(数学分析教案)第七章
数分高数数学分析关于实数集完备性的基本定理
[a1 , b1 ] = [a, b]
a1 + b1 c1 = 2
如果
f (c1 ) 0
f (c1 ) = 0 结论已经成立，故可设
那么
f (a1 ) f (c1 )
与
f (c1 ) f (b1 )
f (a1 ) f (c1 ) 0
有一个小于零，不妨设 记
[a2 , b2 ] = [a1, c1 ]
lim(bn - an ) = lim
n
n = 1, 2,
b-a =0 n 2 n -1
（3） f (an ) f (bn ) 0
n = 1, 2,
由（1）和（2）知 { a , b } 是一个区间套，由定理
n n
7.1，存在 [an , bn ]
n n
n = 1, 2, 且有
故 ( , ) H , 使 ( , ), 于是由区间套定理推论
当n充分大时有 [an , bn ] ( , ).
这表明[an , bn ]只须用H中的一个开区间( , )就能覆盖， 与挑选[an , bn ]时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”矛盾.
从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a, b].
f ( x) M x0
作开区间集
H = {( x - x , x + x ) f ( x) M x , x [a, b], x ( x - x , x + x ) [ a, b]}
显然 H 覆盖了区间 [a, b] 根据有限覆盖定理，存在
H 中有限个开区间 ( x - , x + ) ( x2 - x , x2 + x ) 1 x1 1 x1
数学分析Cauchy收敛准则及迭代数列极限
第七章实数的完备性§1.Cauchy 收敛准则及迭代数列极限一引言问题极限{}n x 收敛、发散是什么意思？答如果存在数a ，使得lim n n x a →∞=，则称数列{}n x 收敛；反之称为发散。
问题上述关于数列“收敛性”的定义有何缺陷？答涉及数a ，这在理论上不够完美。
问题能否不涉及数a ，仅根据{}n x 本身的特性判断{}n x 的收敛性？答可以，如前面已学过的“单调有界定理”，“两边夹法则”，“Stolz 定理”等。
问题上述方法只是数列{}n x 收敛的“充分条件”，有无“充要条件”？答有，Cauchy 收敛准则――它是具有重要原则意义的敛散性充要判别法则，它揭示了实数的完备性。
二、基本数列（引进此概念仅为叙述方便）不严格的讲，如果lim n n x a →∞=⇒n 充分大时，n x a ≈⇒当n ，m 充分大时，0n m x x a a -≈-=，即从第m 个起，数列{}n x 的任意两项差别可以任意小。
严格的讲，有以下定义：定义1对每个ε>0，都能找到一个自然数N ，对一切n ，m ≥N ，成立不等式n m x x ε-<，则称{}n x 为（cauchy ）基本数列，记作,lim ()0n m n m x x →∞-=。
简写：{}n x 是收敛数列⇔,lim ()0n m n m x x →∞-=⇔0,,,N n m N ε∀>∃∀≥，n m x x ε-<。
例1若{}n x 收敛，则{}n x 必是基本数列例2{}(1)n -不是基本数列例31n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是基本数列。
三、Cauchy 收敛准则{}n x 收敛⇔{}n x 是基本数列四、实数系的完备性实数所组成的基本数列{}n x 比存在实数极限――实数系完备性；有理数域不具有完备性，如1(1)n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭：1lim(1)n n e n →∞+=（无理数）。
五、函数极限的Cauchy 收敛准则设f 在点a 某个去心邻域有定义，则极限lim ()x a f x →存在且为有限⇔lim[()()]0x a x af x f x '→''→'''-=0ε⇔∀>，0δ∃>，当0x a δ'<-<，0x a δ''<-<时，()()f x f x ε'''-<。
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 7 第七章拾遗 (7.2.1) 有限覆盖定理
一元微积分与数学分析—有限覆盖定理梅加强南京大学数学系在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα},α∈Γ在研究函数的时候,我们希望能将其局部性质转化为整体性质.从局部过渡到整体往往要用到所谓的有限覆盖定理.集合族:设Γ为集合.如果Γ中的每一个元素α都对应一个集合Aα,则称{Aα}α∈Γ为集合族(一族集合),Γ为这一族集合的指标集.当指标集给定时,集合族也简记为{Aα}.例如,{[a n,b n]}是以N为指标集的一族集合.集合之间的运算可以对集合族来定义.例如,交集运算可定义为Aα={x|任给α∈Γ,均有x∈Aα},α∈Γ并集运算可定义为Aα={x|存在α∈Γ,使得x∈Aα}.α∈Γ定理1(Heine-Borel)设{Uα}α∈Γ为R中的一族开集.如果闭区间[a,b]包含于这一族开集的并集之中,则[a,b]必定包含于有限个Uα的并集之中.定理1(Heine-Borel)设{Uα}α∈Γ为R中的一族开集.如果闭区间[a,b]包含于这一族开集的并集之中,则[a,b]必定包含于有限个Uα的并集之中.证明.如果指标集Γ是有限集,则结论不证自明.以下设Γ为无限集.(反证法)假设[a,b]只能包含于无限个Uα的并集,则二等分[a,b]后必有一个小区间也只能包含于无限个Uα之并,记该区间为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分,又必有一个小区间只能包含于无限个Uα之并,记该区间为[a2,b2].如此继续下去,得闭区间套{[a n,b n]},使得每一个[a n,b n]均只能包含于无限个Uα之并.证明(续).注意limn→∞(b n−a n)=limn→∞2−n(b−a)=0.根据闭区间套原理,{[a n,b n]}有一个公共点,记为ξ.根据题设,存在α0∈Γ,使得ξ∈Uα0.因为Uα是开集,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα0.根据闭区间套原理的证明,{a n},{b n}均收敛于ξ,故存在N,当n>N时a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ).此时有[a n,b n]⊂(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,这与[a n,b n]只能包含于无限个Uα之并相矛盾.ξ−δξ+δa n bnξ图1:有限覆盖定理例1证明:闭区间中的局部有界函数必为有界函数.例1证明:闭区间中的局部有界函数必为有界函数.证明.设f是[a,b]中的局部有界函数,则任给x∈[a,b],均存在δ(x)>0以及M(x),使得|f(y)|≤M(x),∀y∈x−δ(x),x+δ(x)∩[a,b].显然,[a,b]包含于集合族x−δ(x),x+δ(x)x∈[a,b]之并.由Heine-Borel定理,存在x1,···,x k∈[a,b],使得[a,b]⊂ki=1x i−δ(x i),x i+δ(x i).记M=max{M(x i)|i=1,2,···,k},则|f|≤M在[a,b]中总成立.定理2(Bolzano)有界数列必有收敛子列.定理2(Bolzano)有界数列必有收敛子列.证明.设{a n }为有界数列,不妨设a n 均包含于[a ,b ].断言：存在α∈[a ,b ],使得任给δ>0，(α−δ,α+δ)中均含有无限项a n .(反证法)假设不然,则任给x ∈[a ,b ],存在δ(x )>0,使得 x −δ(x ),x +δ(x ) 只含有限项a n .显然,[a ,b ]包含于集合族 x −δ(x ),x +δ(x ) x ∈[a ,b ]之并.由Heine-Borel 定理,[a ,b ]包含于有限个 x −δ(x ),x +δ(x ) 之并.这说明[a ,b ]只含有限项a n ,从而和a n 均包含于[a ,b ]相矛盾.利用此断言,我们选取{a n }的子列,使之收敛到α.事实上,先取a n 1∈(α−1,α+1).再取n 2>n 1,使得a n 2∈(α−1/2,α+1/2).如此继续,可得子列{a n k },使得当k ≥1时a n k ∈(α−1/k ,α+1/k ).显然,{a n k }收敛到α.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.证明.(反证法)如果不然,则存在一列闭区间{I n}n≥1,使得|I n|<1/n,但每一个Uα都不能完全包含任何一个I n.记I n=[a n,b n],由于{a n}为有界点列,根据Bolzano 定理,它有收敛子列,不妨设{a n}本身收敛,其极限记为ξ∈[a,b].显然,{b n}也收敛到ξ.根据题设,存在某个α,使得ξ∈Uα.由Uα为开集可知,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα.这说明,当n充分大时,必有a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,此时I n=[a n,b n]⊂Uα.这与I n的选取相矛盾.引理1(Lebesgue数引理)设{Uα}α∈Γ为一族开集,其并集包含了闭区间[a,b].则存在正数λ>0,使得长度不超过λ的任何闭区间I⊂[a,b]必定完全包含于某个Uα中.证明.(反证法)如果不然,则存在一列闭区间{I n}n≥1,使得|I n|<1/n,但每一个Uα都不能完全包含任何一个I n.记I n=[a n,b n],由于{a n}为有界点列,根据Bolzano 定理,它有收敛子列,不妨设{a n}本身收敛,其极限记为ξ∈[a,b].显然,{b n}也收敛到ξ.根据题设,存在某个α,使得ξ∈Uα.由Uα为开集可知,故存在δ>0,使得(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα.这说明,当n充分大时,必有a n,b n∈(ξ−δ,ξ+δ)⊂Uα,此时I n=[a n,b n]⊂Uα.这与I n的选取相矛盾.引理中的λ称为{Uα}α∈Γ的Lebesgue数.定理3(Cantor定理)设f∈C0[a,b],则任给ε>0,存在δ>0,使得只要x1,x2∈[a,b]且|x1−x2|<δ,就有|f(x1)−f(x2)|<ε.定理3(Cantor定理)设f∈C0[a,b],则任给ε>0,存在δ>0,使得只要x1,x2∈[a,b]且|x1−x2|<δ,就有|f(x1)−f(x2)|<ε.证明.根据连续性,任给x∈[a,b],存在δ(x)>0,当y∈(x−δ(x),x+δ(x))∩[a,b]时, |f(y)−f(x)|<ε/2.显然,[a,b]包含于开集族{(x−δ(x),x+δ(x))}x∈[a,b]之并,记此开集族的Lebesgue数为δ.设x1<x2∈[a,b],当|x1−x2|<δ时,根据Lebesgue引理,存在某个x∈[a,b],使得[x1,x2]⊂(x−δ(x),x+δ(x)).此时|f(x1)−f(x2)|≤|f(x1)−f(x)|+|f(x)−f(x2)|<ε/2+ε/2=ε.。
第七章线性变换
第七章线性变换一．综述在高中数学和数学分析课中曾学习过函数的概念,那是把函数的定义域定义在某数集（特别是实数域）上.我们同样可以将函数定义在向量空间上来研究.在第五章矩阵代数,第六章向量空间以及第一章映射的基础上,进一步讨论向量空间上的一些特殊的简单的函数——数量函数和向量函数,它们都是线性代数的主要研究对象,并是其他科学中常用的函数.本章只研究一种简单的向量函数——线性变换.教材内容大致可分为四部分：第一部分主要讨论向量空间的线性变换的概念、性质,以及一个变换是否为线性变换的判别；第二部分主要讨论线性变换的运算和运算法则；第三部分主要讨论n维向量空间的线性变换的确定、在某基下的矩阵,由此建立线性变换集合与数域F上所有n阶方阵集合的一一对应且为同构对应；向量与像的坐标变换公式,线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；第四部分主要讨论线性变换的本征值、本征向量的概念与求法,进一步推导得出矩阵相似对角形的条件.这四部分是紧密联系的,前部分内容都为后部分内容的理论基础,而后部分内容又是前部分内容的巩固与发展,由此逐部分的发展和推广得到完整的线性变换概念、性质和有关计算技能,为下面讨论（若当型）欧氏空间奠定了基础.二．教材重点线性变换的定义、性质,线性变换的运算和算律,n维向量空间的线性变换在某基下的矩阵,两者之间的内在联系,矩阵相似对角形的判定及有关对象的求法,向量空间分解为线形变换的根子空间直和的定理的证明.其中线性变换的运算,它和矩阵之间的联系,矩阵的特征根与特征向量的求法,是学好本章的基础. 三．难点抽象的线性变换的概念、加法、乘法的定义,线性变换集合与矩阵集合之间的对应关系使得抽象的线性变换的讨论具体为矩阵的讨论,因而在教学中要从熟知的解析几何实例引入,运用具体模型进行分析,由已知引到未知,指导学生正确地抽象出线性变换概念；在讲特征根、特征向量时,要注意演示具体例子,清晰地培养学生认知、计算能力,逐步建立正确概念.四．教学目的和要求分解到各节,但整体上要注意通过实例抽象出概念,进行逻辑推理、判断得出定理,再由抽象的概念、定理去解决有关的实际问题的教学思想,使学生认识到线性变换来源于实践,又从线性变换与矩阵的内在联系逐步培养学生的辨证唯物主义观点.7.1 线性映射一．教学思考1.本章仅讨论向量空间中一种简单的向量函数——线性变换.但映射与变换的关系前知,所以介绍线性变换先介绍更一般的概念——线性映射.2.线性映射是本节的基本概念,它有丰富的内容,首先它是向量空间到向量空间的一个映射,其次它保持向量空间的两种运算,它对研究线性代数非常有用.明显它是向量空间的一个同态映射.要注意此概念学生理解是一个难点,应强调指出不要只注意到映射的关系法则,不涉及向量的运算.3.讲此概念时,引例从已知的几何知识、数学分析知识等阐明线性映射的实质,然后引入定义使学生反复认识.4.内容中线性映射的判定是定义条件的综合,有些性质课本中没有介绍,如保持相关,但要对照与同构映射的差异（如不保无关）.5.本节方法：1）验线性映射；2）线性映射的像与核的求法.二．教学内容、要求内容：线性映射的定义、性质,线性映射的像与核.要求：理解掌握线性映射的定义、性质,像与核的求法.三．教学过程1.线性映射的定义及例子定义1 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,σ是V 到W 的一个映射；若对,,V a F ξη∀∈∀∈都有：1）()()()σξησξση+=+,2）()()a a σξσξ=；则称σ是V 到W 的一个线性映射.例子（零映射、单位映射、位似变换等等,略）2.线性映射的判定设σ是V 到W 的一个映射,则σ是V 到W 的一个线性映射⇔对,,,V a b F ξη∀∈∀∈都有()()()a b a b σξησξση+=+.3.线性映射的性质设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）(),()()o o σσασα=-=-.2）对11,,,,,n n a a F V ξξ∀∈∀∈ 有1111()()()n n n n a a a a σξξσξσξ++=++ .3）线性映射把线性相关组变为线性相关组.4.线性映射的其它性质定义2设σ是V 到W 的一个线性映射,1V V ⊆,则{}1()|V σξξ∈（即1V 中所有元素在σ下的像的集合）是W 的一个子集,叫做1V 在σ下的像,记作1()V σ；另一方面,设1W W ⊆,则{}1|,()V W ξξσξ∈∈（即1W 中所有元素在σ下的原像的集合）是V 的一个子集,叫1W 做在σ下的原像.定理7.1.1设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）V 的任一子空间在σ下的像是W 的一个子空间；2）W 的任一子空间在σ下的原像是V 的一个子空间.定义：向量空间V 在σ下的像叫做σ的像,记作Im()σ（即Im()σ=()V σ={}()|V σξξ∈；W 的零子空间{}o 在σ下的原像叫做σ的核,记作()Ker σ（即()Ker σ={}|,()V o ξξσξ∈=）.定理7.1.2设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）σ是满射⇔Im()σ=V ；2）σ是单射⇔()Ker σ{}o =.7.2 线性变换的运算一．教学思考1．一个向量空间V 到自身上的线性映射,叫做V 的线性变换,因而上节关于线性映射的性质本节仍然成立.不同的是V 的向量在线性变换下的象仍是V 中的向量,那么注意有关性质中出现运算及特殊向量（如零向量）都是V 中的.2．本章只将线性变换作为新的代数对象进行研究,首要的是有关运算,所以本节有关线性变换运算的定义（三种运算：加法、数乘、乘法）及满足的算律.有关运算的定义是根本.其中实质在于掌握映射确定的方法,即每个元素（向量）象的确定.3．重点线性变换的各种运算的定义,难点是各种运算所满足的算律,特别是乘法对加法的分配律.但它们的思想实质引导学生把握一点,在于证明映射（变换）的相等（即任一元素的象相同）.还有可逆线性变换的逆变换也是线性变换.（上节关于可逆线性映射的逆映射也是线性映射已解决）.4．注意线性变换的有些运算的实质并不新鲜,如乘法事实为合成.同时讲完本节内容可以总结到()L V 对加法、数乘与乘法作成的代数结构.二．教学内容、要求1．内容：线性变换的运算定义、性质.2.要求：1）理解掌握线性变换的三种运算定义,并能推证它们仍是线性变换.熟练地掌握运算所满足的算律.了解()L V 有关运算作成的代数系结构,特别是()L V 关于加法、数乘构成数域F 上的向量空间,（()L V 关于加法、乘法构成一个环）,从而掌握向量空间、环的运算在()L V 内都可施行. 2）理解逆变换的概念及逆变换仍为线性变换,以及线性变换的多项式. 3）运用有关运算的定义推证其结果仍为线性变换,证明有关运算适合的一些算律,培养严密的逻辑思维能力、论证能力.（这是极为重要的基本的知识及技能,注意有和平常的运算相似地方,但必然不同,必须本着线性变换的有关定义进行,以免有误）.三. 教学过程：1. 线性变换的定义定义1令V 是数域F 上一个向量空间,V 到自身上的一个线性映射叫做V 的一个线性变换.注：可见线性变换是特殊的线性映射,因而具有线性映射的性质.2. 线性变换的运算用()L V 表示向量空间V 上的所线性变换的集合.（1） 加法１） 定义2设σ、()L V τ∈,定义它们的和τσ+为：τσ+：ξ ()()σξτξ+. ２） 性质：a ．设σ、()L V τ∈,则σ+()L V τ∈.即线性变换的和也是一个线性变换.（验证由线性变换的定义或充要条件及和的定义易得,注意其中每一步的根据）.b.