ARCH族模型.
上证指数收益率的ARCH族模型与实证分析
２ 模 型
２ １ ＡＲ Ｈ 模 型 ． Ｃ
ＡＲ Ｈ 模 型表达式 如下 ： Ｃ
Ｙ 一 ＋
ＧＡ Ｃ Ｒ Ｈ模 型的优点在 于 ： 以用 低 阶 的 ＧＡ Ｃ 可 Ｒ Ｈ 模 型来代表 高 阶 Ａ Ｃ 模 型 ， 而 使模 型 的识 别 Ｒ Ｈ 从 和估计都 比较 容 易． 金 融 风 险分 析 中 ， ＡＲ Ｈ 在 Ｇ Ｃ
２１ ０ １年 ｌ ２月
郧 阳 师 范 高等 专科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ Ｙｕ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓ Ｃ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｄｅ ． ２Ｏｌ ｃ １
第３ 卷第６ ｌ 期
Ｖｏ ． １ Ｉ ３ ＮＯ ６ ．
上证指 数 收益 率 的 ＡＲ ＣＨ 族模 型 与实 证 分析
递减， 上海 指数 收益率 的持续 特征 明显 ， 沪市 的总
体 波动很 大．
第 ４ 模 型的 ＡＩ ， Ｃ和 Ｓ Ｃ值都 较 小 ， 以认 为 可
该模 型较 好 的拟合 了数据 ．
第 ２ 参 数 估 计 显 著 ， 明 收 益 率 序 列 ， 表
｛ Ｒ ）具有 显著 的波动机 群性．
回归结果 显 示 只有 ＡＲ（ ） ＡＲ（ ４ ， ６， １ ） ＡＲ（ ５ ， １ ）
ＡＲ（ ９ 的系 数是 显著 的． ２） 因此 ， 计 收益 率 序列 估
关 于 自身之 后项 的 自回归模 型为 ：
Ｒ， ＝ Ｒ ６ ＪＲ １４ Ｒ １４ 岛Ｒ ２４ ￡ （ ） ９ 。 － ４ １ － ６ － 。 － ４
综 指 的 日收盘 价 ， 计 １ １ 共 ９ ８个观 察 值 ． 据 来 源 数 于搜 狐证券 网． 文所 有 数 据 均 通 过 Ｅ ｉｗ ５ ０ 本 ｖｅ ｓ ． 进 行 统计处 理． 票 市 场 日收 益 率 以相 邻 两 天 收 股
使用ARCH模型进行金融计算
使用ARCH模型进行金融计算ARCH模型是金融领域中常用的一种计量经济学方法，用于分析和预测金融时间序列数据的波动性。
ARCH模型的全称是自回归条件异方差模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model），它能够捕捉到金融市场中的波动性聚集现象，帮助投资者更好地理解和应对市场风险。
首先，ARCH模型的基本思想是，金融市场中的价格和收益率并不是随机波动的，而是存在一定的波动性聚集现象。
也就是说，市场的波动性在某个时期内可能会比其他时期更高或更低。
ARCH模型通过引入条件异方差的概念，能够对这种波动性聚集进行建模。
ARCH模型的核心是条件异方差，即波动性的方差是与过去的波动性有关的。
在ARCH模型中，通过引入滞后期的平方误差项来捕捉波动性的变化。
具体来说，ARCH模型可以表示为：σt^2 = α0 + α1ε(t-1)^2 + α2ε(t-2)^2 + ... + αpε(t-p)^2其中，σt^2表示第t期的条件异方差，ε(t-i)表示第t-i期的误差项，α0、α1、α2...αp是模型的参数，p是滞后期数。
ARCH模型的核心思想是，过去的波动性会对当前的波动性产生影响，通过对过去波动性的建模，可以更好地预测未来的波动性。
ARCH模型的应用范围非常广泛，包括股票、债券、汇率、商品等金融市场中的各种时间序列数据。
例如，在股票市场中，投资者可以利用ARCH模型对股票的波动性进行建模，从而制定更合理的投资策略。
在外汇市场中，投资者可以利用ARCH模型对汇率的波动性进行预测，从而进行有效的风险管理。
此外，ARCH模型还可以与其他模型相结合，进行更复杂的金融计算。
例如，可以将ARCH模型与随机游走模型相结合，构建GARCH模型（GeneralizedARCH Model），从而更准确地描述金融市场中的波动性聚集现象。
GARCH模型在金融风险管理、期权定价等领域有着广泛的应用。
ARCH族模型在上证收益率变动中的实证研究
股票市场的波动对 投资决 策来 说至关重 要 ， 成为 也 金融经济学家们长期关注的问题。经 过大量关于金融价 格行为 的实证研究 已经 证实 ： 动是 随时间变化 而变化 波 的。 自Ｅ ｎ ｅ于 １８ ９ ２年首次提 出 自回归条件异方差模 型 后， 出现不少 的扩 展形 式 ， Ｇ Ｒ Ｈ， Ｇ Ｒ Ｈ，Ａ Ｃ 如 Ａ Ｃ ＥＡ Ｃ ＴＲＨ 模型等 ， 进一 步证 实在 某种 程度 上波 动是 可以预测 的。
２
＝ ＋∑ 一＋ 一 一＋∑岛 一 （ 。 ｄ， ５ ）
其 中 是一个虚拟变量 ， 当 ＜０时， ， ｄ ＝１对方差
的 用系 为∑ ｙ ＞ 时， ＝ ，方差 作 作 数 ； ０ ｄ ０对 的 用
系数为 ＞ ； ’ 不同的信息给方差带来有差异的冲击。
力和发展状况。因此 ， 对股票市场进行深入研究 ， 探寻其
发展的 内在规律 ， 之能够更 好地 为 国家 经济发展Leabharlann 服务 使就显得尤为重要。
ｖ（ 一 ＝ ＝ ＋ ａ 。 。 ∑ ｒ ）
＋∑
（） ４
其 中： ｐ≥０， ≥０ ａ ｑ ， ０＞０ ｌ ０ ＝１ … ，） ≥ ， ≥ （ ， ｑ， ０ ｊ＝ １ … ，） （ ， Ｐ
含 的滞后 因子 ， ｔ 在 时刻可获得 的信息集 一 的条 件 。
下， 为随机干扰项， 以 其期望值为零 ， 条件方差为 。 ：
对于回归方程
Ｙ ＝ （） １ （） ２ （） ３ Ｅ（ ＝０ ｖｒ￣ ｇ） ，ａ（ 一） ＝ 。
＝ ｏ ＋ ｌ ２ ｌ ＋ ２ Ｉ —
≠０ 明信息不对称 ； ０表 明 ＞ ＜０ 说 ｙ＜ ， ０比 对波
动的影 响更大 ， ７＞０ 说明 ＜０比 ＞０ ， 对波动的影响 更 大。
ARCH学习总结
ARCH 学习1. ARCH 模型 定义：均值方程t t ε= ~..t i i d ν 2()0()1t t E E νν== 01at j t jj h ααε-==+∑ 特性：A.无条件均值 B.条件均值 C.无条件方差 Ｄ．条件方差高铁梅版本总结自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model ， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。
自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点，但时间序列同样也存在异方差特征，在金融数据上这一特征很明显。
为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。
ARCH 的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(= σ2 t )依赖于时刻(t -1)的扰动项平方的大小，即依赖于 û2t - 1 。
ARCH 模型如果 ut 的均值为零，对 y t 取基于(t -1)时刻的信息的期望，即Et -1(yt )，有如下的关系： 即第一个方程式为均值方程。
假设在时刻 ( t -1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的条件分布是：~ 也就是，ut 遵循以0为均值，(α0+α1u 2t-1 )为方差的正态分布。
由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程： 通常用极大似然估计得到参数γ0, γ1, γ2, ⋯⋯, γk , α0, α1的有效估计。
容易加以推广，ARCH (p )过程可以写为： （6.1.8） 这时方差方程中的(p +1)个参数α0, α1, α2, ⋯⋯, αp 也要和回归模型中的参数γ0, γ1, γ2, ⋯⋯, γk 一样，利用极大似然估计法进行估计。
如果（6.1.8）中方差不存在异方差，则02)var(ασ==t t u即： 相应的检验，对（6.1.8）建立方程，如果显著为0，即不存在异方差，否则存在异方差，等价于存在ARCH 效应。
ARCH族模型
Mean
0.000125
Median
-0.001175
20
Maximum
0.104160
Minimum
-0.084541
Std. Dev.
