第五章 误差椭圆
第05章 误差椭圆..
Q Qxx cos 2 2Qxy sin cos Q yy sin 2 Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
而待定点P在φ方向上的位差可用下式得到
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Q yy sin 2 Qxy sin 2 )
zqz99@
(Q xx Q yy ) 4Q
2
2 xy
(5-20)
位差的极大值和极小值为
E 0 QEE F 0 QFF
(5-21) (5-22)
因为两个极值方向相互垂直，故
2 E2 F 2 0 (QEE QFF ) 2 0 (Qxx Q yy ) 2 P
zqz99@
(5-13)
由式(5-13)可知σ 2φ的大小与方位角φ有关 ｡在所有方向 的位差权倒数中，必有一对权倒数取得极大值和极小值，分 别设为 QEE和QFF ，而相应的方向分别设为φE和φF ，其中在
φE方向上的位差具有极大值，而在φF 方向上的位差具有极
小值，很显然， φE和φF两方向之差为90°｡
由图可知点位真误差PP ′在φ方向上的投影值为 PP′″，且:
PP
Δy
平差位置
PP PP x cos y sin
Δx
Δxcos φ 真实位置
x cos sin y Δφ 点位真误差在方位角为 φ方向上的投影 (5-11)
测量工作中通常用点位中误差σP来衡量待定点的精度，
只要我们求出它在两个相互垂直方向上的中误差，就可由式 (5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡
2 2 2 P x y
第5章误差 测量学CAI课件
m= [vv] n-1
三、算术平均值的中误差
m L= m/n = [vv]/n(n-1)
一、权 １、权的定义 ２、权的表达式 Pi=/mi2 二、加权平均值及精度评定 １、加权平均值 L^ ＝(p1l1+p2l2+……+pnln)/(p1+p2+……pn)=[pl]/p ２、单位权中误差 ＝±［pvv]/(n-1)
3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；
4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋
近于零n，
i
[]
即Lim—i=1— = n n
Lim
n
—n—
=0
2
Y=f()= —1— e 22
2
——为观测值的标准差，可由f()的二阶导数等于
零求得：2=
Lim
n
[—n2]—
为方差。
衡量 精度的标准
1、中误差 m=±—[n—]
2、相对误差 K=
m D
3、允许误差 允=3m或2m
一、线性函数 Z=k1x1 k2x2 knxn m2z=k21m21+k22m22+……+k2nm2n 二、非线性函数
Z= ƒ(x1,x2,……，xn)
m2z=( _ƒx_1_) 2m21+……（ ƒx）n 2m2n
一、求最或是值
L^ = —[Ln]
三：测量误差分类
系统误差 在相同的观测条件下作一系列的观测，
如果误差在大小、符号上表现出系统
按
性或按一定的规律变化，如：尺长误
性
差、 i角误差。
质 可 分
偶然误差 在相同的观测条件下作一系列的观测， 如果误差在大小、符号上表现出偶然
误差椭圆
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
第五章误差椭圆
x x x y y y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5-1)
5.1 点位误差概述
由图5-1可知
5-2
图5-1 点位真误差
5.1 点位误差概述
P点的最或然坐标x、y都是由同一组观测值通过平差计算所求 得的。设平差后的坐标x、y与观测值向量之间的线性函数关为
x = 0 + L
y = 0 + L
2 再顾及式(5-13)，则得 E 2 cos2 F 2 sin 2
(5-17)
此即以极大值方向为起始轴，用E、F表示的任意方向 上位差 的实用公式
5.2.4 用极值表示任意方向上的位差 例5-1 如图5-5所示，在固定三角形内插入一点P，经过平 差后得P点坐标的协因数阵为 Qxx Qxy 3.81 0.36 (cm2/")
2 P 2 s
2 u
(5-5)
s
u
为纵向位差 为横向位差。通过纵、横向位差来求点位误差 ，这在测量工作中是一种常用的方法。
5.2 点位误差计算
5.2.1 点位方差 因为待定点的x、y坐标平差值的方差可表达为
1 02 Qxx px 1 2 y 02 02 Qyy py
x2 02
(5-6)
Qxx
Qyy
就是该点最或然坐标x和y的权倒数。
(2) 按条件平差时。当三角网按条件平差时，因待定点的坐标 平差值是观测值的函数，这时可根据第1章中的协因数传播律 来求待定点坐标平差值的协因数。
5.2.2 任意方向的位差
如图5-3所示，设某任意方向与x轴夹角为 为求待定点P在方向 上的真位差
第7章误差椭圆.
