2012年高考第一轮复习集合与函数综合测试卷两套

合集下载

2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合-学生版

2012届高考数学第一轮复习精品试题：集合§1.1 集合的含义及其表示经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件? 当堂练习1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A ．某班个子较高的同学B ．长寿的人CD ．倒数等于它本身的数2下面四个命题正确的是（）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程2210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合3．下面四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若 -a ∉Z ，则a ∈Z ；（3）所有的正实数组成集合R+；（4）由很小的数可组成集合A ；其中正确的命题有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．下面四个命题：（1）零属于空集；（2）方程x2-3x+5=0的解集是空集；（3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集；（4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集；其中正确的命题有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4 5．平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A ． {x,y 且0,0x y <>} B ． {(x,y)0,0x y <>}C. {(x,y)0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>}6．用符号∈或∉填空：0__________{0}， a__________{a}， π__________Q ， 21__________Z ，－1__________R ，0__________N ， 0 Φ． 7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x =}．8．用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N=-+∈∈}为．9．当a 满足时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集．10．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x2－x}中的x 不能取哪些数值？12．已知集合A ＝{x ∈N|126x －∈N }，试用列举法表示集合A ．13.已知集合A={2210,,x ax x a R x R++=∈∈}.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则11Aa∈-,证明：（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素；（2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。

(完整word)2012届高三数学一轮复习综合试卷3

高考综合演练3、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分）1A . 21C.45.如图，若是长方体ABCD ABQQ 1被平面EFCH 截去几何体EFGHBQ 后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH// A 1 D 1 , 则下列结论中不正确的是（）-厂「\；A. EH//FGB. 四边形EFGH 是矩形> V F f | I1 •若集合 X (A) X 22X(B)，则A B 是X 2X (C) (D)yXy X Da 的图象，可能正确的是（D ）则a 1°丄3 n N a nA . 28B . 334.已知非零向量C.33D . 28|a|b ，若a +2b 与a -2b 互相垂直,1b 1等于(B )B . 2D . 46•二项式（’7x 3'2^°的展开式中所得的x 的多项式中，系数为有理数的项共有（）A 、4项B 5项C 、 6项D 7项7•将7个市三好学生名额分配给 5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有（）&某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为 70分，方差为102,后来发现2 80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均成绩5C .4W x33D .— 2 W x w 4 或 4 wx 212.已知随机变量2服从正态分布N(0,)若P( >2)=0.023，贝y P(-2 2(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977、填空题（本大题共 4个小题，每小题 4分，共16 分）Tn13.设｛an ｝是等比数列，公比q亠,sn 为｛an ｝的前n 项和•记A . 25B. 35C.60 D . 120名同学的成绩有误，甲实得和方差分别为A . 70, 90B . 70, 114 C. 65, 90D . 65, 114X9.曲线y x 2在点 1, 1处的切线方程为（ (A )y 2x 1(B )y 2x 1 (C ) y 2x 3(D ) y 2x 210.函数 f(x)2sin x cosx 是( )（A ）最小正周期为 2 n 的奇函数(B ) 最小正周期为2n 的偶函数（C ）最小正周期为n的奇函数 (D )最小正周期为n 的偶函数x11•设 232，且 1 sin 2x =5^x+cosx,则()A . 0 W x <n3B .--4 W x W17S n S 2n,nan 1N ・设Tn0)为数列｛Tn｝的最大项，则n°=14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为 P ,PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形•若PF1 10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是15.已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ____________________ .16 .设极点与原点重合，极轴与X 轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：x 2 2coscos( ) m3，曲线C2参数方程为：y 2sin (9为参数)，若两曲线有公共点，则实数 m 的取值范围是三、解答题(本大题共6个小题，总分74分)u _ r 亿若向量 m W 3sin X,0)n (cos X, sin x)(0)，在函数b UT r一 X [0 — ]时 f (X )f(x) m (m n) t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4 '且当 '3 '的最大值为1。

2012届高考数学一轮复习测试题及答案(一)

