三角与向量
向量与三角形的五心
重心将顶点与对边中点连线，且 三条中线都经过重心。
重心在几何问题中的应用
010203Fra bibliotek面积分割
重心将三角形面积分为三 个相等的部分。
力的平衡
在静态平衡状态下，作用 于三角形上的力矩与重心 位置密切相关。
三角形不等式
通过重心可以推导三角形 不等式，用于解决几何问 题。
重心定理
定理内容
三角形的重心将中线分为 2:1的比例。
内心定理
• 内心定理：三角形的内心将三角形的三边分别延长，与相对角 的延长线相交于一点，这三个交点与内心构成的三个线段相等 。
05
向量与三角形的外心
外心定义与性质
外心定义
外心是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心性质
外心到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆的半径。外心到三角形三边的垂直平分线的交点。
证明方法
利用向量加法的平行四边 形法则和向量的共线性。
应用场景
在几何、物理和工程领域 中，重心定理都有广泛的 应用。
03
向量与三角形的垂心
垂心定义与性质
垂心定义
三角形垂心是三条高线的交点，也是三角形三个顶点向对边 所作的高线的交点。
垂心性质
三角形的垂心具有一些特殊的性质，如垂心到三角形三边的 距离相等，且等于对边上的高的长度。此外，三角形的垂心 也是三角形三个内角平分线的交点。
• 三角形的内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，向量形式上表示为$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}|}$ ，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是三角形三边的向量。
向量与三角形
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识得交汇一、四心得概念介绍(1)重心——中线得交点:重心将中线长度分成2:１;(2)垂心-—高线得交点:高线与对应边垂直;(3)内心—-角平分线得交点(内切圆得圆心):角平分线上得任意点到角两边得距离相等;(4)外心——中垂线得交点(外接圆得圆心):外心到三角形各顶点得距离相等。
二、四心与向量得结合(1)就是得重心、证法１:设就是得重心。
证法２:如图三点共线,且分为２:1就是得重心(2)为得垂心。
证明:如图所示O 就是三角形ABC 得垂心,ＢE 垂直AC,A Ｄ垂直B Ｃ, D 、E 就是垂足.同理, 为得垂心 (3)设,,就是三角形得三条边长,O 就是ＡBC 得内心为得内心.证明:分别为方向上得单位向量, 平分,),令()化简得(4)为得外心。
典型例题:例１:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 。
外心B 、内心 C.重心 D 。
垂心分析:如图所示,分别为边得中点、//点得轨迹一定通过得重心,即选、例2:(0３全国理４)就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( B )B D BC DA.外心 B 。
内心 C 、重心 D.垂心分析:分别为方向上得单位向量,平分,点得轨迹一定通过得内心,即选、例3:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 、外心 B.内心 C 。
重心 D 、垂心分析:如图所示AD 垂直BC,BE 垂直AC, D 、E 就是垂足.= ==+=０点得轨迹一定通过得垂心,即选、练习: 1.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则得值为( )Ａ、2 B 、 C.３ Ｄ。
62.若得外接圆得圆心为Ｏ,半径为1,,则( )A 、 B.0 C 。
1 D 、３.点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比就是( )A 、0 B. Ｃ。
三角函数与平面向量的关系
三角函数与平面向量的关系在数学中，三角函数和平面向量是两个重要的概念和工具。
三角函数是研究角度和边长之间的关系的函数，而平面向量则是研究平面上各种物理量的大小和方向的工具。
本文将探讨三角函数与平面向量之间的联系和应用。
一、向量的定义和表示在平面几何中，向量是一个既有大小又有方向的量。
其表示可以使用箭头或者字母加上帽子来表示，例如向量AB可以表示为→AB或者ẑ。
向量的大小又称为向量的模，表示为|→AB|或者|ẑ|，可以通过勾股定理计算得到。
向量的方向可以使用角度来描述，例如与x轴的夹角θ。
二、平面向量的加法和减法平面向量的加法可以理解为几何上的向量相加。
假设有向量→AB和→AC，可以通过将它们放置在同一个起点，然后连接起来得到一个新的向量→AD，即向量→AD是→AB与→AC相加的结果。
平面向量的减法则是利用减法公式进行计算。
三、向量的数量积和点积平面向量的数量积（或点积）是两个向量的乘积，其结果是一个标量。
向量的数量积可以用下式计算：→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ，其中θ为向量→AB与→AC之间的夹角。
向量的数量积具有交换律和分配律等性质，可以用于计算两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直、以及求解平面上的投影等问题。
四、三角函数的定义和性质三角函数是描述角度和边长之间关系的函数。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
它们可以用著名的SOH-CAH-TOA记忆法来帮助理解和应用。
此外，割函数、余割函数和正割函数等也是常见的三角函数。
五、三角函数与平面向量的关系三角函数与平面向量有着密切的关系，可以通过向量的数量积来推导和解释三角函数的性质。
例如，在直角三角形中，可以利用对边与斜边的比值得到正弦函数的定义，并通过向量→AB⋅→AC=|→AB||→AC|cosθ来得到正弦函数与向量的关系。
类似地，可以利用邻边与斜边的比值和向量的点积来推导余弦函数的定义，并得到余弦函数与向量的关系。
专题三 向量与三角
专题三、向量与三角知识点： 1、定义：xy r x r y ===αααtan ;cos ;sin （只要题意中给出角α终边上一点),(y x P 则用定义解题）2、平方关系1cos sin 22=+αα（知ααα2sin -1cos sin ±=则取正或负需看角象限）商数关系αααcos sin tan =（可切化弦） 3、诱导公式（1）角（απ+k 2）在一象限 （2）角（απ-）在二象限 （3）角（απ+）在三象限 （4）角（α-）在四象限（以上四个公式函数名不变，符号看象限）（5）角απ-2在一象限 （6）角απ+2在二象限（（5）（6）两个公式函数名要变，符号看象限）4、二倍角公式αααααα2sin 21cos sin cos sin 22sin =⇒=ααα22sin cos 2cos -=⇒-=1cos 22α )2cos 1(21cos 2αα+=⇒-=α2sin 21 )2cos 1(21sin 2αα-=ααα2tan 1tan 22tan -=5、和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±6、熟记函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象和性质7、考查函数)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ） （1）周期ωπ2=T（2）单调区间增区间：把ϕω+x 带入αsin =y 的增区间，即ππϕωππk x k 2222+≤+≤+-，解出x 即可 减区间：（同理）（3）最值：当1)sin(=+ϕωx 时，得最大值A;当1)sin(-=+ϕωx 时，的最小值-A (4)在选择题中考查对称轴时，则把对称轴带入函数式可得最大或最小值； 考查对称中心时，对称中心满足函数式（带入即可） （5）利用图象求解析式A ——由最值求；ω——由周期T 求（先由x 轴上两点横坐标的差和周期的关系）； ϕ——由图上的点带入求8、正、余弦定理 9、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 三角函数（1）热点例析热点一 三角函数的概念例1、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35C ．35D ．45变式训练1 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是－35，若α∈(0，π)，则tan α＝__________.热点二 三角函数图象及解析式例2、如图，根据函数的图象，求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式．变式训练2 右图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6热点三 三角函数图象变换例3、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可由函数y ＝cos x 的图象(纵坐标不变)( )．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位变式训练3 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝sin 2x 的图象( )．A ．向左平移5π12B ．向右平移5π12C ．向左平移5π6D ．向右平移5π6热点四 三角函数图象与性质综合应用 例4、已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝1的解．变式训练4 已知函数f (x )＝4sin ωx sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π4＋cos 2ωx ，其中ω＞0.(1)当ω＝1时，求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 求ω的取值范围．变式训练5已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值专题训练：1．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．⎣⎡⎦⎤－32，322．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )． A ．x ＝π9 B ．x ＝π8 C ．x ＝π D ．x ＝π23．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且·0OM ON =，则A ·ω＝( )．A ．76πB ．712πC ．π6D ．73π4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋ φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (x )－f (－x )＝0，则( )．A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上是增函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上是减函数 5．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝( )．A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36、当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝__________.7．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＜0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.8．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．9．设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域； (2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．三角函数（2）热点一 三角恒等变换及求值例1、已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．变式训练1已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交汇例2、在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域．变式训练2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114. (1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．热点三 正弦定理、余弦定理的实际应用例3、某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(不要求作近似计算)变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．专题训练：1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．32．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A ．35 B ．45 C ．74 D ．343．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A ．725B ．－725C ．±725D ．24254．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝( )． A ．35 B ．－35 C ．65 D ．－655．已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A ．45B ．43C ．34D ．236．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( )． A ．－233 B ．±233C ．－1D ．±17．在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A ．13B ．－13C ．223D ．－2238、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.9．已知sin x ＝5－12，则sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝______. 10、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .11．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．12．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．。
