西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷 2020离散数学0004
西南大学20年6月[0692]《数学课程标准解读》机考【答案】
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学生答:不是。因为它们的定义域不同
教师:所以说函数的表达与字母无关。使用对应关系刻画函教还有更为深刻的含义,这是因为有些函数很难用解析式表示。侧如,狄利克雷函数,对函数概念的进一步抽象是必要的。
(三)巩固知识,课堂小结
课程名称【编号】:数学课程标准解读【0692】A卷
考试类别:大作业满分:100 分
1、简答题(10分)(注意:本题二选一)
1 《普通高中数学课程标准(2017 年版)》提出的“四基”是什么,谈谈对其的认识。
2《普通高中数学课程标准(2017 年版)》的核心价值取向是什么。
2、论述题(40分)(注意:本题二选一)
这样,函数的定义九完全用数学的符号形式化了,在这个定义中,已经很难找到变量、甚至对应的影子了,进而完全摆脱了函数的物理背景。虽然这种完全形式化的定义更为一般化,却是以丧失数学直观为代价的,因此不适于基础教育阶段的数学教育。
一、1.四基:数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
在我国对数学双击比较公认的释义是:在特定的教育阶段,根据教育目标所确定的学生发展所必需的最基本的数学知识、技能。一般认为,一般认为,数学基本思想指对数学及其对象,数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识。它蕴含在数学知识形成、发展和应用过程中,制约着学科发展的主线和逻辑架构,也是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。数学基本活动经验,是指学生通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。这里有两个关键词体现了其核心要义:一是“活动”,一是“亲身经历”。“四基”不是相互独立和割裂的,而是一个密切联系,相互交融的有机整体,在课程设计和教学活动组织中,应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体家现,是学生数学学科核心素养得以提升的保障。
西南大学20年6月[0350]数学教育学机考大作业参考答案
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西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别:网教2020年5月
课程名称:数学教育学(方法论)【0350】
A卷大作业满分:100 分
要答案:wangjiaofudao
一、简述题(共计30分)
1. 简述教学评价对数学教学的功能。
(10分)
2. 简述数学教学原则中的“渗透数学思想方法原则”(20分)
二、实践与综合运用题(共计70分)
(一)选择以下知识点之一(共计30分)
分数的概念(小学)
平方差公式(初中)
函数的单调性(高中)
(1)分析教材,指出该知识点渗透了哪些数学思想方法(10分)
(2)分析学生学习该知识点的思维障碍或者容易出现的典型错误及原因(10分)(提示:该知识点的“思维障碍”与“典型错误”可选择其中之一进行分析), (3)提出相应的教学策略(10分)
(没有固定评分标准,根据回答情况酌情给分)(二)根据所提出的教学策略,设计简要的教学过程(40分)
答题提示:教学过程设计具有整体性,各环节衔接自如,结构紧凑;在渗透数学思想方法、突破学生思维障碍或纠正典型错误上与上述(一)的回答有一定的联系。
(没有固定评分标准,根据回答情况酌情给分)。
《离散数学》考试试卷(试卷库20卷)及答案

《离散数学》考试试卷(试卷库20卷)及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷(试卷库20卷)试题总分: 100 分考试时限:120 分钟、选择题(每题2分,共20分)1. 设论域为全总个体域,M(x):x 是人,Mortal(x):x 是要死的,则“人总是要死的”谓词公式表示为( )(A ))()(x Mortal x M → (B ))()(x Mortal x M ∧(C )))()((x Mortal x M x →?(D )))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确?( )(A )若A∪B=A∪C,则B =C (B ){a,b}={b,a}(C )P(A∩B)≠P(A)∩P (B)(P(S)表示S 的幂集)(D )若A 为非空集,则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭(A )乘法(B )减法(C )加法(D )y x -4. 设≤><,N 是偏序格,其中N 是自然数集合,“≤”是普通的数间“小于等于”关系,则N b a ∈?,有=∨b a ( )(A )a(B )b(C )min(a ,b)(D ) max(a ,b)5. 有向图D=,则41v v 到长度为2的通路有( )条(A )0 (B )1 (C )2 (D )36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G 有( )个顶点(A )10 (B )4 (C )8 (D )127. 下面哪一种图不一定是树?()(A )无回路的连通图(B )有n 个结点n-1条边的连通图(C )每对结点间都有通路的图(D )连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P :我将去镇上,Q :我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为()(A )P →Q (B )Q →P (C )P Q (D )Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,()不是群。
离散数学考试题及详细参考答案

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城,除非下雨。
c)仅当你走,我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.二、简答题(共6道题,共32分)1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。
(5分)2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
(4分)4.判断下面命题的真假,并说明原因。
(每小题2分,共4分)a)(A B)-C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B|5.设A是有穷集,|A|=5,问(每小题2分,共4分)a)A上有多少种不同的等价关系?b)从A到A的不同双射函数有多少个?6.设有偏序集<A,≤>,其哈斯图如图1,求子集B={b,d,e}的最小元,最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界,(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合,R为实数集合,求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N(写出即可)(6分)三、证明题(共3小题,共计40分)1.使用构造性证明,证明下面推理的有效性。
(每小题5分,共10分)a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x)),x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠ 且B≠ ,关系R满足:<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R,当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
西南大学课程考试 [0181] 语言学导论 大作业(资料)
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西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期:2020年秋季课程名称【编号】:语言学导论【0181】 A卷:大作业:100分________________________________________,Ⅰ. For each question there are four choices. Decide which one would be the best answer to the question, or would best complete the sentence. Write the corresponding letter on your ANSWER SHEET. (20%)1. _______are bound morphemes because they cannot be used as separate words.A. RootsB. StemsC. AffixesD. Compounds2. The relation between the two words “buy” and “sell” can be described as____.A. gradable antonymyB. converse antonymyC. complementary antonymyD. synonymy3. The last phoneme in the word “hang” is a_______.A. glottalB. palatalC. dentalD. nasal4. Three places of articulation that involve the teeth and/or the lips are_____.A. palatal, velar, glottalB. bilabial, labiodental, interdentalC. stop, fricative, affricativeD. nasal, lateral, semi vowel5. The four major modes of semantic change are_______.A. extension, narrowing, elevation and degradationB. extension, generalization, elevation and degradationC. extension, narrowing, specialization and degradationD. extension, elevation, amelioration and degradation6. Language serves the _______ function when it is used to talk about language itself.A. recreationalB. metalingualC. phaticD. performative7. Identify the morphemes in the word “unimaginative”________.A. un-im-ag-in-at-iveB. un-imaginativeC. un-imagin-ativeD. unimagin-ative8. The Cooperative Principle that language users are believed to follow was initially proposed by_________.A. GriceB. AustinC. ChomskyD. Saussure9. The Whorf Hypothesis claims that_______.A. language is full of “rich points”, whose meanings are difficult to translate into another languageB. abstract terms are easily translatable .C. accents are part of identityD. language influences culture-specific ways of knowing10. The syllabic structure of the word “achieved” is ______.A. VCCVCCB. VCVCCC. VCVVCVCD. VCCVCVC5Ⅱ. Decide whether each of the following statements is True or False.11. Cultural transmission refers to the study of the language development or change over time.12. Compounds are words formed by combining parts of other words.13. Arbitrariness refers to the fact that there is no logical connection between the signifier and the signified of a sign.14. Pragmatics is the study of meaning in context or the study of language in use.15. Blending is a way by which a word is produced by stringing together words.16. Ultimate constituents are the smallest grammatical units obtained through binary segmentation17. Diachronic linguistics studies the details of the linguistic system must be learned anew by each speaker.18. Displacement refers to the fact that language can used to talk about things that are absent in time or space.19. Creole is a language formed when a pidgin has become the primary language of a speech community.20. Antonymy refers to the sameness of meaning between words.