数学物理方程01_数学物理方程定解问题

u
T2
B
α1
T 1
α2
C
A
x x + dx
图9.1 图1.1
x
11
数学物理方程
根据牛顿第二定律 F m a
u方向运动的方程可以描述为
T2 sin 2 T1 sin 1 g d s ( d s )u tt
作用于小段ABC 的纵向合力应该为零：
T2 cos 2 T1 cos 1 0
第一章 数学建模---数学物理定解问题
1.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动
具有波动方 程的数理方 程的建立
讨 论
定解条件
杆的纵振动
9
数学物理方程
1.1.1 波动方程的建立 1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： （1）要研究的物理量是什么？ 确定 弦的 运动 方程
n 2
u

i 1
u
2
xi
2
为Laplace算子，n为维数。
f ( x , y , z , t ) 为单位质量上所受到的横向力……
19
1.1.2 波动方程的定解条件
定解条件：初始条件和边界条件
数学物理方程
1.初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的 加速度．要确定振动状态，需知道初始时刻每点的位移和速度． 波动方程的初始条件通常是
与沿面积元外法线方向的温度变化率 也与 d S 和 d t 成正比，即：
dQ k u n dSdt
成正比
（1.2.1） 式中 k 是导热系数
24
数学物理方程
取直角坐标系Oxyz, 如图1.4
u ( x, y, z, t)
表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度 在 dt 时间内通过ABCD面流入的热量为
这样，(1.1.1)和(1.1.2)简化为
T2 u x T1 u x x dx T2 T1 0
x
g dx u tt dx
(1.1.3) (9.1.3)
(9.1.4) (1.1.4)
13
数学物理方程
因此在微小横振动条件下，可得出 可记为 T T T ，弦中张力不随 x 而变，
6
数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
波动方程为代表
退化为拉普拉斯方程 7
数学物理方程
三类数学物理方程的一种最常用解法
当然还有别的其它的解法
分离变量法 偏微分方程 标准的常微分方程 标准解，即为各类特 殊函数（多种函数）
8
数学物理方程
x
dx
H
o
z
x
x + dx
图 9.2 图1.5
其中： q D
u x
D为扩散系数
u t dt
dt时间内浓度的变化可表示为
u t u
2
由质量守恒定律可得：
a
2
x
2
0
(t 0 )
(1.2.6)
28
其中
a
2
D.
数学物理方程
将一维推广到三维，即得到
u t a [
(1.1.6)
14
数学物理方程
即为
u tt a u xx g
2
（1.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 其中 a 2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(1.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
u tt a u x x
2
（1.1.8）
15
称式（1.1.8）为弦的自由振动方程
也可理解为：振动的平衡位置为重力作用后的位置。
数学物理方程
讨论（续）：
（2）如果在弦的单位长度上还有横向均布外力 F ( x , t )
作用，则式(1.1.8)应该改写为
u tt a u x x f ( x , t )
2
(1.1.9)
（1.1.1） 为线密度 （1.1.2）
2 2 仅考虑微小的横振动，夹角 1 , 2 为很小的量，忽略 1 , 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos 1 1
1
2
1,
3
2!
cos 2 1
sin 1 1
1
3!
1 tan 1 ,
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
4
数学物理方程
根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为 正向问题和逆向问题.
正向问题，即 为已知源求场. 逆向问题，即 为已知场求源.
不同出发点 ? 前者是经典数学物理所讨论的主要 内容. 后者是高等数学物理（或称为现 代数学物理）所讨论的主要内容。
5
数学物理方程
数学物理方程的类型和所描述的物理规律
振动与波（振动波，电磁波）传播 满足波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方程
静电场和引力势满足拉普拉斯方程或 泊松方程
其中
f
是时间 t 的已知函数， H 为常系数．
23
1.2 数学建模－热传导方程类型的建立 1.2.1 热传导类型方程的建立
数学物理方程
1.热传导方程
推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律： 热传导的傅里叶定律：
dt
dQ
时间内，通过面积元 d S 流入小体积元的热量
u n
其中，a
2