向量与三角形四心结合(纯干货)
三角形的“四心”与向量的完美结合知识概述：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结1）O 是ABC ∆的重心=++⇔; 若O 是ABC ∆的重心，则,31ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆===故;,=++ 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则,tan :tan :tan ::C B A S S S AOB AOC BOC =∆∆∆故tan tan tan =⋅+⋅+⋅C B A3）O 是ABC ∆的外心)222OC OB OA ====⇔或 若O 是ABC ∆的外心,则C B A AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=∆∆∆ 故02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是0=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321,,e e e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)()()(322131=+⋅=+⋅=+⋅e e OC e e OB e e OAO 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0=++OC c OB b OA a若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故sin sin sin =++=++C B A c b a 或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查【例 1】:O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心【解答】：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.练习：在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC =_________________.【解答】：点C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使()||||OA OBOC OA OB λ=+=34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-,而||2OC=，可得3λ=，∴()55OC =-.【例2】：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+=(||BA OB BA ⋅+||CB CB ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心解：||||AB CA AB CA +表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量，由()||||AB CAOA AB CA ⋅+= 0知OA 垂直∠A 的外角平分线，因而OA 是∠A 的平分线，同理，OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线，故选C .【例3】：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= ，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：∵OB OA AB =+，OC OA AC=+，则()a b c OA bAB cAC++++= 0，得()||||bc AB ACAO a b c AB AC =+++. 因为||AB AB 与||AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，设||||AB ACAP AB AC =+，则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线，知AO 平分∠BAC.同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是△ABC 的内心.【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
向量与三角形内心外心重心垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++u u r u u u r u u u r1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+u u u r u u u r2.若M 是OP 上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线: （2）高线:（3）角平分线: （4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点: ()AB AC λ+u u u r u u u r 或()||sin ||sin ABAC AB B AC Cλ+u u u ru u u r u u ur u u u r(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+u u u r u u u r u u u r u u u r, (3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,三、四心与向量的结合 1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=u u u r u u u r u u u r r 定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则） 应用:（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔ 0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔ C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ ⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r （4）O 为ABC ∆的外心⇔ ⇔ 0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心. ⇔ 1()3PO PA PB PC =++u u u ru u u ru u u ru u u r（2）O 为ABC ∆的垂心. ⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）O 为ABC ∆的内心.⇔()()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB•-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）O 为ABC ∆的外心 ⇔OC OB OA ==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题2：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r, [0,)λ∈+∞. 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题4：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =(||BA OB BA ⋅u u u r u u u r u u u r+||CB CB u u u r u u u r ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r = 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则O 点是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中P 为平面上任意一点), 则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则O点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r=22||||OC AB +u u u r u u u r ，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r =()OB OC BC +⋅u u u r u u u r u u u r= ()OC OA CA +⋅u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++u u u r u u u r u u u r= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++u u u r u u u r u u u ru u u r (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH u u u r =()m OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题 题15：已知非零向量ABu u u r 与AC uuu r 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r = 0且12||||AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形题17：已知△ABC ，若对任意t R ∈，||BA tBC -u u u r u u u r ≥||AC u u u r，则△ABC( )A. 必为锐角三角形B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形D. 答案不确定题18：已知a , b, c 分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r= 0, 则△ABC 为( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r= 0, 则：(1) △AOB 与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________. 四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ uuu r过△ABC 的重心，记CA u u u r = a ,CB u u u r = b , CP u u u r = m a , CQ uuu r = n b , 则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++u u u ru u u r u u u r u u u r sin )0}AC B ACλ>u u u r u u u r ，，则ABC ∆的（ ） 一定属于集合M .（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心GABCMP Q。
案例高考专题三角与向量