Ⅲ. Reading comprehension. Read the following passage and answer each of the questions based on it. Choose the correct answer write the corresponding letter on the ANSWER SHEET. (20%)Language learning begins with listening. Individual children vary greatly in the amount of listening they do before they start speaking, and late starters are often long listeners. Most children will “obey” spoken instructions some time before they can speak, though the word “obey” is hardly accurate as a description of the eager and delighted cooperation usually shown by the children. Before they can speak, many children will also ask questions by gesture and by making questioning noises. Any attempt to trace the development from the noises babies make to the first spoken words leads to considerable difficulties. It is agreed that they enjoy making noises, and that during the first few months one or two noises sort themselves out as particularly indicative of delight, distress, sociability, and so on. But since these cannot be said to show the baby’s intention to communicate, they can hardly be regarded as early forms of language. It is agreed, too, that from about three months they play with sounds for enjoyment, and that by six months they are able to add new sounds to their store. This self-imitation leads on to deliberate imitation of sounds made or words spoken to them by other people. The problem then arises as to the point at which one can say that these imitations can be considered as speech. It is a problem we need not get out teeth into. The meaning of a word depends on what a particular person means by it in a particular situation; and it is clear that a child means by a word will change as the gains more experience of the world. Thus the use, at say even months, of “mama” as a greeting for his mother can not be dismissed as a meaningless sound simply because he also uses it at other times for his father, his dog, or anything else he likes.Playful and apparently meaningless imitation of what other people say continues after the child has begun to speak for himself. I doubt, however, whether anything is gained when parents cash in on this ability in an attempt to teach new sounds.21. Before children start speaking, they ______.A. need equal amount of listeningB. need different amounts of listening,C. are all eager to cooperate with the adults by obeying spoken instructionsD. can’t understand and obey the adult’s oral instructions22. Children who start speaking late _______.A. may have problems with their hearingB. probably do not hear enough language spoken around themC. usually pay close attention to what they hearD. often take a long time in learning to listen properly23. A baby’s first noise is a(n) ______.A. reflection of this moods and feelingsB. early form of language'C. sign that he means to tell you somethingD. imitation of the speech of adults24. The problem of deciding at what point a baby’s imitations can be considered as speech is _______A. important because words have different meanings for different people8B. not especially important because the change-over takes place graduallyC. one that can never be properly understood because the meaning of words changes with ageD. one that should be completely ignored because children’s use of words is often meaningless25. It is implied in the passage that ______.A. parents can never hope to teach their children new soundsB. children no longer imitate people after they begin to speakC. children who are good at imitating learn new sounds more quickly.D. even after they have learnt to speak children still enjoy imitatingⅣ. Answer the following questions, each in 120 to 200 words. Write your answer on the ANSWER SHEET. (40%)26. How is linguistics different from traditional grammar? (20%)27. What have you learned from the course of linguistics? (20%)(Clue: You can say whatever, linguistic or non-linguistic, you have learned from the course. But make sure your answer is clear and logical. You may answer the question in Chinese, but this may result in a loss of marks.)。
西南大学20年6月[0917]《高等数学》机考【答案】
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西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期:2020年春季课程名称【编号】:高等数学【0917】 A卷考试类别:大作业满分:100 分(一)计算题(本大题共9小题,任意选做4个小题,每小题20分,共80分)1. 求.2. 求不定积分.3. 求定积分.4. 求函数的导数.5. 求函数的极值.6. 求函数的二阶偏导数及.7. 计算函数的全微分.8.求微分方程的通解.9. 计算,其中是抛物线及直线所围成的闭区域.(二)证明题(本大题共1小题,必做,共20分)1. 证明方程在区间(-1,0)内有且只有一个实根.计算题;1(1-x)^5*(1+x+x^2)^5=(1-x)^4(1+x+x^2)^4*(1-x)(1+x+x^2)=[(1-x)(1+x+x^2)]^4*(1-x)(1+x+x^2)=(1-x^3)^4*(1-x)(1+x+x^2)=[(1-x^3)^2]^2*(1-x)(1+x+x^2)=[(1-x^3)^2]^2*(1-x^3)=(1-X^3)^52∫x^4/(1+x²)² dx=∫[1+1/(1+x²)²-2/(1+x²)]dx,用综合除法=∫dx+∫dx/(1+x²)²-2∫dx/(1+x²)在第二项,令x=tanp,dx=sec²pdp=∫dx+∫sec²p/(1+tan²p)²-2∫dx/(1+x²)=∫dx+∫sec²p/(sec^4p)-2∫dx/(1+x²)=∫dx+∫cos²pdp-2∫dx/(1+x²)=∫dx+∫(1+cos2p)/2 dp-2∫dx/(1+x²)=∫dx+(1/2)∫dp+(1/4)∫cos2pd(2p)-2∫dx/(1+x²)- 1 -=x+(1/2)p+(1/4)sin2p-2arctanx+C=x+(1/2)p+(1/2)sinpcosp-2arctanx+C=x+(1/2)arctanx+(1/2)[x/√(1+x²)][1/√(1+x²)]-2arctanx+C=x-(3/2)arctanx+(1/2)[x/(1+x²)]=x+x/[2(1+x²)]-(3/2)arctanx+C4y′=2(1+cos2x)(1+cos2x)′=2(1+cos2x)(-sin2x)(2x)′=4(1+cos2x)(-sin2x)=-4sin2x-2sin4x5 令f′(x)=0,解得x1=−1,x2=0,x3=1当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表x (−∞,−1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)f′(x) − 0 − 0 + 0 +f(x) 减无极值减极小值增无极值增当x=0时,f(x)有极小值,极小值是0,无极大值二证明题- 2 -。
0004《离散数学》
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定理2设G是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,则v=e+r=2(欧拉公式)
解:Petersen图中,v=10,e=15,从图上可以看出,每个面由五边围城,根据定理7-5.1,有限平面图各面次数之和等于边数的两倍。
如果Petersen图是平面图,则2e=5r
所以r=2e/5=6
但是v-e+r=10-15+6=1
这说明Petersen图不满足欧拉公式,故它不是平面图
2.谓词逻辑以数学命题、数学理论的形式化及谓语推理为研究对象。在程序的正确证明、数学定理的机器证明以及智能机的语言等方面都有直接的应用。
解:M( ): 是人(特性谓词)F( ): 是要死的
命题(公式)符号化为:
5.将平面图G的一个边不交叉的图画在一个平面上,称为图G的一个平面表示。也叫做相应于G的地图。
3.请给出群的定义,并验证:非0实数集合R- {0}关于数的乘法运算构成群.
4.请给出无向连通图的邻的节点 和 有 ,则 是连通图.
5.请给出平面图的定义,并利用Euler公式证明: Petersen图是非平面图.
二、大作业要求
大作业共需要完成三道题:
第1题必做,满分30分;
第2-3题选作一题,满分30分;
第4-5题选作一题,满分40分.