F c o s s in E s in c o s
❖ 总结：
1）误差曲线是误差椭圆的垂足曲线；
2）即：先作ψ方向线，在垂直于该方向上作椭圆的 切线，则垂足与原点的连线长度就是ψ方向上的位 差σψ。
3）故：在实践中，常以误差椭圆来表示待定点的点 位误差。若在控制网上按一定比例尺绘出待定点的 误差椭圆，则可全面地、清楚地反映出该网所有待 定点的点位误差分布状况。
➢若使位差达到极值，则应使：
dQ 0 d
dQ
d
d
d(Qxx
cos2Qyy
sin2Qxy
sin2)
2Qxx cossin2Qyy sincos2Qxy cos2 Qxx sin2Qyy sin22Qxy cos2 (Qxx Qyy)sin22Qxy cos2
0
✓设φ0为位差的极值方向，则有：
tg20Q x2 xQ xQ yyytg(201800) （公式3）
1）直观：把各方向的位差清楚地图解出来了； 2）任意方向ψ上的向径0P就是该方向的位差σψ。 3）图形是关于E轴和F轴对称的。
2、误差曲线图的绘制
➢ 以不同方向，计算该方向位差，利用解析法作图；
➢ 也可求得某点的极值方向、极值后，用作图方法 来求得。
➢ 它是一个形如“腰形”的图形。
3、误差曲线的用途
X
∆Y φ
∆X φ
P
∆P
∆φ P’’
O
pp pp
cosx sin y
cos
sin
x y
P’ P’’’
方位角=φ 方位角=φ
Y
➢因为：
pppp
cosxsinycos sin y x
➢按协因数传播律有：
第五章误差理论
第五章误差理论选择题中误差反映的是（ A ）。
A)⼀组误差离散度的⼤⼩B)真差的⼤⼩C)似真差的⼤⼩D)相对误差的⼤⼩某段距离的平均值为100mm，其往返较差为+20mm，则相对误差为（C ）。
Ａ.；Ｂ.；Ｃ.往返丈量直线AB的长度为：其D AB=126.72m,D BA=126.76m相对误差为（ A ）Ａ.Ｋ=1/3100；Ｂ.Ｋ=1/3200；Ｃ.Ｋ=在等精度观测的条件下，正⽅形⼀条边a的观测中误差为m，则正⽅形的周长（Ｓ=4a）中的误差为（C ）Ａ.m；Ｂ.2m；Ｃ.4m丈量某长⽅形的长为α=20，宽为b=15，它们的丈量精度（A ）Ａ相同；Ｂ.不同；Ｃ.不能进⾏⽐较衡量⼀组观测值的精度的指标是（ A ）Ａ.中误差；Ｂ.允许误差；Ｃ.算术平均值中误差在距离丈量中，衡量其丈量精度的标准是（A ）Ａ.相对误差；Ｂ.中误差；Ｃ .往返误差下列误差中（A ）为偶然误差Ａ.照准误差和估读误差；Ｂ.横轴误差和指标差；Ｃ.⽔准管轴不平⾏与视准轴的误差若⼀个测站⾼差的中误差为，单程为ｎ个测站的⽀⽔准路线往返测⾼差平均值的中误差为（ B ）Ａ.；Ｂ.Ｃ.在相同的观条件下，对某⼀⽬标进⾏ｎ个测站的⽀⽔准路线往返测⾼差平均值的中误差为（ B ）Ａ.；Ｂ.；Ｃ.对三⾓形进⾏５次等精度观测，其真误差（闭合差）为：+4″；-3″；+1″；-2″；+6″，则该组观测值的精度（ B ）Ａ.不相等；Ｂ.相等；Ｃ.最⾼为+1″经纬仪对中误差属（ A ）Ａ.偶然误差；Ｂ.系统误差；Ｃ.中误差尺长误差和温度误差属（B ）Ａ.偶然误差；Ｂ.系统误差；Ｃ.中误差⼀条直线分两段丈量，它们的中误差分别为和，该直线丈量的中误差为（C）Ａ.；Ｂ. ；Ｃ.某基线丈量若⼲次计算得到平均长为540m，平均值之中误差为0.05m，则该基线的相对误差为（ C ）Ａ.0.0000925；Ｂ.1/11000；Ｃ.1/10000下⾯是三个⼩组丈量距离的结果，只有（ B ）组测量的相对误差不低于1/5000的要求Ａ.100m0.025m；Ｂ.200m0.040m；Ｃ.150m0.035m对某量进⾏ｎ次观测，若观测值的中误差为ｍ，则该量的算术平均值的中误差为（ C ）Ａ. ；Ｂ.m/n；Ｃ.m/⽤导线全长相对闭合差来衡量导线测量精度的公式是( C )Ａ.Ｂ.；Ｃ.基线丈量的精度⽤相对误差来衡量，其表⽰形式为（ A ）Ａ.平均值中误差与平均值之⽐；Ｂ.丈量值中误差与平均值之⽐；Ｃ.平均值中误差与丈量值之和之⽐下列误差中（AB）为偶然误差。
测量数据处理 误差椭圆习题
一、填空题：1、某点p(x,y)，其坐标中误差分别为mx和my，则点位中误差mp=__________。
2、误差椭圆研究的是__________相对于起始点的精度；相对误差椭圆研究的是任意两个__________之间相对位置的精度。
(起始点/待定点)3、点位中误差为δP，纵向误差为δS，横向误差为δu，则δP2=________________。