三角与向量Ⅰ认识高考中的三角与向量三角与向量，是现行课程标准和教材的基础和重点内容，每年高考都会考查，考查的规律和特点稳定而明确．1现行课程标准及教材中三角与向量的主要内容1.1课程标准明确具体内容和要求．数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换．数学5：解三角形具体内容和要求如下：数学 4在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换．三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力．在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．内容与要求1.三角函数（约 16 课时）（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π±α，π ±α的正弦、余弦、正2切），能画出y = sin x，y = cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性．（-π π③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）．④理解同角三角函数的基本关系式：, ) 上的性质（如单2 2sin2x + cos2x = 1，sin xcos x= tan x⑤结合具体实例，了解y =A sin(ωx +ϕ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =A sin(ωx +ϕ)的图象，观察参数A，ω，ϕ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2.平面向量（约 12 课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义．（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．3.三角恒等变换（约 8 课时）（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）．数学 5在本模块中，学生将学习解三角形、数列、不等式．学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．内容与要求1.解三角形（约 8 课时）（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1.2人教社教材, ) 明确教材体系和结构：数学 4（必修）：共分为 3 章，三角函数（6 节）、平面向量（5 节）、三角恒等变换（2节）数学 5（必修）：解三角形（3 节） 2 高考考试说明中三角与向量的要求 2.1 三角的考查内容与要求 明确考什么、考到什么程度． (八)基本初等函数Ⅱ(三角函数) 1．任意角的概念、弧度制 (1) 了解任意角的概念．(2) 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．三角函数(1) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(2) 能利用单位圆中的三角函数线推导出 π± α ，π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，2 能画出 y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性．(3) 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间（- π π2 2 (4) 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2 x + cos 2 x = 1，sin x= tan x ． cos x内的单调性．(5) 了解函数 y = A sin(ωx + ϕ) 的物理意义；能画出 y = A sin(ωx + ϕ) 的图象，了解参数 A ,ω,ϕ 对函数图象变化的影响．(6) 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．(十) 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式(1) 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2) 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．(3) 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(十一)解三角形 1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2.2 向量的考查内容与要求 (九)平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示.2．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3 高考试卷中的三角与向量试题 3.1 三角试题实例例 2017 年全国Ⅰ卷理科第(9)题已知曲线C : y = cos x ， C : y = sin(2x + 2π) ，则下面结论正确的是123A ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π16个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π112个单位长度，得到曲线C 2C ．把C1 π1上各点的横坐标缩短到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 12个单位长度，得到曲线C 2【解析】 曲线C : y = cos x = cos(x + π - π) = sin(x + π) ，可知将把C 上各点的横坐标12 2 2 1缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，得到的解析式为 y = sin(2x + π ) = sin 2(x + π) ，再把得到的2曲线向左平移 π122 4 个单位长度，得到曲线的解析式为 y = sin 2(x + π + π ) = sin(2x + 2π ) 即C12 4 3 2的解析式，选项 D 正确．关键问题：平移多少？三角函数图象的伸缩、平移变换→一般函数？ 作为选择题，可以怎么解答？例 2018 年全国Ⅲ卷理科第(15)题2 B函数 f (x ) = cos(3x + π) 在[0 ，π]的零点个数为 ．6【解析】 由题意，令cos(3x + π)=0 ，得 63x + π =k π+ π , x = k π + π , k ∈ Z ，取且仅k = 0,1, 26 2 3 9 有 x ∈[0, π] ，即cos(3x + π)=0 有且仅有 3 个解．6余弦型函数的图象与性质．零点即方程的解→数形结合．自己习惯的解答方式是什么？例 2016 年全国Ⅲ卷理科第(5)题若 tan α = 3，则cos 2α + 2sin 2α =4A. 6425B. 4825C. 1D.1625【解析】 由已知，4sin α = 3cos α ，两边平方，得cos 2 α =16．可以：cos 2 α + 2sin 2α 25= cos 2 α (1 + 4 tan α ) = 4cos 2 α = 64，还可以： cos 2 α + 2sin 2α = cos α (cos α + 4sin α ) =…．25作为选择题，你还可以有另外的想法．反思总结：问题特征——知值求值，三角变换，选择题．联想方法——角度到角度的联系，三角式到三角式的变换，利用题型特点．例 2018 年全国Ⅲ卷理科第(9)题∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∆ABC 的面积为a 2 +b 2 -c 24 ，则C = A ． π2 【解析】B ． π3= a 2+ b 2- c2=1C ． π4 ⇔ == π ．D ． π6S ∆ABCab sin C 4 2 sin C cos C ,C4反思总结：结构特点，公式选择，目标导向．例 2018 年全国Ⅰ卷理科第(17)题在平面四边形 ABCD 中，∠ADC = 90︒ ，∠A = 45︒ ， AB = 2 ， BD = 5 ． (1) 求cos ∠ADB ；(2) 若 DC = 2 【解析】 在 ，求 BC ． ABD 中，运用正弦定理， A∠ = ，△sin ADB 5cos ∠ADB = 23；在△BCD 中，运用余弦定理，BC =5． 5反思总结：画出图形，立足结构．3.2 向量试题实例D例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(4)题已知向量a ， b 满足| a | = 1 ， a ⋅ b = -1 ，则a ⋅ (2a - b ) = A ．4B ．3C ．2D ．0向量的基本运算．例 2016 年全国Ⅱ卷理科第(3)题已知向量a = (1，m )，b = (3，- 2) ，且(a + b ) ⊥ b ，则 m ＝ A. －8B. －6C. 6D. 82B ． 1AB - 3AC向量的坐标运算，向量垂直的条件． 例 2018 年全国Ⅰ卷理科第(6)题在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， A则 EB =A ． 3AB - 1ACE4 444 D ． 1AB + 3AC4 44 4BDC【解析】 首先建立联系：以向量 AE 为纽带．选 A ．你愿意用坐标系，也是可以的． 3.3 三角与向量试题的解答策略 3.3.1 问题的背景与特征（题型归类）三角问题：三角函数及其图象、三角变换、解三角形（应用） 向量问题：向量的概念与运算、向量在几何及物理中的应用 3.3.2 解决的方法与策略三角问题：函数的研究手段，角——角的和差倍半及诱导关系，名——函数名的转换， 形——结构特征（代数、几何）及联系向量问题：多角度表示——基底（来自向量本身），坐标（与解析几何联系）和图形 3.4 对于三角与向量，高考考查了什么？是怎么考查的？ 3.4.1 三角与向量试题设置与考查的特点与规律简单统计 三角 年度科类题型与考点题型汇总2016文科甲 3，函数图象；11，变换、最大值；15，解三角形理科：2 套 2 选 1 填，1 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲7，函数图象；9，变换；13，解三角形 文科乙 4，解三角形；6，函数图象；14，变换 理科乙 12，函数图象与性质；17，解三角形，变换 文科丙 6，变换；9，解三角形；14，函数图象 理科丙 6，变换；9，解三角形；14，函数图象2017文科甲 8，函数图象、性质；11，解三角形；15，变换 理科：3 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲 9，函数图象；17，解三角形文科乙 3，函数性质；13，变换、性质；16，解三角形 理科乙 14，变换、性质；17，解三角形文科丙 4，变换；6，变换、函数性质；15，解三角形 理科丙 6，函数性质；17，解三角形2018文科甲 8，函数性质；11，函数概念与变换；16，解三角形 理科：2 套 2 选 1 填，1 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲 16，函数与变换；17，解三角形文科乙 7，解三角形；10，函数性质；15，变换 理科乙 6，解三角形；10，函数性质；15，变换文科丙 4，变换；6，函数性质与变换；11，解三角形 理科丙4，变换；9，解三角形；15，函数图象C ． 3 AB + 1 AC向量年度科类题型与考点题型汇总2016文科甲13，坐标表示，向量的平行1 选或1 填理科甲3，坐标表示，向量的垂直文科乙13，坐标表示，向量的模理科乙13，坐标表示，向量的模文科丙3，向量的夹角理科丙3，向量的夹角2017文科甲13，坐标表示，向量的垂直1 选或1 填（在解析几何题中融合）理科甲13，向量的夹角，向量的模文科乙4，向量的模（性质）理科乙文科丙13，坐标表示，向量的垂直理科丙12，向量与几何，线性运算2018文科甲7，向量的线性运算1 选或1 填理科甲6，向量的线性运算文科乙4，向量的数量积理科乙4，向量的数量积文科丙13，坐标表示，向量的平行理科丙13，坐标表示，向量的平行3.4.2三角函数是高中数学的重要内容．高考主要考查任意角三角函数的概念和正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，突出考查形如y=A sin(ωx＋φ)的函数的图象与性质；考查两角和与差的三角函数公式和简单的三角恒等变换；重点考查正弦定理和余弦定理及其应用．对三角函数的考查重点是考生对基本概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力，3.4.3平面向量具有几何形式和代数形式，是中学数学知识的一个交汇点．高考主要考查平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理、坐标表示、数量积及其应用，平面向量的考查重点是基础知识、基本技能和数形结合的思想方法，考查中将几何知识和代数知识有机结合，体现思维的灵活性．Ⅱ走进高考中的三角与向量1 三角函数及其图象例2014 年全国Ⅱ卷理科第(6)题如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M . 将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x) ，则y在[0, π] 的图象大致为A. B.f (x)5C.D.【解析】 选 C ．已知解读——点到直线的距离？知识产生和发展的过程——三角函数定义的背景，不同的思考角度（数、形）；题型特点——选择题的解答．例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(11)题已知角α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1, a ) ，B (2,b ) ，且cos 2α = 2，则 a - b =3A ． 1 5 【解析】 选B ．B ． 5 5C ． 2 5 5D ．1源于教材，回归基础——基于定义，倍角公式． 例 2015 年全国Ⅱ卷理科第(8)题函数 f (x ) = cos(ω x + ϕ) 的部分图象如图所示，则 f (x ) 的单调递减区间为A. (k π 1 , k π + 3), k Z 4 4B. (2k π 1 , 2k π + 3), k Z 4 4C. (k 1 , k + 3), k Z 4 4D. (2k 1 , 2k + 3), k Z 4 4 【解析】 选 D ．基础：三角函数的性质、图象与基本量；需要求出解析式吗？ 例 2013 年全国Ⅱ卷理科第(15)题设当 x = θ 时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ= ．【解析】 第一个想法： f (x ) = 5 sin(x - ϕ) ， sin ϕ = 5 ， cos ϕ = 2 5．函数取最大 5 5 值时， x = 2k π + π + ϕ ，所以c os θ= cos(2k π + π+ ϕ) = - cos ϕ =- 2 5 ．2 2 5有了第一，当然应该有第二个想法：对于函数最值，还有什么入手点？易知 f '(θ ) = cos θ + 2sin θ = 0 ，怎么求c os θ ？——平方（得出的是cos 2θ，有取舍的问 题）；还有一个条件可资利用：sin θ－2cos θ=根据背景寻求联系，多种因素获取答案． 例 2016 年全国Ⅰ卷理科第(12)题．（如何想到？）