第一章集合与简易逻辑课时训练1集合的概念与运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010四川成都模拟，1)已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（）A.2个B.1个C.4个D.3个答案：D解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3. 2.(2010江苏苏州一模，1)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（）A.{1}B.{0，1}C.{0，1，2，3}D.{0，1，2，3，4}答案：A解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.3.(2010河南新乡一模，1)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N 等于（）A.{（1，1），（-1，1）}B.{1}C.［0，1］D.［0，2］答案：D解析：∵M=［0，+∞］，N=［-2，2］，∴M∩N=［0，2］.4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A ∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（）A.{0}B.{3}C.{0，3}D.{0，1，2，3}答案：C解析：依题意x∈A∪B,但x∉A∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（）A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定答案：C解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=a x-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=∅，则m的范围是（）A.m≥-1B.m>-1C.m≤-1D.m<-1答案：C解析：M={x|x<m},N={y|y>-1}，又M∩N=∅，则m≤-1.7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（）A.{（-1，2）}B.{（-1，2），（3，10）}C.∅D.{(1,2),(-1,2)}答案：B解析：M={a |a =(λ1,λ12+1),λ1∈R }，N={a |a =(1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R },设a ∈M ∩N,则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=++=.1,11,3,461,21212122121λλλλλλλλ或即故a =（3，10）或（-1，2）.二、填空题（每小题5分，共15分）8.下列各式：①2006⊆{x|x ≤2007};②2007∈{x|x ≤2007};③{2007}{x|x ≤2007};④∅∈{x|x<2007},其中正确的是____________. 答案：②③解析：①应为2006∈{x|x ≤2007};④应为∅{x|x<2007}.9.设全集U={x|0<x<6,x ∈N },A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2+px+12=0},(A)∪B={1,3,4,5},则集合A=_____________B=_______________. 答案：{2，3}{3，4}解析：U={1，2，3，4，5}，由2∉{1,3,4,5}知2∈A ，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B ，∴p=-7,B={3,4}.10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A ∩B=B ，则所有实数m 的值组成的集合是_______.答案：{0，1，-21}解析：A ∩B=B ⇒B ⊆A,故B 为∅或{-1}或{2}.当B=∅时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-21.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010浙江杭州二中模拟，15)已知集合A={x|x 2-3x+2=0},集合B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A ，求实数a 的值.解析：A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}，A ∪B=A ⇒B ⊆A ；B={x|x 2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；则有a-1=2⇒a=3或a-1=1⇒a=2.故实数a 的值为2或3.12.设函数f(x)=log 2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.（1）求集合M 、N ；（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.解析：(1)由2x-3>0得x>23,故M={x|x>23},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.(2)M ∩N={x|x>3}，M ∪N={x|x<1或x>23}. ∵N={x|1≤x ≤3},∴(N)∩M={x|23<x ≤3}.13.已知集合A={x|x 2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A B,求a 的取值范围；（2）若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(3)若A ∩B={x|3<x<4},求a 的取值范围.解析：A={x|2<x<4},当a>0时，B={x|a<x<3a};当a=0时，B=∅;当a<0时，B={x|3a<x<a}.(1)若A B ，则a>0且⎩⎨⎧≥≤,43,2a a 即34≤a ≤2.(2)若A ∩B=∅，则a ≤0满足;当a>0时，则3a ≤2或a ≥4.∴a 的取值范围为a ≤32或a ≥4.(3)若A ∩B={x|3<x<4}，当a>0时,则a>3；当a ≤0时不满足.∴a 的取值范围是a>3.14.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则a a -+11∈A. (1)若a=2,求出A 中其他所有元素.（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a ∈A,再求出A 中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2∈A,得2121-+=-3∈A. 又由-3∈A ，得21)3(1)3(1-=---+∈A. 再由-21∈A ，得31)21(1)21(1=---+∈A.而31∈A 时，311311-+=2∈A. 故A 中元素为2，-3，-21，31. （2）0不是A 的元素.若0∈A ，则0101-+=1∈A ，而当1∈A 时，aa -+11不存在，故0不是A 的元素.取a=3,可得A={3,-2,-21,31}. (3)猜想：①A 中没有元素-1，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：①由上题，0、1∉A ，若0∈A ，则由a a -+11=0,得a=-1. 而当aa -+11=-1时，a 不存在，故-1∉A,A 中不可能有元素-1，0，1. ②设a 1∈A,则a 1∈A ⇒a 2=1111a a -+∈A ⇒a 3=2211a a -+=-11a ∈A ⇒a 4=3311a a -+=1111+-a a ∈A ⇒a 5=4411a a -+=a 1∈A. 又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素：a 1,a 2,a 3,a 4,且a 1a 3=-1,a 2a 4=-1,显然a 1≠a 3,a 2≠a 4.若a 1=a 2,即a 1=1111a a -+，得a 12+1=0, 此方程无解；同理，若a 1=a 4,即a 1=1111a a +-,此方程也无实数解. 故a 1≠a 2,a 1≠a 4.∴A 中有4个元素.。