4、控制网中，某点P的真位置与其平差后得到的点位之距离称为P点的_____。
5、测角网必要的起算数据是________个，而测边网必要的起算数据则是________个。
6、某测边网共有n个角度观测值，p个三角点，q个多余起算数据，r个多余观测，t个必要观测，如按条件平差进行时，此三边网可以列出r=_______________________条件方程；如按间接平差进行时，此三边网可以列出__________个误差方程。
二、选择题：1、位差的极大值为E，极小值为F，则点位方差δP2=__________。
A、E2+F2B、E+FC、E-FD、E2-F22、某点p(x,y)，其坐标中误差分别为mx和my，则点位中误差mp=______。
A、22myxm+B、22myxm-C、22yxmm+D、22yxmm-3、误差椭圆研究的是__________相对于起始点的精度；相对误差椭圆研究的是任意两个__________之间相对位置的精度。
A、起始点/待定点B、起始点/起始点C、待定点/待定点D、待定点/起始点4、点位中误差为δP，纵向误差为δS，横向误差为δu，则δP2=__________。
A、22s uδδ+B、22usδδ-C、22usδδ+D、22usδδ-5、在误差椭圆中，位差的极大值方向为ϕE，极小值方向为ϕF，则有__________。
A、ϕE+180°=ϕF B、ϕE+90°=ϕF C、ϕE+270°=ϕF D、ϕE+360°=ϕF三、计算题在某测边网中，设待定点P1的坐标为未知参数，即[]11ˆTX X Y=，平差后得到ˆX的协因数阵为ˆˆ0.250.150.150.75XX Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=。
误差椭圆
§6-1 概 论在测量中，点P 的平面位置常用平面直角坐标P P y x ,来确定。
为了确定待定点的平面直角坐标，通常由已知点与待定点构成平面控制网，并对构成控制网的元素（角度、边长等）进行一系列观测，进而通过已知点的平面直角坐标和观测值，用一定的数学方法（平差方法）求出待定点的平面直角坐标。
由于观测条件的存在，观测值总是带有观测误差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点的平面直角坐P P y x ~,~面位置并不是 P 点的真位置，而是最或然点位， 记为 P '，在 P 和 P '对应的这两对坐标之间 存在着坐标真误差 x∆和 y∆。
由图6-1知⎭⎬⎫-=∆-=∆P P y P P x y y x x ˆ~ˆ~ (6-l-1) 由于x ∆和y ∆的存在而产生的距离P ∆称为 P 点的点位真误差，简称真位差。
由图6-1知222yxP∆+∆=∆222y xPσσσ+=(6-1-2)2．点位真误差的随机性P 点的最或然坐标Px ˆ和P yˆ是由一组带有观测误差的观测值通过平差所求得的结果，因此，它们是观测值的函数。
设P xˆ和P y ˆ与观测值向量L 之间的线性函数关系为 ⎭⎬⎫++=++=00ˆˆββααL y y L x xA P A P（6-1-3）设有两组不同的观测值向量1L 、2L ，分别代入式（6-1-3）可得010111ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P 和020222ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P对于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中的00βαβα、、、是不变量，但观测值向量1L 、2L 不会相等，因此21ˆˆP P x x ≠、21ˆˆP P y y ≠。
可见，随着观测值L 的不同，P x ˆ和P y ˆ也将取得不同的数值。
但P 点的真坐标P x ~和P y ~是唯一的，由式(6-l-1)、(6-l-2)知，就会出现不同的x ∆和y∆值以及P∆，所以说点位真误差随观测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。
误差椭圆的定义
误差椭圆的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊误差椭圆呀！你说这误差椭圆，就好像是个调皮的小精灵，在测量的世界里蹦来蹦去。