已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ) (ω > 0, | ϕ |≤ π ) ，x =- π 为 f (x ) 的零点，x = π为 y = f (x )2 4 4图象的对称轴，且 f (x ) 在( π , 5π) 单调，则ω 的最大值为18 36A. 11B. 9C. 7D. 52 ⎪⎩ ⎨ 【解析】 由题 π - (- π ) = T + k ⋅ T = 2k + 1 ⋅ 2π，所以ω = 2k + 1(k ∈ N * ) ；又因为 f (x )4 4 4 2 4 ω在( π , 5π ) 单调，所以 5π - π = π ≤ T = 2π，即ω ≤12 （仅为必要条件）；更深刻地分析 18 36 36 18 12 2 2ω条件， f (x ) = sin ω (x + π) ，代入验证可知， ω 的最大值为 9.4例 2015 年全国Ⅰ卷理科第(10)题如图，长方形 ABCD 的边 AB =2，BC =1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x )，则 f (x )的图象大致为【解析】 自然的想法：建立函数关系式，根据解析式分析图象． ⎧tan x + 4 + tan 2 x ， 分段建立关系： f (x ) ⎪ 1 + (1 + cot x )2+ ⎪- tan x + 4 + tan 2 x . 命题者这样考查你？——寻求合适的解题路径． 反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 2 三角变换例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(15)题已知sin α + cos β = 1， cos α + sin β = 0 ，则sin(α + β) = ．【解析】 角名入手，平方相加： sin(α + β) = - 1．2例 已知函数 f (x ) = sin(3x + π) ．4(1) 求 f (x ) 的单调递增区间；(2) 若α 是第二象限角， α f ( ) = 4cos(α + π ) cos 2α ，求cos α - sin α 的值．3 5 4(1) 函数 f (x ) 的单调递增区间为 [- π + 2k π , π + 2k π] , k ∈ Z ．4 3 12 3(2) 由已知，有sin(α + π ) = 4 cos(α + π) cos 2α ，4 5 4 所以sin α cos π + cos α sin π = 4 (cos α cos π - sin α sin π)(cos 2 α - sin 2 α ) ，4 45 4 4即 sin α + cos α = 4(cos α - sin α )2 (sin α + cos α ) ．5当sin α + cos α = 0 时，由α 是第二象限角，知 α = 3π+ 2k π, k ∈ Z ．4此时， cos α - sin α = - ．1 + (1 - cot x )2=当sin α + cos α ≠ 0 时，有(cos α - sin α )2 = 5．4由α 是第二象限角，知cos α - sin α＜0 ，此时cos α - sin α = - 5．2 综上所述， cos α - sin α = - 2 或- 5．2 系 2014 年四川理科试题，第（1）小题得分率约 80%，零分率约 16%，满分率约76%；第（2）小题得分率约 49%，零分率约 15%，满分率约 4%！反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 3 解三角形(应用)例 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯 角分别为 67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于ｍ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： sin 67︒≈ 0.92 ， cos 67︒≈ 0.39 ， sin 37︒≈ 0.60 ， cos 37︒≈ 0.80 ，3 ≈ 1.73 )【解析】 解三角形的应用．解直角三角形好吗？近似计算的处理．例 2017 年全国Ⅰ卷文科第(11)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知sin B + sin A (sin C - cos C ) = 0 ，a ＝ 2，c ＝ A ． π，则 C =B ． πC ． πD ． π12 643【解析】 已知的等式怎么变形？——从可变形处入手．代入 B = π - ( A + C ) ，可由条件得sin A + cos A = 0 ，从而求出 A = 3π，据正弦定理可求出 C ．选 B ．4例 2018 年全国Ⅰ卷文科第(16)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知b sin C + c sin B = 4a sin B sin C ， b 2 + c 2 - a 2 = 8 ，则△ABC 的面积为．【解析】 b sin C + c sin B = 4a sin B sin C 可以怎样变形？——正弦定理得出sin A = 1；2△ABC 的面积选择什么表达？—— b 2 + c 2 - a 2 = 8 ⇔ 2bc cos A = 8 ，面积用 1bc sin A 表示．2解题的基本策略：已知条件→联系（中间结论）←待求结论．例 2015 年全国Ⅱ卷理科第(16)题在平面四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 75︒ ，BC = 2 ，则 AB 的取值范围是 ． 【解析】 显然，先画一个图．——怎么画？其次，怎么入手建立关系？——和一般的解三角形问题有什么异同？（几何画板演示）基本策略：四边形→三角形（分割、补形）． 例 2017 年全国Ⅲ卷理科第(17)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知sin A + (1) 求 c ；3 c os A = 0 ，a = 2 ，b = 2 ． (2) 设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求△ABD 的面积．【解析】 (1) 已知sin A + 3 cos A = 0 怎么用？——求出 A ；求 c 具备什么样的条件？—2 73 —运用正弦定理、余弦定理．(2) 求面积还需要什么条件？——求出 AD ，BD ……．例 在∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，若(2a - c )cos B = b cos C ， b = ， 则 a + c 的取值范围是．【解析】 将(2a - c )cos B = b cos C 化为边还是角？思路 1 用余弦定理，上式可得 a ，c 的关系．能解否？——前景预测．思路 2 由正弦定理， (2a - c )cos B = b cos C 可变形为(2sin A - sin C ) cos B = sin B cos C ，从而有2sin A cos B = sin B cos C + cos B sin C = sin A ， B = π．再由正弦定理， a + c = 2sin A +32sin C = 2sin A + 2sin( π + A )=2 3 sin( A + π) ．而0 < A < 2π，所以a + c ∈ ( 3, 2 3]3 6 3图形的特点可否帮助我们？——数形结合． 反思总结：问题特点，思考方式，解答路径．4 向量的概念与运算例 2017 年全国Ⅱ卷理科第(13)题已知向量 a ，b 的夹角为60︒ ， | a |= 2 ， | b |= 1 ，则|a + 2b | = ． 【解析】 运算——模、夹角与数量积．例 设向量a = (m ,1) ， b = (1, 2) ，且| a + b |2 =| a |2 + | b |2 ，则m = ． 【解析】 坐标运算、解方程；看到条件| a + b |2 =| a |2 + | b |2 有什么想法？例 平面向量 a = (1, 2) ， b = (4, 2) ， c = m a + b ( m ∈ R )， 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则m =A. -2B. -1C. 1D. 2【解析】 当然，夹角公式入手；向量的表达还有什么？——图形；题型特点可否利用？反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 5 向量与几何例 人教版教材数学 4§2.5.1 例 2如图，平行四边形 ABCD 中，点 E ，F 分别是 AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与 AC 交于 R ，T 两点，你能发现 AR ，RT ， TC 之间的关系吗？2 512 + 22 5……例 2017 年全国Ⅱ卷理科第(12)题已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是A ． -2 B. - 32C. -4 3D. -1【解析】求最值的常用途径： PA ⋅ (PB + PC ) 怎么表示？——向量的数、形入手．思路 1： 如图， PB + PC = 2PD （ D 为 BC 中点）， 则 APA ⋅ (PB + PC )= 2PD ⋅ PA ，要使 PA ⋅ PD 最小，则 PA ， P D 方 P向相反，即 P 点在线段 AD 上，则2PD ⋅ PA min = -2 PA ⋅ PD ， 即求 PD ⋅ PA 最大值，又 PA + PD = AD = 3 ，则 PA ⋅ PD ≤( PA + PD )2 = 3，则2PD ⋅ PA min = -2 ⨯ 3 = - 3 ．B DC2 44 2 思路 2：以 BC 为 x 轴， BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴， D 为 坐 标 原 点 建 立 坐 标 ， 设 P (x , y ) ， 则 PA = (-x , 3 - y ) ， PB = (-1 - x , - y ) ， PC = (1 - x , - y ) ．所以 PB + PC = (-2x , -2 y ) ，PA ⋅ (PB + PC ) = 2x 2 - 2 y ( 3 - y ) ＝ 2x 2 + 2( y - 3 )2 - 3 ≥ - 3 ， 2 2 2当 P (0, 3 ) 时，所求的最小值为- 3．2 2例 2017 年全国Ⅲ卷第(12)题在矩形 ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．2【解析】 求最值的常用途径： λ + μ 怎么表示？——向量的数、形入手． 思路 1 如图，设 BD 与 C 切于点 E ，连接CE ．以 A 为原点，建立如图直角坐标 系，则C 点坐标为(2,1) ． | CD |= 1 ， | BC |= 2 ． BD = = ．BD 切 C 于点 E ，55 5 ⎩ 1 22 CE ⊥ BD ，则| EC |=| BC | ⋅ | CD | = | BD | 2， 则 C ： ⎧x = 2 + 2 5 cos θ， 224⎪ 0 5(x - 2) + ( y -1) = ，令 P (x 0 , y 0) ，则⎨ ⎪ y = 1 + 2 5 sin θ. ⎪⎩ 0 5又 AP = (x 0 , y 0 ) AP = λ AB + μ AD = λ(0,1) + μ(2,0) = (2μ,λ) ，可得 μ = 1 x = 1 + 5cos θ ， λ = y = 1 + 2 5 sin θ ，2 050 5 所以λ + μ = 1 + 2 5 sin θ + 1 + 5 cos θ = 2 + ( 2 5 )2 + ( 5 )2sin(θ + ϕ)5 5 5 5= 2 + sin(θ + ϕ) ≤ 3 ，其中sin ϕ = 5 ， cos ϕ = 2 5 ，当且仅当θ = π+ 2k π - ϕ ， k ∈ Z5 52 时， λ + μ 取得最大值 3．思路 2 如图，建立直角坐标系，设P (x , y ) ， C 的半径 | EC |= | BC | ⋅ | CD | =| BD | 2 ，则 C 方程为(x - 2)2 + ( y -1)2 = 4 ，5AP = (x , y )， AB = (0,1)， AD = (2,0)，由 AP = λ AB + μ AD ，得(x , y ) = λ(0,1) + μ(2, 0) ，即⎧x = 2μ，所以λ + μ = x+ y ，设⎨y = λ，2 z = x + y ，即 x + y - z = 0 ，点 P (x , y ) 在圆(x - 2)2 + ( y -1)2 = 4上，则圆心到直线的距离2 2 52 - z ≤2d ≤ r ，即 1 + 1 45 ，解得1 ≤ z ≤ 3 ，所以 z 的最大值是 3，即λ + μ 的最大值是 3.思路 3 设 P (x , y ) ，同思路 2， C ： (x - 2)2 + ( y -1)2 = 4 ，则λ + μ = x+ y ，设z = x+ y 2 5 2，根据规划的相关知识，当直线 z = x + y 与 C 相切 2时， z 取最值．由最大值是 3.=5 ，可知 z 的最大值是 3，即λ + μ 的思路 4 如连接 AP ，交 BD 于点 F ，根据平面向量基本定理，得 AF = t AB + t AD ，且t 1 + t 2 = 1 ．12由题设 AP = mAF ，可知m ≥ 1，所以 AP = mt AB + mt AD ， 又 AP = λ AB + μ AD ，所以λ + μ = mt 1 + mt 1 = m ，故只需求 m 的最大值即可，而 m = |AP |，过 P 作 BD 的平行线 l ，并交 AD 的延长线于点 Q ，可得|AF |2 - z 1 + 1 45 5 5 3 1m = |AP | =|AQ |，当 l 与 C 相切时，m 取得最大值，计算得 EP = 4 ，则 |AF | |AD |4 4DG = 5 = sin ∠Q 5 = 4 ，故|AQ | = 6，所以m = 3 ．5思路 5 由 AP = λ AB + μ AD 可得： AP ⨯ AB = λ AB 2+ μ AD ⨯ AB ，则有λ = AP ⨯ AB ；又由AP ⨯ AD = λ AB ⨯ AD + μ AD 2 ，则有μ = 1 AP ⨯ AD ，故λ + μ ＝AP ⨯ AB + 1AP ⨯ AD ＝ 4 4AP ⨯ ( AB + 1AD )，在 BC 上取点 H ，使得 BH = 1 BC ，则 BH = 1 ，所以λ + μ ＝44 2 AP ⨯ AH ．