电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
电动力学期末考试复习知识总结及试题
电动力学期末考试复习知识总结及试题第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过渡。
二、知识体系：三、内容提要：1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）（3）电磁感应定律①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。
②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律,①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。
2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程其中：1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。
2当，过渡到真空情况：3当时，回到静场情况：4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。
介质中：3、介质中的电磁性质方程若为非铁磁介质1、电磁场较弱时：均呈线性关系。
向同性均匀介质：，，2、导体中的欧姆定律在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。
4．洛伦兹力公式考虑电荷连续分布，单位体积受的力：洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。
说明：①②5.电磁场的边值关系其它物理量的边值关系：恒定电流:6、电磁场的能量和能流能量密度：能流密度：三．重点与难点1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。
(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
电动力学第四章习题答案
电动力学第四章习题答案电动力学第四章习题答案电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电场、电流和磁场、电磁感应等现象。
在学习电动力学的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供电动力学第四章的一些习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。
求球壳上任意一点的电场强度。
解答：由于球壳是均匀带电的，所以球壳上的电荷分布是均匀的。
根据库仑定律，球壳上任意一点的电场强度与该点到球心的距离r有关。
当r<R时，由于球壳内部没有电荷，所以电场强度为0；当r>R时，由于球壳外部的电荷均匀分布，可以将球壳看作一个点电荷，根据库仑定律，电场强度与点电荷的电荷量和距离成正比。
所以球壳上任意一点的电场强度为：E = k * Q / r^2其中，k为电场常量。
2. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。
求球壳内部的电场强度。
解答：由于球壳内部没有电荷分布，所以球壳内部的电场强度为0。
3. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。
求球壳外部的电场强度。
解答：根据问题2的解答可知，球壳内部的电场强度为0。
所以球壳外部的电场强度与球壳上的电荷量和距离成正比。
可以将球壳看作一个点电荷，根据库仑定律，球壳外部的电场强度为：E = k * Q / r^2其中，k为电场常量，r为球壳上任意一点到球心的距离。
4. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。
求球壳内部和外部的电势。
解答：球壳内部的电势为0，因为电场强度为0。
球壳外部的电势可以通过积分求解。
根据电势的定义，电势差为从参考点到某一点的电场强度在该段距离上的积分。
所以球壳外部的电势为：V = ∫E·dr其中，E为球壳外部的电场强度，r为从参考点到某一点的距离。
5. 问题：一个半径为R的均匀带电球壳，总电荷量为Q。
求球壳上的电势。
《电动力学》课后答案
(a ⋅ ∇ ) r = ( a x
∂ ∂ ∂ + ay + a z )[( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z ] ∂x ∂y ∂z = axe x + a y e y + az ez = a
4 ○
∇ ( a ⋅ r ) = r × (∇ × a ) + ( r ⋅ ∇ ) a + a × (∇ × r ) + (a ⋅ ∇ ) r 因为， a 为常向量，所以， ∇ × a = 0 ， ( r ⋅ ∇) a = 0 ， 又 ∵ ∇ × r = 0 ，∴ ∇( a ⋅ r ) = ( a ⋅ ∇) r = a ∇ ⋅ [ E0 sin( k ⋅ r )] = (∇ ⋅ E0 ) sin( k ⋅ r ) + E0 ⋅ [∇ sin( k ⋅ r )]
ez ex ey dA （3） ∇u × = ∂u / ∂x ∂u / ∂y ∂u / ∂z du dAx / du dAy / du dAz / du
dAy ∂u dAx ∂u dA ∂u dAz ∂u dAz ∂u dAy ∂u − )e x + ( x − )e y + ( − )e z du ∂y du ∂z du ∂z du ∂x du ∂x du ∂y ∂Ay (u ) ∂Ax (u ) ∂A (u ) ∂Ay (u ) ∂A (u ) ∂Az (u ) =[ z − ]e x + [ x − ]e y + [ − ]e z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = ∇ × A(u ) =(
