数列求和课件

-
111)
... ...
1 5×8
=
11 3 (
1 5
+
81)
1 8×11
=
11 9 (
1 8
+
111)
1 (3n-4)(3n-1)
=
1 3
(
1 3n-4
-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
(3n1-1
-
3n1+2)
c 解：
n=
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
(3n1-1
-
3n1+2)
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k ) k n n k
11
1
1
1
11
3. k

k
1

(k
1)k

k2

(k
1)k

k
1
k
1 1 11 1
4. k 2

k2
1

( 2k
1
k
) 1
5.
1
1( 1 1 )
,,
(
1 2
)n
,Sn=
1-
1 2n
二、分组求和法（分组转化法）
例2.求数列 1+2 ,2 +22 , 3 + 23 , …, n +2n
的前n和 。 解：Sn=(1+2)+(2+2
2
)+(3+23)+…+(ｎ+2ｎ)
=(1+2+3+ …+n)+(2+22+23 +…+2 n)
n(n+1) 2(2 n-1)
= 2 + 2-1 = n(n+1) + 2n+1-2
2
二、分组求和法（分组转化法）
例2.求数列 1+2 ,2+22 , 3+ 23 , ..,. nn +2n
的前n项和 。
项的特征 cn=an+bn
({an}、{bn}为等差或等比数列。）
反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差{n} ＋一个 等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式 没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律 解题。（请见下一张相应的例题）
=
1 3
(
1 2
-
1 5
+
1 5
-
1 8
+
1 8
-
1 11
+ ...
+
1 3n-4
-
1 3n-1
+
1 3n-1
-
1 3n+2
)
=
1 3
(
1 2
-
1 3n+2
)
=
n 6n+4
四、拆项相消求和法（裂项法）
求Sn=
1 2×5
+
1 5×8
+
1 8×11
+... +
(3n-4)1(3n-1)+
1 (3n-1)(3n+2)
1 2×5
=
1 3
(
1 2
-
1 5
)
1 5×8
=
1 3
(
1 5
-
1 8
)
1 8×11
=
1 3
(
1 8
-
111)
... ...
1 (3n-4)(3n-1)
=
1 3
(
1 3n-4
-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
(3n1-1
-
3n1+2)
1 11 1
项的特征
cn

anan1

d
( an
一、公式求和法
1.等差数列前n项和公式
Sn=
n(a1+an)
2
=
na1+
n(n-1)d
2
2.等比数列前n项和公式
Sn=
a1(1-q n )
=
1-q
a1 - anq
1-q
（q=1）
na1（q=1）
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
解： ∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为 1，公比为1/a的等比数列，
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
6.
1
1[ 1
1 ]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
7. 1 1 ( a b ) a b ab
8. 2( n 1 n) 2 1 2 2( n n 1) n n1 n n n1

1 a
n

1



1 1
a
an1 1 an1 an
n 1，
S


an+1 1
an1 an
a=1 a 1
练习:求下列各数列的前n项和Sn: 1.{an}:1,3,5,…,2n-1,…Sn= n2
2.{bn}:12
,
1 4
,
1 8
练习：（求和）
(1).sn

1
1 1 2

1
1 2
3


1
1 2 3
n
1
1
1
(2).sn 1
2
2
3
n n1
答案： （1）.an

1
2
1 3
2 2( 2 2 n n(n 1) n n 1
1 11
sn

2[(1
)( 22
练习:1.求数列 2+3, 22+3 ,2 2 3+3 3, ..., 2 +n 3 n, ... 的前n项和。
n+1
Sn=2n+1 +
3 2
-
7 2
2.求Sn=112
1
+22 2
1
+3 2 3
+
... +n
21n。
3.求数列9，99，999，…….的前n项和Ｓn
通项：10n -1
4.求数列5，55，555，…….的前n项和Ｓn 通项:5(10n -1)/9

) an1
（数列{an}是等差数列）
注意裂项相消法的关键：
将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的 项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
练习：求Sn=
1 1×2
+
1 2×3
+3×41
+ ... +n(n1+1)
1
11
an n(n 1) n n 1
Sn=
n (n+1)
常见的拆项公式：
交错数列，并项求和 {（-1）n bn}型
或（-1）n+1
函数形式为n 的一次或二 次函数形式
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）

