三次正多项式p_不可约的充要条件(精)

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代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用

不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在某个数域上不能再被分解为更低次的多项式
性质：不可约多项式是整数的唯一因数分解的必要条件
应用：在代数数论、几何学、组合数学等领域有广泛应用
重要性：不可约多项式是数学中一个重要的概念，对于理解数学的内在结构和发展有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域的一个重要应用领域
有限域的元素具有线性组合和乘法运算的封闭性，使得线性码具有很好的性质
线性码的生成矩阵和校验矩阵可以表示为有限域上的矩阵
有限域的元素个数决定了线性码的码距和最小码距
定义：有限域的扩展运算是指将有限域中的元素进行有限次运算，以生成新的元素。
性质：有限域的扩展运算具有封闭性，即运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有限域的扩展运算具有特定的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法等。
应用：有限域的扩展运算在密码学、编码理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法逆元
有限域中的乘法是可结合的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则：有限域中的元素只能进行加法运算，不能进行减法运算，通常用模运算实现减法。
乘法运算规则：有限域中的元素只能进行乘法运算，乘法满足结合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码理论中的基本概念，为RS码提供了数学基

多项式在有理数域上不可约判定，

第21卷第1期湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.21 No.12008年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2008有理数域上的一类不可约多项式张卫，史滋福(湖南师范大学数学与计算机科学学院，长沙 410081)摘要: 首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论，讨论了形如12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"的多项式的性质，并且得到了定理：若，6n >()0x ϕ>且它的次数小于的一半，则n 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"在Q 上不可约.关键词: 有理数域; 不可约多项式; 次数中图分类号：O151.23 文献标识码：A 文章编号: 1672-5298(2008)01-0005-03A Class Irreducible Polynomials on Rational Number FieldZHANG Wei , SHI Zi-fu(Department of Mathematics, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)Abstract: Some common results which used to decide a polynomial on rational number field irreducible are explained in this paper. Some properties of polynomial such as 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"are discussed and some theorem is obtained if ，6n >()0x ϕ>and the degree of ()x ϕ is less than a half of ,then n ()f x is irreducible on rational number field.Key words: rational number field; irreducible polynomial; degree研究数域上不可约多项式就如研究整数中的素数一样重要. 如果F 是代数闭域，则F 上的不可约多项式就是全体的一次多项式，而在素域F 上的不可约多项式研究却是一个复杂的工作. 在我们熟悉的有理数域Q 上，存在着任意次的不可约多项式. 到目前为止，在有理数域Q 上，判断多项式不可约的方法主要有以下几类:Ⅰ 通过多项式的系数与某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein 判别法及其推广形式[1][2]. Ⅱ 通过多项式的系数与某素数的大小关系来判定不可约，如命题1[3]设是一个素数，且整数适合p 12,,,n a a a "10nk k a =p <<∑，则多项式212()n n f x p a x a x a x =++++"在Q 上不可约.Ⅲ 将多项式作为函数所得到的一些特殊取值来判定不可约，如命题2[4] 若整系数多项式()f x 对于无限个整数值x ，其函数值()f x 都是素数，那么多项式()f x 在Q 上不可约.Ⅳ 通过辅助多项式的根的取值来判定不可约，如命题3[5] 设是n 个两两不同的整数，那么多项式12,,,n a a a "1()()1ni i f x x a ==−−∏在Q 上不可约.本文给出一类可以通过的多项式的次数或者多项式在某点的取值来进行判定的不可约多项式.收稿日期：2007-12-20 基金项目: 湖南省自然科学基金项目(04JJ40003) 作者简介：张卫(1963− ), 男，江西赣州人，博士，湖南师范大学讲师. 主要研究方向: 多项式代数和环论命题4[5]设是n (n ≥2)个两两不同的整数，如果多项式12,,,a a a "n 1()()1ni i f x x a ==−+∏在Q 上可约，则n 是一个偶数.引理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上可约，则存在整系数多项式h x ，使得()2()()f x h x =.证明因为n ，对于任何整数3≥0x ，或者()201020()()0n x a x a x a −−="或者−2201020010203()()()()()()n x a x a x a x a x a x a −−−≥−−−"2≥,所以，因此0()0f x ≠()f x 没有一次有理因式.