S S S S S S S S S
（1）
电动力学-选择题填空题判断题问答题复习
《电动力学1》随教材复习题目一、章节容：第0章 矢量分析第一章 电磁现象的普遍规律第二章 静电场第三章 静磁场第四章 电磁波的传播第五章 电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章 矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有 （ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于 （B ）A ．0 B.3 C.r1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于 （A ）A.0B.3C.r rD.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于 （ C ）A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？ （ B ） A. 0 B.3r r - C.r r D .r 0.6⨯∇3r r =？ （A ） A. 0 B .r r C.r D.r 1 0.7⋅∇3rr =？（其中r ≠0） （ A ） A.0 B.1 C.r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。
0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。
0.3位置矢量大小r r r 。
0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。
0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。
三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。
（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。
(×) 0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。
(√) 0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。
(√)第一章 电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说确 （ D ）A 感应电场的旋度为零B 感应电场散度不等于零C 感应电场为无源无旋场D 感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 （ D） A 有源无旋场 B 有源有旋场 C 无源无旋场 D 无源有旋场。
[精品]新人教版高中物理第4章电磁波及其应用及答案
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第四章电磁波及其应用第一节电磁波的发现典型例题【例1】麦克斯韦电磁场论的主要内容是什么？【解析】变的磁场能够在周围空间产生电场，变的电场能够在周围产生磁场．均匀变的磁场，产生稳定的电场，均匀变的电场，产生稳定的磁场．这里的“均匀变”指在相等时间内磁感应强度（或电场强度）的变量相等，或者说磁感应强度（或电场强度）对时间变率一定．不均匀变的磁场产生变的电场，不均匀变的电场产生变的磁场【例2】根据麦克斯韦的电磁场论,下列说法中错误的是．A、变的电场可产生磁场B、均匀变的电场可产生均匀变的磁场、振荡电场能够产生振荡磁场D、振荡磁场能够产生振荡电场【解析】麦克斯韦电磁场论的含义是变的电场可产生磁场，而变的磁场能产生电场；产生的场的形式由原的场的变率决定，可由原场随时间变的图线的切线斜率判断，确定．可见，均匀变的电场的变率恒定，产生不变的磁场，B说法错误；其余正确．【例3】能否用实验说明电磁波的存在？【解析】赫兹实验能够说明电磁波的存在。
依照麦克斯韦论，电扰动能辐射电磁波。
赫兹根据电容器经由电火花隙会产生振荡原，设计了一套电磁波发生器。
赫兹将一感应线圈的两端接于产生器二铜棒上。
当感应线圈的电流突然中断时，其感应高电压使电火花隙之间产生火花。
瞬间后，电荷便经由电火花隙在锌板间振荡，频率高达百万周。
由麦克斯韦论，此火花应产生电磁波，于是赫兹设计了一简单的检波器探测此电磁波。
他将一小段导线弯成圆形，线的两端点间留有小电火花隙。
因电磁波应在此小线圈上产生感应电压，而使电火花隙产生火花。
所以他坐在一暗室内，检波器距振荡器10米远，结果他发现检波器的电火花隙间确有小火花产生。
基础练习一、选择题（选6题，填3题，计3题）1、电磁场论是谁提出的（）A、法拉第B、赫兹、麦克斯韦 D、安培2、电磁场论是哪国的家提出的（）A、法国B、英国、美国 D、中国3、电磁场论预言了什么（）A、预言了变的磁场能够在周围空间产生电场B、预言了变的电场能够在周围产生磁场、预言了电磁波的存在，电磁波在真空中的速度为光速D、预言了电能够产生磁，磁能够产生电4、关于电磁场的论，下面说法中正确的是（）A、变的电场周围产生的磁场一定是变的B、变的电场周围产生的磁场不一定是变的、均匀变的磁场周围产生的电场也是均匀变的D、振荡电场周围产生的磁场也是振荡的5、按照麦克斯韦的电磁场论，以下说法中正确的是（）A、恒定的电场周围产生恒定的磁场，恒定的磁场周围产生恒定的电场B、变的电场周围产生磁场、均匀变的磁场周围产生均匀变的电场D、均匀变的电场周围产生稳定的磁场6、电磁波能够发生一下现象（）A、发射B、折射、干涉 D、衍射二、填空题7、变的磁场能够在周围空间产生__________，变的电场能够在周围产生____________．8、电磁波__________（填“可以”或“不可以”）在真空中传播9、_____________证实了麦克斯韦的预言三、计算题10、麦克斯韦电磁场论的两大基本要点是什么？11、已知电磁波传播的速度为3×108，某演唱会现场通过卫星用电磁波传输信号，已知现场到收音机用户总路程为7200公里，则信号传播过所需的时间是多少？12、简述电磁波的产生过程答案：1、 2、B 3、 4、D 5、BD 6、ABD 7、电场磁场8、可以 9、赫兹 10、（1）不仅电荷能够产生电场，变的磁场也能产生电场；（2）不仅电流能够产生磁场，变的电场也能产生磁场。
