1.1.3导数的几何意义-浙江省桐庐分水高级中学高中数学人教A版选修2-2学案(无答案)
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人教A版高中数学选修2-2《1.1.3导数的几何意义》课件
A．(0,0) B．(2,4) C．(1/4，1/6 ) D．(1/2，1/4 )
拓展提升：
例1：求曲线y=x2+1在点P(1,2)处
的切线方程.
动画演示
例2：求曲线 y x2过点P(5，6)的切线方程 2
当堂检测：
1、已知函数y f (x)的图象如图所示
则f (xA )与f (xB )的大小关系是B
y A
B
A. f (xA) f (xB ) B. f (xA) f (xB )
x 0 xB xA
C. f (xA) f (xB )
D.不能确定
2.已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂 直的直线方程．
x+4y-9=0
总结
1、导数的几何意义：
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是k f (x0) .
2、切线的斜率：
3、求切线方程的步骤：
(1)求切线斜率k f (x0) (2)切线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
4.求曲线的切线方程时,要注意区分“过”一点与 “在”某点求切线问题
5. 三种数学思想
无限逼近的极限思想、以直代 曲的思想以及数形结合的思想。
课后作业 习题1.1 A组 第5、6题
3
T
T
P4 P
x
O
x
4
图3.1 2
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
动画演示
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
拓展提升：
例1：求曲线y=x2+1在点P(1,2)处
的切线方程.
动画演示
例2：求曲线 y x2过点P(5，6)的切线方程 2
当堂检测：
1、已知函数y f (x)的图象如图所示
则f (xA )与f (xB )的大小关系是B
y A
B
A. f (xA) f (xB ) B. f (xA) f (xB )
x 0 xB xA
C. f (xA) f (xB )
D.不能确定
2.已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂 直的直线方程．
x+4y-9=0
总结
1、导数的几何意义：
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是k f (x0) .
2、切线的斜率：
3、求切线方程的步骤：
(1)求切线斜率k f (x0) (2)切线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
4.求曲线的切线方程时,要注意区分“过”一点与 “在”某点求切线问题
5. 三种数学思想
无限逼近的极限思想、以直代 曲的思想以及数形结合的思想。
课后作业 习题1.1 A组 第5、6题
3
T
T
P4 P
x
O
x
4
图3.1 2
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
动画演示
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
(vip免费)【数学】1.1.3《导数的几何意义》课件(人教A版选修2-2)
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
x
Pβ Δx
O
斜 率!
Δy
M x
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着
点P逐渐转动的情y 况.
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。
1.1.3导数的几何意义- 高中数学人教A版必修2-2课件(共15张PPT)
新课学习
概念运用
课堂小结
课堂小结
作业布置
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点的坐标； ②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数； ③利用点斜式求切线方程.
复习回顾 新课学习
概念运用
课堂小结 作业布置
概念运用
例2．曲线y＝x3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐
标为( B )
一的公共点时，直线叫做曲线过该点的切线呢y？ 观不察能右．图例中如的和曲双线曲C线．的直渐线近l1虽线平行l2的直l线1 与双曲
然线与的曲公线共C点有是唯唯一一公的共，点但，它但们它显们然不是相切关系．
并不相切；而直线l2尽管与曲线C有 F1 不止一个公共点，但它们在点N处 仍然是相切的． 因此，对于一般曲线，
复习回顾 新课学习
概念运用
课堂小结 作业布置
课堂小结
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义： 就是曲线y＝f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率．
也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0)) 处的切线斜率是
f '( x0 )
2.导函数的概念
y
一般地，f (x) 是 x 的一个函数，
称为 f (x) 的导函数（简称导数）
有时也记作 y
O
x
f (x) y lim f (x x) f (x)
x0
x
复习回顾 新课学习
概念运用
例题
课堂小结 作业布置
例3：已知函数 f (x)＝x2－1，求f ′(x)及f′(－1).
f ′(x)＝2x f′(－1)=－2
o F2
.P
人教A版高中数学选修2-2课件1.1.3导数的几何意义100
空白演示
在此输入您的封面副标题
1.1.3导数的几何意义2
XX棉湖中学 XXX
y
回 当Δx→0时,割线P Pn的斜
顾 率,称为曲线在点P处的切
线的斜率.
P
o
导数的几何意义
y= 割 f(Q 线 x) 切T
线
x
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率.
即:
k切线
f
'
( x0
)
lim
x0
y x
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是
药物浓度 f t 在此时刻的导数.从图象上看,它表示 曲线 f t 在此点处的切线的斜率.