加法满足如下算律：对)(,,V L ∈∀ρτσ（1）σττσ+=+（交换律） （2）)()(ρτσρτσ++=++（3）零变换)(V L ∈θ,有对σθσσθσ=+=+∈∀),(V L（4）)(V L ∈∀σ,定义)(:ξσξσ-- ,称σ-为σ的负变换；可验证σ-)(V L ∈且：τρσρτστστσθσσ-=⇒=+-+=-=-+),(,)(（２）数乘１）定义３设)(,V L F k ∈∈σ,定义数乘变换σk 为：)(:ξσξσk k .２）性质：A ．σk )(V L ∈；B ．数乘满足如下算律：)(,,,V L F l k ∈∈τσσσστστσl k l k k k k +=++=+)(;)(；σσσσ==1);()(l k kl .TH7.2.1:)(V L 对上述定义的加法和数乘作成数域F 上一个向量空间.（３）乘法1）定义：设σ、()L V τ∈,我们把合成映射τσ 叫做σ与τ的积,记作στ.即))((:ξτσξτσστ =.2）性质：A ．στ)(V L ∈；B ．满足算律：)(,,V L ∈∀ρτστρσρρτσρτρστσρ+=++=+)(;)(；)()(στρτρσ=.（４）线性变换的幂及线性变换的多项式 1）)(V L ∈σ定义σ的n 次幂为N n n n ∈=, σσσ；规定l =0σ.2）设)(],[)(10V L x F x a x a a x f n n ∈∈+++=σ ,定义n n a a l a f σσσ+++= 10)( )(*称之为当σ=x 时)(x f 的值,或称为σ的多项式.注意：)(*式中的有关运算是线性变换的幂、数乘、加法,易得)()(V L f ∈σ.（５）可逆变换设)(V L ∈σ,若存在)(V L ∈τ使得l ==τσστ,则称σ是可逆变换,且称τ为σ的逆变换,记为1-σ.7.3 线性变换的矩阵一．教学思考1.本节主题是：在数域F 上n 维向量空间V 中可以用V 的基给出V 的线性变换σ的矩阵表示A ,从而把讨论线性变换的问题转化为用矩阵来处理,讨论起来即具体又简单,并且提供了丰富的内容,同时使我们看到矩阵工具的使用.要逐步体会用矩阵解决问题的方法及熟练掌握V 的线性变换σ与F 上n 阶矩阵A 的对应关系.2.本节从内容上讲先定义数域F 上n 维向量V 上线性变换σ关于V 的基的矩阵的概念,定理7.3.1讨论了向量ξ与其象)(ξσ关于同一个基的坐标之间的关系.引理7.3.2是线性变换与n 阶矩阵（环）之间建立一一对应的理论基础,是一难点、重点（下面给出较详尽的分析说明）.而从内容上讲解决给定)(F M A n ∈,存线性变换σ,使A 为σ的矩阵的问题.定理7.3.3建立了()n V L 与()F M n 的一一对应,是线性变换,并用具体n 阶矩阵表示的基础.（定理7.3.4）最后的一个结论：“讨论了一个线性变换σ在不同基底下的矩阵之间的关系——相似”,为矩阵按相似的关系分类提供了依据,为以后研究相似矩阵的不变量（特征根）奠定了基础,此亦可作一个定理.3.本节概念及上述主要定理是重点、难点,在讲述过程中特别是引理7.3.2须作重点详尽的分析,定理7.3.3证明形式上很清楚,不能使学生仅停留在符号上,应掌握证明的实质,要逐步分析使学生理解.4.本节重要的体现出从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系体会辩证唯物主义观点.二．教学内容、要求（一） 内容：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的一一对应,线性变换关于不同基的矩阵的相似.（二） 重点、难点：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的同构.（三） 要求：1．n 维向量空间取定一组基n ααα,,,21 后,使学掌握V 上所有线性变换集合()V L 与数域F 上所有n 阶矩阵集合()F M n 之间建立一一对应.2.掌握在某基n ααα,,,21 下,线性变换σ的矩阵A 的概念,并熟练地掌握给定线性变换σ会求在该基下的矩阵；反之给定矩阵A 后,会确定线性变换σ；从而()n V L 与()F M n 为同构的代数系.3．掌握若已知()V L ∈σ在基下n ααα,,,21 矩阵为A,且向量11,()n ni i i i i i x y αασαα====∑∑的坐标公式：11n n y x A y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．掌握若两基满足T n n ),,(),,(11ααββ =且()V L ∈σ在基n ααα,,,21 与基n βββ,,,21 下的矩阵分别为B A ,,则AT T B 1-=.且熟习各计算公式及技能,弄清线性变换的矩阵是随基底的改变而改变的.5．通过学习,从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系逐步培学生的辩证唯物主义观点.三．教学过程1．线性变换的矩阵,向量的象的坐标公式（1）问题 设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,1 对V ∈∀ξ,有ξ关于基{}n αα,1 的坐标),,(1n x x ；同样)(ξσ关于基{}n αα,1 的也有坐标),,(1n y y ；问ξ与)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标有和关系？而研究向量的某种性质时,往往从分析基向量的性质入手,为此引入：（2）线性变换的矩阵定义１ 设)(,dim V L n V ∈=σ,{}n αα,1 为V 的一个基,令：n n a a ααασ11111)(++=n n a a ααασ21122)(++=……n nn n n a a ααασ++= 11)(作矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,称之为线性变换σ关于基{}n αα,1 的矩阵. 例1．2V 中取从原点出发的彼此正交的向量21,εε作为2V 的一个基,令σ是将2V 的每一向量旋转角θ的一个旋转,求σ关于{21,εε}的矩阵.例2．求n 维向量空间的位似变换关于任一基的矩阵,由此的单位变换、零变换关于任一基的矩阵.（1、2解略）（3）向量的象的坐标公式定理7.3.1设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,若ξ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n x x ,而)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n y y ;则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A y y 11.2．))(dim (n V V L =与)(F M n 的同构对应设,dim n V =取定V 的一个基{}n αα,1 后,可知对()V L ∈∀σ都有唯一n 阶矩阵)(F M A n ∈与之对应；问题是上述结论的反面是否成立？即对∀)(F M A n ∈,是否恰有一个()V L ∈σ使得σ关于取定的基{}n αα,1 的矩阵为A ？这个问题成立的意义在于： 对n 维空间V ,可建立))(dim (n V V L =与)(F M n 的1—1对应；进一步的是()V L ,)(F M n 各自有相应的加法、数乘运算,这种对应与运算又有什么联系？引理7.3.2设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,则对V 中任意n 个向量n ββ,,1 ,恰有一个()V L ∈σ使得),,2,1(,)(n i i i ==βασ.注：（1）引理含义为：存在唯一一个线性变换把给定的基向量变为任意指定的n 个向量.（2）该引理是建立()V L 与)(F M n 同构对应的基础.推论7.3.4设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,()V L ∈σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为A ；则σ可逆的充要条件为A 可逆,且1-σ关于这个基的矩阵为1-A .3．线性变换在不同基下矩阵间关系引言：一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵是不同的（如作业）,为了利用矩阵研究线性变换,显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系.引例 设()2F L ∈σ,且σ关于基{1ε,2ε}的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4231A ,求关于基()(){}012111==αα、的矩阵.分析：本题不能直接用定义做,因σ的对应关系不清楚,由定义是求B 使()()()2121)(ααασασ，，=B,由由题知A ),())(),((2121εεεσεσ=,而{}21,εε与{}21,αα间的关系易得,因而可通过上述已知转化一下.解：设()()()2121)(ααασασ，，=B,因22211,εαεεα=+=,所以T ),(1101),(),(212121εεεεαα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101T .于是 T))(),(())(),()(())(),(())(),((2122122121εσεσεσεσεσεσεεσασασ=+=+=AT T AT 12121),(),(-==ααεε,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12341AT T B . 由引例有结论：同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵B A ,是不同的,有关系AT T B 1-=（T 为过渡矩阵）.一般地：定理7.3.5设,dim n V ={}n αα,1 ,{}n ββ,,1 为V 的两个基, ()V L ∈σ,σ关于这两个基的矩阵分别为A 和B,且T n n ),,(),,(11ααββ =；则AT T B 1-=. 反过来,设)(,F M B A n ∈,且存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则A 和B 是V 的同一线性变换在不同基下的矩阵.定义２ 设)(,F M B A n ∈,若存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则称矩阵B 与A 相似,记作A B . 性质：“相似”是方阵之间的一个“等价关系”：（1）自反性：)(F M A n ∈∀,有A 与A 相似；（2）对称性：若B 与A 相似,则A 与B 相似；（3）传递性：若B 与A 相似,C 与B 相似,则C 与A 相似.（易证,且容易看到所存在的可逆矩阵的关系）另外：由矩阵的运算性质易得：T A T AT T TA T T A T T A A T n n n n 1111111)()(-----=++=++ .7.4 不变子空间一 ．教学思考上节的结论：线性变换关于不同基的矩阵是相似的,矩阵相似是方阵的一个等价关系,所以方阵可以按等价分类,彼此相似的矩阵可作为同一线性变换在不同基下的矩阵.自然的问题是：能否适当的选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵有较简单的形式？具体地下面将研究：在什么条件下可适当选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵？用矩阵的语言即是在什么条件下A 相似与一个对角阵？这个问题的解决同所谓的不变子空间的概念关系密切.作为本节内容较简单,即“不变子空间的定义及性质”,有了这个概念后,引导学生看一看不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.二 ．内容及要求内容：不变子空间的定义、性质.要求：掌握不变子空间的定义、性质,了解不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.三 ．教学过程1．概念及性质令V 是数域F 上的一个向量空间,()V L ∈σ.定义1 W 是V 的一个子空间,若()W W ⊆σ（即∀ξW ∈,σ（ξ）W ∈）,则称W 在线性变换σ下不变（或稳定）,此时W 称为σ的一个不变子空间（或σ一子空间）.例 平凡子空间、)Im(),(σσKer 、位似变换下的子空间等（略）.定义2 设W 是线性变换σ的一个不变子空间,只考虑σ在W 上的作用,就得到子空间W 本身的一个线性变换,称为σ在W 上的限制,记为W |σ.性质 （不变子空间的）1）σ的有限（无限）个不变子空间的交仍是σ的不变子空间.2）σ的有限个不变子空间的和仍是σ的一个不变子空间.3）设W 是V 的一个子空间,),,(1n L W αα =,()V L ∈σ；则W 是σ的一个不变子空间W n ∈⇔)(,),(1ασασ .2．不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系设,dim n V =()V L ∈σ,W 是σ的一个)0(n r r <<维不变子空间,可令},,{1r αα 为W 的一个基,于是),,(1r L W αα =；将},,{1r αα 扩充为V 的一个基},,,,,{11n r r αααα +,则可设：nnn r rn n n nnr r rr r r r rr r r rr a a a a a a a a a a αααασαααασααασααασ++++=++++=++=++=++++111111*********)()()()( 于是σ关于基},,,,,{11n r r αααα +的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21A O A A r r n ,即当σ有一个非平凡子空间时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵具有较多个0元素.特别地：当2121,(,W W W W V ⊕=在σ之下不变）时,那么选取1W 的一个基和2W 的一个基凑成V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A ,更进一步,若V 可以分解为σ的s 个不变子空间的直和时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为准对角形.结论：给了n 维向量V 的一个线性变换,只要能将V 分解成一些在σ之下不变的子空间直和,那么就可以适当的选取V 的基,使得σ关于这个基的矩阵具有比较简单的形状.显然,这些不变子空间的维数越小,相应的矩阵的形状就越简单.特别当V 能分解为n 个σ之下不变的一维子空间的直和,那么与σ相应的矩阵就有对角形式.下两节将讨论这个问题.7.5 本征值和本征向量一．教学思考：1．本征值和本征向量的概念是解决线性变换及矩阵可对角化的重要概念,是下节问题及结论的基础. 2．线性变换的本征值与本征向量是用一个条件等式联系着的两个概念,注意它们的依存关系.在分析σ的本征值、本征向量的求法中引入了矩阵的特征根特征向量的概念,注意它们的关系和区别.3．相似矩阵的特征多项式相同,从而特征根同（反之不然）,进而下述具体求σ的本征值、本征向量时转化为σ关于某个基的矩阵的有关问题,而与基的选择无关.4．本节求线性变换与矩阵的特征根、特征向量的方法具体,技能要熟练准确.注意利用数域F 上的多项式求根及n 个方程、n 个未知数的齐次线性方程组求非零解的知识.二 ．内容及要求：1．内容：特征根和特征向量的概念、性质、求法、特征多项式.2．要求：①掌握线性变换的本征值、本征向量、特征多项式的概念性质.②掌握特征根、特征向量的求法.三． 教学分析、建议、及过程：（一）线性变换的本征值、本征向量的概念重要及关系紧密,分析清其性质及实质含义进而分清其与矩阵的特征根与特征向量的关系,以及由相似阵的特征多项式、特征根相同知σ的本征值的求法时,转化为矩阵的有关问题而与基的选择无关.特别是最终得到特征根、特征向量的求法,真正分析清楚,弄懂弄会.（二）过程：引言：设)(,dim V L n V ∈=σ,在什么条件下可找到V 的一个基{}n αα,,1 ,使得σ关于这个基的矩阵为对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ0000001 ,即：n n n αλασαλασ==)()(111 （*）要做到这一点,从上节最后的分析结果知在于V 能否分解为σ的一维不变子空间的直和.我们将看到这不是总能办到的,只从另外的方面讨论.现在从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个重要启示,即研究线性变换σ,很重要的是去寻找满足条件λαασ=)(的数λ和非零向量α,这就是下面要介绍的线性变换σ本征值和本征向量问题.1．特征根、特征向量：（本征值、本征向量）（１）概念定义１设V 是数域F 上的一向量空间,)(V L ∈σ,如果对F 中的一个数λ,存在中F 非零向量ξ,使得λξξσ=)(.则称λ为线性变换σ的一个本征值,而λ叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量. 例1．设σ是3V 中关于某平面H 的正射影,可知0、1都是σ的本征值（考虑相应的本征向量是什么）. 例2．对)()(:],[x xf x f x F V σ=,可知)(V L ∈σ；对,F ∈∀λ因o x f ≠∀)(,都有)()())((x f x xf x f λσ≠=,因此σ没有本征值.（２） 本征向量的性质１） 同一本征向量不能属于不同的本征值.（证略）２） 令{}λξξσξλ=∈=)(|V V ,则λV 是V 的一个子空间,称为σ的一个本征子空间.（易证）（3）σ的一维不变子空间与σ的本征值和本征向量间的联系一方面：若ξ是σ的一个属于本征值λ的本征向量,则{}F a a L ∈=|)(ξξ是σ的一维不变子空间.另一方面：若U 是σ的一维不变子空间,则U 中每个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量.（事实上容易验证,注意多方解释）（4） 本征值、本征向量的求法设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,,1 ,令σ关于这个基的矩阵为()n ij a A =,若n n x x ααξ++= 11是σ的一个属于本征值λ的本征向量,有n n x x αλαλλξξσ++== 11)(；由定理7.3.1有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A x x 11λ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ （1）.