1.集合A、B间的二元关系很简单,它是由A×B的子集定义的:设S是A×B的一个子集,对于任意的 A×B中的元素(a,b) ,则称a与b具有一个二元关系R,记为aRb;当(a,b)S时,a与b不具有二元关系R。两个集合之间的关系:映射关系模同余关系的性质:加法的交换性。
2020年春季西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷
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2020年春季西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期: 2020年春季课程名称【编号】:教育评价与测量【0374】 A卷考试类别:大作业满分:100 分论述题(五选二,每题50分,共100分。
如多做则以选做的前两道为准,其他答案不给分)1、教育测量与评价实现教育判断功能的具体内容。
2、教育目标表述得当的具体要求。
3、制订教育评价表的基本原则。
4、课业考评改革必须实现的转变。
5、现代教育测量与评价的发展趋势。
2、教育目标表述得当的具体要求。
答:表述得当的教育目标通常是一个表达学生行为的陈述句,包括三个基本部分:第一是主语,即教育的对象。
第二是谓语,表述学生行为的动词,即行为目标。
最后就是宾语,指目标的内容。
除此之外还要做到下列要求:(1)以学生为行为主体。
教育目标所表述的应是学生学习结果或行为,而不应该陈述教育工作者该做什么。
(2)表述明确、具体。
表述明确、具体,不模棱两可,可以观察和测量尽量避免使用含糊的和不切实际的语言陈述目标。
(3)反应学习结果的层次性。
教育目标有不同的层次水平,低层次的目标是高层次目标的基础和准备,高层次目标是低层次目标的发展和延伸。
(4)表达教育工作者意图。
教育目标的表述应能用来成功地向其他人表达或交流教育工作者自己的意图。
3、制订教育评价表的基本原则。
答:教育规律性和导向性原则;科学性和可操作性原则;超前性和发展性原则。
5、现代教育测量与评价的发展趋势。
答:教育测量与评价的政治性得到加强;教育测量与评价的教育功能得到强化;教育测量与评价的理论研究得到突破性进展;计算机技术的发展提高了测验的效率;测量理论与认知心理学结合更加紧密。
西南大学20年6月[0044]《线性代数》机考【答案】
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一、
1答:线性方程组线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组)。
2、矩阵相乘,必须满足矩阵A的列数与矩阵B的函数想等,或者矩阵A的行数与矩阵B的
列数相等,如下表示:
矩阵乘积形式表示如下:
3、解:过程如下:
二、1、(a)设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得:
AB=BA=E。
则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。
注:E为单位矩阵。
(b)阐述求逆矩阵的初等行变换方法:
用初等变换求逆矩阵只要程式化地一步一步做下去,就会得到结果。
在要求逆的n阶矩阵右边写一个n阶单位阵,然后对这个n×2n阶矩阵按下面程式进行行
初等变换(不能作列初等变换):
将第一行第一列元素化为1,将第一列其余元素化为0;
将第二行第二列元素化为1,将第二列其余元素化为0;
…………
将第n行第n列元素化为1,将第n列其余元素化为0。
这时只要把右边的n阶方阵写下来,就是所要求的逆矩阵。
三、1、
(a)
100
126
113
λ
λ
λ
-
-
-
=(γ-1)(γ-2)(γ-3)-6(γ-1)=γ(γ-1)(γ-5)
(b):
解:矩阵
100
126
113
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
肥东特征为0,1,5,γ=1对应的特征向量为[]。
0004]《离散数学》 20年西南大学考试题库答案
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西南大学网络与继续教育学院课程代码: 0004 学年学季:20192单项选择题1、整数集合Z关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ).有零因子环.域和整环.整环.域2、设p:我们划船,q:我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( ) ....3、设集合A中有4个元素,则A上的等价关系共有( )个. 14. 16. 15. 134、设R⊆A⨯A,S ⊆A⨯A,则下述结论正确的是( )....5、....6、设集合A 中有4个元素,则A 上的划分共有( )个. 15. 14. 13 .167、. B. 幂等律 . 交换律. 结合律.消去律8、设集合A 中有99个元素,则A 的子集有( )个.. 100. 99 .9、域与整环的关系为( ). A. 域是整环 . D. 域不是整环. 整环不是域 .整环是域10、不同构的(5, 3)简单图有( )个.2. 3. 4. 511、下列偏序集,( )是格....12、下列联结词中,不满足交换律的是( )....13、设A, B, C是集合,则下述论断正确的是( ).C....14、集合A= {1, 2, 3, 4}上的关系R= {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3)}, 则下列不是t(R)中元素的是( ) . (1, 1). (1, 2). (1, 3). (1, 4)15、具有4个结点的非同构的无向树的数目是( ). 2. 3. 4. 516、设集合A中有4个元素,则A上的划分共有( )个.. 13. 14. 15. 1617、....18、.偏序关系.等价关系.相容关系.以上答案都不对19、.偏序.等价.相容.线性序20、设集合A中有99个元素,则A的子集有( )个... 99.. 10021、设集合A中有4个元素,则A上的等价关系共有( )个.. 13. 14. 15. 1622、集合A= {1, 2, …, 10}上的关系R ={(x, y)|x + y = 10, x, y ∈A}, 则R的性质是( ) .自反的.对称的.传递的、对称的.反自反的、传递的23、....24、设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(x, y)|x, y A且x + y = 6},则R的性质是( ) .对称的、传递的.反自反的、传递的.自反的.对称的25、. F. 传递.等价.对称.自反26、在谓词逻辑中,下列各式中不正确的是( )....27、. 0. x. y .1判断题28、任意整数都是0的因数.. A.√.B.×主观题29、设|X | = n , P (X )为集合X 的幂集, 则| P (X )| = ________. 在代数结构(P (X ), ∪)中,则P (X ) 对∪运算的单位元是________, 零元是________正确答案是:2n ; ; X30、不同构的5阶无向树有( )棵,不同构的5阶根树有( )棵正确答案是:3; 931、正确答案是:32、在同构意义下,3阶群有( )个,4阶群有( )个,5阶群有( )个正确答案是:1; 2;133、设集合A = {1, 2, 3},则A 上的置换共有( )个正确答案是: 634、正确答案是:2;3;235、集合A上的等价关系R必满足( 、、)正确答案是:自反性;对称性;传递性36、若G有8条边,3度和5度顶点各1个,其余都是2度项点,则G中有______个节点.正确答案是:6<\/span>37、所有6的因数组成的集合为( ).正确答案是:{-1,-2,-3,-6,1,2,3,6}.38、对于任意集合A, 若|A| = n, 则A的幂集合P(A)有( )个元素.正确答案是:2n<\/sup><\/em><\/span>39、设A = {1, 2, 3, 4},A上的二元关系R = {(1,2),(2,3),(3,2)},S = {(l,3),(2,3),(4,3)},则 (R - S)-1 = {___________}.正确答案是:{(2, 1), (2, 3)}.<\/span>40、有限域的元素个数为( ), 其中( )且( )正确答案是:p n;p为素数;n为正整数41、正确答案是:是<\/span>42、( )无向图称为无向树.正确答案是:不含圈的连通<\/span>.<\/span><\/span><\/p>43、三个元素集合的划分共有( )种.正确答案是:544、设A = {a, b}, B = {2, 4},则A × B = {____ _______}.正确答案是:{(a, 2), (a, 4), (b, 2), (b, 4)}.45、正确答案是:Æ, {1}, {3}.46、正确答案是:47、集合A上的等价关系R必满足( 、、 ).正确答案是:自反性;对称性;传递性48、正确答案是:49、设集合A= {1, 2, 3},则A上的置换共有( )个.正确答案是:650、正确答案是:51、设G是(7, 15)简单平面图,则G一定 ( )连通图,其每个面恰由( )条边围成,G的面数为( )正确答案是:是;3;1052、任意6阶群的平凡子群一定是( )群正确答案是:Abel53、若n个人,每个人恰有3个朋友,则n必为偶数,试证明之正确答案是:54、已知A={{Æ}, {Æ, 1}},B= {{Æ, 1}, {1}}, 计算A∪B, A+B,A的幂集P(A)正确答案是:55、设G是一棵无向树且有2个4度节点,3个3度节点,其余均为叶节点.(1)求出该无向树共有多少个节点.(2)画出两棵不同构的满足上述要求的无向树.正确答案是:56、非零实数集合R*关于乘法运算“⋅”所构成的代数结构(R*, ⋅)与实数集合R关于加法运算+所构成的代数结构(R, +)同构吗,为什么?正确答案是:57、画出所有不同构的5阶无向树.正确答案是:58、画出所有不同构的4阶根树.正确答案是:59、设R是集合A上自反和传递的关系,试证明:R R=R 正确答案是:60、设G是(6,12) 的简单连通平面图,则G的面由多少条边围成,为什么?正确答案是:。
(9102)《高等数学》西南大学20年6月机考限时答案