现设()()()f x g x h x =是()f x 的真因式分解，其中()g x 与都是整系数多项式，且()h x ()g x 与的次数都小于，令()h x n ()()()x g x h x ϕ=−，由()1i f a =,()()1i i g a h a ==±，于是()0,1,2,,i a i n ϕ==".如果()0x ϕ≠，则必有deg(())x n ϕ<，这是不可能的，所以()0x ϕ=. 因此()()g x h x =，即有2()()f x h x =. 由引理1立即可得.定理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，则当是偶数时，多项式12,,,n a a a "n 212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上不可约.定理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+".若存在0x , 使得，则0()0f x <()f x 在Q 上不可约.引理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".若()f x 有真因式()g x ，则()g x 的次数至少是的一半.n 证明设()()()f x g x h x =，且deg(())g x <[2n]，由于()1,1,2,,i f a i n =="，所以, ，于是()1i g a =±1,2,,i n ="()g x 至少在[个点恒取值]deg(())12ng x ≥+1+或者1−，此时()g x 是常数，矛盾.推论1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+""有真因式()g x ，则()g x 的次数deg(())[]2ng x r n ≤+−.引理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数， 12,,,n a a a "[]2nr <，且222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".如果()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()f x h x =.证明设()f x 的真因式分解()()()f x g x h x =，(),()g x h x 都是整系数多项式，且次数[]2n deg(()),deg(())g x h x r n ≤≤+−[]2n . 令()()()x g x h x ϕ=−，和引理1相仿，由于也有deg(())x n ϕ<，所以()0x ϕ=，即2()()f x h x =.类似地可以证明引理4设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+ 6 湖南理工学院学报(自然科学版) 第21卷.第1期张卫等：有理数域上的一类不可约多项式 7如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()=f x h x .定理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且 deg(())x n ϕ+是奇数，则()f x 在Q 上不可约.定理4 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且存在实数0x ，使得0()0f x <，则()f x 在Q 上不可约.定理5 设是n (n >6)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+，如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()0x ϕ=没有有理根，则()f x 在Q 上不可约.证明不妨设，令12n a a a <<<"012n x a =−，因为0()0x ϕ≠，所以01()2r x ϕ≥，从而0001010()()()()()1ϕ−=−−−+"n n f x x x a x a x a <123311()()()()122222124211()()()(122222−⋅⋅⋅⋅⋅−+<−⋅⋅⋅⋅⋅−+""r r n n =222((2)!122−++−−⋅−+=−+n n r r n n 2)!1>. 因为当n 时，62deg(())[]log (2)!22nr x ，所以n ϕ=<<−−0()0f x <，再由定理4即得定理5.鉴于在定理证明中关于()x ϕ其实只利用了01()2r x ϕ≥，所以有推论2 若, 且，那么212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+"6n >()f x 在Q 上不可约.最后提出两个问题作为本文的结束. 问题1 定理5在的时候是否也成立？6n =问题2 推论2中由于()x ϕ的次数仅等于1，是否的条件可以去掉？ 6n >参考文献[1] 张海山. Eisenstein 判别法的推广[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2001，22(3):13~15 [2] 陈侠. 关于整系数不可约多项式[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2004，21(1): 77~78 [3] 冯克勤，余红兵. 整数与多项式[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 138~142[4] 黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:154~171 [5] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南: 山东教育出版社, 1989: 11~44李克安教授被评为第三届湖南省“双十佳期刊编辑”为了进一步加强编辑队伍建设，鼓励期刊出版行业出人才，出好人才，繁荣和发展期刊出版事业，中共湖南省委宣传部、湖南省新闻出版局联合组织评选了第三届湖南省“双十佳期刊编辑”。

多项式的定义是什么

多项式的定义是什么多项式函数以其简单的结构和性质在数值逼近中起到重要的作用,多项式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于多项式的定义，欢迎大家前来阅读!多项式的定义多项式是代数学中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。