) 3
2(1 1 ) 2n n1 n1
(2).
1
n1 n
n n1
( 1 1 )] n n1
sn 2 1 3 2 n 1 n n 1 1
五、倒序相加法
与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可 先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。
∴原式=
1 1
1 a n 1


an1 1
原因： 1 1
an1 an
a
上述解法错误在于，当公比
1/a=1即a=1时，前n 项和公式
不再成立。
例1求和：S 1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
解：当a=1时， S n 1；
当a 1时，
S

1
1
2. 求数列 2n 3 的前n项和

2n3

3. 求和：(1002 992 ) (982 972 ) (22 12 )
4. 求和：1×4+2×5+3×6+…+n×(n + 3)
5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，…，
(1+a+a2+…+an1)，…的前n项和.

2n 2 2n1 2
2n
1
2n 2
1




1 2n 2 2n1 2 2n1 2 2n1 2
2n
21
1 (2 2n 2
2)
2
2n1 2
2n1 2
2
6.并项求和
例6：
1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
局部重组转化为常见数列
三、错位相减求和法
例3.求Sn= a+2a2+3a3+... +(n-1)an-1+nan (a≠1) 解:由Sn=a+2a2+3a 3+ ...+(n-1)an-1+nan
得
aSn=a2+2a3 +3a4 +... +(n-1)an +nan+1
两式相减得
(1-a)Sn= a+a2+a3+... +an-1+an-nan+1
教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！
项的特征 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
例5：已知lg(xy)=a,
求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn Ｓ＝lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lgxn
2Ｓ＝lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+…+lg(xy)n ＝(n+1)lg(xy)n ＝ n(n+1)lgxy

Sn=
1 2×5
+
5×1 8 +
1 8×11
+
...
+
1 (3n-4)(3n-1)
+(3n-1)1(3n+2)
=
1 3
(
1 2
-
1 5
)+
1 3
(
1 5
-
1 8
)
+
1 3
(
1 8
-
1 11
)
+
...
+
1 3
(
3n13-4n1--4
-3n13-n11-1)+313n1(-13n1--13n-1+32n1+2)
3 a3


n an
.
四、裂项相消求和法（裂项法）
例4Sn=2×15 +5×18 +8×111 +... +(3n-4)1(3n-1) +(3n-1)1(3n+2)
1 2×5
=
1 3
(
1 2
-
1 5
)
1 2×5
=
1 7
(21 +
1 5
)
1 5×8
=
1 3
(
1 5
-
1 8
)
1 8×11
=
1 3
(
1 8
nn
三、6 错位相减求和法：
cn=an·bn ({an}为等差数列,{bn}为等比数列)
四、拆项相消求和法（裂项法）：
1 11 1
cn

anan1

d
( an

)（数列{an}是等差数列） an1
五、倒序相加法: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
练习：
1. 求数列 1 , 4 , 7 , 10 , , (1)n(3n 2) , 前n项和
Sn=
= a1(1-a-an)- na n+1
a(1-an)
nan+1
(1-a ) 2 1-a
三、错位相减求和法
例3 求Sn= a+2a2+3a3+ ... +(n-1)an-1+nan (a= 1)
aSn=a2+2a3+3a4+... +(n-1)an+nan+1
项的特征 cn=an·bn ({an}为等差数列,{bn}为等比数列)
=-21
数列求和方法小结
一、公式求和法: 等差、等比数列
12 22 n2 1 n(n 1)(2n 1)
13 23 33
6
n3

[ n(n

1)]2
二、分组求和法（分组转化2 法）：
c a b a b = + ({ },{ }为等差或等比数列) n n n 12 22 n2 1 n(n1)(2n1)
练习
1.求Sn=122
+
3 2
2
+
4 2
3
+ ...
+
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 n-1
+
n+1 2n
Sn=2 3-12
n2 +3n 3
1 22
4
1 23
（n 1)
1 2n
2.《第二教材》P52
6.试求
1 2
,
3 4
,
5 8
,
7 16
,
的前n项和.
P52 7.求和：Sn

1 a

2 a2

Ｓ＝n(n+1)a/2
2.（2003 上海）设f ( x) 1 ,利用课本 2x 2
中推导等差数列前n项和的方法,求 f (5) f (4) f (0) f (5) f (6) 的值为________________.
1
1
f (n) f (n 1)