3mjt-2012届高三数学一轮复习：综合试卷1

高考综合演练1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合21{|0}2x A x x +=-…，{|||1}B x x =<，则A B =（）A.1{|1}2x x <… B.{|12}x x -<… C.{|121}x x x -<<≠且 D.{|12}x x -<<2．如果命题“)(q p 或⌝”是假命题，则正确的是（）A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 中至少有一个为真命题C ．p 、q 均为假命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题3．要得到函数)2(π+=x f y 的图象，只须将函数)(x f y =的图象（） A ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变21世纪教育网D ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变4．定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗)()(b a b b a ab a ，则函数x x f 21)(⊗=的图像大致为（）.A.B .C.D5．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ）6．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是（）A. )2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D. ),2(+∞7．由直线12x =，x=2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（）A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 28．函数1)4(cos 22--=πx y 是（）A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 21世纪教育网C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数9．已知等差数列nn S n S a a 项和则前项的和前中,357,11,}{71==中（）A ．前6项和最大B ．前7项和最大C ．前6项和最小D ．前7项和最小10．下列四个命题中，真命题的个数为( )（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若α∈M ，β∈M ，l =⋂βα，则l M ∈；（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。

2012高三数学一轮复习阶段性测试题(2)：函数1(2021年整理)

2012高三数学一轮复习阶段性测试题(2)：函数1(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2012高三数学一轮复习阶段性测试题(2)：函数1(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2012高三数学一轮复习阶段性测试题(2)：函数1(word版可编辑修改)的全部内容。

阶段性测试题二(函数)本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分.考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

）1．(文）(2011·山东日照调研）函数f（x）＝ln(x＋1）－错误!(x〉0)的零点所在的大致区间是( ）A．(0，1）B．(1,2)C．（2，e) D．(3，4）[答案] B[解析] f(1）＝ln2－2<0，f（2)＝ln3－1〉0，又y＝ln（x＋1)是增函数，y＝－错误!在（0,＋∞)上也是增函数，∴f(x）在(0,＋∞）上是增函数，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．(理）（2011·宁夏银川一中检测）已知a是f（x）＝2x－log错误!x的零点，若0<x0〈a,则f(x0）的值满足（)A．f(x0)＝0 B．f(x0）〈0C．f(x0)>0 D．f（x0)的符号不确定［答案] B[解析］∵函数f（x)＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，且这个函数有零点，∴这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性知，在(0，a）上这个函数的函数值小于零，即f(x0）〈0.[点评］在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点,并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间,在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．2．（文)(2011·辽宁丹东四校联考)若关于x的方程log错误!x＝错误!在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（)A．(0，1) B．(1，2)C．（－∞，1)∪(2,＋∞）D．(－∞，0）∪(1，＋∞)[答案] A[分析］要使方程有解,只要错误!在函数y＝log错误!x(0〈x〈1）的值域内，即错误!>0.［解析] ∵x∈(0,1)，∴log错误!x〉0，∴错误!〉0,∴0<m<1。