想象一下哈，我们在测量一个东西的时候，就像是在黑暗中摸索，总会有些许偏差，而这个误差椭圆呢，就是把这些偏差给圈起来，告诉我们大致的范围。
它可不是随随便便就出现的，那是经过一番计算和琢磨才现身的呢！比如说我们要确定一个点的位置吧，实际测出来的可能就不是那么精准，会有这儿一点儿偏差，那儿一点儿偏差。
这时候误差椭圆就跳出来啦，说：“嘿，别担心，这个点大概就在我圈的这个范围里哦！”是不是很神奇？它就像是给我们测量结果加上了一个边界，让我们心里有个底。
就好比你要去一个地方，有人告诉你大概就在这一片儿，总比啥都不知道好吧！而且啊，误差椭圆还挺有个性的呢！它的大小和形状会根据不同的情况而变化。
有时候它扁扁的，有时候又圆圆的，就像个会变形的小怪物。
这可都是根据测量的数据来决定的呀！咱再打个比方，误差椭圆就像是一个神秘的领地，我们知道它的大致范围，但里面具体的情况还得我们去慢慢探索。
这探索的过程可有意思了，每一次测量都像是在给这个领地绘制更详细的地图。
你说要是没有误差椭圆，那我们测量出来的东西不就像没头苍蝇一样，不知道到底准不准确啦？它可是给我们指明了一个方向，让我们能更好地理解和处理测量的结果。
在实际应用中，误差椭圆可重要了呢！比如在建筑工地上，工程师们得靠它来确保建筑物的位置准确无误；在地图绘制中，它能帮助绘制出更精确的地图。
没有它，那可真是乱了套了呀！总之呢，误差椭圆这个小家伙虽然有时候让人有点头疼，但它确实是我们测量工作中不可或缺的好帮手呀！它让我们在面对不确定性的时候，能有个大概的把握，不至于两眼一抹黑。
所以啊，咱可得好好认识它、了解它，让它为我们的工作和生活发挥更大的作用呀！你们说是不是这个理儿呢？。
测量平差---误差椭圆
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
主页
误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
黑龙江工程学院
1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
主页
2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
黑龙江工程学院
相对误差椭圆一般绘制在
差s和横向误差u
A
，则有：
O
2 P
2 s
2 u
2 P
2 s
2 u
y P'
u
x
s
P
s
y
10.1 点位误差
3、点位中误差
（1）利用纵、横坐标协因数计算点位误差
2 x
2 y
21 0 px 21 0 py
2 0
Q
xx
02Q
yy
2 p
1
c
os 2
20
Qyy
1 cos20
2
Qxy sin 20 )
1 2
(Qxx
Qyy ) (Qxx
Qyy ) cos20
2Qxy sin 20
(Qxx Qyy ) cos 20 2Qxy sin 20
(Qxx Qyy )2 4Qxy2 sin(20 )
Qxy 0,E 在一、三象限，F 在二、四象限 Qxy 0,E 在二、四象限，F 在一、三象限
例：已知某平面控制网中待定点坐标平差参数
xˆ、yˆ 的协因数为
dm 2
1.236 0.314
QXˆXˆ 0.314
1.192
其单位为
秒
，并求得
ˆ 0 1,试用两种方法求 E
10.1 点位误差
E(2
P
)
E(2x
)
E(2y
)
7 第二十一-二十三讲 误差椭圆
F
cos E sin F
由：
cos E sin F E cos sin F
Q QEE cos2 QFF sin 2 QEF sin 2
可以证明：
QEF 0
以E、F表示的任意方向上的位差公式：
但：它不是一种典形曲线，故作图不方便!降 低了实用价值. 又：它形状与以E、F为长短半轴的椭圆很相 似；
误差椭圆与误差曲线的关系：
x
E
P 0
D
x
E
1
1
O
P
y
O
F
y
F
此椭圆称点位误 差椭圆。
任意方向的点位误差：
M OD
P0为切点，D为垂点
• 不难看出：
该椭圆是以E、F为长短半轴的，与误差曲线很接近； 实用上常以点位误差椭圆代替点位误差曲线；
2 2 2 P x y
s2 u2
2 2 90
点位误差可以评定待定点的点位精度；但它不能 代表该点在某一任意方向上的位差大小！
例如：巷道贯通通常需要知道横向误差的大小， 并希望它能最小；而架桥、铺轨则要求纵向误差 最小等。 故，推出任意方向位差的公式是有必要的！
但：误差椭圆并不完全等同于误差曲线；
故：需找出二者的差异（量）!