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西南大学培训与继续教育学院课程一、单项选择题(本大题共15小题,每道题4.0分,共60.0分)1.设()且,则在处 ( )A..B..C..D..2.函数在处( )A.不连续B.连续不可导C.连续且仅有一阶导数D.连续且有二阶导数3.曲线在点处切线斜率等于( )A.8B.12C.-6D.64.设时,与是同阶无穷小,则为( )A.1B.2C.3D.45.设在处可,则( )A..B..C..D..6.函数的反函数是( )A..B..C..D..7.设有二阶连续导数,且,则 ( )A..B..C..D..8.两个无穷小量与之积仍是无穷小量,且与或相比( )A.是高阶无穷小B.是同阶无穷小C.可能是高阶,也可能是同阶无穷小D.与阶数较高的那阶同阶9.若在区间上二次可微,且,,(),则方程在上 ( )A.没有实根B.有重实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根10.任意给定,总存在,当时,,则( )A..B..C..D..11.设在上有定义,函数在点左、右极限都存在且相等是函数在点连续的( )A.充分条件B.充分且必要条件C.必要条件D.非充分也非必要条件12.设在内连续,且,则在点处( )A..B..C..D..13.已知函数在任意点处的增量且当时,是的高阶无穷小,,则( )A..B..C..D..14.下列函数中在上满足拉格朗日定理条件的是( )A..B..C..D..15.在下列四个函数中,在上满足罗尔定理条件的函数是( )A..B..C..D..二、计算题(本大题共4小题,每道题5.0分,共20.0分)1.2.求下列函数的自然定义域3.4.求在点(1, 2)处的偏导数三、证明题(本大题共1小题,每道题20.0分,共20.0分) 1.。
最新 2020年离散数学试卷及答案(4)

1、 填空 10% (每小题 2分)2、 若P,Q,为二命题,Q P →真值为0 当且仅当 .3、 命题“对于任意给定的正实数,都存在比它大的实数”令F(x):x 为实数,y x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 . 4、 谓词合式公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式为 . 5、 将量词辖域中出现的 和指导变元交换为另一变元符号,公式其余的部分不变,这种方法称为换名规则.6、 设x 是谓词合式公式A 的一个客体变元,A 的论域为D,A(x)关于y 是自由的,则被称为存在量词消去规则,记为ES.二、 选择 25% (每小题 2.5分)1、 下列语句是命题的有( ).A 、 明年中秋节的晚上是晴天;B 、0>+y x ;C 、0>xy 当且仅当x 和y 都大于0;D 、我正在说谎.2、 下列各命题中真值为真的命题有( ).A 、 2+2=4当且仅当3是奇数;B 、2+2=4当且仅当3不是奇数;C 、2+2≠4当且仅当3是奇数;D 、2+2≠4当且仅当3不是奇数;3、 下列符号串是合式公式的有( )A 、Q P ⇔ ;B 、Q P P ∨⇒ ;C 、)()(Q P Q P ⌝∨∧∨⌝;D 、)(Q P ↔⌝. 4、 下列等价式成立的有( ).A 、P Q Q P ⌝→⌝⇔→ ;B 、R R P P ⇔∧∨)( ;C 、 Q Q P P ⇔→∧)(;D 、R Q P R Q P →∧⇔→→)()(. 5、 若n A A A 21,和B 为wff,且B A A A n ⇒∧∧∧ 21则( ). A 、称n A A A ∧∧∧ 21为B 的前件; B 、称B 为n A A A 21,的有效结论C 、当且仅当F B A A A n ⇔∧∧∧∧ 21;D 、当且仅当F B A A A n ⇔⌝∧∧∧∧ 21. 6、 A,B 为二合式公式,且B A ⇔,则( ).A 、B A →为重言式; B 、**B A ⇒;C 、B A ⇒;D 、**B A ⇔; E 、B A ↔为重言式. 7、 “人总是要死的”谓词公式表示为( ). (论域为全总个体域)M(x):x 是人;Mortal(x):x 是要死的. A 、)()(x Mortal x M →; B 、)()(x Mortal x M ∧C 、))()((x Mortal x M x →∀;D 、))()((x Mortal x M x ∧∃8、 公式))()((x Q x P x A →∃=的解释I 为:个体域D={2},P(x):x>3, Q(x):x=4则A 的真值为( ).A 、1;B 、0;C 、可满足式;D 、无法判定. 9、 下列等价关系正确的是( ). A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀; B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃; C 、Q x xP Q x P x →∀⇔→∀)())((; D 、Q x xP Q x P x →∃⇔→∃)())((. 10、下列推理步骤错在( ).①))()((x G x F x →∀ P ②)()(y G y F → US ① ③)(x xF ∃ P ④)(y F ES ③ ⑤)(y G T ②④I ⑥)(x xG ∃EG ⑤A 、②;B 、④;C 、⑤;D 、⑥三、 逻辑判断30%1、 用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ↔↔→∧→=的类型.(10分)2、 下列问题,若成立请证明,若不成立请举出反例:(10分)(1) 已知C B C A ∨⇔∨,问B A ⇔成立吗? (2) 已知B A ⌝⇔⌝,问B A ⇔成立吗?3、 如果厂方拒绝增加工资,那么罢工就不会停止,除非罢工超过一年并且工厂撤换了厂长.问:若厂方拒绝增加工资,面罢工刚开始,罢工是否能够停止.(10分)四、计算10%1、 设命题A 1,A 2的真值为1,A 3,A 4真值为0,求命题)()))(((421321A A A A A A ⌝∨↔⌝∧→∨的真值.(5分)2、 利用主析取范式,求公式R Q Q P ∧∧→⌝)(的类型.(5分)五、谓词逻辑推理 15%符号化语句:“有些人喜欢所有的花,但是人们不喜欢杂草,那么花不是杂草”.并推证其结论.六、证明:(10%)设论域D={a , b , c},求证:))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∀⇒∀∨∀.一、 填空 10%(每小题2分)1、P 真值为1,Q 的真值为0;2、)),()(()0,()((x y L y F y x L x F x ∧∃→∧∀;3、))()((x Q x P x ∨⌝∃;4、约束变元;5、)()(y A x xA ⇒∃,y 为D 的某些元素.二、 选择 25%(每小题2.5分)三、 逻辑判断 30%1、(1)等值演算法T Q P Q P Q P P Q Q P A ⇔↔↔↔⇔↔↔→∧→=)()()())()(((2)真值表法所以A 为重言式. 2、(1)不成立.若取T C B C A T T B T T A TC ⇔∨⇔∨⇔∨⇔∨=有则但A 与B 不一定等价,可为任意不等价的公式. (2)成立. 证明:T B A BA ⇔⌝↔⌝⌝⇔⌝充要条件即:BA AB B A B A A B A B B A A B B A T ↔⇔→∧→⇔∨⌝∧∨⌝⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝→⌝∧⌝→⌝⇔)()()()()()()()(所以T B A ⇔↔ 故 B A ⇔.3、解:设P :厂方拒绝增加工资;Q :罢工停止;R 罢工超壶过一年;R :撤换厂长前提:R P Q S R P ⌝⌝→∧⌝→,,))(( 结论:Q ⌝①))((Q S R P ⌝→∧⌝→ P ②PP ③Q S R ⌝→∧⌝)( T ①②I ④R ⌝ P ⑤S R ⌝∨⌝ T ④I ⑥)(S R ∧⌝ T ⑤E ⑦Q ⌝T ③⑥I罢工不会停止是有效结论. 四、计算 10%1、 解:1111)01(1)01(1()11()))001(1(=↔=↔∨=↔→∨=∨↔∧→∨2、FR Q Q P R Q Q P R Q Q P R Q Q P ⇔∧∧⌝∧⇔∧∧⌝∧⇔∧∧∨⌝⌝⇔∧∧→⌝)()()()()(它无成真赋值,所以为矛盾式.五、谓词逻辑推理 15%解:y x y x H x x G x x F x x M 喜欢是杂草是花是人:),(;:)(;:)(;:)())),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∃ ))),()(()((y x H y G y x M x ⌝→∀→∀ ))()((x G x F x ⌝→∀⇒证明:⑴))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∃ P ⑵)),()(()(y a H y F y a M →∀∧ ES ⑴ ⑶)(a MT ⑵I ⑷)),()((y a H y F y →∀T ⑵I⑸))),()(()((y x H y G y x M x ⌝→∀→∀ P ⑹)),()(()(y a H y G y a M ⌝→∀→ US ⑸ ⑺)),()((y a H y G y ⌝→∀ T ⑶⑹I ⑻))(),((y G y a H y ⌝→∀ T ⑺E ⑼),()(z a H z F → US ⑷ ⑽)(),(z G z a H ⌝→ US ⑻ ⑾)()(z G z F ⌝→ T ⑼⑽I ⑿))()((x G x F x ⌝→∀ UG ⑾四、 证明10%))()(()()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()()()(()()()(()()(x B x A x c B c A b B b A a B a A c B c A b B c A a B c A c B b A b B b A a B b A c B a A b B a A a B a A c B b B a B c A b A a A x xB x xA ∨∀⇔∨∧∨∧∨⇒∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨∧∨⇔∧∧∨∧∧⇔∀∨∀。
最新0004《离散数学》-答案
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假
真
真
假
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假
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真
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25.请给出递归关系的思想,并解答下述问题:某人举步上楼梯,每步跨1个台阶或2个台阶,设上n个台阶的不同方式数为an.求出关于an的初始条件以及递归关系.
解:设有n阶台阶,既然一次只能走一步或2步或3步,那么假设现在仅剩下最后一步要走,有三种情况:一只需要走一步,这时已经走了(n-1)阶,走法与走n-1阶相同,有f(n-1)阶走法;二只需要走两步,同上分析有f(n-2);...
