定积分与微积分基本定理
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Δt＝int－i－n 1t＝nt .
各个小区间上物体下落的距离记为 Δs1，Δs2，…，Δsn. (2)近似代替 在每个小区间上以匀速运动的路程 近似代替变速运动的路程．
在小区间[i－n 1t，ni t]上任取一时刻 ξi(i
＝1,2，…，n)，为计算方便，取 ξi
为小区间的左端点，
用时刻 ξi 的速度 v(ξi)＝g·i－n 1t近似代
数 ， 并 且 F′(x)＝ f(x)， 那 么 ab
f(x)dx＝_F_(_b_)_－__F_(_a_)__
论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿— 莱布尼兹公式．
为了方便，常把 F(b)－F(a)记成
__F_(_x_)|_ba___，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)
－F(a)．
思考探究
考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，利 用定积分解决一些平面曲线围成的 平面图形的面积和变速运动及变力 做功等几何与
物理问题成为高考的热点，试题大多 有难度，考查学生的计算求解能力． 预测2013年广东高考仍将以定积分的 应用为主要考向，希望同学们注意理 解掌握定积分的概念、性质，掌握微 积分基本定理．
＝∫π20(12－12cosx)dx
＝12x|
π 2 0
－12sinx|
π 2 0
＝12×(π2－0)－12×(1－0)
＝π－4 2.
3
(3)12|3－2x|dx＝∫2 1|3－2x|dx＋
232
|3－2x|dx
3
＝∫2 1(3－2x)dx＋3 2 (2x－3)dx
2
＝(3x－x2)| 1＋(x2－3x)|2＝12.
(2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，
定积分abf(x)dx 的几何意义是由直线 x＝
a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围 成的曲边梯形的面积(图 1 中阴影部分)．
②一般情况下，定积分abf(x)dx 的几何意
义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 2 中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等 于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积 等于该区间上积分值的相反数．
将区间[a，b]等分成n个小区间,在 每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，
_作__和__式__i_＝n_1f_(ξ_i_)Δ__x_＝__i＝_n1__b_－n__a_f(_ξ_i)，
当n→∞时，
上述和式无限接近__某__个__常__数__，这个
常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定 积分，记作_____ab_f(_x_)d_x___
当所分时间愈短，则 Δt 愈小，sn 的值就 愈接近 s，因此，当 n→∞即 Δt→0 时，
sn 的极限就是所求的自由落体运动在时 间[0，t]内所经过的距离．
s＝ nl→im∞sn＝ nl→im∞
21gt21－n1
＝12gt2.
【名师点评】 用定义求定积分分为四个步骤， 逐步求值．
考点2 定积分的性质与微积 分基本定理
2x－3，32<x≤2
，
可分为两段定积分的和；
(4)求出被积函数cosx2－sin2x2 的
原函数，即可得解．
【解】 (1)12(x2＋2x＋1)dx ＝12x2dx＋122xdx＋121dx
＝x33|21＋x2|21＋x|21＝139.
π
(2)∫2
0sin2x2dx＝π2 ∫
1－cosx 0 2 dx
交点坐标为(2,4)，6 分
故所求图形的面积为
S＝04 6－y－18y2dy ＝6y－12y2－214y3|40＝
24－8－214×64＝430.12 分
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
计算简单定积分的步骤： (1)把被积函数变为幂函数、正弦 函数、余弦函数、指数函数与常数 的和或差；
(2)利用定积分的性质把所求的定积 分化为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式求出F(x)，使得 F′(x)＝f(x)；
(4)利用牛顿－莱布尼兹公式求 出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．
(3)定积分的基本性质
①abkf(x)dx＝_k__ab_f_(x_)_dx_(_k_为__常__数_)___ ②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝__ab_f1_(_x_)d_x_±___abf_2_(x)dx ③abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中
a<c<b)．
2．微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函
即abf(x)dx＝____nl_i→m_∞__i＝_n1__b_－n__a_f(_ξ_i)____
②在abf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积
分下限与积分上限， 区间__[_a_，__b_]__叫做积分区间， _函__数__f(_x_)_叫做被积函数，___x__叫做
积分变量，f(x)dx叫做被积式．
A.12
B．1
3 C. 2
答案：D
D.百度文库3
3．01 (ex＋2x)dx 等于(
)
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
答案：C
4．24 1xdx 等于(
A．－2ln2
C．－ln2 答案：D
)
B．2ln2 D．ln2
5.从如图所示的长方形区域内任取一 个点M(x，y)，则点M取自阴影部分 的概率为________． 答案：13
替第 i 个小区间上的速度，因此在每个 小区间上自由落体在 Δt＝nt 内所经过的 距离，可以近似地表示为
Δsi≈g·i－n 1·t·nt (i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝i＝n1Δsi＝i＝n1g·i－n1t·nt
＝gnt22[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝12
gt21－1n.