0.029352
Skewness 0.430958
10
Kurtosis
4.323751
Jarque-Bera 41.58695
Probability 0.000000 0
• 示例
20
ARCH模型的检验 (1)
一、自回归条件异方差的LM检验
(1)建立原假设：
H0 :1 2 q 0
H1
:
1
,
2
,
,
不
q
全为
零
(2)
估计yt
xtT
，
t
求ˆt，
计算ˆt2
(3) 估计辅助回归式：
ˆt2 0 1ˆt21 qˆt2q t
(4) 用第2步得到的可决系数R2构成统计量LM TR2。
在这个模型中， 由 0，于所以负t1的 要比正的 t1
计算得到更大的差当方期差残值。
17
因子模型（1）
• 因子模型通过一个单一的GARCH波动性，市场因 子的波动性的估计和预测来估计预测个体资产的波 动性和相关性。在资本资产定价模型中，单一资产 或者证券组合的回报与市场回报之间的关系可用回 归方程表示。
• （输出见下页） • F统计量，TR2均显著
7
ARCH模型
• ARCH模型很好的捕捉了金融时间序列中 波动的簇聚现象(即大的波动往往跟随着大 的波动；小的波动之后往往跟随着小的波 动)，随后这一模型被不断的用来研究金融 市场的收益序列变化的问题，并且由于它 自身的灵活性，ARCH模型得到不断地改 进，成为一个庞大的ARCH模型族。
arch模型
ARCH 模型不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。
例如，宏观经济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确定性等。
在模型分析中，经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度量。
而且为了分析简洁，通常对模型作出一些假定，例如在回归模型中假定随机扰动项满足零均值、同方差和互不相关。
然而，实践表明，许多经济时间序列在经历一段相对平稳的时期后，都有非常大的波动。
如图，沪深股票市场日收益率变异情况就具有这种特性。
在这种情况下，同方差假定是不恰当的。
在这种情况下，人们关心的是如何预测序列的条件方差。
例如，作为资产持有者，他既关心收益率的预测值，同时也关心持有期内方差的大小。
如果一位投资者计划在第 t 时期买入某项资产，在第 t+1 时期售出，则无条件方差（即方差的长期预测值）对他来讲就不重要了。
对于这一类问题，可以使用自回归条件异方差模型 （autoregressive conditiona heteroskedastic model ，简称 ARCH 模型）来进行分析。
最早的 ARCH 模型是由 Robert Engle 于 1982 年建立的，因此它的发展历史不长。
但是，这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的分析，ARCH 模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。
第一节 ARCH 模型的概念与性质 1、ARCH 过程ARCH 模型的一般性定义如下。
假设时间序列{}t y 服从如下回归模型：'t t ty x u ξ=+(8.1.1)其中 t x 是外生变量向量，它可以包含被解释变量的滞后项，ξ是回归参数向量。
如果扰动项序列{}t u 满足：11|~(0,)(,,)t t t t t t q u N h h h u u ---Ω= (8.1.2)其中：11122{,',,'}t t t t t y x y x -----Ω= 为t 时期以前的信息集。
ARCH模型综述改进版PPT课件
E-GARCH模型文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson，1991） 提出。条件方差被指定为：
log
2 t
0log
2
t 1
ARCH(m)模型
模型假定
a , a L a 2
2
t tt t 0 1 t 1
m t 2 m 0> 0 ,对 i> （0 ,有 3. 1i.> 30 ）
t 独立同分布随机变量序列，均值为0，方差为1，0> 0 ,对 i> 0 ,有 i> 0
2）ARCH模型对参数的限制是相当严格的。例如不同阶距 对a1的限制。
3）对于弄清一个金融时间序列的变化的来源， ARCH模型 不能提供任何新见解。它只是提供一个机械的方式来描 述条件方差的状态，而对由什么引起这种变化没有给出 任何启示。
4）ARCH模型会过高估计波动率，因为它对收益率序列大 的孤立的抖动反应缓慢。
第二次则是长记忆在经济学上的研究取得突破，与ARCH 模型相结合所产生的一系列长记忆ARCH的研究从1996年 至今方兴未艾ARCH类模型因其良好的统计特性和对波动 现象的准确描述，被广泛地应用于对经济类时间序列数据， 如利率、外汇汇率、通货膨胀率等的回归分析及预测中。
我们将把介绍的重点放在ARCH模型早期阶段及第一次突 破进展阶段。
GARCH模型认为，在一定时期内，误 差项的方差不仅取决于误差项过去的 方差，而且还取决于过去的误差项本 身。
GARCH(1，1)模型 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
ARCH模型专题PPT课件
考察严平稳随机序列{yt}, 且Eyt<. 记其均值Eyt=, 协 方 差 函 数 k = E { ( y t- ) ( y t + k- ) } . 其条件期望(或条件均值):
依条件期望的性质有
E ( y t y t- 1 , y t- 2 , … ) ( y t- 1 , y t- 2 , … )
同样，{t}也是平稳鞅差序列。
(1.8)
于是式可以写成
yt=( yt-1,yt-2,…) + S(yt-1,yt-2,…)t
此式可称为条件异方差自回归模型
（）
所谓条件异方差就是指: 条件方差S2(yt-1,yt-2,…)不为常数.