E、F、φE称为点位误差椭圆的参数，据此，可 绘出该椭圆。
绘制椭圆并找出其与对应误差曲线的差异，就 可代替误差曲线！
1）误差椭圆作图的方法
椭圆方程、参数方程： 图解作图方法：
( X ) (Y ) 2 1 E2 F
2 E 2 cos2 F 2 sin 2 （E cos sin F sin cos）
05第五章误差椭圆
第一节
概述
控制点的平面位置是用一对 平面直角坐标来确定的。 平面直角坐标来确定的。坐标是由 观测值的平差值计算所得的， 观测值的平差值计算所得的，因此 不可避免地带有误差。 不可避免地带有误差。 在图4 在图4-12中 12中，A 为已知点， 为已知点，假设 它的坐标是不带有误差的数值， 它的坐标是不带有误差的数值，P 为待定点的真位置， 为待定点的真位置，P为由观测值 通过平差所求得的最或然点位， 通过平差所求得的最或然点位，在 待定点P 待定点P的这对坐标之间存在着误 差，由图知 ∆x = ~ x − x (4 − 89) ~ ∆y = y − y
4-14点位真误差 14点位真误差PP 点位真误差PP’在ϕ方向上的投影值 为PP'''。 PP'''。 由图4 由图4-14可以看出 14可以看出∆ϕ与 ∆x, ∆y的关系为
∆ϕ = PP ' ' + PP ' ' PP ' ' = cos ϕ∆x + sin ϕ∆y
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根据协因数传播律得
即为求方向 ϕ 的位差时的权倒数。 的位差时的权倒数。类似于（ 类似于（4-94） 94）式，若 以 Qϕϕ 乘以单位权方差 σ 02，即得
E ( x) = a0 + aE ( L) = a0 + aL = x , E ( y ) = β + βE ( L) = β + βL = ~ y,
0 0
根据方差的定义， 根据方差的定义，并顾及（ 并顾及（4-90） 90）式，则有
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a 0 = E[( E ( x) − x) 2 = E[( ~ x − x ) 2 E [ ∆x 2 ] a 2 = E ( E ( y ) − y ) 2 = E[ ~ y − y ) 2 = E [ ∆y 2 ]
误差椭圆
测绘通报. 1989,(4):9-13.
④ 许才军, 刘大杰. 广义相对误差椭球（圆）[J]. 武汉测绘科技大学学报. 1990,15(2):19-27.
谢谢
误差椭圆
ERROR ELLIPSE
0 引言
① 水平面内沿中线方向的长度偏差 ② 水平面内垂直于中线的左右偏差 ③ 垂直面内垂直于腰线的上下偏差
目录（INDEX）
点位误差
误差曲线
误差椭圆
相对误差椭圆
1 点位误差
点位误差的表示 坐标真误差： 点位真误差： 由平差结果的无偏性可知：
根据方差的定义：
两边取期望：
4 相对误差椭圆
设两点间的坐标差：
写成矩阵形式：
按权逆阵传播定律：
4 相对误差椭圆
4 相对误差椭圆
导线测量网相对误差椭圆
Байду номын сангаас
小结
• 点位误差
坐标轴方向 径向方向 任意方向 存在极值
• 误差曲线
反映点位误差在 各个方向的位差 形象、直观 不规则、麻烦
• 误差椭圆
误差曲线的近似 规则化形状 能够直接量取任 意方向的位差
1 点位误差
点位误差的表示
用中误差表示：
1 点位误差
点位误差的方向与极值
展开得
1 点位误差
点位误差的方向与极值
（1）大小取决于权倒数和旋转角的大小
（3）上式有极值存在
1 点位误差
点位误差的方向与极值
2 误差曲线
0
330 2.5 2 30
0 2.00
30 2.34
60 2.23
误差椭圆.