(4)取极限
定积分与微积分基本定理
教材回扣夯实双基
重点难点
重点：了解定积分的概念，能用定义 法求简单的定积分，用微积分基本定 理求简单的定积分． 难点：用定义求定积分．
基础梳理
1．定积分的概念 (1)定积分的定义和相关概念 ①如果函数f(x)在区间[a，b]上连续， 用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b
(4)∵cosx2－sinx2
2
＝cos2x2－2cosx2sinx2＋sin2x2
＝1－sinx，且(x＋cosx)′＝1－sinx，
∴∫π20cosx2－sinx22dx＝ π
∫
02 (1－
sinx)dx π
＝
(x＋cosx)|
2 0
＝π2＋cosπ2 －(0＋cos0)＝π2－1.
【名师点评】 求函数的原函数和求函数的导数恰好 互为逆运算，注意它们在计算和求解 中的不同，避免混淆．另外，一个函 数的导数是唯一的，而其原函数则有 无穷多个，这些原函
若积分变量为 t，则abf(x)dx 与ab
f(t)dt 是否相等？ 提示：相等．定积分大小仅与被积
函数及积分区间有关，而与积分变
量无关．
课前热身
1．由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及
y 轴所围成的图形的面积为( )
A.130
B．4
16 C. 3
D．6
答案：C
2．由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为( )
数之间都相差一个常数，在利用微积 分基本定理求定积分时，只要找到被 积函数的一个原函数即可，并且一般 使用不含常数的原函数，这样有利于 计算．
考点3 定积分在物理上的应用
一点在直线上从时刻t＝0(s)开始 以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动． 求：(1)在t＝4 s时的位置； (2)在t＝4 s时运动的路程．
规范解答
例 (本题满分12分)求由抛物线y2＝ 8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围 成图形面积．
【解】法一：由题意得直线 x＋y－6＝0与抛物线y2＝8x (y>0) 的交点坐标为(2,4)， 直线x＋y－6＝0与x轴的交点坐标 为(6,0)，4分
故所求图形的面积为 S＝06 f(x)dx.
如：定积分10 1－x2dx 的几何意义
是求单位圆面积的14，所以01 1－x2
dx＝π4. 2．求曲边多边形的面积 其步骤为：
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或 直线的大致图象． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐 标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分 之和． (4)计算定积分．
s＝01 (t2－4t＋3)dt＋|13 (t2－4t＋ 3)dt|＋34 (t2－4t＋3)dt
＝01 (t2－4t＋3)dt－13 (t2－4t＋3) dt＋34 (t2－4t＋3)dt
＝4(m)， 即在 t＝4 s 时，运动的路程为 4 m.
【名师点评】 因为位置决定于位移，所以它是v(t) 在[0,4]上的定积分，而路程是位移的 绝对值之和，因此需判断在[0,4]上， 哪些时间段的位移为负．
又 f(x)＝ 8x 6－x
0＜x≤2， 2＜x≤6.