第5页/共15页
在条件异方差模型问世以前, 时间序列分析主要讨论自回 归结构, 或者说, 主要讨论(yt-1,yt-2,…)的有关内容.
当条件异方差模型问世后, 在时间序列分析中, 特别是建模 分析中, 就包含了两个内容,一个与(yt-1,yt-2,…)有关; 另一 个与S(yt-1,yt-2,…)有关.
如何统计分析它们, 是摆在我们面前的主要问题.
考虑如下的模型
yt=et, 它的标准化的模型(0.12)为
(1.10)
yt=S(yt-1,yt-2,…)t.
第8页/共15页
在对ARCH模型的理论研究和应用中, 人们自然会发问:
在式中, yt的条件方差S2(yt-1, yt-2, … ) ht=0+1yt-12+2yt22+…+pyt-p2, 只依赖于p个历史值, 能否考虑依赖全部历史值 的情况?
Bollerslev(1986)给出了回答, 他提出了如下的更广的模型, 即
• 其三, 如前所述, (1.13)式的条件 0>0, 仍不能放宽为 00. 而且, (1.13)式中的条件 i0, i=1,2,…,p, 还应附加一个限制: 1+2+…+ p>0,
ARCH模型(1)
Distribution，GED)， Bollerslev, Engle and Nelson(1994)用广义t 分布。 考虑到分布的非对称性，一些学者用混合分布，如正态-普
中信指数报酬平方序列自相关系数
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
z 天报酬平方序列存在显著自相关
中信指数报酬绝对值序列自相关系数
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10
ARCH
既然条件方差ht是偏差εt 平方的期望值，那么，滞后误差平方的线性组
合是对近期方差趋势的一种度量，通过条件方差方程已将近期方差融入 在条件方差ht中。令 ηt=ε t ht
其中， ηt Ψt−1 ~ N (0,1) 。既然ht 是信息集合Ψt-1元素的函数。在Ψt -1的条件
下，ht是固定的。因而，εt是条件正态分布，其均值和方差为：
0.048*** 211.40* 294.90* 393.24*
绝对值 0.244* 0.253* 0.220* 0.177* 0.174* 0.174* 0.171* 0.168* 0.159* 0.137* 0.159* 0.110* 382.46* 584.25* 847.47*
报酬 0.042 -0.025 0.040 0.026 -0.007 -0.034 0.019 0.019 -0.008 -0.024 -0.029 0.115* 6.638 24.228** 47.768*
基于arch族模型的沪市股票波动性的实证分析学士学位论文
基于arch族模型的沪市股票波动性的实证分析学士学位论文毕业论文题目基于ARCH族模型的沪市股票波动性的实证分析学院数学与统计学院专业统计学基于ARCH族模型的沪市股票波动性的实证分析摘要：本文以上证综指为研究对象, 运用EViews6.0统计软件对样本数据进行统计分析, 主要得出以下结论：序列数据具有显著的“尖峰厚尾”特征, 存在波动的聚集性效应, 上海股市具有显著的ARCH效应, 并且股市“杠杆效应”显著. 通过各个模型的参数估计、适应性检验以及模型的AIC、LogL的比较分析, 最终得出结论E-GARCH(1, 1)模型比较适合刻画上证综指的波动特性.关键词：ARCH效应; 条件异方差; GARCH模型; E-GARCH模型; TARCH模型分类号：O212文献标识码：AThe Empirical Analysis of the Volatility of ShangHai Stock Market based on the ARCH model familyFENG Xue-feng(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui Gansu 741000) Abstract: Shanghai stock index is researched in the paper, the statistical software Eviews6.0 is used to analyse the characteristics of the sample. The main conclusions are the following: The series data have remarkable features of “rush back” . The significant ARCH effect and volatility clustering is surveyed in the Shanghai stock market. Through the comparision of parameter estimating, adaptability test and AIC、LogL of each model, the E-GARCH(1,1)model is the best one to simulate the volatility characteristics of the yield series of Shanghai stock composite price index.Key wards: ARCH effect, conditional heteroskedasticity, GARCH model, E- GARCH model, TARCH model目录1. 引言 (1)2. GARCH模型相关理论 (3)2. 1 ARCH模型 (3)2. 1. 1 ARCH模型提出的背 (3)2. 1. 2 ARCH模型的定义 (3)2. 1. 3 ARCH模型的特点 (4)2. 1. 4 ARCH模型的不足 (4)2. 2 GARCH模型 (5)2. 2. 1GARCH模型的定义 (5)2. 2. 2 GARCH（1, 1）模型 (5)2. 2. 3 GARCH模型的特点 (6)2. 2. 4GARCH(r, s)模型的不足 (6)2. 3 GARCH模型的其它拓广 (6)2. 3. 1 E-GARCH模型 (6)2. 3. 2 TARCH模型 (7)3. 沪市股价指数收益率的基本统计分析和检验 (9)3. 1收益率的描述性统计分析 (9)3. 2平稳性检验 (10)3. 3自相关检验 (10)3. 4 ARCH效应的检验 (11)4. 基于GARCH族模型对沪市股票波动性的实证分析 (13)4. 1基于GARCH(1, 1)模型的实证分析 (13)4. 2基于E-GARCH(1, 1)模型的实证分析 (15)4. 3基于TARCH(1, 1)模型的实证分析 (17)4. 4各种模型的比较分析 (19)5. 结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)附录 (24)1. 引言研究背景: 我国股市经过二十余年的发展, 取得了非凡的成就. 