例如X2 - 3X + 4就是一个多项式。

多项式是整式的一种。

不定元只有一个的多项式称为一元多项式;不定元不止一个的多项式称为多元多项式。

多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。

多项式数学术语多项式 polynomial不含字母的项叫做常数项。

如：5X+6，6就是常数项。

比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。

按这个定义，多项式就是整式。

实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。

0作为多项式时，次数为正无穷大。

单项式和多项式统称为整式。

多项式几何特性多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。

泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。

多项式定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。

高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。

应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。

这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。

关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式，如果有一个素数p能整除αn-1，αn-2，…，α1，α0，但不能整除αn，且p2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。

由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。

因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。

分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。

关于多项式不可约性的定理

关于多项式不可约性的定理
多项式不可约性定理（Irreducibility Theorem）是数论中
一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根。

多项式不可约性定理的形式很简单：任何一个非负整数的多项式，只要它的系数不全为
0，就是不可约的。

这个定理的证明是由古典数论中的结论——“欧拉定理”推导而来的。

欧拉定理宣称：任何一个大于1的正整数都可以表示为质数的乘积。

通过把多项式的系数转换为质数的乘积，可以把多项式分解为该质数的乘积，从而证明多项式不可约性定理。

多项式不可约性定理有着重要的应用价值。

它可以用来确定一个多项式是否可以被约分，以及求解多项式的根。

例如，如果一个多项式的系数都是质数，那么它就是不可约的，而且可以求出它的根；如果一个多项式的系数不全是质数，那么它就是可约的，可以用约分的方法求解。

多项式不可约性定理的另一个重要的应用是，它可以用来证明另外一个重要的定理，即“欧拉定理”。

例如，如果一个正整数大于
1，它可以表示为质数的乘积，那么它就是不可约的，而
且可以用多项式不可约性定理来证明。

总之，多项式不可约性定理是数论中一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根，也可以用来证明欧拉定理。

因此，它对数论的研究有着重要的意义。

有理系数不可约多项式的判别

有理系数不可约多项式的判别
对于一个多项式 f(x)，如果它的次数小于等于 3，那么它一定
是可约的，因为任何次数小于等于 3 的多项式都可以通过因式分解为
线性因式乘积。

对于次数大于 3 的多项式 f(x)，要判断它是否为不可约多项式，可以使用以下方法之一：
1. 尝试寻找 f(x) 的有理根。

如果 f(x) 的有理根存在，则
f(x) 是可约的，因为有理根可以转化为一次因式。

2. 使用 Eisenstein 判别法：如果存在一个素数 p，使得 p
能够整除多项式 f(x) 的所有非首项系数，但不能整除首项系数，并
且 p^2 不能整除多项式的常数项系数，那么 f(x) 是不可约的。

