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解，只要设 a 1+n +k=p （a n +k ）并与原式比较系数可得出 k ，从而得等比数列{a n +k }。

解：令 a n +k =

21(a 1-n +k ) ，即 a n =21a 1-n -21

k ，与原式比较系数可得 k=-2 ， 则由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得 a n －2=2

1

（a 1-n －2），而 a 1－2=1－2=－1 ，

∴ 数列{ a n －2}是以21

为公比，－1为首项的等比数列，

∴ a n －2=－（21）1-n ，∴ a n =2－（2

1）1

-n 。

点评：本题使用待定系数法求数列通项。

例.（高三）数列{a n }满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。 分析：对于 n n n qa pa a +=++12 型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列

}{1--n n a a ，这只要设 )(112n n n n ka a h ka a -=-+++ ，再比较系数得 q hk p k h =-=+，

q hk =- 可解得h 、k 。

本题递推式 02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。

解：由 02312=+-++n n n a a a 得 0)(2112=---+++n n n n a a a a ， 即 ）n n n n a a a a -=-+++112(2 ，且 32512=-=-a a ，

∴ }{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列，∴ 1123-+⋅=-n n n a a ， 利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++

=223232

3021

+⋅++⋅+⋅-- n n

=2)1222(32

1+++++⋅-- n n

=221213+--⋅

n

=123-⋅n

∴ 1231-⨯=-n n a 。

2．待定系数法在求复数中的应用

3．待定系数法在三角中的应用

4．待定系数法在立几中的应用

5．待定系数法在求曲线方程中的应用

解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设曲线方程→条件转换成关于待定系数的方程（组）→求出系数→把系数代入所设的曲线方程。

例.（高三）一个圆经过 )1,2(-p 点，和直线 1=-y x 相切，并且圆心在直线 x y 2-=上，求它的方程。

解：设圆的方程为2

2

2

)()(r b y a x =-+-，

则 ⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧-==+-=-+--a b r

b a r b a 221)1()2(222 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==214189r b a 或 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=-==2221r b a

故所求方程为 392)18()9(22=++-y x 或 8)2()1(22=++-y x 。

1 2 3 4 5 6 7 8 求数列通项

√ √ 复数 求复数 三角 立几

解几

求曲线方程

√

1.（高三）数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ，求数列{a n }的通项公式。

解：由 0731=-++n n a a 得 3

7

3

11+

-=+n n a a ， 设 a )(311k a k n n +-=++ ，比较系数得 373=--k k ，解之得 47

-=k ，

∴ {47-n a }是以31-为公比，以 43

471471-=-=-a 为首项的等比数列，

∴ 1

)31(4347--⨯-=-n n a ，

∴ 1

)3

1(4347--⨯-=n n a 。

点评：本题使用待定系数法求数列通项。

2.（高三）数列{a n }中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{a n }的通项公式。

解：由n n n a a a +=++1223得,3

1

3212n n n a a a +=++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++ 比较系数得3132=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31

=-=h k 若取31,1-==h k ，则有)(3

1

112n n n n a a a a --=-+++

∴}{1n n a a -+是以31

-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列

∴1

1)3

1(-+-=-n n n a a

由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=11)3

1

()31()31()

3

1(232

++-+-++-+--- n n

=13

11)31

(11

++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n

点评：若本题中取1,31=-=h k ，则有n n n n a a a a 3131112+=++++即得}3

1

{1n n a a ++为常