又由于△ABH ∽△DAB ，则∠BAH ＝∠ADB ，从而得 AH ⊥BD ．根据数量积的几何意义， AP ⨯ AH 即为| AH |与 AP 在向量 AH 方向上的投影|AQ |之积，故当|AQ |取最大值时，AP ⨯ AH 取得最大值．可知当直线 PQ 与 C 相切时，|AQ |最大，计算得|AQ |＝ 6 最大值为 3．，此时 AP ⨯ AH 的值为 6⨯ 5 = 3 ，即λ + μ2例 在平面内，定点 A ，B ，C ，D 满足| DA |=| DB |=| DC | ， DA ⋅ DB = DB ⋅ DC = DC ⋅ DA = -2 ， 动 点 P ， M 满足 | AP |= 1 ， PM = MC ，则| BM | 2 的最大值是A. 43 4B. 49 4C. 37 + 6 34D.37 + 2 334【解析】 还是老思路——揭示代数意义或几何意义，表示| BM | 2 ．如图，由| DA |=| DB |=| DC | 可知，点 D 到 A ，B ，C 三点的距离相等；又 DA ⋅ DB = DB ⋅ DC = DC ⋅ DA = -2 ，所以∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 120︒ ，且| DA |=| DB |=| DC | =2．故△ABC 是边长 为2 的等边三角形．因为| AP |= 1，所以动点P 在以A 为圆心，1 为半径的圆上；由 PM = MC ， 可得 M 是 PC 的中点．思路 1．设 Q 是 AC 的中点，易知|BQ |=3．如图，根据向量加法的几何意义，有=BQ 2 + BQ ⋅ AP + 1 AP 2 = 37 + BQ ⋅ AP ． P 2 4 4而 BQ ⋅ AP = 3cos BQ , AP≤ 3 ，所以| BM |2≤ 49 ． 4思路 2．以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴（AB 方向为正方向）建立直角坐标系，则点 B ，C 的坐标分别为(2 3, 0) ， ( 3, 3) ．3 + x 3 + yyC设点 P 的坐标为(x , y ) ，则点 M 的坐标为( , ) ，所以2 2 M| BM | 2 = (3 + x - 2 3)2 + (3 + y )2 = 1 [(x - 3 3)2 + ( y + 3)2] ．而 2 2 4 P(x - 3 3)2 + ( y + 3)2 表示点 P 到点(3 3, -3) 的距离，其最大值为(3 3)2 + (-3)2 +1 = 7 ．从而| BM | 2 的最大值为 49．4ABxBM = (BQ + AP )2 2 1 CM QC QMAP 若设点 P 的坐标为(cos θ ,sin θ ) ，则| BM | 2 = 1 [37 + 12sin(θ + π)] ，亦可4 3得出答案．思路 3．如图，根据中位线定理，MQ ∥AP ，且 MQ = 1 AP = 1， 2 2 故点 M 在以 Q 为圆心，1为半径的圆上，从而|BM |的最大值 B2为3 + 1 = 7．2 2 Ⅲ 展望高考中的三角与向量2019 年高考，三角与向量的考查方式与难度设置如何？ Ⅳ 自我测试与评价（见附页）。
向量在三角形中的应用课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
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总结词
04
CHAPTER
6 向量与三角的综合应用
6向量与三角函数的综合应用1.若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若n m ⊥，则∠C 等于 .2.在ABC ∆中，已知,,a b c 分别,,A B C ∠∠∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量222(4,)p a b c =+- ，(1,)q S = 满足//p q ，则C ∠= .3.已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n == .（1）若1m n ⋅= ,求2cos()3x π-的值；（2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.4. 在ABC ∆中,B ∠，C ∠的对边分别为c b ,。
已知向量),(a b c a m -+=，),(b c a n -=，且n m ⊥。
(1)求C ∠的大小；(2)若26sin sin =+B A ，求角A 的值。
5. 设已知(2c o s s i n )22a αβαβ+-= ，，(cos 3sin )22b αβαβ+-= ，，其中(0,)αβπ∈、． (1)若32πβα=+，且2a b = ，求βα、的值；(2)若52a b ⋅= ，求βαtan tan 的值．6. 设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足0)()2(=⋅+⋅+CB CA c BA BC c a。
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若32=b ，试求CB AB ⋅的最小值．7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若().CA AB CB BA k k R ⋅=⋅=∈（1）判断△ABC 的形状；（2）若k c 求,2=的值．8. 已知点A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α)，α∈322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）若AC ＝BC ，求角α的值；（2）若AC BC ⋅ ＝－1，求22sin sin 21tan ααα++的值．9. 已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,6AC AB =⋅,向量)sin ,(cos A A s =与向量)3,4(-=t 相互垂直。
专题三角函数与向量(学生版).docx
专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略主要考点如下：1.考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2.考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(cox+(p)的性质和图像及其图像变换.3.考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4.考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5.考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6.考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.题型一解斜三角形与向量的综合【例1】已知角A、B、C为^ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c,京=(—cos成，sin*^"), / = (cos*^", sin*^"), a = 2^3? J E L= 2^*(I )若ZiABC的面积S=,,求b + c的值.(II )求b+c的取值范围.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例2】已知A、B、C为三个锐角，且A+B +C=TI.若向量8 = (2sinA — 2, cosA + sinA)与向量2 =C — 3B(cosA—sinA, 1+sinA)是共线向量.(I )求角A； (II )求函数y=2sin2B+cos—-—的最大值.题型三三角函数与平面向量垂直的综合【例3】已知向量甘= (3sina,cosa), 3 = (2sina, 5sina—4cosa), aG(宇,2n),且甘_L言.Ct jr(I )求tana 的值； (II)求cos(y+~)的值.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质ltl2=t2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：(1)先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；(2)先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例4】已知向量盲= (cosa,sina),言= (cosB,sir)B), |2 —言|=|>姑.TT TT 5(I )求cos(a—P)的值；(II )^—^<P<O<a<p 且sinP = ——,求sina 的值.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；⑵利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】1.设函数f(x) = 4.含.其中向量冷= (m, cosx),言= (l+sinx, 1), x《R,且f(亨) = 2.(I )求实数m的值；(II)求函数f(x)的最小值.(3)求f(x)的对称中心和对称轴2.(山东)已知向量扁= (smx,l)〃(品cosx*s2W>0),函数/'(x) = M的最大值为6.JT(I)求刀；(II)将函数y = /(x)的图象向左平移g个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的5倍，纵坐标不变，得到函数V = g(x)的图象.(1)求g(x)在［0,芸］上的值域.(2)五点法做出g(x)在一个周期上的图像。
高中数学三角函数与向量试题及详细答案
高中数学三角函数与向量试题及详细答案一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．23．在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设=，=，试用、表示、．24．正方形ABCD的边长为1，记=（1）求作，（2）求|，|25．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值．26．例3．已知27．设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x﹣2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．28．在福建省第14届运动会（2010•莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米．（Ⅰ）试将y表示为x的函数；（Ⅱ）求证：△ECF周长p为定值；（Ⅲ）求△ECF面积S的最大值．29．如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中A TN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．30．如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．（1）求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，试求出用θ表示y的解析式；（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？（文科）求函数y的最大值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．专题：计算题；综合题．分析：（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．解答：解：（I）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期T==π（II）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x ﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．解答：解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．考点：正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．解答：解：（Ⅰ）由2x+≠+kπ，k∈Z．所以x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为：f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0 因此（cosα﹣sinα）2=即sin2α=因为α∈（0，），所以α=点评：本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．考点：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．（II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．解答：解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f（θ）===2（II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）于是0≤θ≤∴f（θ）==且故当，即时，f（θ）取得最大值2当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．考点：弦切互化；同角三角函数间的基本关系．专题：综合题．分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而得：f（x）的值域为．（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+﹣=所以=①当tanα=2，得：，，代入①式，解得m=﹣2．