市场规模不断扩大, 机制越来越完善, 沪深股市能更好地反映我国国民经济状况.但是, 我国的股票市场与国外成熟市场相比, 仍然属于发展的新兴市场, 其波动性和风险明显较高, 尤其是异常波动出现的频率很高, 关于股票市场价格波动的研究大多集中在定性分析层面. 所以, 投资者和学者对股价波动特征以及影响因素非常关注. 投资者最感兴趣的是如何借助他们对股市波动特性的理解来获取理想报酬. 因此, 对股价波动特性的研究已成为现今数理金融不可缺少的一部分.对金融市场的许多研究表明, 大多金融时间序列的差残序列无自相关, 但残差平方序列存在显著的自相关, 即残差的方差（或波动）是一个随时间变化的量, 如股票价格、利率、汇率等. 这就对经典最小二乘回归所假定的残差序列为白噪声序列提出了质疑. 因此, 传统的回归模型, 尤其是最小二乘回归不再适用于对金融时间序列数据进行建模分析和统计推断.2003年, 著名计量经济学家——罗伯特?恩格尔(Robert Engle)和克莱夫?格兰杰(Clive Granger)利用金融时间序列的两个重要性质：时变性(time-varying volatility)和非平稳性(nonstationarity), 提出了一套新的统计分析方法. 为了刻画金融市场波动性的条件方差, 两位学者于二十世纪八十年代初提出了自回归条件异方差(auto regressive conditional heteroskedasticity, ARCH) 模型, 随后, 相继提出了ARCH模型的一些扩展模型, 如GARCH模型、TARCH模型、E-GARCH模型等, 进而形成了一个[1]ARCH族模型, 并且这类模型在解释金融时间序列的波动特性中得到广泛应用.程朝旭, 许俊和耿玉新[2](2005)利用ARCH族模型分析了沪市股票市场的波动性, 结果表明上海股市具有明显的ARCH效应, 呈现出波动的聚集性效应, 且股市“杠杆效应”显著; 安启光和郭喜[3](2009)利用ARCH族模型分析了我国沪市股票的日收益率, 研究表明在熊市坏消息产生的波动比同等大小的好消息产生的波动要大; 而在牛市, 利好消息产生的波动要比同等大小的利空消息产生的波动大.研究目的: 我国股市自诞生以来一直就表现出很大的不稳定性.基于解决实际问题的需要, 很多学者对我国股市波动特性以及变化规律进行了大量研究.然而, 有关股价格波动特性的大多研究基本上属于定性分析, 而没有进行定量分析; 虽然某些学者对股价格波动特性以及变化规律的某一方面进行了深入研究, 但未形成系统性. 本文仅针对上述不足, 把我国上海股市选为研究对象, 以实证分析作为主要参考标准, 通过各个模型的对比分析, 进行系统化研究, 目的在于探索我国股市价格的波动规律, 从而为投资者和管理者作决策提供一些科学依据.研究的分析方法: 本文以上证综合指数为研究对象, 利用ARCH族模型对沪市股票日收益率序列进行建模分析. 依据AIC、LogL准则, 对股票日收益率序列的基本统计量及模型的参数估计结果进行对比分析, 最终筛选出能够比较适合刻画上证综指日收益率的模型.本文股价指数的数据来源于和迅股道信息平台, 并用计量经济学软件EViews6.0进行统计分析和模型的参数估计.文章框架结构:1. 简述本文的研究背景及意义, 研究目的并提出研究的分析方法和框架结构.2.描述ARCH模型及GARCH模型, 给出了模型的精确定义、特点以及不足；并针对其不足给出了其它模型：E-GARCH模型、TARCH 模型.3. 对上证综合指数日收益率序列进行基本的描述性统计分析及相关检验.4. 用EViews6.0软件对样本序列数据进行ARCH族模型拟合, 根据检验结果建立比较合适的GARCH模型；再利用非对称的GARCH模型的特征刻画上证综合指数日收益率波动性的杠杆效应.5. 根据以上分析得出结论E-GARCH(1, 1)模型比较适合刻画上证综指日收益率序列的波动性.2. GARCH 模型相关理论2.1 ARCH 模型2.1.1 ARCH 模型提出的背景传统计量经济模型都假定样本方差为恒定常数, 实际上, 这一假设并不合理. 大量研究结果表明, 金融时间序列的方差是随时间变化的, 如股票市场收益率、利率、通货膨胀率、汇率等, 特别是股票市场收益率的表现, 在某个时间段波动较大, 而在另一时间段波动较小. 对于这种具有“尖峰厚尾、波动聚集性”等现象的金融时间序列数据, 不能用传统计量经济模型来拟合. 但我们可以发现：残差序列的方差呈现某种自相关. Engle 的ARCH 模型很好地埔捉到了金融时间序列数据的这个特点.ARCH 模型的全称是自回归条件异方差(auto regressive conditional heteroskedasticity, ARCH)模型, 该模型是由美国经济学家[4] E ngle(1982)提出的, 主要用于具有“波动聚集性”及方差随时间变化特点的金融时间序列数据的建模分析和统计推断.2.1.2 ARCH 模型的定义设1t ?-表示时刻1t -及时刻1t -以前的所有信息的集合, 对于序列{}t a , 如果1|t t t t a h ?η-= , (2.1)2201rti t ii h aαα-==+∑ , (2.2)iiN(0,1)t η～. (2.3)则称序列{}t a 是一个ARCH(r)序列(过程), 式(2.1)～(2.3)称为ARCH(r)模型. 其中的iiN(0,1)表示独立同标准正态分布. 显然, 在任何时刻t , t a 的条件期望及条件方差分别为1(|)0t t E a ?-= , (2.4)21(|)t t t Var a h ?-= , (2.5)t a 的条件分布为21|i i N (0,)t t t a h ?-～. (2.6) 一般要求00,α> 0(0),i i α≥> 以保证条件方差为正. 容易看出, 序列{}t a 的条件方差是一个随时间变化的量(即条件异方差), 这个随时间变化的条件方差是序列{}t a 的过去有限项平方的线性组合(即自回归), 因此, 该模型称为自回归条件异方差模型.为了方便, 有时也将ARCH(r)模型式(2.1)～(2.3)写成如下形式：122101|()rt t i t ii a a ?αα--==+∑ , (2.7)i i N (0,1t η～ . (2.8)或者 21|iiN(0,)t t t a h ?-～ , (2.9)2201rti t i i h a αα-==+∑ . (2.10)2.1.3 ARCH 模型的特点1) ARCH 序列呈现出波动的聚集性(voiatility clustering)效应, 即较大幅度的波动后面倾向于跟着一个较大幅度的波动, 较小幅度的波动后面倾向于跟着一个较小幅度的波动.2) 用ARCH 模型能够比较精确地估计模型参数, 提高预测精度以及可靠性. 