所以 S＝02 8xdx＋26 (6－x)dx
＝112(8x)
3 2
|
2 0
＋6x－12x2
|
6 0
＝136＋8
＝430.故所围成的图形的面积为430.
12 分
法二：y2＝8x
，
x＋y－6＝0
解得 x＝2，y＝4， ∴y2＝8x 与直线 x＋y－6＝0 的
例2 求下列函数的定积分．
(1) 12 1(x2＋2x＋1)dx；
(2)∫π20sin2x2dx；
(3) 12 1|3－2x|dx； (4)∫π20cosx2－sin2x2dx.
【思路分析】 (1)利用定积分的性质求值； (2)先利用三角公式将被积函数化 简再求；
3－2x，1≤x≤23
(3)由|3－2x|＝
失误防范
1．被积函数若含有绝对值号，应去绝 对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数， 则必须先分清谁是积分变量．
3．定积分式子中隐含的条件是积分上 限不小于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面 积，但要注意：面积非负，而定积分 的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确 的划分，可使面积的求解变得简捷．
【思路分析】 以物理学中的运动物体为背景， 考查定积分与路程有关的问题．
【解】 (1)在时刻 t＝4 s 时该点的 位置为
4
0
(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t04 |
＝43(m)，即在 t＝4 s 时，该点距出
发点43 m.
(2)因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0， 所以 t＝4 s 时的路程为
方法感悟
方法技巧
1．求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法)，可 操作性不强． (2)利用微积分基本定理求定积分步 骤如下：
①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (3)利用定积分的几何意义求定积分 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲 边梯形的面积求定积分．
考点探究讲练互动
考点突破
考点1 利用定义求定积分
例1 用定积分定义求自由落体的下落 距离:已知自由落体的运动速度v＝gt， 求在时间区间[0,t]内,物体下落的距离s.
【思路分析】 分割→近似代替→求和→取极限．
【解】 (1)分割 将时间区间[0，t]n 等分，分成 n 个 小区间[i－n 1t，int](i＝1,2，…，n)， 每个小区间所表示的时间
各个小区间上物体下落的距离记为 Δs1，Δs2，…，Δsn. (2)近似代替 在每个小区间上以匀速运动的路程 近似代替变速运动的路程．
在小区间[i－n 1t，ni t]上任取一时刻 ξi(i
＝1,2，…，n)，为计算方便，取 ξi
为小区间的左端点，
用时刻 ξi 的速度 v(ξi)＝g·i－n 1t近似代
数 ， 并 且 F′(x)＝ f(x)， 那 么 ab
f(x)dx＝_F_(_b_)_－__F_(_a_)__
论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿— 莱布尼兹公式．
为了方便，常把 F(b)－F(a)记成
__F_(_x_)|_ba___，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)
－F(a)．
思考探究
考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的广东高考试题来看，利 用定积分解决一些平面曲线围成的 平面图形的面积和变速运动及变力 做功等几何与
物理问题成为高考的热点，试题大多 有难度，考查学生的计算求解能力． 预测2013年广东高考仍将以定积分的 应用为主要考向，希望同学们注意理 解掌握定积分的概念、性质，掌握微 积分基本定理．
＝∫π20(12－12cosx)dx
＝12x|
π 2 0
－12sinx|
π 2 0
＝12×(π2－0)－12×(1－0)
＝π－4 2.
3
(3)12|3－2x|dx＝∫2 1|3－2x|dx＋
232
|3－2x|dx
3
＝∫2 1(3－2x)dx＋3 2 (2x－3)dx
2
＝(3x－x2)| 1＋(x2－3x)|2＝12.
