第三讲 同余理论

第二章 同余理论

2.1 同余的概念和基本性质

【定义2.1.1】给定一个正整数m ，两个整数a 、b 叫做模m 同余，如果a －b 被m 整除，或b a m -|，记作b a ≡ ()m mod

；

否则叫做模m 不同余，记作a≠b （（mod m ））

【注】由于b a m -|等价于b a m --|，所以同余式

b a ≡ ()m mod 等价于 b a ≡()()m -mod ，

故以后总假定模1≥m 。

【例1】 7│28＝29－1，故29≡1（mod 7）；

7│21＝27－6，故27≡6（mod 7）； 7│28＝23－（－5），故23≡－5（mod 7）；

同余运算的相关性质：

【性质1】设m 是一个正整数，a 、b 是两个整数，则a≡b（mod m ）⇔存在整数k ，使得a ＝b ＋km 。

（证）a≡b（mod m ） ⇔ b a m -|

⇔ 存在k ，使得 a －b ＝km ，即a ＝b ＋km

【性质2】同余是一种等价关系。即 自反性：a≡a（mod m ）

对称性：a≡b（mod m ）⇒ b≡a （mod m ）

传递性：a≡b（mod m ）且b≡c （mod m ）⇒ a≡c （mod m ） （证）（i ）m│0＝a －a ⇒ a≡a（mod m ）

（ii ）a≡b （mod m ）⇒ m│a－b ⇒ m│b－a ＝－(a －b) ⇒ b≡a （mod m ） （iii ）a≡b（mod m ），b≡c（mod m ）⇒ m│a－b ，m│b－c

⇒ m│(a－b)＋ (b －c)＝a －c ⇒ a≡c （mod m ）

【性质3】（等价定义）整数a 、b 模m 同余⇔a 、b 被m 除的余数相同。 （证）由欧几里得除法，存在q ，r ，q '，r '，使得

a ＝qm ＋r ，

b ＝q 'm ＋r '

即 a －b ＝(q －q ')m ＋(r －r ') 或 （r －r '）＝(a －b)－ (q －q ')m

故 m│(a－b) ⇔ m│(r －r ')

但 0≢│r －r '│＜m 且m│(r －r ')⇔ r －r '＝0 故 m│(a－b) ⇔ r －r '＝0，即r ＝r '

【性质4】设m 为正整数，a 、b 、c 、d 为整数，若 a≡b （mod m ）， c≡d （mod m ）则 （i ） a ＋c≡b＋d （mod m ）； （ii ）

ac≡bd （mod m ）。

（证）已知a≡b（mod m ）且 c≡d（mod m ）

⇒ a ＝b ＋hm 且c ＝d ＋km

⇒ a ＋c ＝(b ＋hm)＋( d ＋km)＝b ＋d ＋(h ＋k)m ，

ac ＝(b ＋hm)( d ＋km)＝bd ＋(hd ＋kb ＋hkm)m

⇒ 由性质1即得结论。

一般情形：i i b a ≡ （mod m ）（i ＝1,2,…,k），则

（i ） ∑∑==≡

k

i i k

i i b a 11 （mod m ）

（ii ）

∏∏==≡k i i k

i i b a 1

1

（mod m ）

【推论1】a≡b （mod m ） ⇒ na≡nb （mod m ），其中n 为正整数。 【推论2】a≡b （mod m ）⇒ n n b a ≡ （mod m ），其中n 为正整数。 【推论3】x≡y （mod m ），i i b a ≡ （mod m ）（i ＝1,2,…,k），则

k

k x a x a x a a ++++ 2

210≡k

k y b y b y b b ++++ 2

210 （mod m ）

【例6】2003年5月9日是星期五，问此后的第22003天是星期几？

（解） 22003＋5≡()

2

667

322

＋5 (mod 7）

≡2

667

21＋5 (mod 7）） ≡9 (mod 7） ≡2 (mod 7）

【例7】设十进制整数n ＝011a a a a k k -，则

3│n ⇔3│011a a a a k k ++++- 9│n ⇔9│011a a a a k k ++++-

（证）因 n ＝011010a a a k

k +++ ≡011a a a a k k ++++- (mod 3) n ＝011010

a a a k

k +++ ≡011a a a a k k ++++- (mod 9)

【例8】设整数n 的1000进制表示式为 n ＝0110001000

a a a k

k +++

则7（或11，或13）│n ⇔ 7（或11，或13）│() ++20a a －() ++31a a （证）因 n ＝0110001000

a a a k

k +++

≡()()()0111111a a a a k k k

k +-++-+--- mod 7 n≡()()()011

1111a a a a k k k

k +-++-+--- mod 11 n≡()()

()011

1111a a a a k k k k +-++-+--- mod 13

例如，判断n ＝12345678能否被7(或11，或13)整除： 12345678＝12×10002+345×1000+678

而 (12+678)－345＝345不能被7、11、13整除 故1234567不能被这3个数整除。

【例9】设十进制整数n ＝011a a a a k k -，则 11│n ⇔ 11│() ++20a a －() ++31a a 2│n ⇔ 2│0a

4│n ⇔ 4│01a a ⇔ 4│012a a + 8│n ⇔ 8│012a a a ⇔ 8│01224a a a ++

i 2│n ⇔ i

2│011a a a i -