3. 使用约化多项式的方法。

假设 f(x) 是不可约的，那么根据
整系数多项式的性质，可以将 f(x) 看作是有理数系数多项式。

为了
判断 f(x) 是否可约，可以考虑将 f(x) 通过符号替换，转化为一个
整系数多项式 g(x) = f(ax+b)，其中 a 和 b 是整数。

如果 g(x) 是
可约的，则 f(x) 也是可约的。

这些方法可以帮助我们判断一个多项式是否是不可约多项式，但
需要注意的是，并不是所有的不可约多项式都可以通过这些方法判断
出来。

对于高次多项式，判别它是否为不可约多项式可能会更加困难。

三个多项式不可约性的证明

三个多项式(不)可约性的证明1(浙大1993(16分)).证明f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1在Q上不可约,其中a1,a2,···,a n是互异的整数.证明:(证法1)若不然，假设f(x)=φ1(x)φ2(x),由于f(x)是整系数多项式，所以可设φ1(x)和φ2(x)均为整系数多项式，且∂[φ1(x)]<∂[f(x)],∂[φ2(x)]<∂[f(x)].f(a i)=φ1(a i)φ2(a i)=−1,考虑到它们均为整系数多项式，所以有φ1(a i)=±1,φ2(a i)=∓1.令g(x)=φ1(x)+φ2(x),则g(a i)=0,i=1,2,...,n.而∂[g(x)]≤∂φ1(x)<n,∂[g(x)]≤∂φ2(x)<n,得g(x)=0,φ1(x)=−φ2(x),所以f(x)=−φ2(x).1于是对任意的实数c,f(c)=−(φ1(c))2≤0.但再由条件：f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1,取c=max{a1,a2,...,a n}+3,则f(c)≥3n−1>0,矛盾.于是假设错误，所以f(x)在Q上不可约.(证法2)由于φ1(a i)=−φ2(a i),i=1,2,...,n且∂[φk(x)]<∂[f(x)]≤n,k=1,2.,所以f(x)=−[φ1(x)]2.由于φ1(x)和φ2(x)都是整系数多项式,所以−φ21(x)的首系数为负数,而f(x)的首系数为+1,矛盾.例2.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x+a1)(x+a2)···(x+a n)+1在Q上可约的充要条件是f(x)=g2(x),g(x)∈Z[x].证明:充分性显然成立.必要性.若f(x)在Q上可约，因为f(x)∈Z[x],可设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又因为f(a i)=1,所以g(a i)和h(a i)同时为1或−1,即g(a i)=h(a i),i=1,2,...,n.又∂[g(x)]<∂[f(x)]≤n,∂[h(x)]<∂[f(x)]≤n,得g(x)=h(x),所以f(x)=[g(x)]2.例3.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1在Q上不可约.证明:若f(x)在Q上可约，设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又对任意的c∈R(实数)，f(c)=(c−a1)2(c−a2)2···(c−a n)2+1>0,所以f(x)无实根.考虑f(a i)=g(a i)h(a i)=1,g(x)和h(x)均为整系数多项式，所以g(a i)=1且h(a i)=1或g(a i)=−1且h(a i)=−1.不妨假设存在a k使得g(a k)=1,则由于g(x)也无实根，所以必有g(a i)=1,i= 1,2,...,n.再考虑到若g(x)的次数小于n,得g(x)≡1,这是不可能的.所以∂[g(x)]=∂[h(x)]=n.由于g(a i)−h(a i)=0,且g(x)和h(x)都是首系数为1的n次多项式,所以g(x)−h(x)的次数小于n,且有n个互异的根a1,a2,...,a n,因而g(x)≡h(x),得f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1=[g(x)]2.令l(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n),则[l(x)]2+1=[g(x)]2,(g(x)−l(x))(g(x)+l(x))=1.对任意的a∈Z,(g(a)−l(a))(g(a)+l(a))=1(两个整数的乘积为1)，g(a)−l(a)=g(a)+l(a)=1或(−1).得l(a)≡0,矛盾.所以f(x)不可约.。

第一讲-高等代数选讲之多项式理论

4、一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。零次多项式：不为零的常数零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3

例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者。
其中 c 为任意常数。（10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式；（11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。 5、综合除法设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。

有限域上的不可约多项式

有限域上的不可约多项式你有没有想过，数学其实也能像解谜一样有趣？我们今天来聊聊一个特别的数学宝贝——有限域上的不可约多项式。

别被这个名字吓到，听起来像是要去攻占数学的城堡，其实它就像是一个好玩的谜题，一点也不难，只要你细细琢磨，绝对能捉摸出其中的奥秘。

让我们搞清楚什么是“有限域”吧。

这个“有限”可不是说它一无所有，恰恰相反，它就是有一堆数不过来的元素，但是这个元素的个数是有限的，像一个小小的、有边界的世界。

举个简单的例子，假如我们在一个有限的世界里，只能用0 和1 来做加减乘除，那我们就有了一个很简单的有限域——二进制。

你是不是开始觉得有点意思了？而在这个小世界里，有限的数就能用来做很多有趣的事情，比如加法、乘法，甚至还可以定义一些神奇的运算。

好啦，那不可约多项式又是啥呢？就像它的名字一样，这种多项式可是“无敌”的存在，它没办法被拆解成更小、更简单的东西。

就好比你面前的一块巧克力，你想分成两半，但发现它硬是没法分裂开来，因为它是“不可约”的！在有限域里，找出不可约多项式就像在寻找那些顽强的小精灵，它们不容易被分解，但却能够带给我们极大的帮助。