电动力学复习
电动⼒学复习第⼀章电磁现象的基本规律1、描写静电场的基本⽅程（积分与微分），各⾃反映静电场的什么性质，以及微分⽅程反映场的局域性质的意义。
2、描写静磁场的基本⽅程（积分与微分），各⾃反映静磁场的什么性质，以及微分⽅程反映场的局域性质的意义。
3、电荷守恒定律的微分形式；欧姆定律的微分形式4、电荷系统单位体积所受电磁场作⽤的⼒密度（即洛伦兹⼒公式）5、1）电介质极化，极化体束缚电荷密度与极化强度的关系，极化⾯电荷密度与极化强度的关系；引⼊辅助量，电位移⽮量，电位移⽮量的定义式；对各向同性线性介质，电位移⽮量的表达式；如：均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体⾃由电荷密度f ρ的)1(0εε--倍。
2）磁介质磁化，引⼊辅助量，磁场强度，磁场强度的定义式；对各向同性⾮铁磁质，磁场强度的表达式6、电磁场边值关系如：1）介电常数分别为ε1和ε2两种绝缘介质的分界⾯上不带⾃由电荷时，分界⾯上电场线的曲折满⾜什么关系2）⽤边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界⾯上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表⾯，在恒定电流的情况下,导体内电场线总是平⾏于导体表⾯。
7、麦克斯韦⽅程组，两个基本假设：感⽣电场和位移电流。
其中位移电流如何产⽣，位移电流与传导电流的共同点与不同点。
8、1）电磁场和电荷系统的能量转化和守恒定律的微分形式；2）电磁场的能量密度和能流密度表达式9、结合场的微分⽅程的数学上的散度、旋度的计算（如P34 习题3）如：已知电位移⽮量z y x e z e y e x D323++=，求电荷密度；已知电极化强度，求极化电荷密度；x e y e B y x+=是否为能表⽰磁感应强度的⽮量函数；若给出磁感强度为，求m 的值；⽮量是否可能是静电场的解第⼆章静电场1、在静电场中，电场强度 E和电位 ? 之间的关系；如：已知电势222z y x -=?，求电场强度；已知电势，求电场强度等2、静电势的微分⽅程和边值关系（注意导体的静电条件）3、⽤电荷密度和电势表⽰的静电场能量（注意只对总能量计算有意义，不能当做能量密度看待），如计算带电量Ｑ﹑半径为a 的导体球的静电场总能量； 4、唯⼀性定理是解静电学问题的理论基础5、分离变量法解拉普拉斯⽅程（球坐标系下通解的形式，以及问题具有轴对称性以及球对)()23(3mzy e z y e x e B z y x +--+=(2)xyzE yz x e xze xye=-++称性下的简化形式）如：P49-51 例题 2 与例题3补充习题：1）真空中半径为R 的带电球⾯，其电荷⾯密度为σ =σ0cos θ（σ0为常数），试⽤分离变量法求球⾯内外的电势分布。
电动力学第三版答案
电动力学第三版答案第一章：静电学1.1 静电场静电场是由电荷所产生的场，它是一种无时间变化的电磁场。
静电场的性质可以通过电场强度、电势和电荷分布来描述。
电场强度表示单位正电荷所受到的力，并且是一个向量量。
在任意一点的电场强度可以通过库仑定律计算。
电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
电势可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
1.2 电场的高斯定律电场的高斯定律是描述电场在闭合曲面上的通量与该闭合曲面内的电荷有关系的定律。
它可以通过以下公式表示：\[ \oint \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \, ds =\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]其中，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(\mathbf{n}\) 是曲面上的单位法向量，\(ds\) 是曲面上的微元面积，\(Q_{\text{enc}}\) 是闭合曲面内的总电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空电容率。
1.3 电势电势是单位正电荷所具有的势能，它是一个标量量。
它可以通过电势差来定义，电势差是两点之间的电势差别。
电势可以通过以下公式计算：\[ V = - \int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]其中，\(V\) 是电势，\(\mathbf{E}\) 是电场强度，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微元长度。
1.4 静电场中的导体在静电场中，导体内部的电场强度为零。
当导体受到外部电场作用时，其表面会产生等效于外部电场的电荷分布，这种现象被称为静电感应。
静电感应可以通过以下公式来计算表面电荷密度：\[ \sigma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{E} \]其中，\(\sigma\) 是表面电荷密度，\(\mathbf{n}\) 是表面法向量，\(\mathbf{E}\) 是外部电场强度。