仿式(3.5-3)可得
2 P
(x23 .5-4)y2
这说明，尽管点位真误差△P
在不同坐标系的两个坐标轴上的投
影长度不等，但点位方差 总P2 是等 于两个相互垂直的方向上的坐标方
差之和，即它与坐标系的选择无关。
图3.5-2
如果再将点P的真位差△P投影于AP方向和垂直于AP的
方向上，则得 s和 （见u 图3.5-1）， 、s 为点u 的纵向误差和 横向误差，此时有
(2)计算P2点的误差椭圆的元素
由
tan 20
2Qxˆ2 yˆ2 Qxˆ2 - Qyˆ2
2 0.2106 -1.1353 0.4912 - 0.8624
得
= E624.33
14
14
误差椭圆
K2
(Qxˆ2
- Qyˆ2
)2
4Q 2 xˆ2 yˆ2
0.561
E2
1 2
给出后，可根据这个图得到坐标平差值在任一方向的位差大
小。如图3.5-6为控制网中P点的点位误差曲线，A、B、C为已
知点。由图3.5-6可知，
，
，
xP
Pa
，
yP Pb
E Pc E
F Pd F
由图还可得到坐标平差值函数的中
误差。例如要想得到平差后方位角
垂直P的A 于中P误A方差向上，的可P位A 先差从Pg图，中这量是出 PA
2
2
误差椭圆
知识准备
1.点位真误差 在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进
行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观
测 而值不，是通 待过 定平点差 坐计 标算 的所 真获 值得~x，的是~y。待定点坐标的平差值 xˆ ， yˆ，
第章误差椭圆
将 φ +90°代入式(5-13)得
(5-3)或式(5-6)计算点位中误差｡
P2 x2 y2 P2 s2 u2
(5-3) (5-6)
2 点位误差及其计算
由定权的基本公式可知
2 x
2 0
1 px
2 0
Q
xx
2 y
2 0
1 py
2 0
Q
yy
(5-7)
代入式(5-3)可得
P 2x 2y 20 2(Q x xQ yy)
(5-8)
PP
Δy
平差位置
PPPP
Δx 真实Δ位x置cos φ
xcosysin
点位真误差
cos sinxy
Δφ 点位真误差在方位角为 φ方向上的投影
(5-11)
也可按以下方法求φ方向的位差
Pcos(0) P(coscos0 sinsin0) Pcos0 cosPsin0 sin xcos ysin
第五章 误差椭圆
1 §1 点位真误差及点位误差 2 §2 误差曲线与误差椭圆 3 §3 相对误差椭圆
教学目的
通过本章的学习，能熟练地求出任意方
向 (或 )上的位差；根据待定点坐标平差
值协因数阵，准确地计算误差椭圆、相对误 差椭圆的三个参数并画出略图，了解误差椭 圆在平面控制网优化设计中的作用。
1 §1 点位真误差及点位误差
1 点位真误差
在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进
行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观
测值平差计算所获得的是待定点坐标的平差值 xˆ , yˆ ，而不是
待定点坐标的真值 x%, y% ｡
平差位置
如图5-1中，A为已知点，假定其
测量学 第五章
31.7% 4.5% 0.3%
取极限误差(容许误差)： 或：
∆容 = 3m ∆容 = 2m
(3)相对误差
相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比 绝对误差：真误差、中误差、容许误差 意义： 观测 1000m 观测 800m 中误差 中误差
1 N
m = ±2cm m = ±2cm
0.02 1 = 1000 50000
2、带权平均值
带权平均值：
PL1 + P L2 +⋯+ P Ln [ PL] 2 n x= 1 = P + P +⋯+ P [ p] 1 2 n
举例：水准测量
已知
HA = 57.425 HB = 54.378 HC = 58.689
A
SA
SC
C
SA = 3.50km SB = 2.68km SC =1.98km
第五章 误差概念
为什么要研究误差？
为什么测角要盘左、盘右观测？ 为什么测角要测两个或两个以上测回？ 为什么水准测量前、后视距相等？ 为什么测水准要后-前-前-后进行？
内容提要及教学目标
掌握有关误差的基本概念 1、“误差”和“误差的分类” 2、“精度”和“精度评定” 3、“权”、“算术平均值”以及“加权 平均值”
例如量距： 甲： 丈量 L , L2 1 乙： 丈量 L , L4 , L , L6 3 5
L = L + L2）2 / 甲 （ 1
L = L3 + L4 + L5 + L6）4 / 乙 （
L =?