即ξ关于基{}n αα,,1 的坐标是上述（1）以A I -λ为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；而（1）有非零解⇔系数行列式0=-A I λ （2）即F ∈λ是σ的一个本征值时其须满足（2）；反之若F∈λ满足（2）时,则（1）有非零解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1,从而n n x x ααξ++= 11满足λξξσ=)(,即λ为线性变换σ的一个本征值.上述讨论了σ的本征值与本征向量满足的条件,其中在本征值中,行列式A I -λ很重要,为讨论方便引入：定义2 设())(F M a A n ij ∈=,行列式 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)( 叫做矩阵A 的特征多项式（显然n x f x F x f A =∂∈))((],[)(0）.把)(x f A 在复数域C 内的根（即0)(=x f A 在复数域C 内的解）叫做矩阵A 的特征根.若λ为A 的一个特征根,那么相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ的一个非零解叫做矩阵A 的属于特征根λ的一个特征向量.由此的：求线性变换σ的本征值与相应的本征向量的方法步骤：1） 取定V 的一个基{}n αα,,1 ,求σ关于这个基的矩阵为A .2） 求出A 的特征多项式A xI x f A -=)(在数域F 内的全部根s λλ,,1 ,即是σ的全部本征值.3） 对每个i λ,求出相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n i x x A I λ的一个基础解系r i ηη,,1 ,于是 σ的属于本征值i λ的全部本征向量在给定的基下的坐标形式为j j i i k F k k k rr ,,11∈++=ηηξ 不全为0.例3．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=320230005A 的特征根和相应的特征向量. 例4．设R 上三维向量空间的线性变换σ关于基{}321,,ααα的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=013211233A ,求σ的本征值和相应的本征向量.2．矩阵的特征多项式的进一步讨论（1）相似矩阵的特征多项式问题：上述讨论知,设V 是数域F 上的一向量空间, )(,dim V L n V ∈=σ,求σ的本征值即求σ关于V 的某基的矩阵A 的在F 内的特征根,由σ关于V 的不同基的矩阵不同（相似）,是否由于基的不同而使得矩阵不同,从而使得特征根不同呢？为此：设A F M B A n ),(,∈与B 相似,即存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,因I IT T =-1,所以T A xI T AT T IT xT B xI )(111-=-=----,从而《高等代数》电子教案)()()(111x f A xI T T T A xI T T A xI T B xI x f A B =-=-=-=-=---.即相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征根.定义3 设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于V 的某基的矩阵A 的特征多项式称为σ的本征多项式,记为)(x f σ；即)(x f σ=)(x f A .定理7.5.1设)(,dim V L n V ∈=σ,F ∈λ是σ的本征值的充要条件是,λ是)(x f σ的一个根.（2）矩阵())(F M a A n ij ∈=的特征多项式的展开 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)(将其展开是][x F 中一多项式. 1) 由行列式定义易知)(x f A 的降幂形式的前两项为：++++-=-12211)()(n nn n A x a a a x x f2) 由多项式的性质知)(x f A 的常数项为)0(A f ,而)0(A f =A n )1(-.定义4 矩阵A 的对角线上元素的和成为矩阵A 的迹,记为；即)(A Tr nn a a a +++= 2211. 综上：A x A Tr x x f n n n A )1()()(1-++-=- )1(另外讨论：A 的特征根与)(x f A 的展开式中的系数的关系.设n λλ,,1 是A 的全部特征根,则由根与一次因式的关系有：n n n n n n A x x x x x f λλλλλλ 1111)1()()()()(-++++-=--=- （2）比较（1）（2）得：)(A Tr =n λλ++ 1； =A n λλ 1.（3）*特征多项式的一个重要性质哈密尔顿——凯莱（Hamiltom-Caylay ）定理：设())(F M a A n ij ∈=,A xI x f A -=)(是A 的特征多项式；则 =-=A AI A f A )(O I A A a a a A n n nn n =-++++--)1()(12211 .（θσσ=)(f ）7.6 可以对角化的矩阵一． 教学思考：1、本节是在第四节、第五节的基础上,完全解决第三节引出的问题：在什么条件下存在V 的一个基,使得线性变换σ关于这个基的矩阵为对角阵？平行地,何时方阵A 相似与一个对角形矩阵？2、本节最终结果方法、步骤很具体,注意归纳.3、其中一种思想：线性变换与方阵的相应结论与转化,以及以其中一方面处理另一方面问题的思考与方法须注意.二 ．内容及要求：内容：线性变换和矩阵可以对角化的概念及判定（充分条件及充要条件）.要求：理解掌握线性变换可以对角化的概念,掌握可以对角化的判定、方法步骤（重点）四川民族学院数学系三 ．教学过程：引言：形式最简单的矩阵是对角形矩阵,本节在前述基础上讨论.问题：设dim ,()V n L V σ=∈,在何条件下存在V 的一个基{}1,,n αα 使得σ关于这个基的矩阵为对角形.（平行地：设()n A M F ∈）,在何条件下存在一个可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形）.这个问题即是所谓的：1．线性变换、矩阵可对角化的定义定义１设dim ,()V n L V σ=∈,若存在V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵,则称σ可对角化.类似地：设()n A M F ∈如果存在可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形,则称A 称可对角化.2．线性变换、矩阵可对角化的条件（１）一个充分条件：引理（Th7.6.1）——属于不同特征根的特征向量的性质——线性无关令()L V σ∈,若1,,s ξξ 分别是σ的属于互不相同的特征根1,,s λλ 的特征向量,则1,,s ξξ 线性无关.推论7.6.3设()n A M F ∈,若()A f x 在F 内有n 个单根,则A 可对角化.（２）一个充要条件特征子空间设()L V σ∈,λ是σ的一个特征根,令{}|()V V λξσξλξ=∈=,称之为σ的属于特征根λ的特征子空间,且是σ的一个不变子空间.定理7.6.5设V 是数域F 上n 维向量空间,()n L V σ∈,则σ可对角化的充要条件为：1）σ的特征多项式()f x σ的根1,,t λλ 全在F 内；2）对每个特征根i λ有dim i i V λλ=的重数.（证略）平行地：推论7.6.6设()n A M F ∈,则A 可以对角化的充要条件为：1）A 的特征根都在F 内；2）对A 的每个特征根λ都有秩()I A n s λ-=-.（其中s 为λ的重数）总结：判断σ可对角化的方法步骤：1） 取V 的一个基,求σ关于这个基的矩阵A ；2） 求()f x σ=()A f x 的全部根i λ；（判断i λ是否都在F 内）3） 若每个i λ都在F 内,求1()i n x I A x λο⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭的基础解系1,,s i i ξξ ,若基础解系所含向量的个数等于i λ的重数,则σ可对角化；4） 取3）中每个基础解系为坐标的向量构成V 的基,σ关于V 的这个基的矩阵为对角形. 平行地：()n A M F ∈,判断A 可以对角化的方法步骤：1） 求()A f x 的全部根i λ（判断i λ是否都在F 内）；2） 若每个i λ都在F 内,求秩()i I A λ-；若每个i λ,秩()i I A λ-=i n λ-的重数,则A 可以对角化.。
华东师范大学本科生数学分析教案
数学分析教案第一章 第一章 实数集与函数§1 实数(一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用． (二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． (1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性． (2) 较高要求：实数的四则运算． (三) 教学建议：(1) 本节主要复习中学的有关实数的知识．(2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用．§2 数集.确界原理(一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念． (二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．(1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,,λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >；或 ,,λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ．(2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性． (三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．§3 函数概念(一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法．(二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数． (1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数．(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识． (三) 教学建议：通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．§4 具有某些特性的函数(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性． (二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性．对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法．第二章 第二章 数列极限§1 数列极限概念(一) 教学目的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法． (二) 教学内容：数列极限．(1) 基本要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 ε与 N 的关系．(2) 较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧． (三)教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明 ∞→n lim 01=k n ； ∞→n lim n a 0=；( )1||<a ，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）． (2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．§2 数列极限的性质(一) 教学目的：掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限． (二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．(1) 基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．(2) 较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题． (2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： ∞→n limnn =1，等．§3 数列极限存在的条件(一) 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则． (二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则．(1) 基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括 1lim(1)n n n →∞+存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义．(2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．(2) 本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．第三章 函数极限 1 函数极限概念(一) 教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限． (二) 教学内容：各种函数极限的分析定义．基本要求：掌握当 0x x →； ∞→x ； ∞+→x ； ∞-→x ； +→0x x ；-→0x x 时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．(三) 教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 0x x →时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．§2 函数极限的性质(一) 教学目的：掌握函数极限的性质．(二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．(1) 基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．(2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识． (三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系． (2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的 δ（的大小）不仅与 ε有关，而且与点 0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．§3 函数极限存在的条件(一) 教学目的：掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则． (1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则． (2) 较高要求：能够写出各种函数极限的归结原理和柯西准则． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性． (2) 本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则．§4两个重要的极限(一) 教学目的：掌握两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x ； ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(二) 教学内容：两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x； ∞→x limxx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．(1) 基本要求：掌握 0lim→x 1sin =xx的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．(2) 较高要求：掌握 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =证明方法．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法：1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ； e x x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ψψψ，其中 )(x ϕ、 )(x ψ分别为任一趋于0或趋于∞的函数．(2) 本节的难点是利用迫敛性证明 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫⎝⎛+11e =．§5 无穷小量与无穷大量(一) 教学目的：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大． (1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o ”与“ O ”． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2) (2) 本节的难点是熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算．第四章 第四章 函数的连续性§1 连续性概念(一) 教学目的：掌握函数连续性概念．(二) 教学内容：函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．(1) 基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．