图解微分法和图解积分法

图解微分法和图解积分法

一些在数学上有微积分关系的物理量，常可用图解微分法和图解积分法进行研究。例如已知机构的位移曲线后，可不必通过机构各个位置的速度图解和加速度图解，直接用图解微分法作出相应的速度曲线和加速度曲线。

一．图解微分法

现以由位移曲线求速度为例，进行说明。

设有一位移曲线()t s s =，如图1-1所示，纵坐标y 代表位移s ，所用的比例尺为⎪⎭

⎫ ⎝⎛mm m s μ，横坐标x 代表时间t ，所用的比例尺为⎪⎭

⎫ ⎝⎛m m s t μ。求位移曲线上某点Ｃ的速度是，如能作出该点的切线t-t ，则所作切线的斜率即该点的速度。由于切线不容易准确作出，在工程上常用邻近两点弦线的斜率来作为切线的斜率。在Ｃ点左右做两条离开Ｃ点有等距的纵坐标线与位移曲线相交于l 及n 点，由于弦线ln 与中点Ｃ的切线接近平行，所以Ｃ点的速度可表示为

x

y dx dy dt ds v t S t S ∆∆===μμμμ （1-1）

图1-1

一般Δx 取得最小时，弦线的斜率就和中点切线的斜率越为接近，因而算出速度的精确度也较高。为了节省计算和作图的工作量，一般常取各个时间间隔的Δx 相等，于是可将上式中的()x t s ∆μμ/合成为一个常数K ，从而只要依次量出各个时间间隔的Δy ，就可算出相应各时间间隔中点的速度，即

()y K v ∆= （1-2）

例如在图1-1中C 、D 点的速度分别等于K (mn ）、K (pq )。速度算出后，再选择适当的速度比例尺μｖ进行换算，即可作出速度曲线。

为了更简捷地作出速度曲线，可将式（1-1）改写成包含弦线与横坐标轴倾角α的形式：

αμαμμαμμtan tan tan H H H

dt ds v v t S t S =⋅=== (1-3) 式中 ()

mm s m H t s v μμμ/= (1-4) 如图1-1所示，在速度曲线的横坐标轴上，由原点O 向左取一定长度H ，得p 点，作射线pc//ln ,于是线段Oc =H tan α，这样C 点的速度可直接用线段Oc 表示，但此时所作速度比例尺μｖ并非任取，而是由式（1-4）导出。

图1-2所示为上述图解微分法在作机构速度线图中的应用。由位移曲线)(t s s =作速度曲线)(t v v =的步骤如下：

图1-2

1）将)(t s s =曲线的横坐标分成若干等分（图中为十二等分），过这些等分点作纵坐标线与曲线相交的点1‘、2‘、3’、…；

2）过点0、1‘、2‘、3’、…作弦线01‘、1‘2‘、2‘3’、…；

3）在速度曲线的横坐标轴上，自原点O 向左选取一段等于Hmm 的合适距离，得p 点；

4）过p 点引平行于各弦线01‘、1‘2‘、2‘3’、…的射线，它们与纵坐标轴相交于1、2、3、…等点；

5）将所得1、2、3、…各点分别投影到相应的纵坐标线上，得到一系列长方形（图中用阴影线表示）；

6）过坐标原点O 及各长方形顶边中点a 、b 、c 、…等连成圆滑曲线，即得所求的速度曲线)(t v v =。

二．图解积分法

图解积分法是用作图方法求出待积曲线下一个个区间的面积，它也是图解微分的逆过程。仍以图1-2为例，由速度曲线)(t v v =求位移曲线)(t s s =。将)(t v v =曲线的横坐标分成若干等分，并在曲线上定出各等分的中点a 、b 、c 、…，把这些中点投影到纵坐标轴上，得1、2、3、…等点。由横坐标轴上距原点O 为定长H 的p 点连直线p 1、p 2、p 3、…。接着在位移图上，自原点O 开始，按01、12、23、…等区间，依次作与射线p 1、p 2、p 3、…分别平行的线段01‘、1‘2‘、2‘3’、…等。将所得0、1‘、2‘、3’、…各点连成圆滑曲线，即为所求的位移曲线)(t s s =。这样作图的位移比例尺μｓ可由式（1-4）算出，即

mm

m H

t v s μμμ= (1-5) 图解微分和图解积分，虽然做法简单，但是由于作图误差，不够精确。下列两个数学关系值得在作图时遵守：

1） 原函数曲线上有最大或最小值的点，必与导函数曲线上为零的点相对应；

2） 原函数曲线上的转折点，必与导函数曲线上最大或最小值的点相对应。