根据调查资料分析:大学生的消费购买能力还是有限的,为此DIY手工艺品的消费不能高,这才有广阔的市场。
二、大学生DIY手工艺制品消费分析
28、
29、十几年的学校教育让我们大学生掌握了足够的科学文化知识,深韵的文化底子为我们创业奠定了一定的基础。特别是在大学期间,我们学到的不单单是书本知识,假期的打工经验也帮了大忙。大作业要求
设 是一棵无向树且有3个3度节点,1个2度节点,其余均为1度节点.
(1)求出该无向树共有多少个节点.
“碧芝”的成功归于他的唯一,这独一无二的物品就吸引了各种女性的眼光。(2)画出两棵不同构的满足上述要求的无向树..
解:(1)设该无向树G有χ个叶节点,于是G共有2+3+χ=χ+5个节点。根据无向树的性质知,G有χ+4条便,由握手定理有
(3)个性体现
据统计,上海国民经济持续快速增长。03全年就实现国内生产总值(GDP)6250.81亿元,按可比价格计算,比上年增长11.8%。第三产业的增速受非典影响而有所减缓,全年实现增加值3027.11亿元,增长8%,增幅比上年下降2个百分点。
【西南大学】《0004》大作业(参考答案)
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= {1,2,3,4,5,6}上关系R 的关系图,试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.2西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别:网教专业:计算机教育 2019年12月课程名称【编号】:离散数学【0004】B 卷大作业满分:100分一、大作业题目134563.请给出谓词逻辑的研究对象,并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化.答:研究对象:个体词,谓词,量词,命题符号化;,1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义.设R 是实数集合,f :R ×R →R ×R ,f (x ,,y ) = (x +y ,x -y ).证明f 是双射.答:A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的任何一个元素x,在集合B 中都有唯4.利用真值表求命题公式(p →(q →r ))↔(r →(q →p ))的主析取范式和主合取范式.5.求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射.记做f:A →B.并称y 是x 的象,x 是y 答:的原象.对任意的(x,y))∈R*R,f((x,y))=(x+y,x-y),二、大作业要求假设存在另一(x1,y1,)满足f((x1,y1))=(x1+y1,x1-y1)=(x+y,x-y),大作业共需要完成三道题:第1题必做,满分30分;即:x1+y1=x+y,x1-y1=x-y第2-3题选作一题,满分30分;第4-5题选作一题,满分40分.解这个关于x1,y1的线性方程组x1=x,y1=y 对任意的(x,y)∈R*R 存在(a,b)∈R*R,( a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 )满足f((a,b))=(x,y),所以f 是满射所以f 是双射2.设R 是集合A 上的关系,请给出R 的传递闭包t (R )的定义.下图给出的是集合A所以f 是入射。
西南大学培训与继续教育试题卷 离散数学004 答案
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西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期:2020年春季 课程名称【编号】:离散数学【0004】 A 卷考试类别:大作业 满分:100 分 1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义. 设R 是实数集合,f : (0,1) → R, xx x f 111)(--=, 证明f 是双射. 答:任意给定两个集合A 和B ,若存在对应法则f ,使得对于任意x ∈ A ,均存在唯一的y ∈B 与它对应,则称f 是集合A 到B 的一个映射,或称其为A 到B 的一个函数,记为f:A →B 。
对于任意R ×R ,若,于是,进而且。
由此可得,,因而,故f 是单射。
对于任意R ×R ,取,容易得知。
由上可知,f 是双射。
2. 设R 是集合A 上的关系,请给出R 的传递闭包t (R )的定义. 下图给出的是集合A = {1,2,3,4,5}上关系R 的关系图,试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.3. 请给出谓词逻辑的研究对象,并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化.答:研究对象:个体词,谓词,量词,命题符号化4.解释命题公式真值表的含义,并利用真值表求命题公式()())()(p q r r q p →→↔→→的主合取范式.5. 给出叶赋权m 叉树的定义,并求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树. 答:定义:对于2, 3, 5, 7, 8,先组合两个最小的权2+3=5, 得5, 5, 7, 8;在所得到的序列中再组合5+5=10, 重新排列后为7, 8, 10;再组合7+8=15, 得10, 15;最后组合10+15=25。
所求的最优2叉树树如下:12345二、大作业要求大作业共需要完成三道题:第1题必做,满分30分;第2-3题选作一题,满分30分;第4-5题选作一题,满分40分.。
西南大学《离散数学》网上作业题及答案
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[0004]《离散数学》网上作业题答案第1次作业[论述题]第1次作业一、填空题1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个,其中有( )单射,( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子,F (x ): x 是闪光的,则命题“金子都是闪光的,但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合,则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( ),零元是( ),P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 6阶非Abel 群的2阶子群共有( )个,3阶子群共有( )个,4阶子群共有( )个.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图,当n ≥ ( )时是Hamilton 图,当n ( )时是平面图.二、单选题1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}. (C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}. 2. 设R 是集合A 上的偏序关系,则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对 3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧. (C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝. 4.下列代数结构(G , *)中,( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法. 5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有 (A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、设A 和B 是集合,使B B A =-成立的充要条件是什么,并给出理由. 四、设R 和S 是集合A 上的对称关系,证明S R 对称的充要条件是R S S R =. 五、分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.六、设G 是(n , m )无向图,若n m ≥,证明G 中必存在圈.参考答案:第1次作业答案一、1. 32,0,30.2.))()(())()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀.3.∅,X ,X .4. 3,1,0.5.n 为奇数,3,4≤n .二、1(C); 2(B); 3(D); 4(D); 5(A). 三、证 ==⇔=-B A B B A ∅. (⇐)显然.(⇒)因为B A B A ⋂=-,根据B B A =-得B B B B A ⋂=⋂⋂)(,于是B = ∅,进而A = ∅.四、解 由于R 和S 是对称的,所以S S R R==--11,.(⇐)因为R S S R =,两边取逆得11)()(--=R S S R ,而S R S R R S ==---111)(.所以S R S R =-1)(,因此S R 是对称关系.(⇒)由于S R 对称,所以S R S R =-1)(. 而R S R S S R ==---111)(,因而R S S R =.五、解 (1)等值演算法 A 的主合取范式:))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝== ))(())((r q p p q r ∨∨⌝→∨⌝∨⌝ = )())((r q p p q r ∨∨⌝∨∨⌝∨⌝⌝= )()(r q p p q r ∨∨⌝∨⌝∧∧ = r q p ∨∨⌝(由吸收律得到). 于是,A 的主析取范式为))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝== ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p)()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.(2)真值表法命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的真值表如下:由表可知,))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主合取范式为r q p A ∨∨⌝=.A 的主析取范式为A = ∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝)()()()(r q p r q p r q p r q p)()()(r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧.七、证(反证)假设G 中不含圈. 设G 有k (k ≥ 1)个连通分支k G G G ,...,,21,其节点个数分别为k n n n ,...,,21,其边数分别为k m m m ,...,,21. 这时,i G 为树,根据树的基本性质有1-=i i n m )1(k i i ≤≤. 进而n k n n m m ki i k i i <-=-==∑∑==)1(11,与已知n m ≥矛盾. 证毕.第2次作业[论述题]第2次作业一、填空题1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ,{a }( )B ,{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { },=R R { }.3. 在同构意义下,3阶群有( )个,4阶群有( )个,5阶群有( )个.4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构,其元素个数为( ), 其中( )是B 的所有原子组成的集合.5. 不同构的5阶无向树有( )棵,不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下:对于任意x , y ∈ Q ,y x * = x + y – xy ,则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ,则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车,B (x ): x 是汽车,F (x , y ): x 比y 快,则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃. (B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃. (C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.G SG R(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). (A)域 (B)域和整环 (C)整环 (D) 有零因子环5.设G 是简单图,G 是G 的补图,若G G ≅,则称G 为自补图. 5阶不同构的自补图个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、设C B g B A f →→:,:, 若g f 是单射,证明f 是单射,并举例说明g 不一定是单射.