(2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性． (三) 教学建议：(1) (1) 函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的 分类．(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．§2 连续函数的性质(一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．(二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．(1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．(2) 较高要求：对一致连续性的深入理解．(三)教学建议：(1)函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．(2)(2)本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．§3 初等函数的连续性(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性．(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性．(1) 基本要求：掌握初等函数的连续性．(2) 较高要求：掌握指数函数的严格定义．(三)教学建议：(1) 本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．第五章导数和微分§1 导数的概念(一) 教学目的：掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理．(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．(1) 基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．(2) 较高要求：理解达布定理．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．(2) 本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题．§2 求导法则(一) 教学目的：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(二) 教学内容：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．基本要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．(三) 教学建议：求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要，要安排专门时间督促和检查学生学习情况．§3 参变量函数的导数(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则．(二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则．基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则．(三) 教学建议：通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则．§4高阶导数(一) 教学目的：掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．(二) 教学内容：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．(1)基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数．(2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．(2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．§5 微分(一) 教学目的：掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用．(二) 教学内容：微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用．(1) 基本要求：掌握微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性．(2) 较高要求：掌握高阶微分的概念．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部．(2) 本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念．第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性(一) 教学目的：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(二) 教学内容：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．(1) 基本要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(2) 较高要求：掌握导数极限定理．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．(2)(2)本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．§2 柯西中值定理和不定式极限(一) 教学目的：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限． (二) 教学内容：柯西中值定理；洛必达法则的使用．(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．(2) 较高要求：掌握洛必达法则 0型定理的证明．(三) 教学建议：(1) (1) 本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各 种不定式极限的方法． (2) 本节的难点是掌握洛必达法则定理的证明，特别是 ∞∞型的证明．§3 泰勒公式(一) 教学目的：理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．(二) 教学内容：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．(1) 基本要求：了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式． (2) 较高要求：用泰勒公式计算某些 0型极限．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式． (2) 本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法． §4函数的极值与最大(小)值(一) 教学目的：掌握函数的极值与最大(小)值的概念． (二) 教学内容：函数的极值与最值．(1) 基本要求：掌握函数的极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．(2) 较高要求：掌握函数的极值的第三充分条件． (三) 教学建议：教会学生以函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）分割函数定义域，作自变量、导函数（以及二阶导数）、函数的性态表，这个表给出函数的单调区间，凸区间，极值．这对后面的函数作图也有帮助．§5 函数的凸性与拐点(一) 教学目的：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式． (二) 教学内容：函数的凸性与拐点．(1) 基本要求：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．(2) 较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系． (三) 教学建议：(1) 教给学生判断凸性的充分条件即可，例如导函数单调． (2) 本节的难点是运用詹森不等式证明不等式．§6 函数图象的讨论(一) 教学目的：掌握函数图象的大致描绘．(二) 教学内容：作函数图象．(1) 基本要求：掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．(2) 较高要求：能描绘参数形式的函数图象．(三)教学建议：教会学生根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理(一)教学目的：掌握区间套定理和柯西判别准则的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理(较熟练运用致密性定理)．(二)教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(1) 基本要求：掌握和运用区间套定理、致密性定理．(2)较高要求：掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三) 教学建议：(1)(1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．§2 闭区间上的连续函数性质的证明(一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．(二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．(1)(1)基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．(2) 较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．第八章不定积分§1不定积分的概念与基本积分公式(一) 教学目的：掌握原函数的概念和基本积分公式(二) 教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．(三) 教学建议：(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表．(2) 适当扩充基本积分公式表．§2 换元积分法与分部积分法(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．(三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分(一) 教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．(二) 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．(三) 教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握．第九章定积分§1 定积分的概念(一) 教学目的：引进定积分的概念．(二) 教学内容：定积分的定义．基本要求：掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．(三) 教学建议：要求掌握定积分的定义，并了解定积分的几何意义．§2 牛顿-莱布尼茨公式(一) 教学目的：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(二) 教学内容：牛顿-莱布尼茨公式．(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．(三) 教学建议：(1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目．§3 可积条件(一) 教学目的：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．(二) 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类(1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件．(2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件．(三) 教学建议：(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．§4定积分的性质(一) 教学目的：掌握定积分的性质．(二) 教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．(2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．(三) 教学建议：(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题．§5 微积分学基本定理(一) 教学目的：掌握微积分学基本定理．(二) 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．(三)教学建议：(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．第十章定积分的应用§1平面图形的面积(一) 教学目的：掌握平面图形面积的计算公式．(二) 教学内容：平面图形面积的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．(2) 较高要求：提出微元法的要领．(三) 教学建议：(1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限．(2) 领会微元法的要领．§2 由平行截面面积求体积(一) 教学目的：掌握由平行截面面积求体积的计算公式(二) 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．基本要求：掌握由平行截面面积求体积的计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练掌握．(2) 进一步领会微元法的要领．§3 平面曲线的弧长与曲率(一) 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率(二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：掌握旋转曲面的面积计算公式．(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．(1) 基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．十一章反常积分§1反常积分的概念(一) 教学目的：掌握反常积分的定义与计算方法．。
中山大学数学分析教案
中山大学数学分析教案第一章：极限与连续1.1 极限的概念引入极限的直观意义讲解极限的定义及性质举例说明极限的存在与不存在情况1.2 极限的计算讲解极限的基本计算方法无穷小与无穷大的概念及比较极限的运算法则1.3 连续函数引入连续函数的定义讲解连续函数的性质及判定条件举例说明连续函数的性质及应用第二章：导数与微分2.1 导数的概念引入导数的定义及直观意义讲解导数的计算方法举例说明导数的应用2.2 导数的计算讲解基本函数的导数公式高阶导数的概念及计算方法隐函数与参数方程函数的导数计算2.3 微分及其应用引入微分的概念及意义讲解微分的计算方法举例说明微分在实际问题中的应用第三章：积分与面积3.1 积分的基本概念引入积分的定义及直观意义讲解积分的性质及计算方法举例说明积分的应用3.2 定积分的计算讲解定积分的计算方法定积分的换元法与分部积分法定积分的应用3.3 面积与体积的计算举例说明定积分在几何图形面积计算中的应用讲解定积分在旋转体体积计算中的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念引入微分方程的定义及意义讲解微分方程的分类及解法4.2 线性微分方程讲解线性微分方程的解法及性质举例说明线性微分方程的应用4.3 非线性微分方程讲解非线性微分方程的解法及性质举例说明非线性微分方程的应用第五章：级数5.1 级数的基本概念引入级数的定义及直观意义讲解级数的性质及收敛性判定5.2 幂级数讲解幂级数的定义及性质幂级数的展开及应用5.3 傅里叶级数讲解傅里叶级数的定义及性质举例说明傅里叶级数在信号处理中的应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的基本概念引入多元函数的定义及图形表示讲解多元函数的极限与连续性6.2 多元函数的导数讲解多元函数的导数概念及计算法则举例说明多元函数导数的应用6.3 多元函数的微分引入多元函数的微分概念讲解微分的计算及应用第七章：重积分7.1 重积分的基本概念引入重积分的定义及直观意义讲解重积分的性质及计算方法7.2 一重积分讲解一重积分的计算方法举例说明一重积分在几何与物理中的应用7.3 二重积分讲解二重积分的计算方法举例说明二重积分在几何与物理中的应用第八章：向量分析8.1 向量及其运算引入向量的定义及其几何表示讲解向量的运算规则及性质8.2 空间解析几何讲解空间解析几何的基本概念及方法举例说明空间解析几何的应用8.3 曲线与曲面的方程讲解曲线与曲面的方程及其性质举例说明曲线与曲面的应用第九章：常微分方程9.1 常微分方程的基本概念引入常微分方程的定义及意义讲解常微分方程的分类及解法9.2 一阶微分方程讲解一阶微分方程的解法及性质举例说明一阶微分方程的应用9.3 高阶微分方程讲解高阶微分方程的解法及性质举例说明高阶微分方程的应用第十章：数值分析10.1 数值分析的基本概念引入数值分析的意义及方法讲解数值分析的基本原则及方法10.2 数值计算误差讲解数值计算的误差来源及影响举例说明误差估计及控制的方法10.3 数值方法的应用举例说明数值方法在微积分学中的应用讲解数值方法在其他领域的应用重点和难点解析重点一：极限的概念与性质极限的定义及其直观意义是教学重点，需要学生充分理解。
第七章 回归分析
第七章回归分析前几章所讨论的内容，其目的在于寻求被测量的最佳值及其精度。
在生产和科学实验中，还有另一类问题，即测量与数据处理的目的并不在于获得被测量的估计值，而是为了寻求两个变量或多个变量之间的内在关系，这就是本章所要解决的主要问题。
表达变量之间关系的方法有散点图、表格、曲线、数学表达式等，其中数学表达式能较客观地反映事物的内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作进一步分析研究，对认识自然界量与量之间关系有着重要意义。