点评：考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanα=a，求出结果即可．解答：解：原式===．即：=．点评：本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先化简函数得出的表达式，通过f（﹣）≠±f（﹣），直接证明即可．（2）先得出，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围．解答：解：（3分）（1）∵，∴f（x）是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是奇函数．（2）由，得，．（4分）所以．即．（2分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入然后把求出a的值代入f（x）中，然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据公式求出结果．（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，根据正弦函数的图象求出sin（2x﹣）的值域即可得到f（x）的最值．解答：解：（Ⅰ）由已知得即，所以a=﹣2所以f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=所以函数f（x）的最小正周期为π（Ⅱ）由，得则所以所以函数y=f（x）的最大值为；最小值为点评：本题三角函数周期的求法，又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域．是一道综合题．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用三角函数的定义求出sinα、cosα和tanα的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2α﹣tanα并求出其值．（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x﹣）﹣1，进而求正弦函数的特点求出结果．解答：解：（Ⅰ）因为角α终边经过点，所以，，…（3分）（Ⅱ）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R…（7分）∴y max=2﹣1=1，…（12分）此时，即…（13分）点评：此题考查了二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．考点：二倍角的余弦；集合关系中的参数取值问题；二次函数的性质；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）利用三角函数的降幂公式将化为f（x）=2sinx，从而f （ωx）=2sinωx，利用f（ωx）在[，]是增函数，可得到，从而可求ω的取值范围；（2）由于f（x）=2sinx，将化为sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0，令sinx=t，则t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0，t∈[，1]，记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，问题转化为上式在t∈[，1]上恒成立问题，根据区间[，1]在对称轴t=m的左侧，右侧，对称轴穿过区间[，1]三种情况结合二次函数的单调性即可解决．解答：（本小题满分14分）解：（1）=2sinx（1+sinx）﹣2sin2x=2sinx．∵是增函数，∴，∴（2）=sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0因为，设sinx=t，则t∈[，1]上式化为t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0由题意，上式在t∈[，1]上恒成立．记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，这是一条开口向上抛物线，则或或解得：．点评：本题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0恒成立，t∈[，1]来解决，属于难题．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．考点：二倍角的余弦；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简，再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线；（Ⅱ）根据函数解析式先求出周期，再求出一个周期内的函数值的和，进而判断出2012与周期的关系，再求出式子和的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，列表：x 0 1 2 3 40 π2π1 2 1 0 1描点画图，如图所示：（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期为4，且2012=4×503，∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．点评：本题是关于三角函数的综合题，涉及了倍角公式、诱导公式的应用，“五点作图法”的步骤，函数周期性的应用求式子的值，考查了分析、解决问题能力和作图能力．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．考点：二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明．专题：综合题．分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；（2）a n+1=f（a n），把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a n2大于0，即可得证；（3）把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2﹣，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证．解答：解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；（2）∵a n+1=f（a n）=a n2+a n，∴a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1＞a n；（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，又n≥2时，∴a n+1＞a n，∴a n+1≥a3＞1，∴，∴．点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：（1）由题意，可先判断角θ的取值范围，得出其是第四象限角从而确定出角的正切值的符号，再由正切的二倍角公式得到角的正切的方程，解此方程求出正切值；（2）由题意，先化简，再将tanθ=代入计算出答案．解答：解：（1）由题意3π＜2θ＜4π，得＜θ＜2π是第四象限角又tan2θ=﹣，∴=﹣，解得tanθ=（2）由题，将tanθ=代入得=点评：本题考查二倍角的正切，二倍角的余弦，同角三角函数的基本关系等，解题的关键是利用公式灵活变形，计算求值，本题中有一易错点，即没有判断角所在的象限，导致解出的正切值有两个答案，切记！三角函数化简求值题，公式较多，要注意选择公式使得解题的过程简捷．本题考查了利用公式变形计算的能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．考点：向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；综合题；函数思想；整体思想．分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，，=•，即可求得M 点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．点评：此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：①利用向量共线的充要条件，可求x的值，从而可求f（x）的值；②利用余弦定理求出B的值，确定出＜A+＜π，然后求出函数f（A）的取值范围．解答：解：①由∥，得，∴或，∴x=2kπ+π或，∴②∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，∴cosB=，B=，∴0＜A＜．∴＜A+＜π，0＜sin（A+）≤1．又∵，∴故函数f（A）的取值范围是（0，2]．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查向量共线的充要条件．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量、表示；（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．解答：解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，，同理可得：，，则==（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则；；设A1、A2、A3是AB的四等分点，则；或设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则，层次2：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，，层次3：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则；证：===点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45°=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．解答：解：（1）因为a=，所以=（），，则====所以当时，取到最小值，最小值为．（7分）（2）由条件得cos45°=，又因为==，==，（）（）=5﹣t，则有=，且t＜5，整理得t2+5t﹣5=0，所以存在t=满足条件．（14分）点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模．本题的易错点在于（）（）=5﹣t中的t＜5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t＜5．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．考点：向量在几何中的应用；数列与解析几何的综合．专题：计算题．分析：（I）根据题意知，∥（2cosθ﹣2，sinθ），根据共线向量定理可得⇒（x﹣2）sinθ=y （2cosθ﹣2），同理（x+2）sinθ=y（2cosθ+2），两式相乘，即可得到点M（x，y）的轨迹方程；（II）设p（x0，y0）在曲线C内，得，再由|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列可得并代入求得，即可求得结果．解答：解：（I），（2﹣x）sinθ+y（2cosθ﹣2）=0⇒（x﹣2）sinθ=y（2cosθ﹣2）①同理（﹣2﹣x）sinθ+y（2cosθ+2）=0⇒（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②①×②得x2﹣4=﹣4y2即；（II）设p（x0，y0），则③化简得：④④代入③得点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用，以及数列与解析几何的综合．同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．专题：计算题；综合题．分析：（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．解答：解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．点评：此题是个中档题．考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．（II）先将利用向量模的计算公式表示成，再利用三角函数的值域求出它的最大值即可．解答：解：（I）设它们的夹角为θ，则：=，故…（6分）（II）=…（10分）所以当m＞0时，原式的最大值是m﹣1；当m＜0时，原式的最大值是﹣m﹣1…（12分）点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决向量的模的最值问题，一般转化为函数的最值来解决．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；存在型；反证法．分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P．解答：解：（1）由题意设椭圆标准方程为．由已知得，．（2分）则，∴．解得a2=6（4分）∴所求椭圆方程为（5分）（2）令M（x1，y1），则（7分）∵点M在椭圆上，∴，故|y 1|的最大值为（8分）∴当时，的最大值为．（9分）（3）假设存在一点P，使，∵，∴，（10分）∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）又∵②（12分）∴②2﹣①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴，（13分）即=5，由（1）得最大值为，故矛盾，∴不存在一点P，使．（14分）点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：（1）利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式，推出tanθ的解析式，再根据m的范围，求得tanθ的范围，进而求得θ的取值范围．（2）设出双曲线的标准方程和点Q的坐标，有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小时点Q的坐标，从而得到双曲线方程中的待定系数．解答：解：（1）由已知得，∴tanθ=，∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．（2）设双曲线方程为﹣=1，（a＞0，b＞0），不妨设点Q的坐标为（m，n），n＞0，则=（m﹣c，n），∵△OFQ的面积为||•n=2，∴n=．又由•=（c，0）•（m﹣c，n）=c（m﹣c）=（﹣1）c2，∴m=，||==≥，当且仅当c=4时，||有最小值，此时，点Q的坐标为（，），由此可得，解得，故所求的方程为：=1．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，用待定系数法求双曲线的方程．。