当ARCH 效应存在时, 若仍使用传统经济模型进行参数估计及统计推断, 就会产生较大偏差; 如果使用ARCH 模型, 则可以克服上述不足，从而提高预测值的精度和预测的可靠性.3) ARCH 模型的一个显著特点是给出了计算时间序列的条件方差得方法, ARCH 模型的另一重要特征是发现了金融时间序列中比较显著的变化是可预测的.4) ARCH 模型把方差与条件方差区分了开来, 并假定条件方差是滞后残差的函数, 这为解决异方差问题提供了新的方法.2.1.4 ARCH 模型的不足1) 条件方差方程中的参数受到过度约束, 要求条件方差方程中的参数全是非负的.2) 限制金融时间序列的条件分布为正态分布. 实际上, 大量研究表明, 对条件分布为正态分布所建立的ARCH 模型进行残差分析、标准化残差拟合检验时却常拒绝条件分布为正态分布.3) 把条件方差2t h 看成2t i a -的线性函数, 而实际生活中线性情况并不多见; 因此, ARCH 模型不能很好地拟合非线性的情况.4) 条件方差2t h 只与2t i a -有关, 而与t i a -的正负无关. 实际上, 条件方差2t h 还取决于t i a -的符号的正负, 如金融产品的当前收益变化与未来波动呈负相关.2.2 GARCH 模型传统计量经济模型假设金融时间序列的样本方差为恒定常数，尽管ARCR(r)模型摆脱了这种“同方差”的限制, 使“异方差”成为可能, 但在实际研究中为了使拟合效果更好, 需要的阶数r .→∞ 于是, 当ARCH 模型的阶数过高时可以在式(2.2)右边加入过去的条件方差项, 就得到广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH), 该模型是由[5]Bollersive(1986)提出的. GARCH 模型的条件方差2t h 不仅与滞后项的残差项2t i a -有关, 而且也与滞后项的条件方差2t j h -有关.2.2.1 GARCH 模型的定义对于序列{}t a 如果1|t t t t a h ?η-= , (2.11)222011r sti t i j t j i j h a h ααβ--===++∑∑ , (2.12)iiN(0,1)t η～ . (2.13)则称序列{}t a 是一个GARCH(r, s)序列(过程), 式(2.11)～(2.13)称为GARCH(r, s)模型. 由于2,t i a - 2t j h -的非负性, 一般要求00α≥, 0,i α≥ 0(0,j i β≥> 0)j >, 以保证条件方差为正.2.2.2 GARCH(1, 1)模型GARCH(1, 1)模型虽然形式简单, 但它在金融学领域中有着广泛的应用.GARCH(1, 1)模型可表示为：1|t t t t a h ?η-= , (2.14)22201111t t t h a h ααβ--=++ , (2.15)()iiN 0,1t η～ . (2.16)其中()iiN 0,1t η～表示独立同标准正态分布, 参数满足条件00α≥, 10α≥, 10β≥.1|t t a ?-～GARCH(1, 1)是平稳序列的充要条件是11αβ+<1.2.2.3 GARCH 模型的特点1) 与ARCH 模型相比, 可用低阶的GARCH 模型代替高阶的ARCH 模型, 从而使模型的诊断与参数估计都变得较为容易.2) GARCH 模型除了具有ARCH 模型的优点外, 还在解释金融时间序列的波动性以及建模方面具有较强的优势. 2.2.4 GARCH(r, s)模型的不足GARCH 模型与ARCH 模型相比, 虽然适用性较强, 但GARCH(r, s)模型用于资产评估时存在一些不足：1) 股票收益和收益变化波动之间有时呈现出负相关现象, 但这种现象无法用GARCH 模型来解释, 从条件方差方程式(2.12)易知, 残差符号对波动无影响, 即条件方差对正的收益变化和负的收益变化的反应是对称的. 但是, 大量的实际研究表明,当出现好消息时, 波动趋向于减小, 当出现利空消息时, 波动趋向于增大. 而GARCH(r, s)模型无法解释这种非对称现象.2) 条件方差方程中假设所有系数均为非负, 这些限制暗含2t a 的任何滞后项都会使2t h 增大, 因而排除了2t h 的随机波动性.2.3 ARCH 模型的其它拓广2.3.1 E-GARCH 模型对实际金融时间序列数据的研究发现, 其分布较正态分布而言具有“尖峰厚尾”性的分布特征. 用GARCH 模型刻划这种现象较为合适, 但由于GARCH 模型假设条件方差是滞后残差平方和滞后条件方差的函数, 因此, 残差符号对波动无影响, 即条件方差对正的收益变化和负的收益变化的反应是对称的. 然而大量对金融时间序列的研究结果表明, 当出现利空消息时, 波动趋于增大；当出现利空消息时, 波动趋于减小, 为了测试这种现象, Engle 和Ng 于1933年给出了一种不对称的消息冲击曲线, 见图2. 1.为了拟合资产收益中的杠杆效应, [6]Nelson(1991)提出了指数GARCH(exponential GARCH, E-GARCH)模型, 其条件方差方程为：22011ln()()ln()qqti t ij t j i j h g h ααηβ--===++∑∑ , (2.17)其中(){||(||)t t t t g Eηθηληη=+- , (2.18)t t t a h η= . (2.19)目前E-GARCH 模型的条件方差方程表达式不唯一, 本文采用较常用的形式：22011ln()ln()(s rtj t jiij i h h αβαγ-===++∑∑ . (2.20)2.3.2 TARCH 模型考虑到正t i a -与负t i a -对时间序列t a 的条件方差2t h 有不对称影响, 于是由Glsoten 、Jagannathan 、runkle(1992)和Rabermannanjara 、Zakoian(1993)提出了TGARCH(threshold ARCH)模型, 该模型主要用于分析金融资产的“杠杆效应”, 即金融资产的波动率对利空消息的反应比对利好消息的反应更加迅速. 考虑TGARCH(1, 1)模型, 其条件方差方程表达式为22220111111t t t t t h a I a h ααγβ----=+++ , (2.21)其中, 1t I -为示性变量1t I -=1 (10t a -<）, (2.22) 10t I -= (10t a -≥）. (2.23) 在式(2.21)中211t t a I γ--项被称为TGARCH 项, 条件方差2t h 依赖于滞后的残差平方21t a -和条件方差21t h -的大小, 式(2.21)表明利空消息和利好消息对金融资产波动率的的影响是不对称的. 利空消息(10t a -<)对条件方差有(0αγ+)倍的冲击, 而利好消息(10t a ->)对方差只有(0α)倍的冲击. 当γ>0时, 负的1t a -对波动有更大的影响, 说明杠杆效应存在.上面所讨论的是一阶TGARCH 模型, 它还可以扩展为高阶模型：22220111r smti t i j t jk t k t k i j k h a hI a ααβδ----====+++∑∑∑ . (2.24)3. 沪市股价指数收益率的基本统计分析和检验3. 1 收益率的描述性统计分析下面对上证综指的日收益率序列建立GARCH 模型, 估计其条件方差序列并分析动态风险波动特性. 