而数学表达式的获得是通过回归分析方法完成的。
第一节回归分析的基本概念一、函数与相关在生产和科学实验中，人们常遇到各种变量。
从贬值辩证唯物主义观点来看，这些变量之间是相互联系、互相依存的，它们之间存在着一定的关系。
人们通过实践，发现变量之间的关系可分为两种类型：1.函数关系（即确定性关系）数学分析和物理学中的大多数公式属于这种类型。
如以速度v作匀速运动的物体，走过的距离s与时间t之间，有如下确定的函数关系：s=vt若上式中的变量有两个已知，则另一个就可由函数关系精确地求出。
2.相关关系在实际问题中，绝大多数情况下变量之间的关系不那么简单。
例如，在车床上加工零件，零件的加工误差与零件的直径之间有一定的关系，知道了零件直径可大致估计其加工误差，但又不能精确地预知加工误差。
这是由于零件在加工过程中影响加工误差的因素很多，如毛坯的裕量、材料性能、背吃刀量、进给量、切削速度、零件长度等等，相互构成一个很复杂的关系，加工误差并不由零件直径这一因素所确定。
像这种关系，在实践中是大量存在的，如材料的抗拉强度与其硬度之间；螺纹零件中螺纹的作用中径与螺纹中径之间；齿轮各种综合误差与有关单项误差之间；某些光学仪器、电子仪器等开机后仪器的读数变化与时间之间；材料的性能与其化学成分之间等等。
这些变量之间既存在着密切的关系，又不能由一个（或几个）变量（自变量）的数值精确地求出另一个变量（因变量）的数值，而是要通过试验和调查研究，才能确定它们之间的关系，我们称这类变量之间的关系为相关关系。
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
冀教版四年级上数学教案7.2：垂线的概念及其用处
本篇教案是针对冀教版四年级上册数学第七章“几何图形”的7.2部分——垂线的概念及其用处，为同学们详细介绍垂线在几何图形中的作用，并且帮助同学们掌握相关的知识和能力。
一、教学目标1. 认知垂线的定义与性质，并能够进行辨别和画出垂线。
2. 理解垂线的作用，掌握垂线与线段、角度之间的关系。
3. 培养同学们的数学分析思维，使他们能够在实际生活中运用垂线进行问题的解决。
二、教学重难点1. 学生需要基本掌握垂线的基本概念，能够在各种几何图形中准确运用垂线。
2. 学生需要理解垂线的概念与角度、线段的关系，掌握相关的计算方法。
三、教学过程1.导入通过提问学生，来引出本课的主题——垂线的概念及其用处。
如“同学们知道什么是垂线吗？垂线在几何图形中起到了什么样的作用呢？”2.讲解垂线的概念在进行概念的讲解前，可以通过幻灯片或实物图示，让同学们了解垂线是指从一点垂直于一条线、线段、角度的直线或线段。
同时，需要与学生探讨垂线的相关性质，如垂线的长度相等、两条垂线互相垂直等。
3. 画出垂线学生们需要通过练习，学会如何在各种几何图形中画出垂线。
老师可以预先准备好相关的练习题，让学生们尝试从各个角度进行练习，以更好的掌握垂线的画法和注意事项。
4. 垂线的应用通过实际的案例分析，教师可以帮助学生了解垂线在实际生活中的应用，如建筑工程中的垂直度测量、计算三角形面积等。
通过这些实际问题的探讨，培养同学们的分析和解决问题的能力。
5.总结在本节课程的教师需要与学生们进行交流与总结。
让他们回顾本节课中所学到的知识点和技能，总结出关于垂线的相关特性和应用。
同时，也可以通过提问的方式，来检测同学们的掌握情况和解决问题的能力。
四、教师评价在本节课的教学过程中，教师需要通过观察和提问，对学生进行评价和反馈，以便更好的了解学生的学习情况和潜力。
同时也需要对学生的进展和成长进行及时的表扬和鼓励，以提高他们的自信心和学习兴趣。
五、教学常见问题1. 什么是垂线？垂线是指从一点垂直于一条线、线段、角度的直线或线段。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第七章
第七章 实数的完备性一、练习题1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即a 1<a 2<…<a n <…<b n …<b 2<b 1，且∞→n lim (b n -a n )=0.证明存在唯一一点ξ,有 a n <ξ<b n ,n=1,2…2. 试举例说明在有理数集内,所有完备性定理都不能成立.3. 试用区间套定理证明数列的单调有界定理.4. 试用确界原理证明区间套定理.5. 设H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 1,2,n |n 1,2n 1是一个无限开区间集,问:(1) H 能否覆盖(0,1)?(2) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫⎝⎛21,0? (3) 能否从H 中先出有限个开区间覆盖⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1001? 6. 证明: 若x ∈[a,b],若x ∈(a,b)的聚点;反之,若x 为[a,b]的聚点,则x ∈[a,b].7. 证明:单调数列{x n }若存在聚点,则一定是唯一的,且是{x n }的确界.8. 试用致密性定理证明单调有界定理.9. 试用聚点定理证明区间套定理.10. 试用有限覆盖定理证明聚点定理.11. 试用聚点定理证明柯西收敛准则.12. 试用确界原理证明聚点定理13. 设f 为(-∞,+∞)上连续的周期函数,试证f 在(-∞,+∞)上有最大值与最小值.14. 证明:任何实系数奇次多项式方程至少有一个实根15. 设I 为有限区间.证明:若f 在I 上一致连续,则f 在I 上有界.16. 证明: 若f 在[)+∞a,上连续,+∞→x lim f(x)存在且有限,则f 在[)+∞a,上一致连续. 17. 设f 在(a,b)内连续,x 1,x 2,…x n ∈(a,b),证明存在ζ∈(a,b),使得f(ζ)=∑=n 1j j )f(x n 1.18. 试用覆盖定理证明根的存在性定理.19. 证明:在(a,b)上连续函数f 为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.20. 求下列数列的上、下极限：（1）{1+（-1）n }； （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12n n1)(n ；（3）{2n+1}； （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+4n πsin 1n 2n； （5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n π}sin n 1n2; (6)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n |3n πcos | 21. 证明下列数列上、下极限的关系式: (1) ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ), ∞→n lim a n =-∞→n lim (-a n ); (2) ∞→n lim a n +∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n +b n );∞→n lim a n +∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n +b n ) (3) ∞→n lim a n -∞→n lim b n ≤∞→n lim (a n -b n ),∞→n lim a n -∞→n lim b n ≥∞→n lim (a n -b n ); (4) 若a n ,b n >0,则∞→n lim a n ∞→n lim b n ≤∞→n lim a n b n ,∞→n lim a n ∞→n lim b n ≥∞→n lim a n b n ; (5) 若∞→n lim a n >0,则∞→n limn a 1=n n a lim 1∞→.22. 数列{x n }的上(下)确界就是该数列的上(下)极限,对吗?为什么?23. 证明:若{a n }为单调递增数列,则∞→n lim a n =∞→n lim a n 24. 证明:若an>0(n=1,2,…)且∞→n lim a n ·∞→n lim n a 1=1, 则数列 {a n }收敛.25. 证明: 若a n ≤b n (n=1,2,…),则∞→n lim a n ≤∞→n lim b n , ∞→n lim a n ≤∞→n lim b n . 26. 证明设{x n }为有界数列. (1)A 为{x n }上极限的充要条件是A =∞→n lim nk sup ≥{x k }; (2)A 为{x n }下极限的充要条件是A=∞→n lim nk inf ≥{x k }. 27. 证明:{x n }为有界数列的充要条件是{x n }的任一子列都存在它的收敛子列.28. 设f(x)在(a,b)内连续,且+→a x lim f(x)=-→b x lim f(x)=0.证明f(x)在(a,b)内有最大值或最小值.29. 证明: 设f(x)在[a,b]上连续,若{x n}⊂[a,b],且lim f(x n)=A,则必存在点x0∈[a,b],使得n→∞f(x0)=A.30. 设函数f和g都在区间I上一致连续.(1) 证明f+g在I上一致连续;(2) 若I为有限区间,证明f·g在I上一致连续;(3) 若I为无限区间,举例说明f·g在I上不一定一致连续.31. 证明:设函数f(x)定义在有限区间(a,b)上,若对于(a,b)内任一收敛数列{x n},极限lim f(x n)都n→∞存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.32. 设函数f在[)a,上连续,且有渐近线,即有数b与c,使得+∞lim[f(x)-bx-c]=0,证明f在x+∞→[)a,上一致连续.+∞。
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。
性质：保号性、传递性、三角不等式性质。
1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。
极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。
1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。
1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。
连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。
二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。
高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。
2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。
微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。
三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。
泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。
《数学分析》(欧阳光中)教学大纲
《数学分析》课程教学大纲Mathmatical analysis一、课程基本信息1、课程类别：专业基础课2、课程学时：总学时300，3、学分：184、适用专业：5、大纲执笔者：6、修订时间：2013年4月25日二、课程教学目的三、课程教学的基本要求第一章变量与函数了解：常量与变量，无理数与有理数及其基本性质，三角不等式，双曲函数的概念及其性质。
理解：区间与邻域的定义，函数的几何特性（单调性、有界性、奇偶性，周期性）反函数的定义与性质，初等函数。
掌握：函数的定义，复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质。
第二章一元函数的极限与连续了解：数列的变化趋势，函数值趋于无穷大的情形。
理解：无穷大（小）量，有界数列和单调数列的概念，无穷小量的性质与运算，单侧极限的定义，无穷小量和无穷大量的阶；单侧连续与区间连续的概念，函数间断点及其分类，基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。
掌握：数列极限定义、性质和运算；函数极限定义、性质和运算；海涅定理，重要极限；连续函数的定义、性质和运算；一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明了解：聚点定义与聚点定理，函数极限存在的柯西收敛准则。
理解：子列的定义及其基本性质，确界的定义，覆盖的定义。
掌握：实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。
闭区间上连函数性质的证明。
第四章 导数与微分了解：了解： 速度与切线等实际问题的瞬时变化率。
理解：单侧导数与区间可导的定义，导函数及其几何意义，反函数的导数，微分的运算法则，不可导之例，高阶微分。
掌握：导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。
第五章 微分基本定理及导数的应用了解：利普希茨条件，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，平面曲线的曲率及计算，方程的近似解（切线法）。
第七章关于实数集完备性的基本定理
其中 c1
a1
2
b1
. 那么 [a1,
c1], [c1,
b1 ]
中至少有一
个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2, b2].
显然有[a1,b1] [a2 ,b2 ],
b2
a2
1 2
(b1
a1 )
下面来证明唯一性. 设 1 也满足
an 1 bn ,
返回
那么 1 bn an 0. 即 1 , 惟一性得证. 推论 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, [an , bn ], n 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时,
M (ii) bn an 2n2 0 ; (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.
由区间套定理, 存在惟一的 [an , bn ], n 1, 2, .
由定理 1的推论 : 对于任意的正数 ,存在 N ,
当n N使
[an , bn ] U ( ; ),
个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行
下去, 得到一列闭子区间
{ [an , bn] }, 满足:
(i) [an1, bn1] [an , b n ], n 1, 2, ;
(ii)
bn
an
ba 2n
0 , n ;
(iii) F (an )F (bn ) 0.
开区间所覆盖. 由区间套定理,存在惟一的 , 使 [an , bn ], n 1, 2, .
因 [a1, b1], H 覆盖了[a, b], 故存在 ( , ) H , 使 （ , ）. 由定理 7.1推论，当n充分大时有
实数完备性
实数完备性《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院第七章实数is 恩体热?1 实数完备性的等价命题一、问题提出定理1.1(确界原理)非空有上(下)界的数集必有上(下)确界.确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6(定理1.2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛(定理1.3 (区间套定理) 设为一区间套:(则存在唯一一点定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内(则在中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖(定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点(本身可以属于,也可以不属于)(定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是:,只要恒有((后者又称为柯西(Cauchy)条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列()这些定理构成极限理论的基础(我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题(下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具(下图中有三种不同的箭头,其含义如下:(1),(3) 基本要求类 :: (4),(7) 阅读参考类1《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院: (8),(10) 习题作业类二、回顾确界原理的证明acb我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性(记号、、表示实数) Dedekind定理设A/B是R的一个切割,则比存在实数使得,或A,,,(,],B,，,(,),,,R,无其它可能. A,,,(,),B,，,[,),E1 非空有上界的数集必存在上确界.E,{x},x,Ex,bb证明设非空,有上界: ,.xx00E(1) 若中有最大数,则即为上确界;EE(2) 若中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划;取的一切上界归入上类(A|B)BA,其余的实数归入下类,则是实数的一个分划.,xb,B,x,E1ABEE 、不空.首先.其次,由于不是的最大数,所以它不是的上界,即x,AEA.这说明中任一元素都属于下类;,2ABAB 、不漏性由、定义即可看出;,aa,xa,Ab,B，x,E3ABEE 、不乱.设,.因不是的上界,,使得,而内每一元素属于a,x,bA,所以.,,34A 由的证明可见无最大数.(A|B)cB所以是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类必有最小数,记作.,x,cc,x,Ex,Ab,Bb1EE,由知,即得.这表明是的一个上界.若是的一个上界,则,由2《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院c,supEccc,bE此得,所以是上界中最小的,由上确界定义,为集合的上确界,记作 .