2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数-学生版

2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数§2.1.1 函数的概念和图象经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：（1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1．下列四组函数中,表示同一函数的是（） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（）A ．5[,)4+∞B ．5(,]4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆++∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x=∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是．10．函数2522y x x =-+的值域是．11．求下列函数的定义域： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ．（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；（2）求f[f(3)]的值．§2.1.2 函数的简单性质经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于（）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数1()x f x -=是（）A ．非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ．偶函数D ．奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是．7．已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是(,)22y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。

2012年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷[全套]

解析 A＝{x|－a≤x≤a}，根据题意可知 1≤a＜2. 10．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则 A*B 中元素的个数为________．答案 10 解析由题知，A∩B＝{0,1}，A∪B{－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，
［精品］2012 年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷解析版［全套］
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共 10 个，即 A*B 中的元素有 10 个． 11．设集合 A、B 都是 U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，且 A∩B＝∅，则 A＝________. 答案 {3,4}
2x－1>0 2x－1<0 或 1－|x|<0 1－|x|>0
)
1 B．x>1 或－1<x< 2 1 D．x<－1 或 x> 2
1 1 x>2 x<2 ∴ 或 x>1或x<－1 －1<x<1 1 ∴x>1 或－1<x< ，故选 B. 2 7．(2011· 徐州质检)已知集合 M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 M ∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则( A．a＝2009，b＝－2010 C．a＝2009，b＝2010 答案 D 解析化简得 M＝{x|x<－1 或 x>2009}，由 M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知 N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的两个根．所以 b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即 a＝－2009. 8．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集为 ( ) 1 A．{x|－1<x< } 2 C．{x|－2<x<1} 答案 A 解析由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根． 1 B．{x|x<－1 或 x> } 2 D．{x|x<－2 或 x>1} ) B．a＝－2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010

数学北师大高考第一二伦复习,各地2012年高考真题精品包-458

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：集合与函数的概念本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]【答案】A2．下列四组中的f(x)，g(x)，表示同一个函数的是( )．A ．f(x)＝1，g(x)＝x 0B ．f(x)＝x －1，g(x)＝x x 2－1C ．f(x)＝x 2，g(x)＝(x )4D ．f(x)＝x 3，g(x)＝39x【答案】D3．()y f x =的图象2()log (0)g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为( )A ．21()(0)log f x x x => B ．2()log ()(0)f x x x =-<C ．2()log (0)f x x x =->D ．2()log ()(0)f x x x =--<【答案】D4．已知A ={x |512x -<-},若B ={x |x +4<-x },则集合A B ð等于( )A ．{x |23x -≤<}B ．{x |23x -<≤}C ．{x |-2<x <3}D ．{x |23x -≤≤}【答案】A5．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x －2，集合M ＝{x ∈R|f (g (x ))>0|，则N ＝{x ∈R|g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)【答案】D6．设非空集合M 、N 满足：M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，P ＝{x |f (x )g (x )＝0}，则集合P 恒满足的关系为( )A ．P ＝M ∪NB ．P ⊆(M ∪N )C ．P ≠D ．P ＝【答案】B7．集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( )A ．(1,2)B ．1,2)C ．(1,2D ．1,2【答案】C8．已知集合{}{}/2,/4,,A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，则A B =( ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．｛0, 2｝D ．｛0，1, 2｝【答案】D9．设全集{}{})1(1,12,)2(x n y x B x A R U x x -==<==-，则下图中阴影部分表示的集合为 ( ）A ．{}1≥x xB ．{}10≤<x xC ．{}21<≤x xD ．{}1≤x x【答案】 C10．设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝() A ．(1,2) B ．1,2C ．1,2)D ．(1,2【答案】D11．已知集合M ＝{x |x ＋1≥0}，集合N ＝{x |x 2＋x －2<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1≤x <1}【答案】D12．集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I =（）A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知定义在R 上的函数则= .【答案】14．已知集合}{12A x x =-<<，集合}{31B x x =-<≤，则B A = .【答案】 {|11}x x -<≤ 15．给定函数①y ＝12x ，②y ＝()12log 1x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．【答案】②③16．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a<12x －a>2的解集为A.(1)集合B ＝(1,3)，若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)满足不等式组的整数解仅有2，求a 的取值范围．【答案】(1)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a<12x －a>2得⎩⎪⎨⎪⎧ x<a ＋1x>a ＋22，当a ＋1≤a ＋22，即a ≤0时A ＝∅，满足A ⊆B. 当a ＋1>a ＋22，即a>0时，A ＝(a ＋22，a ＋1)，A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≤3a ＋22≥1，解得0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综述上面情况，a 的取值范围是a ≤2.(2)满足不等式组的整数解仅有2，A ≠∅，所以a>0且⎩⎪⎨⎪⎧ 2<a ＋1≤31≤a ＋22<2，解得1<a<2，所以a 的取值范围是(1,2)．18．已知27{|9},{|0},{||2|4}1x A x x B x C x x x -=>=≥=-<+ (1);(2)()U A B A B C ⋂⋂⋂求求ð。

