工程力学(天津大学)第10章答案
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习题
10−1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F ，已知l =6m ，F =20kN ，工字钢的型号为20a ，求梁中的最大正应力。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m 30max =M
查表知20a 工字钢 3
cm 237=z W
则 MPa 6.126Pa 106.12610
237103066
3
max max =⨯=⨯⨯==-z W M σ 10−2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l ，截面高度为h ，宽度为b ，材料的弹性模量为E ，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩方程为 ()22
1
21qx qlx x M -=
则曲率方程为
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变 ()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
=
22121
22qx qlx EI h
x h x z
ρε
下边缘伸长为 ()23
020221212Ebh ql dx qx qlx EI h dx x l l
z l
=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==∆⎰
⎰ε 10−3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。
解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。
10−4 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
b
h
解：
1、设截面的形心到下边缘距离为y 1
则有
cm 33.74
108410
4104841=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=
y
则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y
于是截面对中性轴的惯性距为
4
2323cm 0.86467.24101241033.3841284=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯=z I 2、作梁的弯矩图
设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面
MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.16
8
231max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.910
0.8641067.410778.168
2
32max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z D σ 在E 截面上
MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.16
8
232max t,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.810
0.8641033.7100.168
2
31max c,=⨯=⨯⨯⨯⨯==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa
61.9max c,=σ
10−5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F ，已知l =4m ，b =120mm ，h =180mm ，弯曲时材料的许用应力[
C
σ]=10Mpa ，求梁能承受的最大荷载F max 。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4
max
Fl M =
矩形截面梁 6
2
bh W z =
则由 []σσ≤=z W M max max 得 []6
42
bh Fl σ≤
即 []N 64804
318.012.021*******
2=⨯⨯⨯⨯⨯=≤l bh F σ 10−6 由两个28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ，求梁的许可荷载[F ]。
解：作弯矩图
梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max
=
矩形截面梁 3'max
'
max cm 656.6802====z z z z W y I y I W
则由 []σσ≤=
z
W M max
max
得 []z W F σ≤4 即 []N 289274
10656.680101704
66=⨯⨯⨯=≤
-z
W F σ
10−7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l =3m ，F =3kN ，q =3kN/m ，弯曲时木材的许用应力
b
h
[σ]=10MPa ，试选择圆木的直径d 。
解：作弯矩图
则由 []σσ≤=
z W M max max
得 []
σmax M
W z ≥ 即
6
3
3
101010332⨯⨯≤
d π，得145mm m 145.0=≥d
10−8 起重机连同配重等重P =50kN ，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F =10kN ，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。
解：设起重机左轮距A 端为x ，则有 2650x M C
-=，803862++-=x x M D
从而确定出 kN.m
2.104max
=C M ，kN.m
2.140max
=D M
即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140
则由 []σσ≤=z
W M max max 得 []3
46
3max m 1025.810170102.140-⨯=⨯⨯=≥σM W z 又对于本题 'max
'
max 2z z z z W y I y I W ===
所以3344
'
cm 5.412m 10125.42
1025.82=⨯=⨯==--z z
W W
2.042kN.m