如图1.1 4,画出曲线上某点处的切线,利用网格
估计这条切线的斜率,可以得到此刻药物浓度瞬
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
练习:
例4.已知y x，求y.
解： y x x x
x
xxx
y
1
x x x x
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
时变化率的近似值.
作t 0.8处的切线，并在切线上取两点，如
（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率约为
k=
0.48-0.91 1.0-0.7
1.4,
所以f’(0.8) 1.4.
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确.
在此输入您的封面副标题
1.1.3导数的几何意义2
XX棉湖中学 XXX
y
回 当Δx→0时,割线P Pn的斜
顾 率,称为曲线在点P处的切
线的斜率.
P
o
导数的几何意义
y= 割 f(Q 线 x) 切T
线
x
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率.
即:
k切线
f
'
( x0
)
lim
x0
y x
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的
直观本质。
解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是
药物浓度 f t 在此时刻的导数.从图象上看,它表示 曲线 f t 在此点处的切线的斜率.
如图1.1 4,画出曲线上某点处的切线,利用网格
估计这条切线的斜率,可以得到此刻药物浓度瞬
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
练习:
例4.已知y x，求y.
解： y x x x
x
xxx
y
1
x x x x
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
时变化率的近似值.
作t 0.8处的切线，并在切线上取两点，如
（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率约为
k=
0.48-0.91 1.0-0.7
1.4,
所以f’(0.8) 1.4.
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确.
高中数学 1.1.3 导数的几何意义1课件 新人教A版选修22
第二十三页，共44页。
求双曲线 y＝1x在点12，2处的切线的斜率，并写出 切线方程．
第二十四页，共44页。
[解析]
∵y′＝liΔmx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
x＋1Δx－1x Δx
＝liΔmx→0 x2＋－x1Δx＝－x12，
∴切线的斜率 k＝y′|x＝12＝－4.
∴切线方程为 y－2＝－4x－12， 即 4x＋y－4＝0.
[解析] 因为 f′(3)＝liΔmx→0 (3＋ΔΔxx)3－33＝27 所以在点(3,27)处的切线方程为 y－27＝27(x－3)即 y ＝27x－54. 此切线与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝12 ×2×54＝54.
第三十六页，共44页。
第十四页，共44页。
• [例1] 求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的 导数．
• [分析] 求函数在某点处的导数，一种方法 (fāngfǎ)是直接求函数在该点的导数；另一 种方法(fāngfǎ)是先求函数在x＝x0处的导数 表达式，再代入变量求导数值，上一节已 经学过第一种方法(fāngfǎ)．现在我们用第 二种方法(fāngfǎ)求解．
－1，得 x0＝－32，故 y0＝94，即 P－32，94.
第二十七页，共44页。
(3)因为切线的倾斜角为 135°，所以其斜率为－1. 即 2x0＝－1，得 x0＝－12，故 y0＝14，即 P－12，14.
• [点评] 此类题的易错之处是将切点 (qiēdiǎn)的横坐标代入导函数来求切点 (qiēdiǎn)坐标．
第七页，共44页。
• (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是 (jiùshì)导函数f′(x)在点x0处的函数值，即 f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
(新课程)高中数学《1.1.3导数的几何意义》课件3-新人教A版选修2-2(共23张)
第4页，共23页。
教学 难点 (jiāo xué)
1) 发现和理解导数的几何意义； 2) 运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决
实际问题。
第5页，共23页。
知识链接
①平均(píngjūn)变化
率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均
变化率为:
y f (x2 ) f (x1)
2.在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最 小的切线方程是 __y_=_3_x－__11___ .
3.曲线y=ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3=0的最
短距离是______5____ ．
4.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两 点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
1 解得x0=1或x0=－ 2
化情况。
h
0
t
第13页，共23页。
例3．已经曲线(qūxiàn)C：y=x3－x+2 和点A(1,2)。求在点A处的切线方
程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
第14页，共23页。
变式1：求过点A的切线(qiēxiàn)方程？
教学目标
情感态度(tài du)与价值观： 渗透逼近和以直代曲思想，激发学生学习
教学 难点 (jiāo xué)
1) 发现和理解导数的几何意义； 2) 运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决
实际问题。
第5页，共23页。
知识链接
①平均(píngjūn)变化
率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均
变化率为:
y f (x2 ) f (x1)
2.在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最 小的切线方程是 __y_=_3_x－__11___ .