不可约多项式就像是一个小小的魔法钥匙，能够帮助我们在有限的数字世界里解锁更复杂的谜题。

想象一下，你拿到一个多项式，可能它看起来很复杂，好像就要崩溃一样。

你开始怀疑自己是不是走错了门，但别急，先试着把它分解一下。

一个普通的多项式，你可能能找到它的因子，把它拆开来，好像拆掉了一个“盔甲”，然后里面的部分就暴露出来了。

但对于不可约多项式，它就像是铁打的“心脏”，你无论怎么捣鼓，它都不屈不挠地坚挺着。

这种特性在很多地方都能派上用场，比如在密码学里，用不可约多项式做出的“加密算法”就能够保护我们的信息安全，简直是数字世界中的超级英雄。

有限域上的不可约多项式并不是随便就能找到的。

想要找出它们，你得有点“眼力”。

这种多项式通常不是一眼就能看出来的，它们隐藏在一堆看似普通的多项式中，好像藏在一堆草丛里的小猫咪。

利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定

第27卷V01．27第3期N o．3中州大学学报J O U R N A L O F Z H O N G Z H O U U N I V E R SnY2010年6月JuJ．20l O利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定王骁力1，夏云青2(1．南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061；2．中州大学信息工程学院，郑州450044)摘要：文中讨论了整系数多项式的不可约判定的充分条件Ei s ens t ei n判别法的若干等价形式，并借助同态映射，i正B／t了整系数多项式不可约的若干判定定理，推广了已知结果。

关键词：同态；可约性；有理数域；多项式；艾森斯坦因判别法中图分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1008-3715(2010)03—0100—03有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题可以归结为整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题。

已有整系数多项式的不可约判定的充分条件的Ei s ens t ei n判别法…，一些学者也给了一些结果m51。

本文首先讨论了Ei sens t ei n判别法的若干等价形式，然后借助同态映射证明了判定有理系数多项式可约性的若干结果。

1．E i se ns t e i n判别法的等价形式Ei s em t ei n判别法…设以茗)=乏口．膏‘是一个整系数多项式，如果存在素数P，使得：(1)p不整除a。

；(2)pl a。

，O≤i≤忍一1；(3)p2不整除口0，那么，(菇)在有理数域上是不可约的。

引理1【21设，(菇)=乏q茹‘是数域F上的一个多项式，％≠o，口o≠o，则g(x)=乏嘶石”‘也是数域F上的多项式，且火石)与g(茗)在数域，上同时可约或同时不可约。

引理2设以茗)=置a；膏‘是数域，上的一个多项式，a．≠0，口o≠0，m为一个正整数，则数域F上的多项式h(算)=蓦口‘p戚矿．。

=薹％一i p州”。

茗i与，(鼻)在数域F上同时可约或同时不可约。

如何判别一个多项式不可约

探索不可约多项式的应用
除了在数学理论研究中的应用外，不可约多项式在实际应用中也有着广泛的应用前景。例如，在计算机科学、信息编码等领域中，不可约多项式可以用于构造一些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项式的方法
目前我们判别不可约多项式的方法主要适用于有限域上的多项式，对于其他情况是否适用还需要进一步的研究和探索。因此，推广判别不可约多项式的方法也是未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
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不可约多项式是整环上的不可约元，即它不能被其他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是不可约元，因此它在整环中是不可约的。
不可约多项式是素数，即它没有除了1和自身以外的因数。
不可约多项式在整环中是不可约的，因此它在整环中是不可约的。
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判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域具有重要研究价值，有助于深入理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的判别方法可以用于设计高效的算法，例如在符号计算、数值分析等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握多项式不可约的判别方法有助于提高数学素养和解题能力。

有限域上本原多项式与不可约多项式判定

（1）（封闭性），，有；
（2）（结合性），，，有；
（3）在中有一个元素，对中任意元素，有，元素称为单位元；
（4）对中任一元素，都存在中的一个元素，使得，称为可逆元，称谓的逆元，记作，
则称关于“ ”形成一个群（Group），记作，，通常在不混淆的情况下省略“ ”，用来表示一个群，也简记为。
关键词：有限域不可约多项式本原多项式
A
Weintroducethe basic knowledge of finitefieldstheoryin the frontof this paper. According to the knowledgeoffinite fields,wediscussanefficient algorithm, which is used to determine whether a polynomial over finite fields is irreducible (primitive) or not, proposed byWangXin and WangXinMei in [1]. Three conditionsare proposedby itasanecessary and sufficient conditionto determineirreducible polynomialsoverthe finite field. And under the preconditionthat thepolynomialisirreducibleoverfinite fields, thealgorithmproposes aconditionas the necessary and sufficient conditionto determinewhether a polynomial isprimitiveor not over finite fields.In the latter part,byusingMicrosoft Visual Studio 2008 software,we makethe mode operations, multiplicationoperations, fast exponential algorithm,Euclidalgorithm, integer factorization algorithm modules come true in c++ language. And finally achievedthe decisionmethodproposed byWangXinandWangXinMeiin[1], realizedthe determinationthatwhether the polynomialover finite fields is irreducible (primitive) or not.