七、权与加权平均值
解决的办法： 解决的办法： 在进行观测值的平均取最终结果时，为 各观测值赋予一个“权值”，使各观测 值在参与平均计算时，起的作用的大小 不一样。最终得到的是加权平均值。
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AP的方向时，相应方向上的位差权倒数为Qxx，Qyy，Qx‘x’, Qy‘y’和Qss，Quu。在众多的位差权倒数中，必有一对权倒数 取得极大值和极小值，分别高为QEE和QFF。为求QEE和QFF，可 利用协方差阵（4-96），因为QEE和QFF就是这个协方差阵特征 值的两个根。 QXˆXˆ 的特征方程为：
0 0
根据方差的定义，并顾及（4-90）式，则有
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a 0 E[( E ( x) x) 2 E[( ~ x x) 2 E[x 2 ] a 2 E ( E ( y ) y ) 2 E[ ~ y y ) 2 E[y 2 ]
得 对（4-90）式两边了取数学期望，
y 0 L
x和y也将取得不同的数值。换言之， 显然，随着观测值的不同， 对应于不同的观测值将得不同的x、y值，因而就出现不同 y和 P 值，所以它们者是随机变量，对以上两式取 的x、 数学期望，得 ~
E ( x) a0 aE ( L) a0 aL x , E ( y ) E ( L) L ~ y,
1 1 1 1 1 1 1 1
（4-97） 待定点坐标的权倒数仍为相应的主对角线上的元素，而相 关权倒数则在相应权倒数联线的两侧。
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第三节
任意方向 的位差
为了求定P点在某一任意方向 上的 位差，需先找出待定点P在方向上的真误 与纵横坐标的真误差 x, y 差 的函数关系，然后求出位差。P点在方 向上的位置真误差，实际上就是P点点位 真误差在方向上的投影值。如图
1
（4-100） （4-101）
（4-102） 将QEE，QFF乘上单位权方差就可求出P点位差的极大值E和极 小值F，计算式为 2 E 2 02QEE 0 (Qxx Qyy K ), （4-103） 2
F 2 02QFF
或
02
2
(Qxx Qyy K ),
由（4-98）式计算任意方向 上的位差时， 是从纵坐标 轴x顺时针方向起算的。现导出有E、F表示并以E轴（即方向 E轴）为起算的任意方向上的位差，这个任意方向用 表示 （图4-15）。
第五章
第一节 概述
误差椭圆
第二节
第三节
点位误差的计算
任意方向 的位差
第四节
第五节
位差的极大值E和极小值F
以极值E、F表示任意方向 上的位差
第六节
第七节
误差椭圆
相对误差椭圆
第一节
概述
控制点的平面位置是用一对 平面直角坐标来确定的。坐标是由 观测值的平差值计算所得的，因此 不可避免地带有误差。 在图4-12中，A 为已知点，假设 它的坐标是不带有误差的数值，P 为待定点的真位置，P为由观测值 通过平差所求得的最或然点位，在 待定点P的这对坐标之间存在着误 差，由图知 x ~ x x (4 89) ~ y y y
Qxy x Q yy QEE 0, 由此，可解得具有位差极大值的方向 E 为 Q xy （4-109） y QEE Q XX tg E x Q xy QEE Q yy
后两个等式可以作互相检核。 类似地，将 2 QFF 代入（4-408）式，得
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由于x和y的存在而产生的距离 P 称为点 P 的点位真误 差，简称为真位差。由图知
点的最或然坐标 x和y 都是由是由同一组观测值通过平差所求 P 得的结果。设平差后的坐标 x和y 与观测向量之间的线性函数 关系为
P 2 x 2 y 2
(4 90)
x a0 aL,
P 0 xx yy
关于Qxx，Qyy的计算问题，现分别按两种平差法概述如 下。 当以三角网中待定点的坐标作为未知数，按间接平差法平 差时，法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵 QXˆ，当 ˆ X 平差问题中只有一个待定点时
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QXˆXˆ
其中主对角线元素Qxx、Qyy就是待定点坐标x和y的权倒 数，而Qxy或Qyx则是它们相关权倒数。相关权倒数将在后面 的公式推导中用到。当平差问题中有多个待定点，例如s个待 定点时，未知数的协因数阵为
Qxx ( B PB ) Q yx
T 1
Qxy Qyy
（4-96）
Qx x Qy x QXˆXˆ ( B T PB ) 1 2s,2s Qx x Q yx
1 1
Qx y
1 1
Qx x
1 1
Qx y
s u
a a a
2 p
2 x
2 y
(4 92)
P s u ,
2 2 2
依（4-9）式又可以写出
点位置，这在测量工作中也是一种常用的方法。 上述的 s 和 u 分别为P点在纵横坐标 x和y 方向上的中误差， s 和 u是P点在AP边的纵 或称为 x和y 方向上的位差，同样， 向和横向上的位差。