四、设A = {a , b , c , d }上的关系R = {(a , b ), (b , d ), (c , c ), (a , c )}, 画出R 的关系图,并求出R的自反闭包r (R )、对称闭包s (R )和传递闭包t (R ).五、设G 是(6,12) 的简单连通平面图,则G 的面由多少条边围成,为什么? 六、任意6个人中,一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.参考答案:第2次作业答案一、1. ∈,∈,⊆.2.{(1,5), (3, 2), (2, 5)}, {(4, 2), (3, 2), (1, 4)}, {(1, 2), (2, 2)}.3. 1, 2, 1.4. ,,,),((⋂⋃X P ∅, X ), 2n , n .5. 3, 9.二、1(D); 2(B); 3(A); 4(C); 5(C).三、证 对于任意A x x ∈21,,若)()(21x f x f =,则))(())((21x f g x f g =,于是))(())((21x f g x g f =. 由于g f 是单射,所以21x x =,因此f 是单射.例如,A = {a , b }, B = {1, 2, 3}, C = {α, β, γ}, f = {(a , 1), (b , 2)}, g = {(a , α), (b , β), (c , β)}, 这时)},2(),,1{(βα=g f ,它是A 到C 的单射,但g 不是单射. 四、解 R 的关系图如下:}),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(d d b b a a c a c c d b b a R r =, }),(),,(),,(),,(),,(),,(),,{()(a c b d a b c a c c d b b a R s =. }),(),,(),,(),,(),,{()(d a c a c c d b b a R t =.五、证 根据Euler 公式,G 的面数为r = 12 – 6 +2 = 8. 由握手定理知,∑=⋅=vv 24122)deg(,而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成,所以G 的每个面恰由3条边围成.六、证 用6个节点分别表示这6个人,可得6阶完全无向图6K . 若两个人认识,则在相应的两个节点所在的边上涂上红色,若两个人不认识,则在相应的两个节点所在的边上涂上蓝色.对于任意的6K 的节点v ,因为5)deg(=v ,与v 邻接的边有5条,当用红、蓝颜色去涂时,至少3条边涂的是同一种颜色,不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ,32v v ,31v v 是红色,则存在红色3K ,这意味着有3个人相互认识; 若21v v ,32v v ,31v v 都是蓝色,则存在蓝色3K ,这意味着有3个人相互不认识. 结论成立.第3次作业[论述题]第3次作业 参考答案:第3次作业一、1.{1, 3, {1, 2}, {3}};{{2, 3}, {1}};{1, 3, {1, 2}, {3}, {2, 3}, {1}}.2.0,1,0.3. ))()((x O x Z x →⌝∀.4. p n , p 为素数,n 为正整数.abd5. 是,3,10.二、1(B); 2(C); 3(D); 4(C); 5(A).三、证 对于任意C z ∈,由于g f 是满射,必存在A x ∈,使得z x f g x g f ==))(())(( . 令B x f y ∈=)(,有z y g =)(,因此,g 是满射.设},,{c b a A =,}3,2,1{=B ,},{βα=C ,令B A f →:,,:C B g →3)(,3)(,2)(===c f b f a f ,βαβ===)3(,)2(,)1(g g g .这时,α==))(())((a f g a g f ,β==))(())((b f g b g f ,显然有},{)(ran βα=g f ,g f 是满射. 而ran f = {2, 3},f 不是满射.四、证 (1)对于任意x ∈ Z , 由于x x x x +=+22, 所以(x , x ) ∈ R , 即R 是自反的. (2)因为(0, 0) ∈ R , 因此R 不是反自反的.(3)对于任意x , y ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R , 则y y x x +=+22, 于是x x y y +=+22, 进而(y , x ) ∈ R , 即R 是对称的.(4)因为(2, -3) ∈ R 且(-3, 2) ∈ R ,因此R 不是反对称的.(5)对于任意x , y , z ∈ Z , 若(x , y ) ∈ R 且(y , z ) ∈ R , 则y y x x +=+22且z z y y +=+22,于是z z x x +=+22,所以(x , z ) ∈ R , 即R 是传递的. 综上所述,知R 是自反的、对称的和传递的.五、解 命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的真值表如下:A 的主析取范式为:)()(q p q p A ⌝∧∨∧=.A 的主合取范式为:)()(q p q p A ∨∧⌝∨=.六、证 对于任意的6K 的节点v ,因为5)deg(=v ,与v 邻接的边有5条,当用红、蓝颜色去涂时,至少3条边涂的是同一种颜色,不妨设321,,vv vv vv 是红色. 若3条边21v v ,32v v ,31v v 是红色,则存在红色3K ; 若21v v ,32v v ,31v v 都是蓝色,则存在蓝色.第4次作业[论述题]第4次作业 参考答案:第4次作业答案一、1.自反性、对称性和传递性.2. Abel.3. 6.4. 封闭性和结合性.5. 不含圈的连通.二、1(A); 2(C); 3(B); 4(D); 5(C).三、证 对于任意A b a ∈,,假定)()(b f a f =. 由于≤是偏序,于是a a ≤,所以)(a f a ∈,进而)(b f a ∈,根据定义知b a ≤. 同理可证,a b ≤. 根据偏序的反对称性有b a =,因此f 是单射.当b a ≤时,对于任意)(a f x ∈,于是a x ≤. 根据偏序的传递性有b x ≤,即)(b f x ∈,故)()(b f a f ⊆.四、证 (1) 与非联结词“↑”的运算表如下:(2)p p p p p ↑=∧⌝=⌝)(.)()()())((q p q p q p q p q p ↑↑↑=↑⌝=∧⌝⌝=∧. )()()()()(q q p p q p q p q p ↑↑↑=⌝↑⌝=⌝∧⌝⌝=∨.五、解 ))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃→∃∧∃∀∀=))),(),((),,((v y vQ u x uQ z y x zP y x ∃∨⌝∃∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y vQ u x Q u z y x zP y x ∃∨⌝∀∧∃∀∀=))),(),((),,((v y Q u x Q v u z y x zP y x ∨⌝∃∀∧∃∀∀ =))),(),((),,((v y Q u x Q z y x P v u z y x ∨⌝∧∃∀∃∀∀ 六、证 (1)根据Euler 公式,有2+-=n m r . (2)31052)2(5-≤⇒≤+-n m m n m . (3) 若Petersen 图是平面图,由于其每个面至少5条边围成,于是由(2)知3105-≤n m . 因为在Petersen 图中,m = 15, n = 10, 于是31010515-⋅≤,矛盾.第5次作业[论述题]第5次作业 参考答案:第5次作业答案一、1. 2n .2. 反自反、反对称、传递.3. 是.4. 独异点.5. 上确界和下确界. 二、1(C); 2(A); 3(B); 4 (D); 5(B).三、(1)证 对于任意∈),(),,(2211y x y x R ⨯ R ,若)),(()),((2211y x f y x f =,于是),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+,进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-. 由此可得,2121,y y x x ==,因而),(),(2211y x y x =,故f 是单射.对于任意∈),(q p R ⨯ R ,取2,2qp y q p x -=+=,容易得知),(),()),((q p y x y x y x f =-+=.由上可知,f 是双射. (2)解 由上的证明过程知,⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2)),((1y x y x y x f.(3)解 很显然If f =- 1R ⨯R ,即),()),)(((1y x y x f f=- .)2,2())()(),()(()),(()),)(((y x y x y x y x y x y x y x f y x f f =--+-++=-+= .四、解 }),(),,(),,(),,(),,{()(c c b b c b b a a a I R R r A =⋃=. }),(),,(),,(),,(),,{()(1b c a b c b b a a a RR R s =⋃=-.}),(),,(),,(),,{()(c a c b b a a a R t =. 五、证(1))(x xP ∀ P (2)P (c ) US(1) (3))))()(()((x R y Q x P x ∧→∀ P (4)))()(()(c R y Q c P ∧→ US(3) (5))()(c R y Q ∧ T(2)(4)I (6)Q (y ) T(5)I (7)R (c ) T(5)I (8))()(c R c P ∧ T(2)(7)I (9)))()((x R x P x ∧∀ UG(8) (10)))()(()(x R x P x y Q ∧∀∧ T(6)(9)I六、证 设G 是一棵阶数2≥的无向树,k k v v v v L 121...:-是G 中的最长路径. `若1v 和k v 至少有一个不是树叶,不妨设k v 不是树叶,即2)deg(≥k v ,则k v 除与1-k v 邻接外,还存在1+k v 与k v 邻接.若1+k v 在L 上,则G 中存在圈,不可能. 若1+k v 不在L 上,则G 中存在一条比L 长1的路径1121...+-k k k v v v v v ,与L 是G 中最长路径矛盾.第6次作业[论述题]第6次作业 参考答案:第6次作业答案一、1. 1,3,5,7,11,13,17,19.2. 平行.3. 010, 100, 101, 110, 111.4. 2.5. 3.二、1(B); 2(A); 3(D); 4(C); 5(A).三、(1)证 任意∈),(),,(2211y x y x R ×R , 若),(),(2211y x f y x f =,则),(),(22221111y x y x y x y x -+=-+,进而2211y x y x +=+且2211y x y x -=-,于是21x x =且21y y =,从而f 是单射.任意∈),(q p R ×R , 取⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22q p y q p x , 通过计算易知),(),(q p y x f =,因此f 是满射. 故f 是双射.(2) 解 由上面的证明知,f 存在逆函数且⎪⎭⎫⎝⎛-+=-2,2),(1y x y x y x f.又()()),(2,2,1y x y x y x f y x f f=⎪⎭⎫⎝⎛-+=- ,即I f f=- 1R ×R ,而()()())2,2())()(),()((,,y x y x y x y x y x y x y x f y x f f =--+-++=++= .四、解 R 的传递闭包t (R )的关系图如下:于是,有t (R ) = {(1, 3), (3, 1), (2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (1, 1), (3, 3),(2,1),(4,1)}. 五、解 首先写出命题公式()())()(p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:从真值表可得命题公式A 的主析取范式为:∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=)()()(r q p r q p r q p A)()()(r q p r q p r q p ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝.命题公式A 的主合取范式为:)()(r q p r q p A ∨⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨=.七、解 对于2, 3, 5, 7, 8,先组合两个最小的权2+3 = 5, 得5, 5, 7, 8;在所得到的序列中再组合5+5 = 10, 重新排列后为7, 8, 10;再组合7+8 =15, 得10, 15;最后组合10+15 = 25.2515108710875587532 所求的最优2叉树树如下:。
2019年9月西南大学网络教育大作业答案-离散数学【0004】.doc
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第4-5题选作一题,满分40分.