三次正多项式p_不可约的充要条件

2 主要结论及其证明
引理 1[4] 如果多项式 f (x) 的根都是实的，那
么它的正根个数（重根按重数计）等于它的系数列的变号数.
引理 2 多项式 f (x) = a0 x2n+1 + a1x2n + ⋅⋅⋅ + a2n+1(a0 ≠ 0) 至少有 1 个实根，并且实根的个数为
奇数. 特别地，三次多项式的实根可能情况为 1 个和 3 个（重根按重数计）.
定理 3 三次正多项式 f (x)=x3 + ax2 +bx + c 为 p－不可约的充要条件是 f (−a) > 0 ，也即多项式的系数满足关系 ab < c .
证明若 f (x) = x3 + ax2 + bx + c 存在正分解，
则要么分解成 1 个一次和 1 个二次的正多项式，要么分解成 3 个一次正多项式. 结合定理 1 和定理 2，
[3] Xia Bingcen, Yang Ling. A new result on the pIrreducibility of binding polynomials [J]. J Computers and Mathematics with Applications, 2004, 48:1 811-1 817.
第2期
解烈军：三次正多项式 p-不可约的充要条件
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c f (x(a + x) < 0) > 0⇔c f (−a < x < 0) > 0 ，就是说多项式 f (x) 在 −a < x < 0 中至少存在一个零点，必须有 f (−a) f (0) < 0 ，而 f (0) = c > 0 ，所以有 f (−a) < 0 .

整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理

整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理一、求和不可约判定定理：1、假设R是有理数域，P(x)是正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_i\in R, i=0,1,\cdots,n$$且：$$a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+(-1)^n a_n \neq 0,$$则P(x)在R上不可约。

2、假设R是有理数域，P(x)是正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_i\in R, i=0,1,\cdots,n$$且：$$a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \neq 0,$$则P(x)在R上不可约。

二、克劳德-拉一判不可约判定定理：1、假设R是有理数域，P(x)是按照正定系数有限位数构成的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_2a_n-a_1a_{n-1}\ne 0,$$ 则P(x)在R上不可约。

2、假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_1a_{n-1}-a_2a_{n-2}\ne 0,$$则P(x)在R上不可约。

三、Fermat-Euler判不可约判定定理：1. 假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 3, a_0a_2 - a_1^2\ne 0,$$则P(x)在R上不可约。

2、假设R是有理数域，P(x)是按照正定系数有限位数构成的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 3, a_1a_3 - a_2^2\ne 0,$$则P(x)在R上不可约。

上不可约多项式的判断和寻找

4. 欧拉函数
定义4.1：对于n 1,令表示 [1,n]内与n互素的整数个数。定义函数Φ称为欧拉函数。性质4.1：对所有n ≥ 5的整数，有性质 . Φ ( n) > n
≥
Φ (n )
(6 ln(ln n))
F 性质4.2： q 是一个阶q-1为的循环群。因此对任意 a ∈ Fq 性质q 有 a = a。性质4.3：设 f ( x) ∈ Z p [ x] 是次数为 m 的不可约多项式，则性质 Z p [ x] f ( x)是一个阶为 p m 的有限域，多项式的加法与乘法是模 f (x) 的运算。性质4.4：对每一个m ≥ 1,在 Z p 中存在一个次数为m的首一性质不可约多项式。所以，每一个有限域都有一个多项式基表示。
随机生成一个上的首一不可约多项式
算法7.2 算法
输入: 输入: 素数 p 和正整数 m . 输出: 输出: Z p [x]中次数为 m 的首一不可约多项式 f ( x ) . 1.重复如下操作重复如下操作: 1.重复如下操作: 的一个首一多项式) 1.1 (随机生成 Z p [x] 中的次数为 m 的一个首一多项式) 在0和p-1之间随机选择整数 a0 , a1 , a2 ,L , am −1 , a0 ≠ 0. f (x ) f (x) = xm + a(m −1)xm−1 +L+ a2x2 + a1x + a0 . 设是多项式用算法1.5测试f(x) 1.5测试f(x)是否在上不可约. 1.2 用算法1.5测试f(x)是否在 Z p 上不可约.直到找到一个不可约的 f ( x ) . 2.返回 2.返回 ( f ( x )) .
.
pk
(
i

