直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章直角三角形的边角关系基础知识梳理

1．锐角三角函数．

在Rt△ABC中，∠C是直角，如图所示．

（1）正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A

的正切，记作tanA，即tanA=

A

A

∠

∠

的对边

的邻边

．

（2）正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A

的正弦，记作sinA，即sinA=

A

∠的对边

邻边

．

（3）余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=

A

∠的邻边

邻边

．

（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

（5）锐角的正弦和余弦之间的关系．

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos（90°-A）=cosB；cosA=sin（•90•°-•A）•=sinB．（6）一些特殊角的三角函数值（如下表）．

三角函数

角

sin cos tan

30°1

2

3

2

3

3

45°

2

2

2

2

1

60°

3

21

2

3

（7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，•已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小．

（8）三角函数值的变化规律．

①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．

②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（•或增大）．（9）同角三角函数的关系．

①sin2A+cos2A=1；②tanA=sin

cos

A

A

．

2．运用三角函数解直角三角形．

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对

边分别为a，b，c．

（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）．

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．

（3）边角之间的关系：sinA=a

c

，cosA=

b

c

，tanA=

a

b

．

所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有一个是边），•就可以求出其余三个未知元素．

解直角三角形的基本类型题解法如下表所示：

类型已知条件解法

两边两直角边a，b

c=22

a b

+，tanA=

a

b

，B=90°-A

一直角边a，斜边c

b=22

c a

-，sinA=

a

c

，B=90°-A

一边、一锐角一直角边a，锐角A

B=90°-A，b=

tan

a

A

，c=

sin

a

A

斜边a，锐角A B=90°-A，a=c·sin，b=c·cosA

注意：解直角三角形需要注意的问题：

（1）尽量使用原始数据，使计算更加准确；

（2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题；

（3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题；

（4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便；

（5）必要时画出图形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，•应当选用什么关系式进行计算；

（6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中．

3．解直角三角形的实际问题．

解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语．

（1）坡度、坡角．

如图所示，坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i

表示，即i=h

l

．

坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），则i=h

l

=tanα．

（2）仰角、俯角．

当从低处观测高处的目标时，视线和水平线所成的锐角称为仰角．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．如图所示．

（3）方位角和方向角．

①方位角：正北方向顺时针旋转与已知射线所成的角叫做方位角．如图所示的∠α（0°<α<360°）．

②方向角：正北或正南方向与已知射线所成的锐角叫做方向角．如图14-5所示的∠β（0°<β<90°），若∠β=30°，则方向角可记作南偏西30°．

（4）燕尾槽的深度、燕尾角．

燕尾槽的横断面如图所示，AE是燕尾槽的深度，AD是外口宽，BC是里口宽，∠B是燕尾角．

考点与命题趋向分析

（一）能力

1．通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道30°，45°，60•°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．

2．运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题． （二）命题趋向分析

1．三角函数是代数与几何衔接点之一，是三角学的基础，近年来锐角三角函数常与四边形、相似形、坐标系、圆等相结合出题，多涉及实际应用问题，如梯子的倾斜程度、坡度等问题．

【例1】（2004年河南省）如图1，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75°．如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是________米．

(1) (2) 【分析一】AB=AC+CB=

tan 75a ︒+tan 45b

︒

．

如图2，在Rt △ACB 中，∠C=90°．∠A=15•°，•∠ABC=75°， 在∠ABC 内部作∠ABD=15°，则∠BDC=30°，∠DBC=60°， 设BC=1，则BD=2，3， ∵∠A=∠ABD=15° ∴AD=BD=2 ∴3 ∴tan75°=

AC BC

23

+3