2012年高考第一轮复习数学2.12函数的综合问题

2.12 函数的综合问题●知识梳理函数的综合应用主要体现在以下几方面：1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.3.函数与实际应用问题的综合. ●点击双基1.已知函数f （x ）=lg （2x －b ）（b 为常数），若x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则A.b ≤1B.b ＜1C.b ≥1D.b =1解析：当x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0，从而2x －b ≥1，即b ≤2x －1.而x ∈［1，+∞）时，2x －1单调增加，∴b ≤2－1=1. 答案：A2.（2003年郑州市质检题）若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点A （0，3）和B （3，－1），则不等式|f （x +1）－1|＜2的解集是___________________.解析：由|f （x +1）－1|＜2得－2＜f （x +1）－1＜2，即－1＜f （x +1）＜3. 又f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象过点A （0，3），B （3，－1）， ∴f （3）＜f （x +1）＜f （0）. ∴0＜x +1＜3，－1＜x ＜2. 答案：（－1，2） ●典例剖析【例1】取第一象限内的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），使1，x 1，x 2，2依次成等差数列，1，y 1，y 2，2依次成等比数列，则点P 1、P 2与射线l :y =x （x ＞0）的关系为A.点P 1、P 2都在l 的上方B.点P 1、P 2都在l 上C.点P 1在l 的下方，P 2在l 的上方D.点P 1、P 2都在l 的下方剖析：x 1=31+1=34，x 2=1+32=35，y 1=1×32=32，y 2=34，∵y 1＜x 1，y 2＜x 2， ∴P 1、P 2都在l 的下方. 答案：D【例2】已知f （x ）是R 上的偶函数，且f （2）=0，g （x ）是R 上的奇函数，且对于x ∈R ，都有g （x ）=f （x －1），求f （2002）的值.解：由g （x ）=f （x －1），x ∈R ，得f （x ）=g （x +1）.又f （－x ）=f （x ），g （－x ）=－g （x ），故有f （x ）=f （－x ）=g （－x +1）=－g （x －1）=－f （x －2）=－f （2－x ）=－g （3－x ）=g （x －3）=f （x －4），也即f （x +4）=f （x ），x ∈R .∴f （x ）为周期函数，其周期T =4.∴f （2002）=f （4×500＋2）＝f （2）=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例3】函数f （x ）=mx+41（m ＞0），x 1、x 2∈R ，当x 1+x 2=1时，f （x 1）+f （x 2）=21. （1）求m 的值；（2）数列{a n }，已知a n =f （0）+f （n 1）+f （n 2）+…+f （nn 1-）+f （1），求a n . 解：（1）由f （x 1）+f （x 2）=21，得m x +141+m x +241=21，∴41x +42x +2m =21［421x x ++m （41x +42x ）+m 2］.∵x 1+x 2=1，∴（2－m ）（41x +42x ）=（m －2）2. ∴41x +42x =2－m 或2－m =0.∵41x +42x ≥22144x x ⋅=2214x x +=4，而m ＞0时2－m ＜2，∴41x +42x ≠2－m . ∴m =2.（2）∵a n =f （0）+f （n 1）+f （n 2）+…+f （n n 1-）+f （1），∴a n =f （1）+f （nn 1-）+ f （nn 2-）+…+f （n 1）+f （0）.∴2a n =［f （0）+f （1）］+［f （n 1）+f （n n 1-）］+…+［f （1）+f （0）］=21+21+…+21=21+n .∴a n =41+n .深化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】函数f （x ）的定义域为R ，且对任意x 、y ∈R ，有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=－2.（1）证明f （x ）是奇函数；（2）证明f （x ）在R 上是减函数；（3）求f （x ）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由f （x +y ）=f （x ）+f （y ），得f ［x +（－x ）］=f （x ）+f （－x ），∴f （x ）+ f （－x ）=f （0）.又f （0+0）=f （0）+f （0），∴f （0）=0.从而有f （x ）+f （－x ）=0.∴f （－x ）=－f （x ）.∴f （x ）是奇函数.（2）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）－f ［x 1+（x 2－x 1）］=f （x 1）－［f （x 1）+f （x 2－x 1）］=－f （x 2－x 1）.