推论非空的有下界的集合必有下确界.E,{x}E',{x|,x,E},bbE'事实上,设集合有下界,则非空集合有上界,利用集合上确界E的存在性,即可得出集合的下确界存在.定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利用上确界的存在性,得出我们所研究的某一类量(如弧长)的存在性.若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的.例1 证明实数空间满足阿基米德原理.n,b,a,0na,b证明 ,要证存在自然数使.假设结论不成立,即(n,1，2，？)na,b , ,E,{na}(n,1，2，？)cbna,c则数集有上界,因此有上确界,使,也就有(n，1)a,c(n,1，2，？)(n,1，2，？)c,acna,c,aE,或 .这表明是集合的上界,与是上确nna,b界矛盾.所以总存在自然数,使.三、等价命题证明下面来完成(1),(7)的证明((一) 用确界定理证明单调有界定理{x}x,x,x,？,x,？x,M，M123nnn 设单调上升,即,有上界,即,使得.a,supxnE,{x|n,N}n,nN考虑集合,它非空,有界,定理2推出它有上确界,记为.我们验证 a,limxn,,n.a,,,xa,,,x,x,,,0，Nn,NNNn,由上确界的性质,,使得,当时,由序列单调上升得, limx,a,supxnnx,a,,x,a,a，,a,,,x,a，,,,nnnn,nN再由上确界定义,,有 ,即,也就是说 .limx,infxnn{x}n,,,nnN 同理可证若单调下降,有下界,也存在极限,且.supE,，,EEinfE,，,若集合无上界,记作;若集合无下界,记作,这样一来,定理2证明了supx(infx)nn{x},xNn,xN的单调上升(下降)有上界(下界)的序列,必有极限的定理现在有了严格的{x}n理论基础了.且对单调上升(下降)序列,总有3《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院limx,supx(infx)nnn,，,,nxN,xN .(二) 用单调有界定理证明区间套定理{a}{b}bann11)知,序列单调上升,有上界;序列单调下降,有下界.因而有由假设(1lima,climb,cn1n2a,c,c,bn12n,，,,，,nn ,. .再由假设(2)知lim(b,a),c,c,0nn21,，,n ,c,c,c12记. 从而有lima,c,limbnn,，,,，,nn .***[a,b]a,c,bcn,，,c,ccnnnn若还有满足,令,得.故是一切的唯一公共点.证毕.这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明:[a,b]nn(1) 要求是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立.如1(a,b),(0,)nnn .，,111(0,),(0,):(0,),,n1,nn，1n显然有 , 但 .a,a,b,bnn，1n，1n 如果开区间套是严格包含: ,这时定理的结论还是成立的.lim(b,a),0nn[a,b],[a,b](n,1，2，？)n，1n，1nnn,，,(2)若,但,此时仍有，,c,:[a,b]lima,climb,cnnn1n2c,cc,c,cc,，,,，,nnn11212,,,但,于是对任意的,,都有.全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,定理3刻划实数集是完备的(这里完备定义与上段完备定义是等价的).定理3也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法.推论设为一区间套,(则当时,恒有(用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论(4《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院{x}n例2 序列由下列各式x，xn,1n,2x,nx,ax,b(n,3，4，？)212 , ,limxn,，,n所确定(见下图).证明极限存在,并求此极限.xxxxxx35124limx,anx,aa,bn,，,n证明当时,,故.a,min(x,x)b,max(x,x)(n,1，2，？)a,bnn，1nnn，1n当时,若取,,. 则由条件,显然可得一串区间套:[a,b],[a,b](n,1，2，？)n，1n，1nn .由已知条件x，x1nn,1x,x,,x,,(x,x)n，1nnnn,122 ,于是11b,a,|x,x|,|x,x|,|x,x|nnn，1nnn,1n,1n,222211,？,|x,x|,|b,a|,0(n,，,)，21n,1n,122lima,c,limblimx,cnnnx,[a,b]cnnn,，,,，,,，,nnn由区间套定理,存在满足: .注意到,所以 .1x,x,,(x,x)n，1nnn,1n,2，3，？，k,1c2 下面来求.由,令得一串等式:1x,x,,(x,x)32212 ;1x,x,,(x,x)43322 ;？？？？？？1x,x,,(x,x)kk,1k,1k,22 .5《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院11x,x,,(x,x)c,x,,(c,x)k2k,1121k,，,22将它们相加,得 ,令,得121c,x，x,(a，2b)12333所以 .(三) 用区间套定理证明确界原理证明思想:构造一个区间套,使其公共点即为数集的上确界(设, 有上界(取;,再令如此无限进行下去,得一区间套(可证:因恒为的上界,且,故,必有,这说明是的上界;又因,故,而都不是的上界,因此更不是的上界(所以成立( , 证毕 ,*(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的一个无限开覆盖(反证法假设:“不能用中有限个开区间来覆盖”(对采用逐次二等分法构造区间套,的选择法则:取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半(由区间套定理,(导出矛盾:使记由,推论,,当足够大时,这表示用中一个开区间就能覆盖,与其选择法则相违背(所以必能用中有限个开区间来覆盖(6《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院说明当改为时,或者不是开覆盖时,有限覆盖定理的结论不一定成立. 例如:1) (是开区间的一个无限开覆盖,但不能由此产生的有限覆盖(2) (是的一个无限覆盖,但不是开覆盖,由此也无法产生的有限覆盖( * (五) 用有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界无限点集,并设(由反证法假设来构造的一个无限开覆盖:若有聚点,则(现反设中任一点都不是的聚点,即在内至多只有(这样,就是的一个无限开覆盖(用有限覆盖定理导出矛盾:据定理9,存在为的一个有限开覆盖(同时也覆盖了)(由假设,内至多只有所属个邻域内至多只有属于(即只覆盖了中有限个点)(这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾(所以,有界无限点集必定至少有一个聚点(,证毕,推论(致密性定理) 有界数列必有收敛子列(即若为有界数列,则使有(7《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院子列的极限称为原数列的一个极限点,或称聚点注数列的聚点与一般点集的聚点,含义稍有不同(数列的聚点定义为:“,在内含有中无限多个项,则为的一个聚点(”在此意义下,对于数列它有两个收敛子列:和, (它们的极限和就是的两个聚点({a}x,a,yx,y,nn1n111证 有界,则存在数使得 对成立.x ，yx ，y1111[,][,y]x11{a}[x,y]n2211将二等分为 、,则其中必有一个含有数列的无穷多项,x ，yx ，y2222[,][,y]x22[x,y][x,y]222222记为;再将二等分为、,同样其中至少有一个含有数列{a}[x,y]{[x,y]}n33nn 的无穷多项,把它记为,……一直进行这样的步骤,得到一闭区间套,其中[x,y]{a}nnn 每一个中都含有数列的无穷多项,且满足:[x,y][x,y][x,y]nn11,22,？,,? …yx,11lim()lim0yx,,,nn,n1,,,,nn2?lima,limb,nn ，,,n,,n,,则由闭区间套定理,使得{a},n 下证中必有一子列收敛于实数a{a}{a}[x,y][x,y]nnn11122先在中选取的某一项,记为,因中含有中的无穷多项,可选取位于aaa,[x,y][x,y]n,nnnnkkk ，1k ，112k21后的某一项,记为,.继续上述步骤,选取后,因为中含有无aa{a}n,n{a}nnnk ，1knkkk ，1穷多项,可选取位于后的某一项,记为且,这样我们就得到的一个子列x,a,yk,1,2,？knkk 满足 ,lima,nk,,,n 由两边夹定理即得 .8《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 石家庄经济学院数理学院a，bc,1a,x,b,,,,,,a,ba,cc,bn211证明设,用中点将一分为二,则两个子区间和中至少a，b11c,2x{x},,,,a,ba,bnn211111有一个含有中无穷多项,选出来记为,在其中选一项.用中点将{x},,,,,,a,cc,ba,bn122122一分为二,则两个子区间和中至少有一个含有中无穷多项,选出来记为,x,,a,bn,n,？nkk221在其中选一项,使得.最后得一区间套,满足,,,,a,b,a,bk，1k，1kk,b,ab,a,kkk2,,,x,a,b,n,nnkkk，1kk.lima,limb,climx,ckka,x,bnkknk,,,,,,kkkk由区间套定理,,又由于,有.*(六) 用聚点定理证明柯西准则必要性: 已知收敛,设(由定义,,当时,有(从而有(充分性: 已知条件: 当时(欲证收敛((首先证有界(对于当时,有令,则有((由致密性定理,存在收敛子列,设((最后证,由条件,当时,有(9《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院于是当(同时有)时,就有(lima,an{a},,,,0，Nn,Nn,,n证“” 收敛,则存在极限,设,则,,当时有|a,a|,,/2|a,a|,|a,a|，|a,a|,,n,m,N,nmmnn当时有|a,a|,1n,m,N,,,1，N,nm“”先证有界性,取,则,|a,a|,1|a|,|a|，1n,N,nN，1nN，1特别地,时M,max{|a|,|a|,？,|a|,|a|，1}|a|,M,n12NN，1n设 ,则,lima,an{a}{a}knn,,kk再由致密性定理知,有收敛子列,设||/2aa,,,，Nn,m,N,,,0,nm11,,|a,a|,,/2nk,K,k，K ,nNN,，,1N,max(K,N)n,NN，11取,当时有|a,a|,|a,a|，|a,a|,,/2，,/2,,nnnn,N，1N，1lima,an,,k故 .CauchyCauchy列、基本列(满足收敛准则的数列)*(七) 用柯西准则证明单调有界原理设为一递增且有上界M的数列(用反证法( 借助柯西准则 )可以证明:倘若无极限,则可找到一个子列以为广义极限,从而与有上界相矛盾(现在来构造这样的(对于单调数列,柯西条件可改述为:“ 当时,满足”(这是因为它同时保证了对一切,恒有(倘若不收敛,由上述柯西条件的否定陈述:,对一切,,使10《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院(依次取把它们相加,得到(故当时,可使,矛盾(所以单调有界数列必定有极限( [ 证毕 ]例1 用单调有界定理证明区间套定理(即已知: 1 ) 单调有界定理成立;,,,,a,bnn2 )设为一区间套(,,，,,a,b,n,1,2,？,nn欲证:且惟一(,证证明思想:构造一个单调有界数列,使其极限即为所求的(,,,,abnn为此,可就近取数列(或)(由于a,a,？,a,？,b,？,b,b,12nn21lima,,n,,aa,,,n,1,2,？bnnn,,1因此为递增数列,且有上界(例如)(由单调有界定理,存在,且(lim(b,a),0nnb,(b,a)，annnnn,,又因 ,而,故limb,lim(b,a)，lima,0，,,,nnnn,,,,,,nnn;,,,,bb,,,,a,b,n,1,2,？nnnn且因递减,必使(这就证得(,,,,,a,b,n,1,2,？,nn最后,用反证法证明如此的惟一(事实上,倘若另有一个,则由,,,,,(b,a),0(n,,)nn,,,,,,0导致与相矛盾( 例 2 (10) 用区间套定理证明单调有界定理(即已知: 1 ) 区间套定理成立(11《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院x,,n2 ) 设为一递增且有上界M的数列(,,limxxn,,n,,n欲证:存在极限 (a,bx,,,,,,,nnn证证明思想:设法构造一个区间套,使其公共点即为的极限( ab，11c,1a,bx,,,,,,M2111为此令.记 ,并取a,c,,,若c为x的上界;,,,111na,b,,,,22.,,c,b,,若c不为x的上界,,111n ab，22c,22再记 , 同理取,ac,;若c为x的上界,,,,22,2n,ab,,,,33,,,,c,b,若c不为x的上界.,222n ,,,,a,bnn如此无限进行下去,得一区间套(,,，,,a,b,n,1,2,？(lima,,,limb)nnnnn,,n,,根据区间套定理,(下面用数列极限定义证明limx,,nn,,:,,b(k,N)x,,,0kn,一方面,由于恒为的上界,因此,n,k,N,x,b,x,limb,,,,，,nknkk,,;另一方面,由lima,,,，K,N,当k,K时,a,,,,,a,,,a,,,,kkkKk,,;,,,,ax，x,a,,,,xknNKnn,N而由区间套的构造,任何不是的上界,故;再由为递增数列,当x,x,,,,nNn,N时,必有(这样,当时,就有limx,,n,,,,x,,，,nn,, , 即 ( 例 3 (9) 用确界定理证明区间套定理( 即已知: 1 ) 确界定理成立(非空有上界的数集必有上确界);[a,b],,nn 2 ) 设为一区间套(,,,,a,b,n,1,2,？nn欲证:存在惟一的点(,SS证证明思想:给出某一数集,有上界,使得的上确界即为所求的(12《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院,,,,S,a,,supabnn1为此,取,其上界存在(例如 )(由确界定理,存在 (,,,,aa,,,n,1,2,？a,,nnn首先,由为的一个上界,故(再由是的最小上界,倘有某个a,b,,,,b,,b,,a，a,ba,bijmnkmnnm,则不会是的上界,即,这与为区间套相矛盾().所b,,n以任何(这就证得a,,,b,n,1,2,？nn(,关于的惟一性,与例1中的证明相同(注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚(在以上六个等价命题中,最便于推广至中点集的,当属聚点定理与有限覆盖定理(为加深对聚点概念的认识,下例所讨论的问题是很有意义的(例证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价:(i) 内含有中无限多个点(原始定义);(ii) 在内含有中至少一个点;(iii) ,时,使(证 (i)(ii) 显然成立((ii)(iii) 由(ii),取,;再取;……一般取;……由的取法,保证,,((iii)(i)时,必有,且因各项互不相同,故内含有中无限多个点([证毕]四、实数系的完备性13《数学分析》教案第七章实数的完备性石家庄经济学院数理学院实数所组成的基本数列比存在实数极限――实数系完备性;有理数域不具有完备性,{}xn11,,nn如，:(无理数). ，,e(1)lim(1),,,,nnn,,五、压缩映射原理(不动点原理)1、函数f(x)的不动点指什么,设y,f(x)是定义在[a,b]上的一个函数,方程x,f(x)的解称为f(x)的不动点.2、在什么样的条件下不动点一定存在呢,存在时唯一吗,如何求出不动点,压缩映射:如果存在常数k,满足0?k<1,使得对一切成立不等式 xyab,[,], , fxfykxy()()||,,,则称f是[a,b]上的一个压缩映射.压缩映射必连续.压缩映射原理(不动点原理) 设是[a,b]上压缩映射,且,则在[a,b],()x,([,])[,]abab,,()x上存在唯一的不动点.例4 证明Kapler方程在时,存在唯一实数. ||1,,xxb,，,sin14。
数学分析教学大纲
《数学分析》教学大纲学时数:256一、课程性质和目的本课程是数学与应用数学专业的一门重要基础课。
本课程的教学目的是使学生较系统地掌握数学分析的基础理论和基础知识，能熟练地进行基本运算，具有较强的分析论证能力、能深入理解和分析处理，中学教学教材，具备一定解决实际问题的能力，培养创新意识，为学习后续课程打下基础。
二、课程教学内容与基本要求第一学期（78学时）第一章变量与函数（讲授3课时，习作1课时，共4学时）掌握变量与函数（包括复合函数、反函数、基本初等函数）的概念及基本性质。
作业量：§1的1/4；§2, §3，的1/2。
重点：各类函数定义及性质。
（难点：严格单调函数的反函数也严格单调定理）第二章极限与连续（讲授26课时，习作14课时，共40学时）掌握数列极限定义及性质、无穷大（小）量概念极其运算；掌握函数极限定义及性质；掌握连续函数的定义、性质及函数间断点的分类。
作业量：课后习题的3/4。
重点：“ε—N”，“ε—δ”定义的掌握与应用（难点：“ε—N”，“ε—δ”定义的理解与应用）阶段考试（2学时）：笔试。
第四章导数与微分（讲授6学时，习作4学时，共10学时）理解导数与微分的意义，掌握导数与微分的定义及基本公式、运算法则；掌握高阶导数与高阶微分及不可导之例。
掌握反函数、复合函数、隐函数及参数方程表示函数的求导法及微分法。
作业量：课后习题之4/5重点：求导数、求微分（难点：分段函数分段点处的到数，高阶导数）第五章微分基本定理及其应用（讲授16学时，习作8学时，共24学时）掌握微分基本定理及其证明，掌握该定理的各种应用，掌握用导数研究函数用解决实际问题的方法，掌握各种不定型极限求值。
作业量：§1的全部，§2的2/3，§3的3/4，§4的1/2，§5的全部重点：各种应用（难点：证明）期末考试笔试：（统一安排）第二学期（92学时）第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明（讲授16学时，习作8学时，共24学时）掌握子例定义，上（下）界定义，新闻实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西准则等）。
数学分析(华东师大)第七章实数的完备性