3.曲线y=ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3=0的最
短距离是______5____ ．
4.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两 点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
1 解得x0=1或x0=－ 2
化情况。
h
0
t
第13页，共23页。
例3．已经曲线(qūxiàn)C：y=x3－x+2 和点A(1,2)。求在点A处的切线方
程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
第14页，共23页。
变式1：求过点A的切线(qiēxiàn)方程？
教学目标
情感态度(tài du)与价值观： 渗透逼近和以直代曲思想，激发学生学习
高中数学 专题1.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
高中数学专题1.1.3 导数的几何意义教案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.1.3 导数的几何意义教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学专题1.1.3 导数的几何意义教案新人教A版选修2-2的全部内容。
导数的几何意义【教学目标】1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．【教法指导】本节学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义．本节学习难点：导数的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．☆探索新知☆思考1:如图，当点P n（x n，f(x n））（n＝1,2,3，4)沿着曲线f（x)趋近于点P（x0,f（x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?思考2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l 2.思考3：曲线f （x ）在点(x 0，f （x 0））处的切线与曲线过某点（x 0，y 0)的切线有何不同？ 答:曲线f （x ）在点（x 0,f (x 0)）处的切线，点（x 0，f (x 0）)一定是切点，只要求出k ＝f ′（x 0），利用点斜式写出切线即可;而曲线f （x ）过某点(x 0,y 0)的切线，给出的点（x 0，y 0）不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．【小结】曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f (x 0））处的切线的斜率k ＝f ′（x 0），欲求斜率,先找切点P (x 0,f (x 0)）．思考4：如何求曲线f (x ）在点（x 0,f （x 0）)处的切线方程？答：先确定切点P （x 0，f (x 0)） ，再求出切线的斜率k ＝f ′(x 0）,最后由点斜式可写出切线方程．2、例题剖析例1:（1)求曲线y =f (x ）=x 2+1在点P （1,2）处的切线方程.(2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线方程。
高中数学人教A版选修2-2课件：1.1.3导数的几何意义
-17-
目标导航
题型一
题型二
题型三
重难聚焦
典例透析
题型四
解:由 f(x)=g(x),得 x3-x2+x-1=0,
即(x-1)(x2+1)=0,
所以 x=1,即两条曲线的交点坐标为(1,2).
因为 f'(1)=
f(1+x)-f(1)
lim
x
Δ→0
=
2
(1+Δ) +1-(12 +1)
=2,
重合.
-3-
目标导航
重难聚焦
典例透析
2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的
直线是切线”的区别是什么?
剖析:观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,
但我们不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一
个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一
∴y'|x=2=
y
lim
Δ→0 x
=
1
3 4 1
3 4
-3
×2
+
(2+Δ)
33
3
Δ
x→0
1
= lim 4 + 2·Δ + (Δ)2 = 4.
Δ→0
3
∴k=y'|x=2=4.
∴曲线 C 在点(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.
= 4-4,
需注意f'(x0)与f'(x)的意义不同,f'(x)为f(x)的导函数,而f'(x0)为f(x)在
x=x0处的导函数值.
1.1.3导数的几何意义课件高二下学期数学人教A版选修2-2第一章
程.
【解析】y lim (x x)2 (x x)－2－x2－x 2
x0
x
lim 2xx (x)2 x lim,(2x x 1) 2x 1
x0
x
x0
所以y′|x=1=2×1+1=3,
所以直线l的斜率为- 1,所以l的方程为:
3
y-2=-1 (x-1),即x+3y-7=0.
3
角度2 已知点不在曲线上的切线问题 【典例】求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线与x轴、y轴围成的三角形 面积. 【思路导引】点(-1,-2)不在曲线上,所以先根据题意确定切点的坐标,再求出 切线方程,然后求面积.
y-1=2(x-0),即y=2x+1.
3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线的斜率为 ( )
A.4
B.16
C.8
D.2
【解析】选C. f (2) lim f(2 x) f(2)
x0
x
lim 2(2 x)2 8 l,i即m（斜8 率2kx=）88.