电动力学四章参考答案
习题四参考答案1．一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r r K P =，电容率为ε．计算⑴ 束缚电荷的体密度和面密度； ⑵ 自由电荷体密度； ⑶ 球外和球内的电势；⑷该带电介质球产生的静电场的总能量．答案：⑴ 2rK p -=ρ，R Kp =σ ⑵ ()20rKf εεερ-=⑶ ()r KR002εεεεϕ-=()R r >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=001ln εεεεϕr K K ()R r <⑷ 2012⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εεεεπεK R W 提示：⑴2rK P p -=⋅-∇= ρ， R KP eR r r p =⋅== ˆσ ⑵ 因为f P ρεερ⎪⎭⎫⎝⎛-=10，所以()2r K f εεερ-= ⑶ 因为电荷分布具有球对称性，所以可以由高斯定理求电场强度E ，再求ϕ ⑷ 两种方法都可以求解⎰=vdV W ρϕ21，V 是电荷分布的球区间。
或者， ⎰∞⋅=dV D E W21，这里V 是电场分布的全空间２．导体内有一半径为R 的球形空腔，腔内充满电容率为ε的均匀电介质，现将电荷量为q 的点电荷放在腔内离球为)(R a a <处，如图所示，已知导体的电势为零，试求：①腔内任一点),(θr p 的电势ϕ；②腔壁上感应电荷量的面密度；③介质极化电荷量的密度和面密度．解：用电像法求解①设导体不存在，整个空间都充满了电容率为ε的均匀介质，像电荷q ' 使腔壁电势为0．041=⎪⎭⎫ ⎝⎛''+=s q s q πεϕ 解之得 aR b 2=q aR q -=' 由此得介质内任一点),(θr p 的电势为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+'+-+=θθπεϕcos 2cos 2412222br b r q ar a r q ． ②腔壁上感应电荷量的面密度为2/32222)cos 2(4)(ˆ)(ˆθπϕεϕεεσaR a R R q a R r e E e D n Rr r -+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇⋅=⋅-=⋅= ③介质内极化电荷量的密度为ϕεεεερ200)()(∇-=-⋅-∇=⋅-∇=E P Pρεεερεε)1())((00--=--=． q q p )1(0εε--=． 介质表面极化电荷面密度R r p rE ep n ))(()(ˆ00∂∂--=-⋅=⋅=ϕεεεεσ2/322220)cos 2(4))((θπεεεaR a R R qa R -+--=． ３．接地的空心导体球内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为()1R a a <处置一点电荷q ，求空间的电势分布．导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？答案：()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-+=θθπεϕcos /2//cos 2412122121220a R R a R R a qR Ra a R q q q -='，分布在内表面．感应电荷不等于像电荷．提示：该题的解法与例题2完全类似，只是像电荷在球外空间。
电动力学-第四章 电磁波的传播(2)
E cos Ecos Ecos
H
H
H
1 (E E) 2 E
E∥
E∥
E∥
E∥
2 cos 1 cos tg( ) 2 cos 1 cos tg( )
2 1 cos
2cos sin
2 cos 1 cos sin( ) cos( )
r
v
rr r
若E 在垂直于 k 的平面内任意方向，则：E E E∥
[(kxevx
kzevz
)
Eyevy
]
kx k sin kz i ik sin2 n221 k kn21
H z
2 2
sin n21
Ey
H
x
i
2 2
sin2 n221
1Ey
与E同相 与E相位相差
2
i( )
(e 2 i)
折射波平均能流密度 ：
S
1
Re( E *
H)
2
v S
1）若入射波为自然光，则反射波和折射波变为部分偏振光 。
2）布儒斯特定律：若 2 ，则反射波 E∥ 0，反射波只有 E
v 分量，即反射波变为垂直于入射面偏振的完全偏 k 振波。此时的入射角称为布儒斯特角。
②
①
v k
v k
三、全反射
1．全反射现象
由折射定律
sin ＝n2 sin n1
3．正入射 0， 0， 0
n n21
E
E
E∥ E∥
1 cos 2 cos 1 2 1 n 1 cos 2 cos 1 2 1 n 2 cos 1 cos ＝ 2－ 1 ＝ n 1 2 cos 1 cos 2＋ 1 n 1
2 相对折射率 1
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
南京航空航天大学电动力学习题第四章答案
第4章 电磁波的传播平面电磁波4-1解：（1）由麦克斯韦方程组有 0=⋅∇D ，tDH ∂∂=×∇在均匀各向同性介质中有 E D ε=，H Bμ=E E E 2)()(∇−⋅∇∇=×∇×∇∴E2−∇=又 t B E ∂∂×−∇=×∇×∇ )(B t×∇∂∂−=22t E∂∂−=με 得波动方程 0222=∂∂−∇t E Eμε 同理可得 0222=∂∂−∇t B B με 由波动方程 012222=∂∂−∇t y v y 可得 με1=v （2）对时谐电磁波 B i t BEω=∂∂−=×∇，tD H ∂∂=×∇ D i ω−=B i E×∇=×∇×∇∴ω)(E μεω2=E k 2=其中 μεω=k又 E E E 2)()(∇−⋅∇∇=×∇×∇E 2−∇=得亥姆霍兹方程 022=+∇E k E同理可得 022=+∇B k B4-2证：（1）平面电磁波 )(0),(t x k i e E t x E ω−⋅=)(0t x k i e E E ω−⋅⋅∇=⋅∇ ∵)(0t x k i e E k i ω−⋅⋅=0=⋅=E k i 0=⋅∴E k ，同理 0=⋅B k ，即电磁波是横波。