如何判别一个多项式不可约

定理 2( 艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 ) ：设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得
(1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0；那么，f(x)在有理数域上不可约。
单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律
同态，同构
2.相容
设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。若对任意a,b,c,dS，当a~b， c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与运算是相容的，称~为代数系统[S;]的相容等价关系。
3.半群，拟群，群
有关定理
4.元素的阶和群的阶
定义,结论
5.子群与陪集概念,定理,陪集的实质正规子群 6.商群与群同态基本定理 7.环的基本概念环的零元,环的单位元,交换环在环中讨论元素可逆 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) 8.特征数整环的特征数 9.子环，理想，商环主理想,主理想环 10.多项式环
定理 2( 艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 ) ：设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得
(1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0；那么，f(x)在有理数域上不可约。
5.本原元与本原多项式有关定理和结论的证明 GF(pn)的表述,化简求出所有本原元,本原多项式
已知为GF(pn)上的本原元，怎样求出 GF(pn)上的所有本原元？

戴维宁定理的内容

戴维宁定理的内容戴维宁定理的内容引言：戴维宁定理是数学中一个重要的定理，它被广泛应用于几何、代数和数论等领域。

该定理由英国数学家戴维宁于1917年提出，是一条关于有限域上多项式的性质的定理。

本文将详细介绍戴维宁定理的内容、证明过程和应用。

一、定义与基本概念1. 有限域有限域是指元素个数有限的域。

一个有限域GF(q)包含q个元素，其中q为素数幂，即q=p^n，其中p为素数，n为正整数。

2. 多项式环多项式环是指以一个或多个变量为自变量的所有次数不超过某个固定次数的多项式所组成的集合。

例如，F[x]表示在F上以x为变量构成的多项式集合。

3. 不可约多项式不可约多项式是指不能分解成两个或更多次数小于它自身次数的多项式之积形式的多项式。

例如，在GF(2)上不可约多项式包括x+1、x^2+x+1等。

二、戴维宁定理1. 定义设F是一个有限域，f(x)∈F[x]是一个次数为n的不可约多项式，则F[x]/(f(x))是一个n维向量空间，其中加法与减法的定义如同多项式运算一样，乘法则根据f(x)模掉后的余数来确定。

2. 定理内容设F是一个有限域，f(x)∈F[x]是一个次数为n的不可约多项式，则有限域GF(q)中任意一元多项式g(x)均可唯一地表示成以下形式：g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}其中a_i∈GF(q)，且q=p^n。

即任意一元多项式可以表示成不超过n-1次幂的线性组合形式。

三、证明过程1. 引理设F是一个有限域，f(x)∈F[x]是一个次数为n的不可约多项式，则F[x]/(f(x))中存在元素α，使得α^n=1且α^i≠1(i=1,2,...,n-1)。

证明：由于f(x)是不可约多项式，故它在F上没有根。

因此，在扩域E=F(α)中，f(x)仍然是不可约的。

由于E中存在元素α使得α^n=1且α^i≠1(i=1,2,...,n-1)，因此E中的元素可以表示成以下形式：a_0+a_1α+a_2α^2+...+a_{n-1}α^{n-1}其中a_i∈F。

干婷婷08025049多项式的不可约与互素及应用

本科毕业论文（设计）题目多项式的不可约与互素及应用院（系）巢湖学院数学系专业数学与应用数学学生姓名干婷婷学号 08025049指导教师贾正华职称副教授论文字数 7985完成日期:2012年6月2日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。

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保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。

本人签名：日期：导师签名：日期：巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）多项式的不可约与互素及应用摘要多项式的互素与不可约的这部分知识是息息相关的，多项式的不可约与多项式的互素概念都围绕着因式的存在与否而进行定义的，而笔者亦从这个入手来分析两者之间的关联。