设(G,)是群,若| G |n,则称(G,)为n阶有限群(finite group);若G是无限集合,则(G,)称为无限群(infinite group).
设(G,)是群,若其运算是可交换的,则称(G,)为交换群(commutative group)或阿贝尔群(Abel group).设(G,)是群,aG,使a e n的最小正整数称为元素a的阶,记为|a|.
(1)对于任意整数m和n,若存在整数q,使得n = qm,称m整除n,记为m|n,即“|”是整数集合Z上的一种关系,称为Z上的整除关系.
(2)设m是正整数,定义整数集Z上的模m同余关系m如下:m (x, y)当且仅当m | (xy)
2.请给出谓词逻辑研究的对象,并将“所有人都是要死的”使用谓词符号化.
西南大学网络与继续教育学院课ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ考试试题卷
类别:网教专业:计算机教育2019年9月
课程名称【编号】:离散数学【0004】A卷
大作业满分:100分
一、大作业题目
1.请给出集合A到集合B的关系R的数学定义,并判断整数集Z上的模 同余关系 具有哪些性质,其中 为正整数.
答:R是A到B的2元关系是指RAB,R是A上的2元关系是指RAA..
(3)存在实数e = 1属于R-{0}满足1*a = a*1 = a有单位元
(4)对任意a属于R-{0},都有a^(-1) = 1/a属于R-{0}使得a*1/a = 1/a * a = e = 1有逆元综上,R-{0}是一个群.其中1为R-{0}的单位元,1/a为a的逆元.
4.请给出无向连通图的定义,并证明:设 是 阶简单无向图,若对于任意的 中不相邻的节点 和 有 ,则 是连通图.
智慧树知道网课《离散数学(西南大学)》课后章节测试答案【可编辑全文】

可编辑修改精选全文完整版绪论单元测试1【多选题】(100分)本教材的《离散数学》有下列()内容.A.初等数论B.图论基础C.代数结构D.命题逻辑与谓词逻辑E.组合计数F.集合与关系第一章测试1【单选题】(10分)设,则有两个块的划分有()种.A.6B.8C.5D.72【单选题】(10分)设,则=().A.B.C.D.3【单选题】(10分)设是正整数,定义Z上模加法运算“”和模乘法运算“”如下:对于任意,,则()A.B.C.D.4【单选题】(10分)令,若是单射,则().A.是满射B.是单射C.是满射D.是单射5【单选题】(10分)函数的复合运算“”满足()A.消去律B.交换律C.结合律D.幂等律6【单选题】(10分)设N是自然数集,对于任意,定义N到N的对应关系如下:对于任意,,则()A.不是函数B.仅是单射C.仅是满射D.是双射7【单选题】(10分)设,则可定义到的函数()个。
A.6B.8C.2D.38【单选题】(10分)设,则=().A.B.C.D.9【单选题】(10分)设集合中有个元素,则的子集有()个.A.B.C.D.10【单选题】(10分)设,下列()是的.A.B.C.D.第二章测试1【单选题】(10分)设={1,2,3},上二元关系={(1,1),(2,2),(1,3)},则关系的对称闭包是()A.B.C.D.2【单选题】(10分)设,是上恒等关系,要使为上的等价关系,应取().A.B.C.D.3【单选题】(10分)设和是集合上的相容关系,下列关于复合关系的说法正确的是()A.一定不是相容关系B.一定是等价关系C.一定是相容关系D.可能是也可能不是相容关系4【单选题】(10分)设偏序集的哈斯图见下图,的上确界和下确界分别为().A.B.C.D.5【单选题】(10分)若,则上的关系共有()个.A.8B.32C.16D.46【单选题】(10分)设={0,1,2,3,4},上的关系,则=().A.{(0,0),(1,0),(1,2),(2,1),(2,4),(3,2),(4,3)}B.{(0,1),(2,1),(2,3),(3,4)}C.{(0,0),(0,1),(1,2),(2,1),(2,3),(2,4),(3,4)}D.{(0,1),(1,2),(2,1),(2,3),(2,4),(3,4)}7【单选题】(10分)设,则下述结论正确的是().A.若和是自反的,则是自反的.B.若和是对称的,则是对称的.C.若和是传递的,则是传递的.D.若和是反对称的,则是反对称的.8【单选题】(10分)设,上二元关系的关系图如下,具有的性质是()A.反自反性B.对称性C.自反性D.传递性9【单选题】(10分)设集合={1,2,3,4,5}上的关系,则的性质是().A.自反的B.对称的C.反自反的、传递的D.对称的、传递的10【单选题】(10分)设,上关系,则的运算结果是().A.B.C.D.第三章测试1【单选题】(10分)下列语句()是命题.A.B.中国碳基半导体芯片领先世界.C.什么是区块链技术?D.玩《王者荣耀》网络游戏时间过得好快!2【单选题】(10分)“很多人都喜欢骑自行车”的否定是()A.有些人不喜欢骑自行车B.并不是很多人都喜欢骑自行车C.很多人不喜欢骑自行车D.少数人喜欢骑自行车3【单选题】(10分)设:我们游泳,:我们玩游戏,则命题“我们不能既游泳又玩游戏”符号化为()A.B.C.D.4【单选题】(10分)下列命题公式()是永真式.A.B.C.D.5【单选题】(10分)命题公式与()等值.A.B.C.D.6【单选题】(10分)下列()组命题公式是等值的.A.B.C.D.7【单选题】(10分)命题公式的主合取范式为().A.B.C.D.8【单选题】(10分)下面()是功能完备联接词集合.A.B.C.D.9【单选题】(10分)对于命题公式,则由可得出().A.B.C.D.10【单选题】(10分)对于命题公式,则由可得出().A.B.C.D.第四章测试1【单选题】(10分)有和可推出().A.B.C.D.2【单选题】(10分)的前束范式为A.B.C.D.3【单选题】(10分)在谓词逻辑中,下列各式中正确的是().A.B.C.D.4【单选题】(10分)谓词公式是().A.中性式B.永真式C.无法确定D.永假式5【单选题】(10分)设个体域是整数集Z,则下列命题()的真值为真.A.B.C.D.6【单选题】(10分)设是实数,,则“不存在最大实数”可符号化为().A.B.C.D.7【单选题】(10分)令是金子,是闪光的,则命题“闪光的未必是金子”符号化为().A.B.C.D.8【单选题】(10分)令是老虎,要吃人,将“凡是老虎都是要吃人的”符号化为().A.B.C.D.9【单选题】(10分)谓词公式中的().A.既是约束变元又是自由变元B.既非约束变元又非自由变元C.只是约束变元D.只是自由变元10【单选题】(10分)谓词公式中量词的辖域为()A.B.C.D.第五章测试1【判断题】(10分)对于整除关系“|”,有0|0.A.对B.错2【单选题】(10分)下列()是15的所有因数集合.A.{-15,-5,-3,-1,1,3,5,15}B.{-15,-5,-3,-1}C.{-5,-3,-1,1,3,5}D.{1,3,5,15}3【单选题】(10分)下述()是正确的.A.7(mod6)=3B.-7(mod6)=5C.-49(mod6)=1D.58(mod6)=24【单选题】(10分)对于正整数,用表示小于等于且与互素的正整数个数,则=().A.2B.3C.4D.15【单选题】(10分)对于正整数,用表示小于等于且与互素的正整数个数.对于不同素数和,下面()是正确的.A.B.C.D.6【单选题】(10分)设是素数,则关于模乘法运算“”().A.每个元素都有逆元B.每个元素都没有逆元C.每个非零元素都有逆元D.