x0
x
x0
【解析】y′=
(x x)2 (x x) 2 x2 x 2 lim
x0
x
lim 2xx (x)2 x
x0
x
lim (2x
x0
x
,所1) 以2yx′|x1=1=2×1+1=3,
所以直线l的斜率为3,所以l的方程为:
y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
【变式探究】
本例改为直线l过点(1,2)且与曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线垂直,求直线l的方
－833－－,(切－(－2线1) ) 方 －程149为:
1.1.3导数的几何意义-浙江省桐庐分水高级中学高中数学人教A版选修2-2学案(无答案)
导数的几何意义高考要求：理解导数的几何意义角度一 求切线方程例1：曲线161sin 33++=x x y 在点（0，1）处的切线方程为_________________.练习1：已知x x x f 3)(3−=，过点)2,2(−−P 作函数)(x f y =图像的切线，则切线方程为____________________.角度二 求切点坐标例2：设R a ∈，函数x x e a e x f +=)(是偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为______________.练习2：曲线x e y =在A 处的切线与直线01=+−y x 平行，则点A 的坐标为_____.角度三 求参数的值或取值范围例3：（1）直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ,则=+b a 2_______.(2)若直线b kx y +=是曲线x e y =的切线，也是曲线)2ln(+=x y 的切线，则=k __________.练习3：已知2ln 4)(x x x f −=，若曲线)(x f y =在点)1,1(−处的切线与曲线m x x y +−=32相切，则=m ___________.角度四 过某点的切线的条数问题例4 若过点),a a P （与曲线x x x f ln )(=相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A.),(e −∞B.),(+∞eC.(0,)1eD. ),1(+∞练习4：已知nx mx x x f ++=23)(,R n m ∈,(1) 若)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数m 的取值范围。
(2) 若0)(/=x f ，且过点)1,0(P 有且只有两条直线与曲线)(x f y =相切，求实数m 的值。
练习5：已知b x x x x f +++=2325)(,，其图像是曲线C,若过点)0,1(P 可作曲线C的三条切线，求实数b 的取值范围。
汇总高中数学1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修2-2.ppt
Y=f(x)
②割线的斜率
y
k
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1)
A x2-x1=△xx
O
.精品课件.
x1
x2
2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim x0
f (x0
x) x
f
(
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
x
x
(3)求极限，得导函数y
f
(x)
lim
y .
x0 x
.精品课件.
11
.精品课件.
12
例题分析：
例4.已知y x，求y.
解：y x x x
x
x x x
y
1
x x x x
y lim y lim
y |x2 22 4.
1
-2 -1 O -1
x 12
即点P处的切线的斜率等于4.
-2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
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8
.精品课件.
9
函数的导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
.精品课件.
14
课堂小结:
3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：1.1.3导数的几何意义
4.函数f(x)＝x2的导数f′(x)＝________.
解析
即可. 答案
可利用导数定义求 f(x)＝x2在x＝x0 处的导数，再把 x0换成x
2x
类型一 过曲线上一点的切线方程
【例1】 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.
解 ∵y＝x3＋3ax. （x＋Δ x）3＋3a（x＋Δ x）－x3－3ax ∴y′＝ lim Δx x0 3x2Δ x＋3x（Δ x）2＋（Δ x）3＋3aΔ x ＝ lim Δx x0 ＝ lim [3x2＋3xΔ x＋(Δ x)2＋3a]＝3x2＋3a. x0
设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y0)，
2 3x0＋3a＝3， 结合已知条件，得 3 x0＋3ax0＝y0＝3x0＋1， 3 2 3 a ＝ 1 － ， 2 2 解得 ∴a＝1－ 2 . 3 x0＝－ 4. 2
规律方法
一般地，设曲线 C 是函数 y＝f(x)的图象，P(x0，y0)
0 0 0
2.函数的导数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的
一个函数，称 f′(x) 是 f(x) 的导函数 ( 简称导数 ).f′(x) 也记作
f（x＋Δ x）－f（x） lim y′，即f′(x) ＝y′＝_________________________. Δx x0
当点 B 沿曲线趋近于点 A 时， 割线 AB 绕点 A 转动， 它的极限位
切线 于是， 置为直线 AD， 这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的______.
当Δ x→0 时， 割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜 f（x0＋Δ x）－f（x0） lim f ′ (x ) Δx 0 ＝___________________________. x0 率 k，即 k＝________
1.1.3导数的几何意义2优秀课件2020-2021学年高中数学人教A版选修2-2
f '(x)＝lim f (x x) f (x) lim (x x)2 x2
x0
x
x0
x
lim x(2x x) 2x
x0
x
f '(1)＝f '(x) x1 2 (1) 2
f '(2) f '(x) x2 2 2 4
一、几个常见函数的导数
1、函数y=f(x)=c 2、函数y=f(x)=x 3、函数y=f(x)=x2 4、函数y f (x) 1
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
2、已知函数 y 2ax2 1过点 P( a,3), 求该曲线
在点P处的切线方程。
3、已知函数 f (x) ax2 c,且 f (1) 2, 则
a= 。
题型2：求切点坐标
例2.在曲线y=x2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴正方向成 1350的倾斜角。
1.1.3导数的几何意义2
教学目标：1、掌握导数的几何意义了解导数与切线的关系。 2、利用导数会求函数在某点处的切线斜率与 切线方程。 3、理解导函数的定义及求解。
重点难点：导数几何意义的理解与导数与斜率的关系。
复习1.导数的几何意义:
函数在x0处的导数f1(x)的几何意义: 是曲线y=f(x)在(x0,f(x0)) )点处的切 线的斜率.