由x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f （x 2－x 1）＜0.∴－f （x 2－x 1）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），从而f （x ）在R 上是减函数.（3）解：由于f （x ）在R 上是减函数，故f （x ）在［－3，3］上的最大值是f （－3），最小值是f （3）.由f （1）=－2，得f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）=f （1）+f （1+1）=f （1）+f （1）+f （1）=3f （1）=3×（－2）=－6，f （－3）=－f （3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.深化拓展对于任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，试求m 的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得⎩⎨⎧=++=++.4632,322c b a c b a ∴b =2+2c ，a =－1－6c .又由x *m =ax +bm +cmx =x 对于任意实数x 恒成立，∴⎩⎨⎧==+.0,1bm cm a ∴b =0=2+2c .∴c =－1.∴（－1－6c ）+cm =1. ∴－1+6－m =1.∴m =4. 答案：4.●闯关训练夯实基础1.已知y =f （x ）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f －1（x ）的值域是［1，3］. 答案：C2.（2003年郑州市质检题）关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是___________________.解析：作函数y =|x 2－4x +3|的图象，如下图.xy O 1 2 3 -112 3 由图象知直线y =1与y =|x 2－4x +3|的图象有三个交点，即方程|x 2－4x +3|=1也就是方程|x 2－4x +3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a =1.答案：13.（2003年春季北京）若存在常数p ＞0，使得函数f （x ）满足f （px ）=f （px －2p）（x ∈R ），则f （x ）的一个正周期为__________.解析：由f （px ）=f （px －2p ），令px =u ，f （u ）=f （u －2p ）=f ［（u +2p ）－2p ］，∴T =2p 或2p 的整数倍. 答案：2p （或2p的整数倍）4.已知关于x 的方程sin 2x －2sin x －a =0有实数解，求a 的取值范围. 解：a =sin 2x －2sin x =（sin x －1）2－1. ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤（sin x －1）2≤4. ∴a 的范围是［－1，3］.5.（2004年上海，19）记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）. （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）.∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2.而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2.故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［21，1）.培养能力6.（理）已知二次函数f （x ）=x 2+bx +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f （x ）存在，∵函数图象的对称轴是x =－2b，又b ≥0，∴－2b≤0.①当－21＜－2b≤0，即0≤b ＜1时，函数x =－2b有最小值－1，则⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-1,0011240)1(1)2(22c b c b c b b f b f 或⎩⎨⎧==3,4c b （舍去）. ②当－1＜－2b ≤－21，即1≤b ＜2时，则 ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0,20)0(1)2(c b f b f （舍去）或⎩⎨⎧=-=0,2c b （舍去）.③当－2b≤－1，即b ≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则⎩⎨⎧=-=-,0)0(,1)1(f f 解得⎩⎨⎧==.0,2c b综上所述，符合条件的函数有两个，f （x ）=x 2－1或f （x ）=x 2+2x .（文）已知二次函数f （x ）=x 2+（b +1）x +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是x =－21+b ，又b ≥0，∴－21+b ≤－21. 