（2）][)(0t x k i eE E ω−⋅×∇=×∇ ∵0)(E e t x k i ×∇=−⋅ω)(0t x k i e E k i ω−⋅×=E k i ×= 又 B i t BE ω=∂∂−=×∇B E k ω=×∴ 即k B E、、组成右手螺旋关系 （3）B E k∵ω=×，即ωE k B×=k E k k ×=ωE e k k ×=ωE e v k×=1 其中k ke k=为传播方向的单位矢量。
电动力学习题解答4
第四章 电磁波的传播1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振平面波，它们都沿z 轴方向传播。
（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。
（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。
解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：)cos()(),(1101t z k t ω-=x E x E ； )cos()(),(2202t z k t ω-=x E x E则合成波为)]cos())[cos((),(),(2211021t z k t z k t t ωω-+-=+=x E x E x E E)22cos()22cos()(2212121210t z k k t z k k ωωωω---+-+=x E 其中 dk k k +=1，dk k k -=2；ωωωd +=1，ωωωd -=2所以 )cos()cos()(20t d z dk t kz ⋅-⋅-=ωωx E E用复数表示 )](ex p[)cos()(20t kz i t d z dk ωω-⋅-⋅=x E E相速由 t kz ωφ-=确定，k dt dz v p //ω==群速由 t d z dk ⋅-⋅=ωφ'确定，dk d dt dz v g //ω==2. 一平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。
解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、"S 分别为入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为：2020''E E R =⋅⋅=n S nS ， 201202cos ""cos "E n E n T θθ=⋅⋅=n S n S 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得22121"cos cos "cos cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=θεθεθεθεR ， R T -=+=1)"cos cos ("cos cos 422121θεθεθθεε 根据折射定律可得：︒=30"θ，代入上式，得3232+-=R ， 3232+=T 3. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。
电动力学习题解答第四章 电磁波的传播
∴θ 2 = 30o
2− ∴R =( 2
3 2 2 )2 = 2 −
3
2 + 2 3 2+ 3
2
2
T=
4ε 0
2
2 2
3 2
= 23
( ε0
2+ 2
ε0
2 3)2 2
2+ 3
3 有一可见平面光波由水入射到空气 入射角为 60 证明这时将会发生全反射 并求 折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度 设该波在空气中的波长为
-4-
电动力学习题解答
第四章 电磁波的传播
振可以分解为两个偏振方向垂直 同振幅 同频率 相位差为π 2 的线偏振的合成
6 平面电磁波垂直直射到金属表面上 试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热
证明 设在 z>0 的空间中是金属导体 电磁波由 z<0 的空间中垂直于导体表面入射
已知导体中电磁波的电场部分表达式是
v E
写成分量式
∂E z ∂y
− ∂E y ∂z
=
∂E z ∂y
− ik z E y
= iωµ0 H x
− k2 2
x
− ω1
−ω2 2
t)
其中 k1 = k + dk, k2 = k − dk;ω1 = ω + dω,ω2 = ω − dω
∴
r E
=
r 2E0
(xr) cos(kx
− ωt) cos(dk
⋅
x
−
dω
⋅t)
用复数表示
r E
=
r 2E
0
(
xr)
cos(dk
⋅
x
电动力学_选择题填空题判断题问答题复习
《电动力学1》随教材复习题目一、章节内容：第0章 矢量分析第一章 电磁现象的普遍规律第二章 静电场第三章 静磁场第四章 电磁波的传播第五章 电磁波的辐射二、题型1. 选择题，填空题，判断题、问答题2. 计算题（见教材例题）2018年5月第0章 矢量分析一、选择题0.1设222)()()(z z y y x x r '-+'-+'-=为源点到场点的距离，r 的方向规定为从源点指向场点，则有 （ B ）A. 0=∇rB. r r r ∇=C. 0=∇'rD. r r r'∇= 0.2位置矢量r 的散度等于 （ B ）A ．0 B.3 C.r 1 D. r 0.3位置矢量r 的旋度等于 （ A ） A.0 B.3 C.r r D.3rr 0.4位置矢量大小r 的梯度等于 （ C ） A.0 B .r 1 C. r r D.3rr 0.5r 1∇=？ （ B ） A. 0 B.3r r - C. r r D .r 0.6⨯∇ 3r r =？ （ A ） A. 0 B .r r C. r D.r 1 0.7⋅∇ 3rr =？（其中r ≠0） （ A ） A.0 B.1 C. r D.r1 二、填空题0.1位置矢量r 的散度等于（ 3 ）。