三角与向量
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三角函数与向量结合的题型
三角函数与向量结合的题型【引言】在高中数学课程中，三角函数和向量是两个重要的概念。
它们分别代表了数学的几何和代数两个方面。
三角函数帮助我们研究角度、三角形的性质，而向量则使得我们能够进行矢量运算和分析。
这两个概念的结合可以带来更加复杂和有趣的数学题型。
在本文中，我们将探讨三角函数与向量结合的题型，从简单到复杂，逐步深入地理解这个主题。
【1. 什么是三角函数】三角函数是描述角度和角度相关的性质的一组函数。
其中最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们通常用sin、cos和tan来表示它们。
三角函数的定义涉及到一个直角三角形的三个边长或角度，使得我们能够通过角度来研究三角形的性质。
三角函数在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。
【2. 什么是向量】向量是用来表示大小和方向的量。
在数学中，向量通常用有序数对或有序数组来表示。
有向线段也可以看作是向量的几何表示。
向量在几何和代数中都有广泛的应用。
我们可以通过向量进行矢量运算，如向量加法、向量减法和数量乘法。
向量还可以用于描述力、速度和位移等物理量。
【3. 三角函数与向量的关系】三角函数和向量之间有许多密切相关的关系。
我们可以通过三角函数来表达向量的方向。
给定一个向量，我们可以计算出它与横轴的夹角，并通过三角函数来表示这个夹角的大小。
我们可以使用三角函数来计算两个向量之间的夹角。
夹角的正弦、余弦和正切值可以帮助我们理解向量之间的关系和性质。
在解决几何问题时，我们常常会遇到涉及角度和向量的复杂题目，这些题目需要我们结合三角函数和向量来求解。
【4. 三角函数与向量结合的题型举例】下面我们来看一些常见的三角函数与向量结合的题型。
4.1 题型一：求两个向量的夹角已知两个向量a和b，求它们的夹角。
解决这个问题时，我们可以使用向量的数量积和三角函数来求解。
具体步骤如下：计算向量a和b的数量积，即a·b。
计算a和b的模长，即|a|和|b|。
高中数学三角函数与向量
高中数学三角函数与向量在高中数学中，三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。
三角函数研究角的大小和周边长度的关系，而向量则研究物体在平面或空间中的位移和运动。
一、三角函数三角函数是描述角度大小和长度关系的数学函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们以角A为例来介绍这些函数。
1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与x轴正半轴之间的线段比值。
可以表示为sin(A)。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与单位圆的半径之间的比值。
可以表示为cos(A)。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指在单位圆上，以角A的终边与x轴正半轴之间的弦与角A的终边在x轴正半轴法线上的投影之间的比值。
可以表示为tan(A)。
二、向量向量是具有大小和方向的物理量。
在高中数学中，我们主要研究平面向量和空间向量。
1. 平面向量：平面向量由大小和方向确定。
我们可以用有向线段或坐标表示平面向量。
常见的运算有向量的加法、数乘和点乘。
2. 空间向量：空间向量也由大小和方向确定，但相比于平面向量，空间向量多了一个维度。
我们可以用有向线段或坐标表示空间向量。
空间向量的运算与平面向量类似，只是多了一个维度的考虑。
三、三角函数与向量的应用三角函数与向量在实际问题中有广泛的应用。
1. 几何问题：三角函数与向量可以用来解决几何问题，如平面上的三角形面积、角平分线等；空间中的直线及平面的交角，立体图形的体积等。
2. 物理问题：三角函数与向量在物理学中具有重要的应用，如力学中的合力分解、运动学中的速度和加速度等。
3. 工程问题：三角函数与向量也广泛应用于工程领域，如电路中的电流和电压，机械工程中的力和力矩等。
总结：高中数学中的三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。
二轮复习之三角与向量突破
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二轮 复 习之 角 与 向量 突破
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三角 函数与平面向量
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向量 的结 合 在 每 年 的 高 考 试 题 中均 会 涉 及 ， 作 为 填 空 题 、 择 题 或 者 多 选 解 答 题 的 第 一 题 出现 ， 度 不 大 ， 难 答
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三角与向量基础知识提要(一)
三角与向量基础知识提要三角函数与向量可以合在一起考查，也可以分开来对各自分别考查.下面分别对三角和向量的一些答题技巧进行介绍.1、对三角函数的考查一般有4种情形：（1）求特殊角的函数值和应用诱导公式的计算（尤其是对文科），或应用221cos sin αα=+变换的计算;如：已知：tan 2,α=求cos 23sin cos ααα-的值.可以这样处理： 222222cos sin 3sin cos cos sin 3sin cos cos 23sin cos 1cos sin ααααααααααααα-----==+ 以下可以有两种方式：（Ⅰ）利用tan 2α=得：sin 2cos αα=，222222cos sin 3sin cos 9cos 9cos sin 5cos 5αααααααα---==-+（Ⅱ）2222cos sin 3sin cos cos sin αααααα--+的分子分母都乘经21cos α，得222222cos sin 3sin cos 1tan 3tan 9cos sin 1tan 5ααααααααα----==-++. （2）通过选择题的形式来考查图象的平移、伸缩、对称等基本变换;（3）通过三角变换：降幂——配角——化成一次一角一弦sin()y A x ωϕ=+B +的形式，求最值、周期，单调性或进行图象变换;（4）利用三角形性质和正、余弦定理来解三角形.特别地:（Ⅰ）锐角三角形的任意两个内角的和是钝角.改换一个思考角度就好容易想通了，若有两个内角之和是锐角或直角，则第三个角不是锐角，与“锐角三角形的内角都是锐角”的要求不符.最典型的锐角三角形是等边三角形.(Ⅱ)夹角为060或0120角的余弦定理的特殊情形使用较多，要熟练掌握.如△ABC 中，222c a b ab =++，即 222002cos120120c a b ab C =+-⇒=，而用22201cos 120222a b c ab C C ab ab +--===-⇒=也是对的，只是显得不太熟.而把正弦定理记成2,2,2sin sin a b c R R R sinA B C ===更容易变化些. 如22sin sin a R a R A A=⇔= sin 2a A R⇔=，用前述转化式子更容易理解：△ABC 中，边的齐次关系与各边对角正弦的齐次关系可相互转化.如222222sin sin sin sin sin c a b ab C A B A B =+-⇔=+-.△ABC 中，sin sin a b A B <⇔<.利用余弦理也容易得到：cos cos ,cos cos ,cos cos a B b A c b C c B a c A a C b +=+=+=(Ⅲ) △ABC 中，sin()sin ,cos()cos ,sincos ,cos sin .2222A B C A B C A B C A B C +++=+=-==，其它几个类似.2、对向量的考查多以小题的形式来加以考查.有两个知识点是常考的： （1）向量加法、减法运算的插入法：AB AC CB =+ 或AB PB PA =- ，把此处的点C 和点P 看成是插入点，可以不需要看图形，插入点可以是任意的.如:已知,2,CD DE = ,OE xOC yOD =- 则x = ,y = .此处点O 不一定是坐标原点.解答此题不需要看图，可以利用插入法直接解答.由2,CD DE = 得31222322OD OC OE OD OE OD OC OE OD OC -=-⇒=-⇒=- ，对比 ,OE xOC yOD =- 知31,22x y ==.由此还可以总结出一个结论：有共同起点的三个向量.终点共线⇔三个向量中的任意一个向量都等于其它两个向量的实数倍数和，且倍数相加等于1.如：3122OE OD OC =- 中，OE 表示成了OD 和OC 的实数倍数之和，OD 的实数倍数32和OC 的实数倍数12-的和是1. （2）平行和垂直的判定：用数量积判断垂直.数量为0⇔垂直.还可以用数量积的几何意义解决解几问题. 平行也可以用向量有实数关系来加以判定，特别是用坐标来判定平行，也是一个常用的方法.。
三角形面积与向量的关系
三角形面积与向量的关系三角形作为几何学中的基本图形之一，在数学研究中具有重要的地位。
而面积作为三角形的一个重要属性，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将探讨三角形的面积与向量的关系，并阐述相关的计算方法和证明过程。
一、向量的基本概念在开始具体讨论三角形面积与向量的关系之前，我们首先需要了解一些向量的基本概念。
1. 向量的定义：向量是带有方向和大小的量，通常用箭头符号表示。
在平面几何中，我们常常用有向线段来表示向量，其中箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量，并且它们的大小可能相等也可能不等。
3. 向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，表示这两个向量的相对于夹角大小的乘积。
4. 向量的叉积：两个向量的叉积是一个向量，其大小与构成这两个向量的平行四边形的面积成正比。
二、三角形面积的计算公式在几何学中，我们通常使用基于三角形的底和高的计算公式来求解三角形的面积。
对于已知三角形的底和高的情况，我们可以使用以下公式来计算三角形的面积：S = (1/2) * 底 * 高三、三角形面积与向量的关系三角形的面积与向量有密切的关系。
下面我们将从两个方向来探讨这种关系。
1. 向量的数量积与三角形面积的关系设向量a和向量b分别为三角形的两边，夹角为θ。
根据向量的数量积的定义，我们知道：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度。
从这个公式中，我们可以看出，当θ=90°时，cosθ=0，向量a和向量b垂直，此时向量的数量积为零，即：a·b = 0这说明两条垂直的向量的数量积为零。
而在几何学中，两条垂直的向量所构成的平行四边形正好是一个矩形，其面积为a和b的数量积的绝对值，即：S = |a·b|所以，我们可以得出结论：两个向量的数量积的绝对值等于这两个向量所构成的平行四边形的面积。
三角函数与向量
三角函数与向量1．在三角形ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若cos (2)cos b C a c B =- （Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）若b =4a c +=，求三角形ABC 的面积。
2.已知向量(cos 2sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),x x x x x x =+=-a b 设函数()f x =⋅a b .(I) 求函数)(x f 的单调递增区间；(II) 求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合.3．已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （I ）求()f x 的最小正周期和值域；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22A f =且2a bc =，试判断ABC∆的形状.4．已知函数xx x x f sin 212cos 2sin )(+-=（I ）求)(x f 的定义域； （II ）求)(x f 的值域；（III ）设α的锐角，且求,212tan=α)(αf 的值. 5．ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且345OA OB OC ++=0．（1）求数量积OA OB ⋅ ，OB OC ⋅ ，OC OA ⋅；（2）求ABC ∆的面积．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 5C =. （Ⅰ）求)4sin(π+C 的值；（Ⅱ）若1=⋅，a b +=c 的值及ABC ∆的面积.7．在ΔＡＢＣ中，,1=⋅AC AB .3-=⋅BC AB⑴求AB 边的长度; ⑵求 ()CB A sin sin -的值． 8．已知函数.sin 21cos sin cos 21)(22x x x x x f --=（I ）求)(x f 的最小正周期；（II ）求)(x f 函数图象的对称轴方程； （III ）求)(x f 的单调区间.9．已知函数(),(sin cos )f x m n m x x x ωωω=⋅=+其中，(cos sin ,2sin ),0,()n x x x f x ωωωω=-> 其中若相邻两对称轴间的距离大于等于.2π（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在,,,,,,3,ABC a b c A B C a b c ∆+=中分别是角的对边,ω当最大时()1,f A ABC =∆求的面积.10．已知不重合的两个点(1,cos ),(cos ,1)P x Q x[,]44x ππ∈-，O 为坐标原点。