(2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，
定积分abf(x)dx 的几何意义是由直线 x＝
a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围 成的曲边梯形的面积(图 1 中阴影部分)．
②一般情况下，定积分abf(x)dx 的几何意
义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 2 中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等 于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积 等于该区间上积分值的相反数．
将区间[a，b]等分成n个小区间,在 每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，
_作__和__式__i_＝n_1f_(ξ_i_)Δ__x_＝__i＝_n1__b_－n__a_f(_ξ_i)，
当n→∞时，
上述和式无限接近__某__个__常__数__，这个
常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定 积分，记作_____ab_f(_x_)d_x___
当所分时间愈短，则 Δt 愈小，sn 的值就 愈接近 s，因此，当 n→∞即 Δt→0 时，
sn 的极限就是所求的自由落体运动在时 间[0，t]内所经过的距离．
s＝ nl→im∞sn＝ nl→im∞
21gt21－n1
＝12gt2.
【名师点评】 用定义求定积分分为四个步骤， 逐步求值．
考点2 定积分的性质与微积 分基本定理
2x－3，32<x≤2
，
可分为两段定积分的和；
(4)求出被积函数cosx2－sin2x2 的
原函数，即可得解．
【解】 (1)12(x2＋2x＋1)dx ＝12x2dx＋122xdx＋121dx
＝x33|21＋x2|21＋x|21＝139.
π
(2)∫2
0sin2x2dx＝π2 ∫
1－cosx 0 2 dx
交点坐标为(2,4)，6 分
故所求图形的面积为
S＝04 6－y－18y2dy ＝6y－12y2－214y3|40＝
24－8－214×64＝430.12 分
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计算简单定积分的步骤： (1)把被积函数变为幂函数、正弦 函数、余弦函数、指数函数与常数 的和或差；
(2)利用定积分的性质把所求的定积 分化为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式求出F(x)，使得 F′(x)＝f(x)；
(4)利用牛顿－莱布尼兹公式求 出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．
(3)定积分的基本性质
①abkf(x)dx＝_k__ab_f_(x_)_dx_(_k_为__常__数_)___ ②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝__ab_f1_(_x_)d_x_±___abf_2_(x)dx ③abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中
a<c<b)．
2．微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函
即abf(x)dx＝____nl_i→m_∞__i＝_n1__b_－n__a_f(_ξ_i)____
②在abf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积
分下限与积分上限， 区间__[_a_，__b_]__叫做积分区间， _函__数__f(_x_)_叫做被积函数，___x__叫做
积分变量，f(x)dx叫做被积式．
A.12
B．1
3 C. 2
答案：D
D.百度文库3
3．01 (ex＋2x)dx 等于(
)
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
答案：C
4．24 1xdx 等于(
A．－2ln2
C．－ln2 答案：D
)
B．2ln2 D．ln2
5.从如图所示的长方形区域内任取一 个点M(x，y)，则点M取自阴影部分 的概率为________． 答案：13
替第 i 个小区间上的速度，因此在每个 小区间上自由落体在 Δt＝nt 内所经过的 距离，可以近似地表示为
Δsi≈g·i－n 1·t·nt (i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝i＝n1Δsi＝i＝n1g·i－n1t·nt
＝gnt22[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝12
gt21－1n.
(4)取极限
定积分与微积分基本定理
教材回扣夯实双基
重点难点
重点：了解定积分的概念，能用定义 法求简单的定积分，用微积分基本定 理求简单的定积分． 难点：用定义求定积分．
基础梳理
1．定积分的概念 (1)定积分的定义和相关概念 ①如果函数f(x)在区间[a，b]上连续， 用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b
(4)∵cosx2－sinx2
2
＝cos2x2－2cosx2sinx2＋sin2x2
＝1－sinx，且(x＋cosx)′＝1－sinx，
∴∫π20cosx2－sinx22dx＝ π
∫
02 (1－
sinx)dx π
＝
(x＋cosx)|
2 0
＝π2＋cosπ2 －(0＋cos0)＝π2－1.