样本期从2000年1月4日至2007年11月30日的上证综指的收盘价格, 共1905个交易日. 数据来源于和迅股道信息平台, 以相邻两个指数在1905个交易日的日收盘指数为基本的分析数据, 并以t P 作为第t 日的股票收盘指数, 本文所有检验均由[7]EViews6.0软件实现.研究股票市场的波动特性, 以股票市场的日收益率作为研究变量, 股价指数的日收益率用相邻两日收盘指数对数的一阶差分来表示, 并用t R 来表示, 计算公式为：1ln()ln()t t t R P P -=-,其中t P 为第t 日的收盘指数, 1t P -为第1t -日的收盘指数, t R 为第t 日股价指数的日收益率.日收益率指数t R 组成新的样本序列. 对序列t R 进行基本的统计分析, 得到日收益率的描述性统计分析结果, 见图3. 1.图3. 1上证综合指数日收益率序列分布图由图3. 1 可知, 样本期内上证综指日收益率t R 的均值为0.0806%, 偏度为0.135693, 表明收益率明显右偏；峰度为7.1789647, 远大于正态分布的峰度值3, 表现出过度峰度,说明收益率的分布与正态分布相比呈现出“尖峰厚尾”的分布特征, 反映出股市存在暴跌暴涨现象；Jarque-Bera正态性检验也证实了这一点, 统计量为1392.030, 收益率序列服从正态分布的概率几乎为零, 从而拒绝收益率序列R服从正态分布的原假设.t3. 2 平稳性检验为了进一步研究收益率R的平稳性, 对样本日收益率序列进行单位根检验(采用tAugmented Dicky-Fuller), 检验结果见表3. 1.表3. 1 上证综指日收益率序列平稳性检验在1%的显著性水平下, 上证综指日收益率R的ADF检验t统计量的值为-41.93349,t远小于MacKinnon临界值-3.432815, 从而拒绝日收益率序列是随机游走的假设, 即上证综指日收益率序列不存在单位根, 是平稳序列. 这一结果与国外学者对发达股市的研究结果是一致的, Pagan与Bollerslev分别于1996年和1994年指出, 金融资产的价格一般是非平稳的, 经常会出现一个单位根(或随机游走), 而日收益率序列通常是平稳的. 3. 3自相关检验R作自相关检验, 选择最大滞后阶数为15, 检验结果见图3. 2.对收益率序列tR相关性分析图3. 2 收益率序列t从图 3. 2 容易看出收益率序列R不存在显著的自相关与偏自相关问题, 因此均值t方程中不需要自相关描述部分.对收益率的平方序列2R作自相关检验, 最大滞后阶数选为15, 检验结果见图3. 3.t图3. 3收益率的平方序列2R相关性分析t由图3. 3 可知, 2R与它滞后一阶的自相关系数为0. 116, 滞后二、三、八、十四阶t的自相关系数依次为0. 113、0. 143、0. 104、0. 139, 表明2 R存在明显的自相关.t3. 4 ARCH效应的检验上证综合指数日收益率的时间序列见图3. 4.图3. 4上证综合指数日收益率的时间序列图。
最全：ARCH,GARCH等模型家族是什么？软件如何做？怎么解释？
最全：ARCH,GARCH等模型家族是什么？软件如何做？怎么解释？稿件：***********************所有计量经济圈方法论丛的code程序, 宏微观数据库和各种软件都放在社群里.欢迎到计量经济圈社群交流访问.关于时间序列方法，我们引荐了1.时间序列分析的各种程序, 38页集结整理成文档，2.ARDL, ARIMA, VAR, (G)ARCH时间数据模型讲解及软件操作，3.R软件中的时间序列分析程序包纵览，4.时间序列分析的各种程序, 38页集结整理成文档，5.时间序列数据分析的思维导图一览, 金融经济学者必备工具，6.送书: 应用时间序列分析(经典)，7.为啥时间序列模型比较难学？时间序列的正名路，8.面板数据单位根检验软件操作和解读全在这里，9.动态面板回归和软件操作，单位根和协整检验（Dynamic Panel Data），10.疫情期计量课程免费开放！面板数据, 因果推断, 时间序列分析与Stata应用，11.送书: 应用时间序列分析(经典)，12.时间序列模型分解，季节调整分析基础，13.动态因子模型是什么, 又怎么去实现？ 14.动态面板分位数估计怎么做？15.动态面板门槛回归程序公布, 使用方法介绍，16.把动态面板命令讲清楚了，对Stata的ado详尽解释关于VAR方法，我们引荐了1.R软件中的时间序列分析程序包纵览，2.时间序列分析的各种程序, 38页集结整理成文档，3.时间序列数据分析的思维导图一览, 金融经济学者必备工具，4.送书: 应用时间序列分析(经典)，5.为啥时间序列模型比较难学？时间序列的正名路，6.时间序列中的协整检验和VECM，以及回归后的系列估计操作，7.时间序列模型分解，季节调整分析基础，8.空间和时间的计量，关注二位国人，P-VAR时变参数VAR系列文献和估计程序，10.向量自回归VAR模型操作指南针,为微观面板VAR铺基石，11.VAR宏观计量模型演进与发展，无方向确认推断更好，12.应用VAR模型时的15个注意点，总结得相当地道，13.面板数据单位根检验软件操作和解读全在这里，14.动态面板回归和软件操作，单位根和协整检验（Dynamic Panel Data），15.面板向量自回归PVAR是什么? 数据, 程序和解读一步到位，16.ARDL, ARIMA, VAR, (G)ARCH时间数据模型讲解及软件操作，17.动态因子模型是什么, 又怎么去实现？18.SVAR模型的起源、识别、估计与应用, 系统讲述，19.平滑转移自回归模型(STAR)应用与在R软件的操作，20.Copula函数，21.GVAR, 全局VAR模型是什么？该如何用软件实现, 有哪些研究文献和最新进展！今天，我们引荐一份“百科: ARCH, GARCH等模型家族是什么？软件如何做？怎么解释？”。
基于 ARCH 族模型对人民币汇率波动的实证研究
在某一 ARCH 过程中，由于 μt 的随机性，使得 μt2 为非负实 数，因此{μt}的所有可能值都为正时才是合理的。为使协方差平稳，
所以进一步要求相应的特征方程
的根全部位于
单位圆 外。如果 （αi=1，2，… ，p） 都 非 负 ，该 特 征 方 程 等 价 于 α1+α2+αp<1。
但是，当 ARCH 模型的阶数需要取一个很大值时，ARCH 模型
107
财经论坛
条件方差被指定为：
由于该式是以对数形式给出，因此得到的条件方差预测值都为
正数。当 γ<0 时，好消息有一个 α+γ 的冲击；坏消息有一个对
α+γ×(-1)的冲击。如果 γ≠0，则信息是非对称的。
因此，与 TARCH 模型类似，EGARCH 模型也可以对非对称性
进行一定的描述。除此之外，EARCH 模型的的一大优势是其条件方
参考文献： [1]姚战琪.基于 ARCH 模型的我国股票市场收益波动性研究.贵州财
经学院学报，2012-7-15. [2]孟晨.人民币汇率及其波动实证研究.吉林大学硕士论文，2015-05-01. [3]姜义美.2005--2007 年人民币汇率的波动—特征、原因研究.新疆
财经大学硕士论文，2007-06-01.