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三角（一）填空题：1. 若，则2．已知5sin(4x π-）(0,)x π∈，则sin cos x x +的值为 ．3. 已知：α为第四象限角，且31)sin(-=-απ，则αtan = ．4．已知6x π=-是方程3tan()x α+(,0)α∈-π，则α= .5．直径为2的半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值为 ．6．设(0,)2x π∈，则函数2sin 2()cos 1xf x x =+的最大值为 ． 解答题：1.已知函数2()2sin sin cos 1f x x x x =-++；⑴求()f x 的最小正周期及对称中心；⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.4sin ,tan 05θθ=->cos θ=2.如图A ．B 是单位圆O 上的点，且点在第二象限. C 是圆O 与轴正半轴的交点，A 点的坐标为，△为直角三角形.（1）求； （2）求的长度3．（1）设πβππα2,0<<<<，若对任意的R x ∈，都有关于x 的等式++)c o s (αx 0c o s 2)s i n (=++x x β恒成立，试求βα,的值；（2）在ABC ∆中，三边c b a ,,所对的角依次为C B A ,,，且32sin 3cos 22=+C C ， ABCS c ∆=,123=，且b a >，求b a ,的值。
B x 34,55⎛⎫⎪⎝⎭AOB sin COA ∠BC三角（二）填空题：1．已知函数()sin()(0)3f x x ωωπ=+>，若()()62f f ππ=，且()f x 在区间(,)62ππ内有最大值，无最小值，则=ω ．2. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ．3.电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数πsin 6I A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω≠）的图像如图所示，则当150t =时，电流强度是 ．4.一种由3步组成的变换流程如下： 则第③步的变换过程用文字表述为 ．5．已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递增区间是 ．6.将函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=->的图象向左平移3πϖ个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在[0,]4π上为增函数，则ϖ的最大值为7．已知函数1)32sin(4)(+-=πx x f ，给定条件p ：42x ππ≤≤，条件q ：2)(2<-<-m x f ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为___ ▲ ．x y sin =x y 2sin 2=)32sin(2π-=x y ①②③x y sin 2=解答题：1．已知向量,sin cos )a x x x =- ，(cos ,sin cos )b x x x =+ ，函数()f x a b =．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．2.一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B 、C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点M 、N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P 。
设()CMN rad θ∠=，试用θ表示木棒MN 和长度()f θ；（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。
三角（三）填空题：1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c 。
若222,b c bc a +-=且ab=则角C=____2.在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）(b ＋c －a ）＝3bc ，则A 等于__________．3.在等式cos()(1)1= ★的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是 ．4．若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为___5．函数x x y cos 2+=在(0,)π上的单调递减区间为 ▲ .6．函数2cos y x x =+在区间[]0,π上的最大值为 ▲ ．7．函数xx x x y 423tan tan 21tan tan ++-=的最大值与最小值的积是 。
8．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出矩形面积最大值为21tan 2R α，则按图二作出矩形面积最大值为图一第13题图图二解答题：1．在ABC ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.（1）求角B 的度数；（2）求22c o s c o s ()A A C+-的取值范围.2.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值；（II ）求22sin cos()A A C +-的范围。
3.已知角,,A B C 是的内角，向量(sin(),sin())2m n A A ππ==--，m ⊥n .（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数的值域.ABC ∆)23cos(sin 22B B y -+=π三角（四）填空题： 1．3sin 5α=，3cos 5β=，其中(0,)2παβ∈、，则αβ+=______ ___．2．在ABC ∆中，边2b =，3B π=角，sin 22sin()2sin 0A AC B +--=，则边c = .3. 中，若，=4．设向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，则βα-= .5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中2,3a c ==,且满足()2c o s c o s a c Bb C -⋅=⋅,则AB BC ⋅=___ ___．6.如图，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则()()AB DC AC BD +⋅+=7. 直线20x y +=与圆222x y +=相交于,A B 两点，O 为原点，则OA OB ⋅=．8. 在中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在直线AM 上且满足,则等于ABC ∆30B ∠= AB =AC =BC ABC ∆2PA PM =()PA PB PC ⋅+ C解答题：1.已知向量，，，其中、、为△ABC 的内角.(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若，，成等差数列，且，求AB 的长.2.如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知5,3,PA PB PC ===设,APB APC αβ∠=∠=，,αβ均为锐角.（1）求β；（2）求两条向量,AC PC的数量积AC PC ⋅ 的值.3．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin a A =，（1）求角B ； （2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围．)sin ,(sin B A m =)cos ,(cos A B n =C 2sin =⋅A B C A sin C sin B sin 18)(=-⋅AC AB CA PACB向量（一）填空题：1.已知向量)1-b =，2=a ，则2-a b 的最大值为 ．2．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为3π，若向量||||=+a b p a b ，则=p ．3．已知向量()()()2,1,3,0a b λλ==> ，若()2a b b -⊥，则λ=4. 若向量a ，b 的夹角为60︒，且1==a b ，则+a b =5. 设向量a 与b的夹角为θ，(2,1)a = ，3(5,4)a b += ，则sin θ= ．6．已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c -∥b ，则k =___7.已知平面向量,,0,a b c a b c a b c b ++=︒满足且与的夹角为135，与的夹角为120︒，==a c则,2解答题：1.在ABC ∆中，||2AB AC BC ⋅== ．（1）求22AB AC + 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值．2．在△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()()3a b c b c a bc +++-=．（1）求A 的度数；（2）若a =ABC 面积的最大值．3．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、；（1）设向量)sin ,(sin C B x =，向量)cos ,(cos C B y =，向量)cos ,(cos C B z -=，若)//(y x z +，求tan tan B C +的值；（2）已知228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b ．向量（二）填空题：1．已知平面向量(1,2)a = ，(1,3)b =- ，则a 与b 夹角的余弦值为 .2．已知向量(sin ,cos ),(1,2)x x ==-a b ，且//a b ，则tan x = .3、△ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-= ．则C ∠=4．已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，若)(b k a a +⊥，则实数k = ．5．已知向量13),(4,2)a b =-= （，，若)a b a λ⊥+ （，则实数λ的值为 ．6．如图，在△ABC 中，已知12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b == ．若DE a b λμ=+ ，则λμ-的值为 ．解答题： 1．在三角形ABC 中，已知2AB AC AB AC ⋅=⋅ ，设CAB α∠=，（1）求角α的值；（2）若cos(-βα，其中5(,)36βππ∈，求cos β的值.2.在平面直角坐标系xOy 中，点P （21(,cos )2θ在角α的终边上，点Q 2(sin ,1)θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- ；（1）求cos2θ的值；（2）求sin()αβ+的值3.如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离BC =． D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设CD = x （km ），点D 对跑道AB 的视角为θ． (Ⅰ) 将tan θ表示为x 的函数；(Ⅱ) 求点D 的位置，使θ取得最大值．三角与向量综合解答题：1.已知点()()().c o s ,s i n 2,1,0,0,1θθC B A ；（1）若=，求θt a n 的值；（2）若()12=∙+，其中O 为坐标原点，求θ2sin 的值2.已知三个内角的对边分别为, ，且. （Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，，求的面积.3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,cos 1)A =+m ，(sin ,1)A =-n ，且⊥m n ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，cos B ，求b 的值．ABC ∆,,A B C ,,a b c B a b sin 23⋅=0>⋅A ∠()23cos cos =+-B C A 6=a ABC ∆4.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-.（1）求角B 的大小；（2）设n m n A A m ⋅-==且),1,512(),2cos ,(cos 取最小值时，求)4tan(π-A 值.5.已知向量()()()cos sin cos sin sin 2sin cos 2cos x x x x αααα===++，，，，，a b c ，其中0πx α<<<． （1）若π4α=，求函数()f x =⋅b c 的最小值及相应x 的值；（2）若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若，，试求|+|的最小值． tan 21tan A c B b +=(0,1)=-()2cos ,2cos 2C B =。