第七章实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理在第一、二章中,我们证明了关于实数集的确界原理和数列的单调有界定理,给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性,通常称为实数的完备性或实数的连续性.可以举例说明,有理数集就不具有这种特性(本节习题4).有关实数集完备性的基本定理,除上述三个外,还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理,在本节中将阐述这三个基本定理,并指出所有这六个基本定理的等价性.下一节中将应用这些基本定理证明第四章中已给出的关于闭区间上连续函数的性质.从而使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的基础之上.一区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列{[ a n,b n ]}具有如下性质: ( i)[ a n , b n ] É [ a n + 1 , b n + 1 ] , n = 1 ,2, ;(i i)) lim ( b n - a n ) = 0,n →∞则称{[ a n , b n ] } 为闭区间套, 或简称区间套.这里性质(i)表明,构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即各闭区间的端点满足如下不等式:a1 ≤a2 ≤≤a n ≤≤b n ≤≤ b2 ≤b1 . (1) 定理7.1 ( 区间套定理)若{ [ a n , b n ]}是一个区间套, 则在实数系中存在唯一的一点ξ, 使得ξ∈[ a n , b n ] , n = 1 , 2 ,, 即a n ≤ ξ≤b n , n = 1 ,2, . (2) 证由(1 ) 式, { a n } 为递增有界数列, 依单调有界定理, { a n } 有极限ξ, 且有a n ≤ ξ, n = 1 ,2, . (3) 同理, 递减有界数列{b n } 也有极限, 并按区间套的条件( ii) 有limn →∞且b n = lim a n =ξ, (4)n →∞162第七章 实数的完备性b n ≥ ξ, n = 1 ,2, . (5)联合(3)、(5)即得(2)式.最后证明满足(2)的ξ是唯一的.设数ξ′也满足a n ≤ξ′≤b n , n = 1,2,,则由 (2 ) 式有 由区间套的条件(ii )得故有ξ′=ξ.|ξ- ξ′|≤b n -a n , n = 1,2,.|ξ- ξ′|≤lim (b n -a n ) = 0,n →∞由(4 ) 式容易推得如下很有用的区间套性质:推论 若 ξ∈ [ a n , b n ] ( n = 1 ,2, )是区间套{[a n ,b n ]}所确定的点,则对 任给的 ε>0 , 存在 N > 0 , 使得当 n >N 时有[ a n , b n ] Ì U (ξ;ε) .注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间 , 才能保证定理的结论成立.对于开区间列, 如{ ( 0 , 1) } , 虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个, 且nlim ( 1- 0) = 0 , 但不存在属于所有开区间的公共点. n →∞ n作为区间套定理的应用,我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西 收敛准则”(定理2 .10),即数列{ a n } 收敛的充要条件是: 对任给的ε>0 , 存在 N > 0 , 使得对 m , n >N 有 | a m - a n | <ε.证 [ 必要性] 设lim n →∞a n = A.由数列极限定义, 对任给的 ε>0 , 存在N > 0 , 当 m , n >N 时有| a m - A |<ε ε2 , | a n - A|< 2, 因而 | a m - a n | ≤ | a m - A | + | a n - A | <ε ε2 + 2= ε. [ 充分性] 按假设, 对任给的ε>0 , 存在 N > 0 , 使得对一切n ≥ N 有|a n -a N |≤ε,即在区间[a N -ε,a N +ε]内含有{a n }中几乎所有的项(这里及以 下,为叙述简单起见,我们用“{a n }中几乎所有的项”表示“{a n }中除有限项外的 所有项”) .据此, 令ε= 1 , 则存在 N 1 , 在区间[ a N 21 所有的项.记这个区间为[α1 ,β1].- 12 , a N 1+ 1] 内含有{ a n } 中几乎 2§1 关于实数集完备性的基本定理163再令ε= 1 , 则存在 N 2 ( >N 1 ) , 在区间[ a N 22 2 几乎所有的项 .记- 1 , a N 222 + 1] 内含有{ a n } 中22[α2 ,β2]= [a N2 - 1 , a N 222 + 1 ]∩[α1 ,β1] , 22 它也含有{ a n } 中几乎所有的项, 且满足[α1 ,β1]É[α2 ,β2 ]及 β2 - α2 ≤1.2继续依次令 ε= 123,, 1 ,,照以上方法得一闭区间列{[αn ,βn ]},其中每2n个区间都含有{ a n } 中几乎所有的项, 且满足[αn ,βn ]É[αn+1 ,βn+1], n = 1,2, ,1βn - αn ≤ 2n - 1 → 0 ( n → ∞) ,即{[αn ,βn ]}是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数ξ∈[αn ,βn ]( n =1, 2,).现在证明数ξ就是数列{ a n } 的极限 .事实上, 由定理 7 .1的推论, 对任给的 ε>0 , 存在 N > 0 , 使得当 n >N 时有[αn ,βn ]ÌU(ξ;ε) .因此在 U(ξ;ε) 内含有{ a n } 中除有限项外的所有项, 这就证得lim n →∞a n = ξ.二 聚点定理与有限覆盖定理定义2 设 S 为数轴上的点集, ξ为定点( 它可以属于S , 也可以不属于 S).若ξ的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点, 则称ξ为点集 S 的一个聚点 .例如, 点集 S = { (- 1 ) n + 1 } 有两个聚点ξ = - 1 和ξ = 1 ; 点集 S = { 1}n 1 2n只有一个聚点ξ= 0; 又若 S 为开区间( a , b) , 则( a , b) 内每一点以及端点 a 、b都是 S 的聚点; 而正整数集N + 没有聚点, 任何有限数集也没有聚点 .聚点概念的另两个等价定义如下:定义2′ 对于点集 S , 若点ξ的任何ε邻域内都含有 S 中异于ξ的点, 即 U °(ξ;ε)∩S ≠¹?,则称ξ为S 的一个聚点.定义2″ 若存在各项互异的收敛数列{ x n } ÌS , 则其极限lim n →∞x n = ξ称为 S的一个聚点 .关于以上三个定义等价性的证明, 我们简述如下 .定义2ª定义2′是显然的,定义2″ª定义2也不难得到;现证定义2′ª定义164第七章 实数的完备性2″:设ξ为S(按定义2′)的聚点,则对任给的ε>0,存在x ∈U °(ξ;ε)∩S .令ε1 =1,则存在x 1∈U °(ξ;ε1 )∩S;令ε2 =min (1,|ξ- x 1 |),则存在x 2 ∈U °(ξ;ε2)∩S,且显然x 2 ≠x 1 ;2令 εn =min (1, |ξ- x n - 1 |),则存在x n ∈U °(ξ;εn )∩S,且x n 与x 1 ,,nx n - 1 互异 .无限地重复以上步骤,得到S 中各项互异的数列{x n },且由|ξ- x n |<εn ≤ 1, 易见lim n →∞x n = ξ.下面我们应用区间套定理来证明聚点定理 .定理7 .2 ( 魏尔斯特拉斯( Weierstrass) 聚点定理) 实轴上的任一有界无 限点集S 至少有一个聚点 . 证 因 S 为有界点 集 , 故存 在 M > 0 , 使 得 S Ì [ - M , M ] , 记[ a 1 , b 1 ] =[ - M , M] .现将[ a 1 , b 1 ] 等分为两个子区间 .因 S 为无限点集, 故两个子区间中至少有 一个含有 S 中无穷多个点, 记此子区间为[ a 2 , b 2 ] , 则[ a 1 , b 1 ] É[ a 2 , b 2 ] , 且 b 2 - a 2 = 12(b 1 - a 1 ) = M.再将[ a 2 , b 2 ] 等分为两个子区间, 则其中至少有一个子区间含有 S 中无穷 多个点, 取出这样的一个子区间, 记为[ a 3 , b 3 ] , 则[ a 2 , b 2 ]É[ a 3 , b 3 ] , 且b 3 - a 3 = 1 (b 2 - a 2 ) = M.2 2将此等分子区间的手续无限地进行下去, 得到一个区间列{ [ a n , b n ]} , 它满 足[ a n , b n ] É [ a n + 1 , b n + 1 ] , n = 1 ,2,,b n - a n = M→ 0 ( n → ∞ ),2n - 1即{[ a n , b n ] } 是区间套, 且其中每一个闭区间都含有 S 中无穷多个点 .由区间套定理, 存在唯一的一点ξ∈[ a n , b n ] ,n = 1 , 2 ,.于是由定理 7 .1 的推论, 对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n >N 时有[ a n ,b n ] Ì U ( ξ; ε) .从而 U(ξ;ε) 内含有 S 中无穷多个点, 按定义2 , ξ为 S 的一个聚点 .推论( 致密性定理) 有界数列必含有收敛子列 .n§1 关于实数集完备性的基本定理165证 设{ x n } 为有界数列 .若{x n } 中有无限多个相等的项, 则由这些项组成 的子列是一个常数列, 而常数列总是收敛的 .若数列{ x n } 不含有无限多个相等的项, 则{ x n } 在数轴上对应的点集必为有 界无限点集,故由聚点定理,点集{x n }至少有一个聚点,记为ξ.于是按定义2″, 存在{ x n } 的一个收敛子列( 以ξ为其极限) .作为致密性定理的应用, 我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性 . 证 设数列{ a n } 满足柯西条件 .先证明{ a n } 是有界的 .为此, 取ε= 1 , 则存 在正整数 N, 当 m = N + 1 及 n >N 时有| a n -a N + 1 | <1.由此得 | a n | = | a n - a N + 1 + a N + 1 | ≤ | a n - a N + 1 | + | a N + 1 | < | a N + 1 | + 1 .令M = max { | a 1 | , | a 2 |,, | a N | , | a N + 1 | + 1},则对一切正整数 n 均有 | a n | ≤ M .于是, 由致密性定理, 有界数列{ a n } 必有收敛子列{ a n k 给的ε>0 , 存在 K > 0 , 当 m , n ,k >K 时, 同时有ε } , 设limk →∞ a n = A.对任k | a n - a m |<2( 由柯西条件) , | a n - A |< ε( 由lim a n = A ) .k 2因而当取 m = n k ( ≥k >K)时, 得到k →∞ k ε ε | a n - A | ≤ |a n - a n k | + | a n k - A |<2 + 2 = ε. 这就证明了lim n →∞a n = A .定义3设S 为数轴上的点集,H 为开区间的集合(即H 的每一个元素都 是形如(α,β)的开区间).若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内,则称 H 为S 的一个开覆盖,或称H 覆盖S.若H 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称H 为S 的一个无限开覆盖(有限开覆盖).在具体问题中,一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定.例如,若 函数f 在(a,b)内连续,则给定ε>0,对每一点x ∈(a, b),都可确定正数δx (它 依赖于ε与x),使得当x ′∈U ( x ;δx )时有|f( x ′) - f( x)|<ε.这样就得到一 个开区间集H = {( x - δx , x +δx )x ∈(a,b)},它是区间( a , b) 的一个无限开覆盖 .定理7 .3(海涅—博雷尔(H eine 6B .orel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间 [ a , b] 的一个( 无限) 开覆盖, 则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖[ a , b].166第七章 实数的完备性证 用反证法 假设定理的结论不成立 , 即不能用 H 中有限个开区间来 覆 盖 [ a , b] .将[a,b]等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个 开区间来覆盖.记这个子区间为[a 1,b 1],则[a 1,b 1]Ì[a,b] ,且b 1 - a 1 =12( b - a) . 再将[ a 1 , b 1 ] 等分为两个子区间, 同样, 其中至少有一个子区间不能用 H 中 有限个开区间来覆盖 .记这个子区间为[ a 2 , b 2 ] , 则[ a 2 , b 2 ]Ì[ a 1 , b 1 ] , 且 b 2 - a 2 = 1( b - a) .22重复上述步骤并不断地进行下去, 则得到一个闭区间列{ [ a n , b n ]} , 它满足[ a n , b n ] É [ a n + 1 , b n + 1 ] , n = 1 ,2, ,b n - a n = 1(b- a) → 0 ( n → ∞) ,2n即{[ a n , b n ] } 是区间套, 且其中每一个闭区间都不能用 H 中有限个开区间来覆 盖 .由区间套定理 , 存在唯一的一点 ξ∈ [ a n , b n ] , n = 1 , 2 , .由于 H 是 [ a , b] 的一个开覆盖, 故存在开区间(α, β) ∈H , 使ξ∈( α, β) .于是, 由定理 7 .1 推论, 当 n 充分大时有[ a n , b n ] Ì (α, β) .这表明[ a n , b n ] 只须用 H 中的一个开区间(α, β) 就能覆盖, 与挑选[ a n , b n ] 时的 假设“不能用 H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾 .从而证得必存在属于 H 的有 限个开区间能覆盖[ a , b] .注 定理7 .3 的结论只对闭区间[ a , b]成立, 而对开区间则不一定成立 .例如,开区间集合( 1,1) (n =1,2, )构成了开区间(0,1)的一个开覆盖,但n + 1不能从中选出有限个开区间盖住(0 , 1 ) .*三 实数完备性基本定理的等价性至此, 我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理, 即 1 . 确界原理( 定理1 .1 ) ;2 . 单调有界定理( 定理2 .9 ) ;3 . 区间套定理( 定理7 .1 ) ;4 . 有限覆盖定理( 定理7 .3 ) ;5 . 聚点定理( 定理7 .2 ) ;§1 关于实数集完备性的基本定理1676 . 柯西收敛准则 ( 定理2 .10) .在本书中,我们首先证明了确界原理,由它证明单调有界定理,再用单调有 界定理导出区间套定理,最后用区间套定理分别证明余下的三个定理.事实上, 在实数系中这六个命题是相互等价的,即从其中任何一个命题都可推出其余的 五个命题.对此,我们可按下列顺序给予证明:1ª2 ª3ª4 ª5ª6 ª1 .其中 1ª2 , 2ª 3 与 3ª4 分别见定理 2 .9 , 7 .1 与 7 .3; 4 ª5 和 5 ª 6 请读 者作 为 练习自证( 见本节习题8 和9 ) ; 而6 ª1 见下例 .例 1 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数α,存在整 数K α,使得λα= k αα为S 的上界,而λα- α= (k α- 1)α不是S 的上界,即存在 α′∈S,使得α′>( k α-1)α.分别取 α= 1, n = 1 ,2,,则对每一个正整数n,存在相应的λ,使得λn nn为S 的上界,而λn - 1不是S 的上界,故存在a ′∈S,使得na ′>λn - 1 n.(6)又对正整数m ,λm 是S 的上界,故有λm ≥a ′.结合(6)式得 λn -λm <1;同理有nλm -λn < 1m .从而得 | λm - λn | <max1 1m , n. 于是, 对任给的ε>0 , 存在 N > 0 , 使得当 m , n >N 时有|λm - λn | <ε.由柯西收敛准则,数列{λn }收敛.记lim λn = λ.(7)n →∞现在证明λ就是S 的上确界.首先,对任何a ∈S 和正整数n 有a ≤λn ,由(7 ) 式得 a ≤λ, 即λ是 S 的一个上界 .其次, 对任何δ> 0 , 由1→0 ( n →∞) 及n(7 ) 式, 对充分大的 n 同时有1 n < δ δ2 , λn >λ- 2. 又因λn - 1不是S 的上界,故存在a ′∈S,使得a ′>λn - 1.结合上式得n n168 第七章实数的完备性这说明λ为S的上确界. a′>λ-δ2-δ= λ- δ.2同理可证: 若S 为非空有下界数集, 则必存在下确界.习题1 . 验证数集{ ( - 1) n + 1}有且只有两个聚点ξ= - 1 和ξ= 1 . n 1 22 . 证明: 任何有限数集都没有聚点.3 . 设{ ( a n , b n ) }是一个严格开区间套, 即满足a1<a2 < <a n <b n < <b2 <b1,且lim ( b n - a n ) = 0 .证明:存在唯一的一点ξ, 使得n →∞a n <ξ<b n , n = 1 ,2, .4 . 试举例说明:在有理数集内, 确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.5 . 设H = {( 1,1) | n = 1 ,2, } .问n+2 n( 1) H 能否覆盖( 0 , 1 ) ?( 2) 能否从H 中选出有限个开区间覆盖( i) (0 , 1) , ( ii) (1, 1) ?2 1006 . 证明: 闭区间[ a , b] 的全体聚点的集合是[ a , b]本身.7. 设{ x n }为单调数列.证明:若{ x n } 存在聚点, 则必是唯一的, 且为{ x n }的确界。