k
C0
， 2 u 为三维Laplace算子。
（2）若物体存在热源，其热源强度为: F ( x , y , z , t )( J k g s )
u t a u f ( x, y, z, t)
2 2
源自文库
(1.2.5)
。
27
其中， f ( x , y , z , t )
2 2
sin 2 2 tan 2
12
ds
(d x ) (d u )
2
1 (u x ) d x d x
数学物理方程
注意到:
ux u x tan sin
故由图1.1得
ux
x dx
ux
x
tan 1 sin 1 ,
tan 2 sin 2
(1.2.2)
或写成
[ x (k u x ) y (k u y ) z (k u z )] C 0 u t
(1.2.3)
26
数学物理方程
讨论：
（1）若导热系数k为常数，则式（1.2.3）可写成如下形式：
u t a u 0
2 2
(1.2.4)
18
( x, t)
应是杆的单位质量上所
数学物理方程
讨论（续）：
(3) 如果我们考虑的是膜的振动或者声波在空气中的传播，
用来描述这些二维和三维波动现象的微分方程仍然具有和 方程（1.1.9）相似的形式：
u tt a u f ( x , y , z , t )
2 2
（1.1.13）
其中，
y
B
C
G
F
d Q |x ( k
n
u n
) |x d td y d z ( k
u x
) |x d td y d z
n
D
A E
dx
H
在 dt 时间内通过EFGH面流入的热量为
x
o
z
x
x + dx
dQ
x dx
(k
u x
)
x dx
d td y d z
图1.4
图 9.2
同样，在 d t 时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为
式中
f ( x, t)
F ( x, t)

称为力密度 ，为 t 时刻作用于 x
处单位质量上的横向外力. 式（1.1.9）称为弦的受迫振动方程.
16
数学物理方程
2、均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
YS u x
x dx
YS u x
x
YS
u x x
d x ( S d x ) u tt
y (k u y

) d td x d y d z
z
(k
u z
) d td x d y d z
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数学物理方程
u t
在t 到
t dt
时间内，小体积元的温度变化是 分别表示物体的密度和比热。
dt
如果用 和
C0
则根据能量守恒定律得到热平衡方程
[ x (k u x ) y (k u y ) z (k u z )]d t d x d y d z C 0 u t d td x d y d z
2
数学物理方程
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学 及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数 方程，主要指偏微分方程和积分方程。 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域 十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理 现象和普遍规律。
3
数学物理方程
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
u ( x, t)
t0
u ( x , 0 ) ( x ),
ut ( x, t)
t0
u t ( x ,0 ) ( x )
（1.1.14）
20
例1.1.1
数学物理方程 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和 x l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
h ，如图1.3所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
u
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
h x l
u t ( x , t ) |t 0 u t ( x , 0 ) 0
o
b
初始位移如图所示
h x (0 x b ) u ( x ,0 ) b h (l x ) (b x l ) l b
2 1
T2 T1
故有
T (u x
x dx
u x ) g d x u tt d x
x
(1.1.5)
变化量 dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
ux
x dx
ux
x

u x x
d x u xx d x
这样， ABC段的运动方程(1.1.5)就成为
u tt Tu xx g 0
u n
x0 , y0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
（1.1.16）
22
数学物理方程
第三类边界条件
规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u H u n ) f ( x0 , y0 , z0 , t )
x0 , y0 , z0
（1.1.17）
可得
u tt Yu
图1-2
xx
（1.1.10）
0
（1.1.11）
这就是杆的纵振动方程．
为体密度，S为横截面， 为杨氏模量 Y
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数学物理方程
讨论：
(1) 对于均匀杆，Y 和 是常数，(1.1.11）可以改写成
u tt a u x x
2
（1.1.12）
其中
a
2

Y

这与弦振动方程（1.１.8）具有完全相同的形式． （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（1.１.9） 只是其中 f 完全一样， 受的纵向外力。
弦沿垂直方向的位移 u ( x , t )
（2）被研究的物理量遵循哪些物理 定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理方程 （即建立泛定方程）
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数学物理方程
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能 使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵 循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端 点之外的任何位置作为考察点．
F (x, y, z,t) C0
2. 扩散方程
数学物理方程
某类分子在介质（空气、水、……）中的扩散问题。 浓度u的不均匀产生分子扩散，它遵循质量守恒定律。
y
B
C
G
F
n n
D A E
在 dt 时间内通过ABCD面和EFGH面的 粒子数量为： U为浓度 q d td x d y d z q为粒子数
x
数学物理方程
厦门大学土木工程系 周三晚 9、10、11节
张建国
2012.10-2013.01
1
数学物理方程
主要内容与重点
主要内容：
二阶线性偏微分方程的建立和求解。
重点：
数学物理方程求解方法中的行波法和分离变量法。
特点：
加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了 解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数 学物理方程。
21
图1.3
数学物理方程
2.边界条件 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u ( x , y , z , t ) |x
0
, y0 , z0
f ( x0 , y0 , z0 , t )
（1.1.15）
第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值