0.2位置矢量r 的旋度等于（ 0 ）。
0.3位置矢量大小r r r 。
0.4无旋矢量场可以引入(标)势来处理，无源矢量场可以引入(矢)势来处理。
0.5(无旋)矢量场可以引入标势来处理，(无源)矢量场可以引入矢势来处理。
三、判断题0.1标量场的梯度必为无旋场。
（√）0.2矢量场的旋度不一定是无源场。
(×)0.3无旋场必可表示为标量场的梯度。
(√)0.4无源场必可表示为另一矢量的旋度。
(√)第一章电磁现象的普遍规律一、选择题1.1对于感应电场下面哪一个说法正确（ D ） A感应电场的旋度为零 B感应电场散度不等于零C感应电场为无源无旋场 D感应电场由变化磁场激发1.2从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( B )A有源无旋场 B有源有旋场 C无源无旋场 D无源有旋场1.3从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 （ D ）A 有源无旋场B 有源有旋场C 无源无旋场D 无源有旋场。
电动力学郭硕鸿第三版课后题目整理
电动⼒学郭硕鸿第三版课后题⽬整理电动⼒学答案第⼀章电磁现象的普遍规律1、根据算符?的微分性与向量性,推导下列公式:BA B A A B A B B A )()()()()(??++??+=??A A A A )()(221??-?=A2、设u 就是空间坐标z y x ,,的函数,证明:u u f u f ?=?d d )(, uu u d d )(AA ?=, uu u d d )(A A ??=?? 证明: 3、设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离,r 的⽅向规定为从源点指向场点。
(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系:r r r /'r =-?=? ; 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ;0)/(3=??r r ;0)/(')/(33=?-?=??r r r r , )0(≠r 。
(2)求r ?? ,r ?? ,r a )(?? ,)(r a ?? ,)]sin([0r k E 及)]sin([0r k E ,其中a 、k 及0E 均为常向量。
4、应⽤⾼斯定理证明f S f ?=SVV d d ,应⽤斯托克斯(Stokes)定理证明??=??LSl S d d5、已知⼀个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ?=ρ,利⽤电荷守恒定律0=??+??tρJ 证明p 的变化率为:=VV t t d ),'(d d x J p6、若m 就是常向量,证明除0=R 点以外,向量3/R ）（R m A ?=的旋度等于标量3/R R m ?=?的梯度的负值,即?-?=??A ,其中R 为坐标原点到场点的距离,⽅向由原点指向场点。
7、有⼀内外半径分别为1r 与2r 的空⼼介质球,介质的电容率为ε,使介质球内均匀带静⽌⾃由电荷f ρ,求:(1)空间各点的电场;(2)极化体电荷与极化⾯电荷分布。
高二物理第四章电磁波及其应用知识点总结
高二物理第四章电磁波及其应用知识点总结高二物理第四章电磁波及其应用知识点总结1、变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场2、变化的电场和磁场交替产生，由近及远的传播。
麦克斯韦方程组深刻指出，这种电场和磁场的传播是一种波动过程。
由此，一个伟大的预言诞生了：空间可能存在电磁波!3、与机械波不同，电磁波可以在真空中传播，这是因为电磁波的传播靠的是电场和磁场的相互激发，而电场和磁场本身就是一种形式的物质。
4、那么，电磁波以多大的'速度传播?麦克斯韦推算出一个出人意料的答案:电磁波的速度等于光速!他还由此提出了光的电磁理论:光是以波动形式传播的一种电磁振动。
5、赫兹证实了麦克斯韦关于光的电磁理论。
6、波速=波长频率7、电磁波的频率范围很广。
无线电波、光波、x射线射线都是电磁波。
其中，可以看见的光波可见光，只是电磁波中的一小部分。
按电磁波的波长或频率大小的顺序把他们排列成谱，叫做电磁波谱。
8、无线电波:波长大于一频率小于三9、无线电波：波长大于1mm(频率小于300000MHz)的电磁波是无线电波。
(广播，微波炉，电视，射电望远镜)红外线：所有物体都发射红外线，热物体的红外辐射比冷物体的红外辐射强。
紫外线：人眼看不到比紫外线波长更短的电磁波。
可以灭菌，发出荧光，可防伪。
X射线：x射线对生命物质有较强的作用，x射线能够穿透物质，可以用来检查人体内部器官，在工业上，利用x 射线检查金属内部有无缺陷。
y射线：波长最短的电磁辐射是y射线，它具有很高的能量。
y射线能破坏生命物质。
可以治疗某些癌症，也可以用于探测金属部件内部的缺陷。
10、电磁波具有能量，电磁波是一种物质。
11、波长在黄绿光附近，辐射的能量最强。
我们的眼睛正好能感受这个区域的电磁辐射。
12、把信息加到载波上，就是使载波随信号而变化，这种技术叫做调制。
13、一种常见的调制方式是使高频载波的振幅随信号改变，这种调制叫做调幅。
14、另一种调制方式是使高频载波的频率随信号改变，这种调制方式叫做调频。
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理（复习备考专用）.