众所周知，多项式理论是高等代数中的重要组成部分，而多项式的不可约与互素又是多项式理论的两个重要概念，对后继知识的学习有重要影响，在众多的高等代数书籍中对两个一元二次的互素都有较全面的论述，笔者尝试先分别陈述多项式的不可约与互素相关性质与概念，再讨论不可约多项式与不可约多项式之间的互素关系和可约多项式与不可约多项式之间的互素关系，再进一步去表述出多项式的不可约与互素的应用，最后，再将两者联系在一起应用，以期对多项式的互素和多项式的不可约有较全面的把握和进一步的理解。

作业参考答案年级线性反馈移位寄存器在c新编=时可有种

第二章作业参考答案1．3级线性反馈移位寄存器在c3＝1时可有4种线性反馈函数，设其初始状态为(a1,a2,a3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。

解：此时线性反馈函数可表示为f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3当c1＝0，c2＝0时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1，输出序列为101101…，周期＝3当c1＝0，c2＝1时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1?a2，…，周期＝7当c1＝1，c2＝0时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1?a3，…，周期＝7当c1＝1，c2＝1时，f(a1,a2,a3)=a1?c2a2?c1a3＝a1?a2?a3，有输出序列为1010…，周期＝22．设n级线性反馈移位寄存器的特征多项式为p(x)，初始状态为(a1,a2,…,a n-1,a n)=(00…01)，证明输出序列的周期等于p(x)的阶证：设p(x)的阶为p，由定理2-3，由r|p，所以r?p设A(x)为序列{a i}的生成函数，并设序列{a i}的周期为r，则显然有A(x)p(x)＝?(x)又A(x)＝a1+a2x+…+a r x r-1+x r(a1+a2x+…+a r x r-1)+(x r)2(a1+a2x+…+a r x r-1)+…＝a1+a2x+…+a r x r-1/(1-x r)＝a1+a2x+…+a r x r-1/(x r-1)于是A(x)=(a1+a2x+…+a r x r-1)/(x r-1)＝?(x)/p(x)又(a1,a2,…,a n-1,a n)=(00…01)所以p(x)(a n x n-1+…+a r x r-1)=?(x)(x r-1)即p(x)x n-1(a n+…+a r x r-n)=?(x)(x r-1)由于x n-1不能整除x r-1，所以必有x n-1|?(x)，而?(x)的次数小于n，所以必有?(x)＝x n-1所以必有p(x)|(x r-1)，由p(x)的阶的定义知，阶p?r综上所述：p＝r#3．设n＝4，f(a1,a2,a3,a4)=a1?a4?1?a2a3，初始状态为(a1,a2,a3,a4)＝(1,1,0,1)，求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。

键合多项式p-不可约的一些结果

键合多项式p-不可约的一些结果
解烈军;侯晓荣
【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2008(35)3
【摘要】在生物化学研究领域,对键合多项式p-不可约性的判定是一个重要问题.已有结果主要考虑四次或四次以下多项式.应用实代数几何和多项式稳定性等理论,借助计算机代数系统Maple 9.5,对键舍多项式p-不可约问题进行了进一步的研究,给出了五次键合多项式p-不可约的二组充分条件.同时,从正分解角度重新考虑了四次键合多项式,给出了四次键合多项式一种正分解的充要条件.所有条件都是用多项式的系数构成的不等式组显式表示的.
【总页数】8页(P241-247,250)
【作者】解烈军;侯晓荣
【作者单位】宁波大学理学院,浙江宁波,315211;宁波大学理学院,浙江宁
波,315211
【正文语种】中文
【中图分类】O151.1;O174.14
【相关文献】
1.五次键合多项式P-不可约的两个定理 [J], 解烈军
2.唯一分解整环R上不可约多项式的一些判别准则 [J], 向红军;王芳芳
3.判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法 [J], 王鑫;王新梅;韦宝
典
4.确定有限域上给定周期的不可约多项式的个数以及利用低次不可约多项式构造高次不可约多项式 [J], 虞培全
5.三次正多项式p-不可约的充要条件 [J], 解烈军
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