高中数学 1.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版 选修22
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
第八页，共41页。
导函数(hánshù)
对于函数 y＝f(x)，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，当 x 变化时，f′(x)便是一个关于 x 的函数，我们称它为函数 y＝f(x) 的导函数(简称为导数)，即 f′(x)＝y′＝_Δ_lix_m→_0_f__x_＋__ΔΔ_xx_－__f__x__.
第三十四页，共41页。
导数的几何意义是曲线的切线 (qiēxiàn)的斜率．反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线 (qiēxiàn)，则可以根据切线(qiēxiàn)斜率的符号及绝对值的大 小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度．
第三十五页，共41页。
3．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数 y＝－x2 ＋4x32≤x≤2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．
第三页，共41页。
[问题1] 如图，直线l1是曲线C的切线(qiēxiàn)吗？l2呢？
[提示1] l1不是曲线C的切线(qiēxiàn)，l2是曲线C的切线 (qiēxiàn)．
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[ 问 题 2] 设 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， AB 是 过 点 A(x0 ， f(x0)) 与 点 B(x0 ＋ Δx ， f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A 时，割线AB如何变化呢？割线AB的斜率kAB 与在点A处的切线AD的斜率k之间有什么(shén me)关系？
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高中数学人教A版选修2-2课件1-1-3导数的几何意义2
教材新知
导数的几何意义 • 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，
当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定 的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 _切__线_____． • 2．导数的几何意义 • 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的 _切__线__的__斜__率__，即k＝f ′(x0)＝_Δlix_m→_0_f_x_0_＋_Δ_Δx_x_－_f_x_0_ _.
1)，则由 f′(1)＝lim
Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim
Δx→0
1＋Δx3－21＋Δx－－1 Δx
＝ lim [(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
Δx→0
∴切线方程为 y－(－1)＝1×(x－1)，即 x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，则
k＝yx00＋ －11＝x30－x02－x01＋1＝x30－xx00－－1x0－1＝x02＋x0－1，
• 3．(2014·泰安模拟)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 方程为3x－y＋1＝0，则( )
• A．f ′(x0)<0 • C．f ′(x0)＝0 • [答案] B
B．f ′(x0)>0 D．f ′(x0)不存在
• [解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数 等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f ′(x0)＝3.故选B.
• 3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲 线y＝f(x)的切线．
• 求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再 分别按上述1、2求解．
• 4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x0)<0时，切线的 倾斜角为钝角；f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的 导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．
人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.1.3 导数的几何意义
【答案】D
知识点三 利用导数求曲线的切线方程 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
练 习 3 ： 求 曲 线 y ＝ x2 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 为 _____－x2＋3x 在 x＝2 处的导数．
解：由导数的定义知，函数在 x＝2 处的导数 f2＋Δx－f2 f′(2)＝Δ lim ， x→0 Δx 而 f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2 －Δx， －Δx2－Δx 于是 f′(2)＝Δ lim ＝Δ lim (－Δx－1)＝－1. x→0 x→0 Δx
【解析】过点(1,1)的切线的斜率为 f1＋Δx－f1 f′(1)＝ lim Δx Δx→0 1＋Δx2－1 ＝ lim ＝ lim (2 ＋ Δ x ) ＝ 2 ， → → Δx Δx 0 Δx 0 故所求切线的方程为 y－1＝2(x－1)， 即 2x－y－1＝0.
【答案】2x－y－1＝0
则切线的倾斜角为钝角；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平
行或重合．
2．函数在某一点处的导数与函数的导数的区别与联系 (1)函数在一点处的导数， 就是该点的函数值的改变量与 自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变 数． (2)函数的导数是对某一区间内任意一点 x 而言的， 就是 函数 f(x)的导数 f′(x)． (3)函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，就是导函数 f′(x)在点 x ＝x0 处的导数值.
