(数学分析教案)第七章

第七章 实数的完备性

(9学时)

§1 关于实数完备性的基本定理

教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法.

教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理.

难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.. 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程如下:

一、区间套定理与柯西收敛准则

定义1 设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质： （1）11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= （2）lim ()0

n n n b a →∞

-=

则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套.

定理7.1(区间套定理) 若{[,]}n n a b 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= ,即 ,1,2,.n n a b n ξ≤≤=

证: 先证存在性

{[,]}n

n a

b 是一个区间套, 所以 1221,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤

∴可设

lim n n a ξ

→∞

=

且由条件2有

lim lim ()lim n n n n n n n n b b a b a ξ

→∞

→∞

→∞

=-+==

由单调有界定理的证明过程有,1,2,.n n a b n ξ≤≤= 再证唯一性

设ξ'也满足,1,2,.n n a b n ξ'

≤≤= 那么,

,1,2,.n n b a n ξξ'-≤-= 由区间套的条件2得

lim ()0

n n n b a ξξ→∞

'-≤-=故有ξξ'=

推论 若[,](1,2,)n n a b n ξ∈= 是区间套{[,]}n n a b 所确定的点,则对任给的0ε>,存在0N >,使得当

n N >时有

[,](,)n n a b U ξε⊂

柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对

,m n N >有 ||m n a a ε-<.

证 [必要性] 略.

[充分性] 已知条件可改为：对任给的0ε>,存在0N >,使得对,m n N ≥有

||m n a a ε-≤.

取m N =，有对任给的0ε>,存在0N >,使得对n N ≥有||m n a a ε-≤，即 在区间[,]N N a a εε-+内含有{}n a 中几乎所有的项（指的是{}n a 中除有限项的所有项）

∴令

1

2ε=

则存在1N ，在区间

1111

[,]

2

2N N a a -

+

内含有{}n a 中几乎所有的项，

记该区间为11[,]αβ. 再令2

1

2ε=

则存在21()N N >，在区间

112

2

11[,]

2

2

N N a a -

+

内含有{}n a 中几乎所有的

项，

记该区间为1122112

2

11[,][,][,]

2

2

N N a a αβαβ=-

+

也含有{}n a 中几乎所有的项,且

满足

1122[,][,]αβαβ⊃及

221

.

2βα-≤

依次继续令

3

11,,,,

2

2

n

ε=

得一区间列{[,]}n n αβ,其中每个区间中都含有{}n a 中

几乎所有的项,且满足

11[,][,],1,2,;n n n n n αβαβ++⊃=

1

10(),

2

n n n n βα--≤

→→∞

即时{[,]}n n αβ是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数[,],1,2,n n n ξαβ∈= . 再证lim n n a ξ

→∞

=.由定理7.1的推论对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有

[,](,)n n U αβξε⊂

即在(,)U ξε内含{}n a 中除有限项的所有项,由定义1'lim n n a ξ

→∞=. 二、聚点定理与有限覆盖定理

定义 2 设S 为数轴上产的点集，ξ为定点，若ξ的任何邻域内都有含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点.

例如:

1

{(1)}

n

n -+

有两聚点1,1ξξ==-.

1{}

n 有一个聚点0ξ=.

(,)a b 内的点都是它的聚点,所以开区间集(,)a b 有无穷多个聚点. 聚点的等价定义;

定义2'对于点集S ,若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点,即

(;)U S ξε≠∅ ,则称ξ为S 的一个聚点.

定义2''若存在各项互异的数列{}n x S ⊂,则其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点.

三个定义等价性的证明: 证明思路为:2222'''⇒⇒⇒.

定义22'''⇒的证明:

由定义2'设ξ为S 的一个聚点,则对任给的0ε>,存在0

(,)x U S ξε∈ .

令11ε=,则存在0

1(,)x U S ξε∈ ;

令

211

m in(,||)

2x εξ=-,则存在0

22(;)x U S ξε∈ ,且显然21x x ≠;

令11

m in(,||)

2

n n x εξ-=-,则存在0

(;)n n x U S ξε∈ ,且显然n x 与11,,n x x - 互

异;

得S 中各项互异的数列{}n x ,且由

1

||n n n x n ξε-<≤

,知lim n n x ξ→∞=.

由闭区间套定理可证聚点定理.

定理7.2 (Weierstrass 聚点定理) 实数轴上的任一有界无限点集S 致少有一个聚点. 证 S 有界, ∴存在0M >,使得[,]S M M ⊂-,记11[,][,]a b M M =-,

将11[,]a b 等分为两个子区间.因S 为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点,记此子区间为22[,]a b ,则1122[,][,]a b a b ⊃且1

22112

()b a b a M -=

-=.

再将22[,]a b 等分为两个子区间,则其中至少有一个含有S 中无穷多个点,取出这样一个子区间记为33[,]a b ,则2233[,][,]a b a b ⊃,且133222()2M b a b a -=-=

依次继续得一区间列{[,]}n n a b ,它满足:

11[,][,],1,2,;n n n n a b a b n ++⊃= 2

0(),

2

n n n M b a n --=

→→∞

即{[,]}n n a b 为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.

由区间套定理, 存在唯一的一点ξ使得[,],1,2,n n a b n ξ∈= .由定理1的推论, 对任给的0ε>,存在0N >,使得当n N >时有[,](

,)n n a b U ξε⊂.从而(;)U ξε含有S 中无穷多个点按定义2ξ为S 的一个聚点.

推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.

证: 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项,显然成立.

若数列{}n x 中不含有无限多个相等的项,则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集{}n x 至少有一个聚点,记为ξ.由定义2'',存在{}n x 的一个收敛子列(以ξ为极限).

由致密性定理证柯西收敛准则的充分性.

柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是: 对任给的0ε>,存在0N >,使得对

,m n N >有 ||m n a a ε-<.

证: [充分性] 先证{}n a 有界,由忆知条件取1ε=,则存在正整数N, 则1m N =+及