电动⼒学-郭硕鸿-第三版-课后题⽬整理（复习备考专⽤）.电动⼒学答案第⼀章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：2. 设是空间坐标的函数，证明：，，证明：3. 设为源点到场点的距离，的⽅向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：；；；，。
（2）求，，，，及，其中、及均为常向量。
4. 应⽤⾼斯定理证明，应⽤斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知⼀个电荷系统的偶极矩定义为，利⽤电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，⽅向由原点指向场点。
7. 有⼀内外半径分别为和的空⼼介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静⽌⾃由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化⾯电荷分布。
8. 内外半径分别为和的⽆穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀⾃由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体⾃由电荷密度的倍。
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作⽤⼒⼤⼩相等⽅向相反(但两个电流元之间的相互作⽤⼒⼀般并不服从⽜顿第三定律11. 平⾏板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的⾃由电荷⾯密度和；（2）介质分界⾯上的⾃由电荷⾯密度。
(若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界⾯上不带⾯⾃由电荷时，电场线的曲折满⾜其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界⾯两侧电场线与法线的夹⾓。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界⾯上电场线的曲折满⾜其中和分别为两种介质的电导率。
13.试⽤边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界⾯上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表⾯；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平⾏于导体表⾯。
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第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。
答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。
答案：0x E e α-⋅4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。
答案：变化的电场和磁场相互激发5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：1>>ωεσ, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以( )波模传播。
答案： 10TE 波7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为( )，它对时间的平均值为( )。
答案：2E ε,2021E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。
它们的相位( )。
答案：E vB =,相等9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部是( )的贡献。
导体中平面电磁波的解析表达式为( )。
答案： ωσεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-⋅⋅-= ,10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。
若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。
答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctgn = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0teσερρ-=二、 选择题1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t∂∂∇-=∇-=∂∂,只有在下列那种情况下成立（ ）A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ）A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ）A ．4π B.π C.0 D. 2π答案：C5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ）A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C6、 平面电磁波E 、B、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B⨯沿矢量k 方向 C.B E ⨯的方向垂直于k D. k E ⨯的方向沿矢量B的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波 答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A三、 问答题1、 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
答：（1）真空中的波动方程：22210E E c t →∂∇-=∂，22210B B c t→∂∇-=∂。
表明：在0=ρ，0=→J 的自由空间，电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在；真空中一切电磁波都以光速c 传播；适用于任何频率的电磁波,无色散。
（2）均匀介质中定态波动方程：222222221010E E v tB B v t∂∇-⋅=∂∂∇-⋅=∂，其中()v ω=。
当电磁场在介质内传播时，其ε与μ一般随ω变化，存在色散,在单色波情况下才有此波动方程。
（3）亥姆霍兹方程：(220,0E k E k E iB Eωω∇+==∇⋅==-∇⨯表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。