每个非零元素都没有逆元7【单选题】(10分)gcd(2035,2019)=().A.19B.35C.2D.18【单选题】(10分)下列各式中,()为真.A.445≡536(mod18).B.446≡278(mod7).C.383≡126(mod15).D.2019≡1883(mod17).9【单选题】(10分)线性同余方程3≡5(mod8)的解为=().A.5B.3C.7D.810【单选题】(10分)线性同余方程的解为=().A.8,6B.1,4C.8,2D.2,6第六章测试1【单选题】(10分)5阶完全无向图的边有()条.A.20B.5C.10D.2【单选题】(10分)无向图有6条边,各有一个3度和5度节点,其余均为2度节点,则的阶数为().A.4B.5C.3D.63【单选题】(10分)3阶完全无向图的不同构的生成子图有()A.5B.4C.3D.4【单选题】(10分)一个简单无向图图,若,则称为自补图.下列()是自补图.A.B.C.D.5【单选题】(10分)在下图中,节点到节点的所有路径有()条.A.7B.6C.8D.56【单选题】(10分)下图的点连通度为().A.5B.4C.3D.27【单选题】(10分)下列各有向图()是强连通图.A.B.C.D.8【单选题】(10分)有向图是单向连通图当且仅当().A.中有通过每个节点至少一次的回路B.中至少有一条回路C.中至少有一条路D.中有通过每个节点至少一次的路9【单选题】(10分)设有向图,,若的邻接矩阵,则的出度和入度分别为().A.3,3B.2,4C.2,3D.1,210【单选题】(10分)在下图中,到的最短路径的权是().A.13B.15C.17D.11第七章测试1【单选题】(10分)下图的节点着色数().A.2B.4C.5D.32【单选题】(10分)捕获6名间谍会汉语、法语和日语,会德语、日语和俄语,会英语和法语,会汉语和西班牙语,会英语和德语,会俄语和西班牙语.将这6人用两个房间和监禁可以使得在同一房间里的任意两人不能相互直接交谈,这时().A.B.C.D.3【单选题】(10分)设是连通平面图,中有7个节点3个面,则的边数是().A.8B.6C.9D.74【单选题】(10分)一棵树有3个5度点、1个4度点、3个2度点,其它的点都是1度,那么它的边数是()A.19B.C.17D.205【单选题】(10分)下面边赋权图的最小生成树的权为().A.41B.39C.40D.38【单选题】(10分)从6阶完全无向图至少要删除()条边可得到其生成树.A.5B.6C.15D.107【单选题】(10分)不同构的5阶无向树有()棵.A.3B.2C.4D.58【单选题】(10分)设是阶简单无向图,则下列说法不正确的是().A.若是欧拉图,则中必有桥B.若是无向树,则其边数等于C.若中任意一对顶点的度数之和大于等于,则中有Hamilton路D.若中有欧拉路,则是连通图且有零个或两个奇度数顶点9【单选题】(10分)下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图形是().A.B.C.D.10【单选题】(10分)下列图()是欧拉图.A.B.C.D.第八章测试1【单选题】(10分)将四个人分成两个组,有()种不同的分组方法.A.5B.4C.7D.62【单选题】(10分)在平面上15个点,且任意三个点都不在同一条直线上,通过这些点可以得到()个位置不同的三角形.A.B.C.D.3【单选题】(10分)6个人围圆桌有()就座方式.A.6!B.6·5!C.5!D.4!4【单选题】(10分)五男五女圆桌交替就座的方式有()种.A.4!5!B.5!C.4!D.5!6!5【单选题】(10分)在平面上15个点,且任意三个点都不在同一条直线上,通过这些点可以确定()条不同直线.A.21B.105C.35D.156【单选题】(10分)现有黄球两只,白球和红球各一只,共有()种不同的选球方式.A.12B.9C.10D.117【单选题】(10分)有六个数字,其中三个1,两个2,一个3,能组成四位数的个数为().A.40B.38C.37D.398【单选题】(10分)某人举步上楼梯,每步跨1个台阶或2个台阶,设上个台阶的不同方式数为,则().A.初始条件为,递归关系为.B.初始条件为,递归关系为.C.初始条件为,递归关系为.D.初始条件为,递归关系为.9【单选题】(10分)设平面上有条直线,其中无两线平行也无三线共点,用表示平面被这条直线分成的连通区域,则().A.B.C.D.10【单选题】(10分)在初始条件下,递归关系的解为().A.B.C.D.第九章测试1【单选题】(10分)Z为整数集,为的幂集为,为数的加、减、除运算,∩为集合的交运算,下列()是代数结构.A.B.C.D.2【单选题】(10分)下列集合关于运算“*”,()是群.A.=Q,“*”是数的乘法.B.={0,1,3,5},“*”是模7加法.C.={1,3,4,5,9},“*”是模11乘法.D.=Z,“*”是数的减法.3【单选题】(10分)在群中,元素2的阶为().A.2B.4C.3D.64【单选题】(10分)设i是虚数,·是复数乘法运算,则={1,-1,i,-i}关于·构成群,下列()是的子群.A.B.C.D.5【单选题】(10分)设是群,且,则下列()命题是不成立的.A.中有幺元B.中任一元素有逆元C.中有零元D.中除了幺元外无其他元素满足6【单选题】(10分)设是有限循环群,则下列说法不正确的是A.设是的生成元,则对任意正整数,存在正整数使B.中存在一元素,使中任意元素都是的某整数方幂组成C.有限循环群中的运算满足交换律D.的生成元是唯一的7【单选题】(10分)半群、群及独异点的关系是().A.{独异点}⊂{半群}⊂{群}B.{半群}⊂{群}⊂{独异点}C.{群}⊂{独异点}⊂{半群}D.{独异点}⊂{群}⊂{半群}8【单选题】(10分)域与整环的关系为().A.域不是整环B.域是整环C.整环不是域D.整环是域9【单选题】(10分)下列四个格中,()是分配格.A.B.C.D.。
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西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷
学期:2020年春季 课程名称【编号】:离散数学【0004】 A 卷 考试类别:大作业 满分:100 分
1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义. 设R 是实数集合,f : (0,1) → R , x x x f 111)(--=,
证明f 是双射.
2. 设R 是集合A 上的关系,请给出R 的传递闭包t (R )的定义. 下图给出的是集合A = {1,2,3,4,5}上关系R 的关系图,试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.
3. 请给出谓词逻辑的研究对象,并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化.
4.解释命题公式真值表的含义,并利用真值表求命题公式
()())()(p q r r q p →→↔→→的主合取范式.
5. 给出叶赋权m 叉树的定义,并求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.
二、大作业要求
大作业共需要完成三道题: 第1题必做,满分30分;
第2-3题选作一题,满分30分; 第4-5题选作一题,满分40分.
1.
答:任意给定两个集合A 和B ,若存在对应法则f ,使得对于任意x ∈ A ,均存在唯一的y ∈B 与它对应,则称f 是集合A 到B 的一个映射,或称其为A 到B 的一个函数,记为f:A
→B 。
对于任意R ×R ,若,于是 ,
进而且。
由此可得,,因而,故f 是单射。
对于任意R ×R ,取,容易得知。
由上可知,f 是双射。
3.
答:研究对象:个体词,谓词,量词,命题符号化
5. 答: 定义:
对于2, 3, 5, 7, 8,先组合两个最小的权2+3=5, 得5, 5, 7, 8;在所得到的序列中再组合5+5=10, 重新排列后为7, 8, 10;再组合7+8=15, 得10, 15;最后组合10+15=25。
所求的最优2叉树树如下:
1
2
3
4
5。