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 实数的完备性(9学时)§1 关于实数完备性的基本定理教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法.教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理.难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下:一、区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= （2）lim ()0n n n b a →∞-=则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套.定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤=证: 先证存在性{[,]}nn ab 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤∴可设lim n n a ξ→∞=且由条件2有lim lim ()lim n n n n n n n n b b a b a ξ→∞→∞→∞=-+==由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 再证唯一性设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ'≤≤= 那么,,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-= 由区间套的条件2得lim ()0n n n b a ξξ→∞'-≤-=故有ξξ'=推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈= 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有[,](,)n n a b U ξε⊂柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有 ||m n a a ε-<.证 [必要性] 略.[充分性] 已知条件可改为：对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N ≥有||m n a a ε-≤.取m N =，有对任给的0ε>,存在0N >,使得对n N ≥有||m n a a ε-≤，即 在区间[,]N N a a εε-+内含有{}n a 中几乎所有的项（指的是{}n a 中除有限项的所有项）∴令12ε=则存在1N ，在区间1111[,]22N N a a -+内含有{}n a 中几乎所有的项，记该区间为11[,]αβ. 再令212ε=则存在21()N N >，在区间112211[,]22N N a a -+内含有{}n a 中几乎所有的项，记该区间为1122112211[,][,][,]22N N a a αβαβ=-+也含有{}n a 中几乎所有的项,且满足1122[,][,]αβαβ⊃及221.2βα-≤依次继续令311,,,,22nε=得一区间列{[,]}n n αβ,其中每个区间中都含有{}n a 中几乎所有的项,且满足11[,][,],1,2,;n n n n n αβαβ++⊃=110(),2n n n n βα--≤→→∞即时{[,]}n n αβ是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数[,],1,2,n n n ξαβ∈= . 再证lim n n a ξ→∞=.由定理7.1的推论对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有[,](,)n n U αβξε⊂即在(,)U ξε内含{}n a 中除有限项的所有项,由定义1'lim n n a ξ→∞=. 二、聚点定理与有限覆盖定理定义 2 设S 为数轴上产的点集，ξ为定点，若ξ的任何邻域内都有含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点.例如:1{(1)}nn -+有两聚点1,1ξξ==-.1{}n 有一个聚点0ξ=.(,)a b 内的点都是它的聚点,所以开区间集(,)a b 有无穷多个聚点. 聚点的等价定义;定义2'对于点集S ,若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点,即(;)U S ξε≠∅ ,则称ξ为S 的一个聚点.定义2''若存在各项互异的数列{}n x S ⊂,则其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点.三个定义等价性的证明: 证明思路为:2222'''⇒⇒⇒.定义22'''⇒的证明:由定义2'设ξ为S 的一个聚点,则对任给的0ε>,存在0(,)x U S ξε∈ .令11ε=,则存在01(,)x U S ξε∈ ;令211m in(,||)2x εξ=-,则存在022(;)x U S ξε∈ ,且显然21x x ≠;令11m in(,||)2n n x εξ-=-,则存在0(;)n n x U S ξε∈ ,且显然n x 与11,,n x x - 互异;得S 中各项互异的数列{}n x ,且由1||n n n x n ξε-<≤,知lim n n x ξ→∞=.由闭区间套定理可证聚点定理.定理7.2 (Weierstrass 聚点定理) 实数轴上的任一有界无限点集S 致少有一个聚点. 证 S 有界, ∴存在0M >,使得[,]S M M ⊂-,记11[,][,]a b M M =-,将11[,]a b 等分为两个子区间.因S 为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点,记此子区间为22[,]a b ,则1122[,][,]a b a b ⊃且122112()b a b a M -=-=.再将22[,]a b 等分为两个子区间,则其中至少有一个含有S 中无穷多个点,取出这样一个子区间记为33[,]a b ,则2233[,][,]a b a b ⊃,且133222()2M b a b a -=-=依次继续得一区间列{[,]}n n a b ,它满足:11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= 20(),2n n n M b a n --=→→∞即{[,]}n n a b 为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理, 存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= .由定理1的推论, 对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有[,](,)n n a b U ξε⊂.从而(;)U ξε含有S 中无穷多个点按定义2ξ为S 的一个聚点.推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.证: 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项,显然成立.若数列{}n x 中不含有无限多个相等的项,则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集{}n x 至少有一个聚点,记为ξ.由定义2'',存在{}n x 的一个收敛子列(以ξ为极限).由致密性定理证柯西收敛准则的充分性.柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N >有 ||m n a a ε-<.证: [充分性] 先证{}n a 有界,由忆知条件取1ε=,则存在正整数N, 则1m N =+及n N >时有1||1n N a a +-<由此得111||||1||n n N N N a a a a a +++=-+<+.取121m ax{||,||,,||,1||}N N M a a a a +=+ 则对一切的正整数n 均有||n a M ≤. 再证{}n a 收敛,由致密性定理,数列{}n a 有收敛子列{}k n a ,设lim k n k a A→∞=由条件及数列极限的定义, 对任给的0ε>,存在0K >,使得对,,m n k N >有||m n a a ε-<，||k n a A ε-<取()k m n k K =≥>时得到 ||||||2kkn n n n a A a a a A ε-≤-+-<所以lim k n k a A→∞=定义3 设S 为数思轴上的点集,H 为开区间集合(即H 的每一个元素都是形如(,)αβ的开区间).若S 中的任何一个点都有含在H 中至少一个开区间内,则称H 为S 的一个开覆盖,( H 覆盖S ).若H 中开区间的个数是无限的(有限)的,则称H 为S 的一个无限开覆盖(人限开覆盖).如(,),S a b ={(,)|(,)},x x H x x x a b δδ=-+∈H 为S 的一个无限开覆盖.定理7.3(海涅---博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖,则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b .证 用反证法 设定理的结论不成立,即不能用H 中有限个开区间来覆盖[,]a b . 将[,]a b 等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为11[,]a b ,则11[,][,]a b a b ⊂,且111()2b a b a -=-.再将11[,]a b 等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为22[,]a b ,则2211[,][,]a b a b ⊂,且2221()2b a b a -=-.依次继续得一区间列{[,]}n n a b ,它满足:11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= 1()0(),2n n nb a b a n -=-→→∞即{[,]}n n a b 为闭区间套,且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖 由闭区间套定理, 存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= ,由于H 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖,故存在(,),H αβ∈使得(,)ξαβ∈.于是,由定理7.1的推论,当n 充分大时有[,](,)n n a b αβ⊂.即用H 中一个开区间就能覆盖[,]n n a b 矛盾.课后记:这一节理论性强,学生学习困难较大,我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节.1 如何理解记忆定理内容.2 如何掌握定理的证明方法.3 怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题.在应用闭区间套定理时,应先构造一个闭区间套,构造的方法一般是二等分法,在应用有限覆盖定理时,应先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点定理时,应先构造一数列等.教材中P 16322[,]αβ中包含{}n a 的几乎所有项,是因为它中包含{}n a 的第2N 项以后的所有项,这里应强掉,容易被忽略.在下节的教学中就让学一注意到在什么时候用实数的完备性定理,这是一个难点,重点.三、 实数基本定理等价性的证明（未讲）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy 收敛准则确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理Heine –Borel 有限复盖定理区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理7.4 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 7.5 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.推论1 若是区间套确定的公共点, 则对,当时, 总有.推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗,↘,. 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:定理 7.6数列收敛是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列. ( 证 )定理 7.6 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明,该证法比较直观.4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：定理7.7非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二. “Ⅱ”的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:定理7.8 (Weierstrass )任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）定理7.9每一个有界无穷点集必有聚点.2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：定理7.10数列收敛是Cauchy列.证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三.“Ⅲ”的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理”证明“区间套定理”:§2 闭区间上连续函数性质的证明教学目的要求：掌握定理的证明方法.教学重点、难点：重点是定理的证明方法,难点是什么情况下用哪一个定理.学时安排: 2学时教学方法: 讲授法.教学过程:一. 有界性:命题1 , 在上.证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法三 ( 用有限复盖定理 ).二.最值性:命题2 , 在上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ] 后半段.三.介值性:证明与其等价的“零点定理”.命题3 ( 零点定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用确界原理 ). 不妨设.令, 则非空有界, 有上确界. 设有. 现证, ( 为此证明且). 取>且.由在点连续和, ,. 于是. 由在点连续和,. 因此只能有.证法三 ( 用有限复盖定理 ).四.一致连续性:命题4 ( Cantor定理 )证法一 ( 用区间套定理 ) .证法二 ( 用列紧性 ).五.实数基本定理应用举例：例1 设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果,, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )证法一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )设集合. 则, 不空 ; ,有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设, 则.下证.ⅰ）若, 有; 又, 得.由递增和, 有, 可见. 由,. 于是 , 只能有.ⅱ）若, 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列, ↘,. 由递增, 以及, 就有式对任何成立 . 令, 得于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为. 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间. 依此构造区间套, 对,有. 由区间套定理, , 使对任何,有.现证.事实上, 注意到时↗和↘以及递增,就有.令, 得于是有.例2 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程在区间内有实根 .证构造区间套,使.由区间套定理,, 使对,有. 现证. 事实上, 由在上的递增性和的构造以及↗和↘,, 有.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有,, . 为方程在区间内的实根.例3 试证明: 区间上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间上的全体实数是可列的,即可排成一列:把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… .依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理,, 使对, 有. 当然有. 但对有而, . 矛盾.习题课（ 3学时）一．实数基本定理互证举例：例4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证设数列递增有上界. 取闭区间, 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.…….于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .例5 用“确界原理”证明“区间套定理”.证为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 .设, .易见有和.由，.例6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对, 存在开区间, 使在内仅有的有限个点. …… .例7 用“确界原理”证明“聚点原理”.证设为有界无限点集. 构造数集中大于的点有无穷多个.易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设. 则对,由不是的上界中大于的点有无穷多个; 由是的上界,中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .课后记强掉应先构造闭区间套、构造开覆盖、构造数列等的方法.通过大量的例子让同学们体会在什么时候用哪一个定理.。