【名师点评】 求函数的原函数和求函数的导数恰好 互为逆运算，注意它们在计算和求解 中的不同，避免混淆．另外，一个函 数的导数是唯一的，而其原函数则有 无穷多个，这些原函
若积分变量为 t，则abf(x)dx 与ab
f(t)dt 是否相等？ 提示：相等．定积分大小仅与被积
函数及积分区间有关，而与积分变
量无关．
课前热身
1．由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及
y 轴所围成的图形的面积为( )
A.130
B．4
16 C. 3
D．6
答案：C
2．由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为( )
数之间都相差一个常数，在利用微积 分基本定理求定积分时，只要找到被 积函数的一个原函数即可，并且一般 使用不含常数的原函数，这样有利于 计算．
考点3 定积分在物理上的应用
一点在直线上从时刻t＝0(s)开始 以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动． 求：(1)在t＝4 s时的位置； (2)在t＝4 s时运动的路程．
规范解答
例 (本题满分12分)求由抛物线y2＝ 8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围 成图形面积．
【解】法一：由题意得直线 x＋y－6＝0与抛物线y2＝8x (y>0) 的交点坐标为(2,4)， 直线x＋y－6＝0与x轴的交点坐标 为(6,0)，4分
故所求图形的面积为 S＝06 f(x)dx.
如：定积分10 1－x2dx 的几何意义
是求单位圆面积的14，所以01 1－x2
dx＝π4. 2．求曲边多边形的面积 其步骤为：
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或 直线的大致图象． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐 标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分 之和． (4)计算定积分．
s＝01 (t2－4t＋3)dt＋|13 (t2－4t＋ 3)dt|＋34 (t2－4t＋3)dt
＝01 (t2－4t＋3)dt－13 (t2－4t＋3) dt＋34 (t2－4t＋3)dt
＝4(m)， 即在 t＝4 s 时，运动的路程为 4 m.
【名师点评】 因为位置决定于位移，所以它是v(t) 在[0,4]上的定积分，而路程是位移的 绝对值之和，因此需判断在[0,4]上， 哪些时间段的位移为负．
又 f(x)＝ 8x 6－x
0＜x≤2， 2＜x≤6.
所以 S＝02 8xdx＋26 (6－x)dx
＝112(8x)
3 2
|
2 0
＋6x－12x2
|
6 0
＝136＋8
＝430.故所围成的图形的面积为430.
12 分
法二：y2＝8x
，
x＋y－6＝0
解得 x＝2，y＝4， ∴y2＝8x 与直线 x＋y－6＝0 的
例2 求下列函数的定积分．
(1) 12 1(x2＋2x＋1)dx；
(2)∫π20sin2x2dx；
(3) 12 1|3－2x|dx； (4)∫π20cosx2－sin2x2dx.
【思路分析】 (1)利用定积分的性质求值； (2)先利用三角公式将被积函数化 简再求；
3－2x，1≤x≤23
(3)由|3－2x|＝
失误防范
1．被积函数若含有绝对值号，应去绝 对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数， 则必须先分清谁是积分变量．
3．定积分式子中隐含的条件是积分上 限不小于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面 积，但要注意：面积非负，而定积分 的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确 的划分，可使面积的求解变得简捷．
【思路分析】 以物理学中的运动物体为背景， 考查定积分与路程有关的问题．
【解】 (1)在时刻 t＝4 s 时该点的 位置为
4
0
(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t04 |
＝43(m)，即在 t＝4 s 时，该点距出
发点43 m.
(2)因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0， 所以 t＝4 s 时的路程为
方法感悟
方法技巧
1．求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法)，可 操作性不强． (2)利用微积分基本定理求定积分步 骤如下：
①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (3)利用定积分的几何意义求定积分 当曲边梯形面积易求时，可通过求曲 边梯形的面积求定积分．
考点探究讲练互动
考点突破
考点1 利用定义求定积分
例1 用定积分定义求自由落体的下落 距离:已知自由落体的运动速度v＝gt， 求在时间区间[0,t]内,物体下落的距离s.
【思路分析】 分割→近似代替→求和→取极限．
【解】 (1)分割 将时间区间[0，t]n 等分，分成 n 个 小区间[i－n 1t，int](i＝1,2，…，n)， 每个小区间所表示的时间