时得到了广泛的应用。但是不可避免的是，这一模型也有自己的弊
端。最主要的一点是其没有考虑到正、负外部冲击所产生的不同效
果，在现实中的使用遭到了限制。
为此，经济学家们又提出 TARCH 和 EGARCH 模型。波动的影响的非对称效果上
作出了很大的改进。
3.TARCH 模型。TARCH 或者门限 ARCH 模型条件方差指定为：
其中，dt-1 是虚拟变量：当 μt-1<0 时，dt-11；否则，dt-1=0。 在这个模型中，好消息有一个 α 的冲击；坏消息有一个 α+γ 的冲击。如果 γ>0，就说明存在杠杆效应，此时的非对称效应的作用 是使得金融市场波动增强；相反的，如果 γ<0，非对称效应则会使得 金融市场的波动减弱。 4.EARCH 模型。EGARCH 或指数 GARCH 模型由纳尔什提出。
ARCH模型
一、多变量ARCH 方法简介1、多元ARCH 模型的结构：多变量ARCH 估计量是ARCH （Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ，自回归条件异方差模型）估计量的多变量形式，该方法能够有效地估计以自回归的形式表示的模型中的误差项的方差和协方差。
多元ARCH 模型的均值方程可以用分块矩阵表示如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k u u u X X X y y y212121210000δδδ式中：i y 表示第i 个方程的T⨯1维因变量向量，i u 表示第i 个方式的T⨯1维扰动项向量，i =1,2,…, k ，T 是样本观测值个数，k 是内生变量，i X 表示第i 个方程的T ⨯i k 阶解释变量矩阵，如果含有常数项，则i X 的第一列全为1，i k 表示第i 个方程的解释变量个数（包含常数项），i δ表示第i 个方程的ik ⨯1，i =1,2,…, k 维系数向量。
式（12.2.53）可以简单地表示为u X Y +∆=式中：设=∆=∑=,1ki i k （1'δ2'δ…k 'δ）是m ⨯1维向量。
2、多元ARCH 模型的估计同单方程ARCH 模型的估计方法类似，多元ARCH 估计量仍然使用极大似然估计法联合估计均值方程和条件方差方程。
2、多变量ARCH 模型的三种基本设定：对角VECH 、不变条件协相关（Constant Conditional Correlation ，CCC ）和对角BEKK 。
3、多元ARCH模型的检验、预测及评估多变量ARCH的评估，一般来讲，联立方程模型的评估，首先都是讲其中的方程单独地逐个检查，考察使用的标准就是单方程的评估标准。
在这个过程中，可能会发现有些方程与数据拟合的很好而另外一些则不是很理想。
这是，就必须对模型整体在统计意义上的拟合性做出判断。
ARCH类模型
根据 2 取ARCH或GARCH形式而将模型称之为ARCH-M或GARCH-M模
t
型。这一扩展在描述资产预期收益与预期风险紧密相连的金融领域
有十分重要的意义。
ARCH-M模型
• 若用 y t表示某金融资产的收益率水平，方差 t 作为风险指标，表 示收益率水平的波动程度，那么模型（1.5）意味着除了包含传统 的解释金融资产收益率的各因素之外，还将风险因素 2 作为解释 t 变量，直接引入收益率的决定过程中。根据资产定价理论，股票 风险是决定股票价格的重要因素，一个证券投资者在做出某一投 资决策时，不但要考虑证券的收益率，还要考虑收益率的波动， 或者说风险的大小。方差的增加将导致预期收益率的增加，因此， 模型（1.5）所示的ARCH-M模型或GARCH-M模型恰好反映了“应将 风险因素引入金融资产定价过程”的思想，因而模型一经提出即 获得了广泛的应用。
特征应用于对未来时期变化的预测。我们将要利用估计出来的序列的模
型来预测该序列未来的变化，所以必须假定该序列所反映的随机变量的 特征在不同时期里，包括在过去和将来的时期里是保持不变的。 在此部分采用ADF来对平稳性进行检验。如果ADF统计量小于相应的 临界值，则序列是平稳的。如果ADF统计量大于相应的临界值，则表明序 列非平稳。
ARCH类模型分析检验的一般步骤
ARCH族模型分析一般包括如下五个主要步骤： 第一步，考察时间序列的统计特征。
检验序列值 y t 的均值、方差、峰度、偏度及Jarque-Bera等指标，
从而分析其正态性。如果序列显示出高峰厚尾的分布特征（如序列呈 偏态、峰度系数大于3）、 Jarque-Bera统计量显示其具有非正态性，则
log
log
2 t
ARCH模型-文档资料
t2 = 0 +
q
i 1
i
ut-i
+
p j 1
j
2 t
j
（5）EGARCH 模型 另 一 种 保 证 方 差 为 正 的 模 型 形 式 是 指 数 GARCH （ exponential GARCH），记为 EGARCH（Nelson 1991 年提出）。其形式是
Ln(t2) = 0 +
yt = xt' + t 2 + ut
（7）FIGARCH 模型
Ln(t2) = + (L)-1 (1- L) - d [1+(L)] f (ut-1)
f(ut) = ut+[ ut -E ut ]， E[f(ut)] = 0
d 0.5 时，FIEGARCH 具有二阶平稳性和可逆性。此模型既具有 EGARCH 模 型特点。负冲击似乎比正冲击更容易增加波动，又具有长记忆性。 （8）Power ARCH/GARCH（PARCH，PGARCH）模型(幂 ARCH/GARCH 模型)
2021/4/21
t2
=
0
+
1
ut
–1
2
+
1
t
2 -1
（3）TGARCH 模型
t2 = 0 + 1 ut –1 2 +
ut
–1
2
dt
–1
+
1
t
2 -1
其中 dt
0, 1,
ut 0 ut 0
TARCH 模型对于利好和利坏消息反应是不一样的。
2021/4/21
5
（4）ABSGARCH /ARCH 模型 与 ARCH(p,q) 模型比较，ut-i 代替了 ut-i2。采用绝对值形式减小了 ut2 的幅度。
21ARCH 模型
第9章 GARCH 模型前面介绍的模型都是预测被解释变量的期望值，而ARCH ，GARCH 模型预测的是被解释变量的方差。
ARCH 模型在分析金融时间序列中有着广泛的应用。
9.1 问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。
但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，x t = x t -1 + u t (9.1) 其中u t 为白噪声过程。
1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图9.1和图9.2。
80100120140160200400600800100012001400JPY (1995-2000)-8-6-4-2246200400600800100012001400D(JPY) (1995-2000)图9.1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图9.2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)2468200400600800100012001400Volatility of returns102030405060200400600800100012001400DJPY^2图9.3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图9.4 D(JPY)的平方 (1995-2000)这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。
（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering ）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。
（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail ）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
图9.5给出高峰厚尾分布示意图。
图9.6给出一个高峰厚尾分布实例。
显然现期方差与前期的“波动”有关系。
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3
ARCH模型族的产生历史（1）
• 1、分形理论之父曼德尔布罗特 (Mandelbrot， 1963) 首先发现了金融资产收益率的波动存在时 间序列上的“簇聚(Clustering)现象”，即幅度 较大的波动会相对集中在某些时段，而幅度较 小的波动会集中在另一些时段。
12
GARCH模型的定义
GARCH(q,p)的定义式如下：
yt X t
q
p
ht 0 it2i k htk
i 1
k 1
其中，0 0, i 0 , k 0.