考点二 求曲线的切线方程 1 3 4 例 2 已知曲线 y＝3x ＋3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为 4 的曲线的切线方程．
1.1.3导数的几何意义课件-人教A版高二数学选修2-2
因为 y' ＝li mx＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1
Δx →0
Δx
＝3x2－2x，
则 y′|x=x0=3x20－2x0=1，解得 x0=1 或 x0=－13，
当 x0＝1 时，y0＝x30－x20＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
将 x0＝1，y0＝1 代入得 a＝0 矛盾舍去． 当 x0＝－13时，y0＝(－13)3－(－13)2＋1＝2237， 则切点坐标为(－13,2237)，代入直线 y＝x＋a 中得 a＝3227.
下面来看导数的几何意义:
y
如图,曲线C是函数y=f(x)的
y=f(x) Q
图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意 一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一 点,PQ为C的割线,PM//x
Pβ Δx
O
Δy
M x
轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.则 : MP x, MQ y,
请问：y 是割线PQ的什么? y
0－1
＝x20＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝Δlix→m0fx0＋ΔΔxx－fx0
=li m Δx→0
x
0＋Δx
3－2x0＋Δx Δx
－x
30－2x
0=3x20－2，
∴x20＋x0－1＝3x20－2，∴2x20－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－12.∴k＝x20＋x0－1＝－54， ∴切线方程为 y－(－1)＝－5(x－1)，
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与 过点P的曲线y＝f(x)的切线． P为切点 P可以是切点，也可以不是切点
113导数的几何意义-浙江省台州市书生中学高中数学人教A版选修2-2课件(共25张PPT)
y
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A
x2-x1=△x
x1
x2 x
3.导数的概念
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
或 y |x x0, 即
f ( x0) =kPQ，解出x0，y0及f ′(x0). (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为
y-f(x0)=f ′(x0)·(x-x0)
【变式练习】
已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记
k1=f′(1),k2=f′(2),k3=f(2)-f(1),则k1,k2,k3之间的大小关系
1.1.3 导数的几何意义 2课时
2020年2月11日-2020年2月12日
1.平均变化率：函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:
y f ( x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
y=f(x)
2.平均变化率的几何意义： 割线的斜率
k y f ( x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
(3x02 x0
1)(1 1
2
x0
).
【即时训练】 f (x0) 3x02 1
若曲线C:y=x3-x+2上一点P处的切线恰好平行于直线
y=11x-1,则P点坐标为 ,切线方程为
.
【解析】设点P坐标为(x0,x03-x0+2),则曲线C在点P处 的切线的斜率为f′(x0)=3x02-1,又因为切线平行于直 线y=11x-1,所以3x02-1=11,即x02=4,即x0=±2,所以P点 坐标为(2,8)或(-2,-4),则切线方程为y-8=11(x-2)或
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导数的几何意义
高考要求：理解导数的几何意义
角度一 求切线方程
例1：曲线161sin 33++=x x y 在点（0，1）处的切线方程为_________________.
练习1：已知x x x f 3)(3-=，过点)2,2(--P 作函数)(x f y =图像的切线，则切线方程为____________________.
角度二 求切点坐标
例2：设R a ∈，函数x x e a e x f +
=)(是偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是23
，则切点的横坐标为______________.
练习2：曲线x e y =在A 处的切线与直线01=+-y x 平行，则点A 的坐标为_____.
角度三 求参数的值或取值范围
例3：（1）直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ,则=+b a 2_______.
(2)若直线b kx y +=是曲线x e y =的切线，也是曲线)2ln(+=x y 的切线，
则=k __________.
练习3：已知2ln 4)(x x x f -=，若曲线)(x f y =在点)1,1(-处的切线与曲线
m x x y +-=32相切，则=m ___________.
角度四 过某点的切线的条数问题
例4 若过点),a a P （与曲线x x x f ln )(=相切的直线有两条，则实数a 的取值范
围是（ ）
A.),(e -∞
B.),(+∞e
C.(0,)1e
D. ),1(+∞
练习4：已知nx mx x x f ++=23)(,R n m ∈,
(1) 若)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数m 的取值范围。
(2) 若0)(/=x f ，且过点)1,0(P 有且只有两条直线与曲线)(x f y =相切，
求实数m 的值。
练习5：已知b x x x x f +++=2325)(,，其图像是曲线C,若过点)0,1(P 可作曲线C
的三条切线，求实数b 的取值范围。