2、 什么是定态电磁波、平面电磁波、平面单色波？分别写出它们的电场表示式。
从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
答：（1）定态电磁波：以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波，即单色简谐波。
(,)()i t E x t E x e ω-=（2）平面电磁波：等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量→K 传播的电磁波。
0()ik r E x E e ⋅=（3）平面单色波：以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波。
()0(,)i k r t E x t E e ω⋅-=3、 在0ω≠的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何？为什么说它不是独立的，怎样证明？不是独立的，是否等于说有的方程是多余的呢？试解释之。
答：定态电磁波情形麦氏方程组的形式为：00E i B B i E E B ωωμε⎧∇⨯=⎪∇⨯=-⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩......（1） (2)……（3）……（4） 对（1）和（2）取散度可得（3）(4)两式，所以它不独立。
不独立不表示方程多余，定态电磁波只是一种特殊情形,在更普遍的情况下，麦氏方程组四个方程分别描述了场的不同方面。
4、 设有一电磁波其电场强度可以表示为 ())(t i t x E E 00ex p ,ω-=。
试问它是否是平面时谐波（平面单色波）？为什么？答：不是。
因为E做傅立叶展开后，可以看成是无数个平面单色波的叠加。
如令)2()2(000000000212)2cos(),(t x k i t x k i x ik e e E t e E t x E ωωω-++==则)(0)3(0000022t x k i t x k i e E e E E ωω-++=是两个单色波的叠加。
5、 试述平面单色波在均匀介质中具有哪些传播特性？并且一一加以证明。
答：特性：①是横波，且E B ，，k 有右手螺旋关系 证：()0(,)i k r t E x t E e ω⋅-=0B ,B ,E ii1B E ik E k E k E k E ik E k Eωωω∇⋅=⋅=⊥⎫⇒⊥⊥⊥⎬=-∇⨯=-⨯=⨯⎭即即电波为横波，得证。
②()p B v c E 与同相位，振幅比为真空中为()()()i k x to i k x t o pE x,t E e11B k E n E eV ωωω⋅-⋅-==⨯=⨯ k kn n εμωω==其中：E B k x-t,ω⋅此式证明：，相位均为且振幅比为p E v B==6、 在自由空间中，38(,)10sin(910)/y E z t e t kz V m π=⨯- 说明：(1)波数以及波的传播方向,(2)H z t (,)的表现形式 答：已知电场38(,)10sin(910)/y E z t e t kz V m π=⨯-(1)由电场表示式知:889103(/)310k rad m c ωππ⨯===⨯.电磁波沿z 方向传播 (2)自由空间中,0,0J ρ==0,BE ik E i H t ωμ∂∇⨯=-⨯=∂ 01z H e E c μ=⨯380110sin(910)z y H e e t kz c πμ=⨯⨯- =82.65sin(9103)x t z e ππ-⨯-7、 研究反射、折射问题的基础是电磁场在两个不同介质分界面上的边值关系，但为什么只需用两式，可否用另两式呢？答：边值关系：000)()()(0)(12121212==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯σασα，在绝缘介质界面上B B n D D n H H n E E n对时谐电磁波，麦氏方程组不独立，由前两式可得后两式，相应的边值关系也不独立，当⎩⎨⎧=-=-⨯0)(0)(1212H H n E E n成立时，法向分量的边界条件自然满足。
8、 试述入射波、反射波、折射波的频率、相位、传播方向和振幅各有些什么关系？答：频率关系：'"ωωω=＝，振幅与相位关系：sin()sin()E E E θθθθ'''-⊥=-=''+入射面:()2cos sin sin ``E E θθθθ''==+E tg()//E tg()E θθθθ'''-=''+入射面时:，E 2cos sin E sin()cos()θθθθθθ''''=''''+- 传播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，12k k ,k ,v v ωω'''===sin ',sin "θθθθ== 9、 全反射时有什么特点？若要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则对介质有什么要求？答：①特点：a.发生全反射时，21sin n θ≥折射波的波矢量垂直于界面的分量zk ''=,折射波随进入深度所得增加而迅速衰减.b. 折射波的平均能流只有平行于界面的分量,能量主要集中在交界面附近厚度为1-k 的薄层内，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即对平均时间来说，入射波的能量全部被反射。
②要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则全反射波的两个分量,E E ⊥振幅必须相等，相差等于(21),0,1,2,32m m π+=反射波的菲涅尔公式：sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin E E θθθθθθθθθθθθ⊥⊥'''''''--=-=-''''''++ （1） E tg()sin cos sin s Etg()sin cos sin s co co θθθθθθθθθθθθ'''''''--=''''''++=（2）由折射定律21sinsin "n θθ==，全反射发生时，21sin n θ≥ 211sin sin n θθ''=，cos θ''=== （3） 将三式代入（1），（2）式，得：E E ⊥⊥'= （4）21E Enn'=(5)可以看出,E 1E'=.设,i i E E e E E e δδ⊥⊥⊥''==,由（4）,(5)式得: 2121arctgarctgδδ⊥== (6)当入射波的线偏振时, ,E E ⊥相位相同.经反射后,E E ⊥''相位不相同,当1E E⊥=时,且E E ⊥''与相差 (21),0,1,2,32m m πδδ⊥-=+=时, (7)反射成为圆偏振波.于是由(6),(7)得:1sin 2θ=(8)结论: 当线偏振的入射波电矢量的两个分量,E E ⊥的振幅相等,并且入射角θ和相对折射率21n 满足(8)式时,反射波便成为圆偏振波. 10、当光以布儒斯特角入射时，反射光变为垂直于入射面的完全偏振光。