与ARCH模型相比，尽管GARCH模型没有太多的 理论创新，但它的优点在于，可以用低阶的
q
p
ln ht 0 i gti k ln htk
i 1
k 1
其中，gti ti [ ti E ti ]；
0，， k 0( j 1,2, , p)，i 0(i 1,2,
q)，等为参数。
15
TGARCH模型
TGARCH 模型，又称门限GARCH 模型， 它是由Zakaran以及Runkle分别独立提出的。 该模型的条件方差具体形式如下：
7
ARCH模型
• ARCH模型很好的捕捉了金融时间序列中 波动的簇聚现象(即大的波动往往跟随着大 的波动；小的波动之后往往跟随着小的波 动)，随后这一模型被不断的用来研究金融 市场的收益序列变化的问题，并且由于它 自身的灵活性，ARCH模型得到不断地改 进，成为一个庞大的ARCH模型族。
8
ARCH模型基本思想
10
Kurtosis
4.323751
Jarque-Bera 41.58695
Probability 0.000000 0
1
2 t 1
2
2 t2
其中，t ~ N (0,1)
q
2 tq
则称误差项 t 服从ARCH(q)过程。
11
GARCH模型
• 引入条件方差的滞后期
Var[ t
| t1]
ht
a0
a1
2 t 1
1ht 1
• 从而简化了估算
• GARCH(1,1)的效力近似于ARCH(20)
(
)
T 2
ln(2 ) 1
2
T t 1
ln(
ht
)
1 2
T
h2 1 tt
t 1
求回归方程系数法的估计值的方法与ARCH模型类似，
也是求得关于L( )取最大值的值，如此求出和的估计值。
2、检验与ARCH模型效应检验方法类似（略）
25
步骤1
• 对是否存在ARCH效应的经验判断 • 检验序列的非正态性
ˆt2 0 1ˆt21 qˆt2q t
(4) 用第2步得到的可决系数R2构成统计量LM TR2。 其中T表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有：
LM TR2 ~ 2(q)
若LM 2 (q)，接受H0；若LM 2 (q)，接受H1
21
ARCH模型的检验(2)
二、自回归条件异方差的F检验
(1) 建立原假设：
H0 :1 2 q 0
H1
:
1
,
2
,,
不
q
全为零
(2) 估计yt xtT t，求ˆt，计算ˆt2
(3) 用ˆt2估计辅助回归式：
ˆt2＝0＋ t
(1)
ˆt2 0 1ˆt21 qˆt2q t
5、 Engle, Lilien, Robins(1987) 提出GARCHM模型。
6、Nelson (1991)提出Exponential GARCH模 型，简称EGARCH模型。
6
7.2 ARCH模型族的分类
1. ARCH模型 2. GARCH模型 3. ARCH-M模型及GARCH-M模型 4. 指数GARCH模型(EGARCH变得比较容易。
13
(G)ARCH-M模型
Engle, Lilien和Robbins(1987)提出 GARCH-M模型，该模型将条件方差的函数引入均 值方程，定义式如下：
yt xtT g(ht ) t
q
p
ht 0
统计特征（偏度、峰度） Jarque-Bera统计量
26
步骤2
• 确定均值方程 p R t 0 i Rti i i 1 P：ACF、PACF；Ljung-BOx统计量 参数：OLS
• 须先进行单位根检验
27
步骤3
• 续2，是否存在ARCH效应的严格检验 • 观察2中的残差或残差平方序列是否存在聚
• 这种金融变量随市场波动的特点是金融市场中 常见的、规律性的现象，而且许多资产回报的 边际贡献是高峰度的，这意味着与相同均值和 方差的标准正态分布相比他们具有厚尾性。
4
ARCH模型族的产生历史（2）
2、Bera(1965)用美元对英镑的每月汇率，美国 联邦政府的三个月期限的短期债券利率以及 纽约股票交易所每月的综合指数增长率，来 进一步验证了Mandelbrot的这些结论。
22 i M ,t
2 i j M ,t
2 i ,t
i , j ,t
这样，通过对上面两个线性回归方程的联立求解，可得到因子灵敏度参数i
以及误差方程和协方差的估计。
19
7.3 ARCH模型族的检验与估计
• ARCH模型的检验与估计 • GARCH模型的估计和检验 • ARCH模型族的分析四个步骤
第七章 ARCH模型族 与金融时间序列波动
特征的研究
1
主要内容
7.1 ARCH模型族的产生背景 7.2 ARCH模型族的分类 7.3 ARCH模型族的检验与估计 7.4 ARCH模型族在中国的应用
2
7.1 ARCH模型族的产生背景
• 传统金融计量学模型对风险或收益率波动特 征的理解和描述较为简单和粗糙。
18
因子模型（2）
ri,t i i M t i,t
其中，ri,t代表一个资产组合的收益率；M t代表市场在t期的收益率，
可以
知道，
为资产
i
组合的B
eta系数
假设hit为资产i组合在t期的标准差，hijt为在t期资产i和资产j之间的协方差，
因此列出下列方程组：
2
h h h i,t h h h ij,t
。
回归方程的对数似然方程为 :
T
log L( ) log f ( yt | xt , ) t 1
T 2
log(2 )
1 2
T
log(ht )
t 1
1 2
T ( yt
t 1
xtT )2
ht
23
ARCH模型的极大似然估计(2)
求的极大似然估计量就是求ˆ使 log L( )在 ˆ初获得极大值。 求 log L( )对的偏导数解得：
i
2 t i
k ht k
i 1
k 1
其中， 0，g(ht )是条件方差ht的单调函数，
g(ht )表示风险补偿
• 这与金融领域收益率（均值）与风险（方差）相关这一事实 相一致
14
EGARCH模型定义
Nelson在1991年对GARCH模型作了进一步推广，
提出了EGARCH(q, p)模型，其条件方差为：
ht
0
1 ( t1
)2
h2 1 t 1
其中0 0，1, 1, 0.
在这个模型中，由于
0，所以负的
t
要比
1
正的
t
1
计算得到更大的当期残差方差值。
17
因子模型（1）
• 因子模型通过一个单一的GARCH波动性，市场因 子的波动性的估计和预测来估计预测个体资产的波 动性和相关性。在资本资产定价模型中，单一资产 或者证券组合的回报与市场回报之间的关系可用回 归方程表示。
30
步骤1
• 描述性统计
40 Series: RSHA Sample 1 400 Observations 400
30
Mean
0.000125
Median
-0.001175
20
Maximum
0.104160
Minimum
-0.084541
Std. Dev.
0.029352
Skewness 0.430958
2
q
j
xt
j
ut
j
log L( )
1 2
T t 1
2
t
h2 t
ht
j 1
1
2 t 1
1 ht
2xt 0
t
2 tq
在上式为0条件下，求得的ˆ即为的极大似然估计量。
从而求出系数向量和.
24
GARCH模型的估计和检验
1、GARCH模型一般也是采用极大似然法对参数进行估计。
令： T , T ； 0,1,, p , 1,, q 。