3第三讲导数与微分法研究

泰山学院信息科学技术学院教案

数值分析教研室

通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌 握导数的各

种求导方法。

第三讲导数与微分法研究

、基本概念

1•导数及其变形

2•分段函数的导数通过左右导数来求 3. 导数的几何意义 4. 微分的定义

二、求导方法

1 .求导公式及其应用

2. 复合函数求导法 3 •隐函数的导数求法 4.参数方程确定的函数的导数求法 5•极坐标方程表示的的函数的导数求法 6 .形如y = f(x)g(X)

的函数的导数求法一一取对

数求导法 7•分段函数的导数

8•变动上线的积分表示的函数的导数

课程名称 高等数学研究 授课对象

授课题目

第三讲导数与微分法研究

课时数

教学

目的 重 点 难 占 八\、

1. 2. 3. 隐函数的导数求法

参数方程确定的函数的导数求法 形如y = f (X)

g(X)

的函数的导数求法一一取对数求导法

变动上线的积分表示的函数的导数

教学过程与内容

教学

后记

第三讲导数与微分法研究 元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、

求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导 数、隐函数的导数、参数(极坐标)方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函 数的导数每年都考。 一、基本概念

1 .导数及其变形 ,f(X)-f(X 0), lim = lim f X - x 0 4° 例1：设f (X)在x 0可导，求 f(X 0 —3h)-f(X 0) (1) lim h

T f(X o 中心 X)— f(X o ) _ lim

f (X o +h)- f(X o ) -h m o

h 1 ⑶ lim n[ f(X 0 +-) - f (X o

-

T n

f(X0+2h)-f(X0-2h) ⑵h m o 丄)]

2n 2 .分段函数的导数通过左右导数来求 例2：设f(X)斗X - a I ®(x),护(X)在X = a 连续，文在什么条件下 f (x)在x = a 可

导? 【解】lim f(X ^f(a ^

lim -®(x) = -®(a) X —a lim fg-f

(a)

= lim 畀(X)=护(a) T X — a X T 〒

当—q)(a)=W (a)，即 W (a) =0时，f (x)在 x = a 可导。 2 【讨论】f(x)=|x|, f(x)=x|x|, f(x) =x(x +1)(X -1) I X -1 I 分别有几个不可导 点。 例3:已知函数f(x) =«

” 2

x l ax + b X A 1 X ^1处处可导，试确定 a 、b 的值。 【解】(1)欲使f (x)在X =1处可导，必先在X = 1处连续, 故有 lim f(X)= limf (x) = f(1)，即

a

+ ^1 x —!

—

H 十

(2)又f (x)在X=1处的左、右导数分别为

2

5=

十斗

ad + 也 x)+b —1 「5、 .. a(1+也 x)+b —1 r a 也X f Q=J x s + 纵 二四盂=a

故a = 2，从而b = -1，所以，当a = 2 , b = —1时f (x)处处可导。

3.导数的几何意义

设函数y = f(x)在点X o 的导数存在，为f'(X o )，则导数值为函数 y = f(X)上一点 (x 0

, f (x 0

))处的切线的斜率。此时，切线方程为：

y - y 0

= f'(x 0

)(x -x 0

)；法线

1

方程为： y _y 0

= ------------- f'(X o )

例4：求y =x 2

的切线方程，使此切线与直线 y =X +1的斜率相同。

2

【解】设切点为(X o ，y o )，则有：y 0

= X o

,

由已知，切线斜率与 y=x+1相同，贝y y'l x 0

=1,

1 1

可解得：X 0 =丄，二y 。=丄

2 4

1 1

切线方程为： y --- = X — 即y

4 2

例5：函数y = f (X)由方程xy + 21n x

【解】略 4. 微分的定义

设函数y = f (x )在某区间内有定义， 也y = f (x 0

+比X )- f (x 0

)可表示为 U

= A 总X + 0(i x )，其中A 是不依赖于 也X 的常数, 而0(& )是

i x T 0时比 &高阶的无穷小，那么称函数 y =

A A x 叫做函数y = f (X 在点X o 相应于自变量增量 A x 的微分，

二、求导方法

1 .求导公式及其应用(略)

2 .复合函数求导法(略)

3 .隐函数的导数求法

1

例6：求由方程x -y +—Siny=0所确定的隐函数 y = f (x )的二阶导数 2 【解】两

边对

x

求导

得：1 一 y ‘ +工cos y = 0

2

L -2sin y -y' dx ( 2 -

cosy 」 方法二：对(*)式再两端求导得：

(X —X o )。

1 =X —。

4 y 4y= f(x)(1,1)

f (x )在点X o 是可微的。而

记作 dy 。即 dy = A i x 。

d 2y dx 2

(*)

- 2 -y = -- ------ 2 -cosy 由此得哄=d r

dx 2

(2-cosy f (2-cosy ；3

2

i sin y (2-cosy 丿

_ -4s iny 2-cosy (2-cosy ；3

x 0

及x 0

+i x 在这区间内，如果因变量的增量 -4sin y