解之，则有 1 1 2 (Qxx Qyy ) (Qxx Qyy ) 2 4(Qxx Qyy Qxy ), 2 2
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即得
式中
1 QEE (Qxx Qyy K ), 2 1 2 QFF (Qxx Qyy K ) 2
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
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第二节
点位误差的计算
待定点的纵横坐标的方差是按下式计算的： 2 2 1 x 0 02Qxx Px （4-94） 1 y2 02 02Qyy Py 根据（4-91）式可求得点位中误差 （4-95） 2 2 (Q Q )
2 2 E(P2 ) E(x 2 ) E (y 2 ) ax ay ,
y
式中E (P 2 )是P 点真位差平方和理 庥产均值，通常定义为P 点的位方差， 2 并记为a y ,于是有
2 2 a2 a a (4 19) p x y 如果将图9-1中的坐标系旋某一角度， 即以 x,y为坐标系（ 图4-13），则A， ~ ~ ~ ~ y) P、 ( x, y)各点的坐标分别为( x A , y A ), ( x , 。 虽然在新坐标系中对应的真主误差 x和y的大小变了，但 P 的大小 将不受坐标轴的变动而发生变化，
4-14点位真误差PP’在方向上的投影值 为PP'''。 由图4-14可以看出 与 x, y的关系为
PP' ' PP' ' PP' ' cos x sin y
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根据协因数传播律得
即为求方向 的位差时的权倒数。类似于（4-94）式，若 以 Q 乘以单位权方差 02，即得
2 2 02Q 02 (Qxx cos 2 Qyy sin Qxy sin 2 )
Q Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
（4-98） 此式即为P点在给定方向 上的位差计算式。式中单位权 方差为常量， ，而 Q是 的函数。 2的大小取决于 Q
如果由（4-110）式类似地推导，也可得
tg 2 F
合并上两式，记为
2Qxy
Q xx Q yy
tg 2 0 2Q xy
Q xx Q yy （4-111） 由此式也可求方向 0 有两个要素，一个极大值方向 ， E 另一个是极小值方向 F。
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第五节
以极值 E、F表示 任意方向 上的位差
第四节 位差的极大值 E和极小值 F 当方向 取图4-14中的x，y，x‘，y’或AP方向以及垂直于
展开得
Qxx Qxy | QXˆXˆ I | [ ] 0（4-99） , 2 2 (Qxx Qyy ) (Qxx Qyy Qxy ) 0,
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此时 P 2 x 2 y 2 , 依(4 91) 式可以直接写出
由（4-91）和（4-92）式可见，点位方差 a 2 p总是等于两个 2 2 2 相互垂直的方向上的坐标方差a x 和 ax 和 ay 的平方和，即点位 方差a 2 的大小与坐标系的和选择无关。 p 如果再将P点的真位差P投影于AP方向和垂直AP的方向 上，则得 和 （图4-12）此时有
1 1
Qx x
1 1
1 1
Qy x
1 1
Qy x
1 1
Qy y Qx y Qy y
1 1
Qy y Qx x Qy x
1 1
1 1
1 1
Qx y Qy y
1 1
1 1
Qx x Qy y
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Qx y Qy y Qx y Qy y
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Pp2 2s 2u (4 93) 式中 s称纵向误差， u称横向误差，通过纵横向误差求定
为了衡量待定点的精度，一般是求出其点中误差 p 。 为此，可求出它在两相互垂直方向上的中误差。例如， x和 y 或 和 就可由（4-91）或（4-93）式计算点位中误差了。 s u 从以上的讨论中可以看出，点位中误差 p 虽然可以用来评 定待定点的点位精度，但是它却不能代表该点在某一任间方 向上的位差大小。而上提到的 等等，也只 y， x， 和 s u 能代表待定点在x 和y轴上以及在AP边的纵向、横向上的位差。 但在有些情况下，往往需要研究点位在某些特殊方向上的位 差大小，此外还要了解点位在哪一个方向上的位差最大，在 哪一个方向上的位差最小，例如，在工程放样工作中，就经 常需要研究这个问题。为了便于求定待定点位在任意方向上 位差的大小，一般是通过求出待定点的点位误差椭圆来实现 的，通过误差椭圆可以求得待定点在任意方向上的位差，这 样就可以较精确地、形象而全面地反是非曲直待定点点位在 各个方向上误差的分布情况。