设符合条件的f （x ）存在，①当－21+b ≤－1时，即b ≥1时，函数f （x ）在［－1，0］上单调递增，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=++-⇒⎩⎨⎧=-=-.0,101)1(10)0(1)1(c b c c b f f ②当－1＜－21+b ≤－21，即0≤b ＜1时，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0)0(1)21(f b f ⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-+0,1012)1()21(22c b c c b b （舍去）. 综上所述，符合条件的函数为f （x ）=x 2+2x .7.（2005年春季上海，21）已知函数f （x ）=x +xa的定义域为（0，+∞），且f （2）=2+22.设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y =x 和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N.（1）求a 的值.（2）问：|PM |·|PN |是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. 解：（1）∵f （2）=2+2a=2+22，∴a =2.（2）设点P 的坐标为（x 0，y 0），则有y 0=x 0+2x ，x 0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM |=2||00y x -=1x ，|PN |=x 0，∴有|PM |·|PN |=1，即|PM |·|PN |为定值，这个值为1. （3）由题意可设M （t ，t ），可知N （0，y 0）. ∵PM 与直线y =x 垂直，∴k PM ·1=－1，即t x t y --00=－1.解得t =21（x 0+y 0）. 又y 0=x 0+2x ，∴t =x 0+22x . ∴S △OPM =221x +22，S △OPN =21x 02+22. ∴S 四边形OMPN =S △OPM +S △OPN =21（x 02+201x ）+2≥1+2. 当且仅当x 0=1时，等号成立.此时四边形OMPN 的面积有最小值1+2.探究创新8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b ）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2＞V 1.x(a ) (b )解：（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ，∴V 1=（4－2x ）2·x =4（x 3－4x 2+4x ）（0＜x ＜2）. ∴V 1′=4（3x 2－8x +4）. 令V 1′=0，得x 1=32，x 2=2（舍去）. 而V 1′=12（x －32）（x －2），又当x ＜32时，V 1′＞0；当32＜x ＜2时，V 1′＜0，∴当x =32时，V 1取最大值27128.（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V 2=3×2×1=6，显然V 2＞V 1.故第二种方案符合要求.23 114①　②③●思悟小结1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.●教师下载中心教学点睛数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.拓展题例【例1】设f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a 、b ∈［－1，1］，当a +b ≠0时，都有ba b f a f ++)()(＞0.（1）若a ＞b ，比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）解不等式f （x －21）＜f （x －41）；（3）记P ={x |y =f （x －c ）}，Q ={x |y =f （x －c 2）}，且P ∩Q =∅，求c 的取值范围. 解：设－1≤x 1＜x 2≤1，则x 1－x 2≠0，∴)()()(2121x x x f x f -+-+＞0.∵x 1－x 2＜0，∴f （x 1）+f （－x 2）＜0. ∴f （x 1）＜－f （－x 2）.又f （x ）是奇函数，∴f （－x 2）=－f （x 2）. ∴f （x 1）＜f （x 2）. ∴f （x ）是增函数.（1）∵a ＞b ，∴f （a ）＞f （b ）. （2）由f （x －21）＜f （x －41），得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ∴－21≤x ≤45. ∴不等式的解集为{x |－21≤x ≤45}. （3）由－1≤x －c ≤1，得－1+c ≤x ≤1+c ，∴P ={x |－1+c ≤x ≤1+c }.由－1≤x －c 2≤1，得－1+c 2≤x ≤1+c 2， ∴Q ={x |－1+c 2≤x ≤1+c 2}. ∵P ∩Q =∅，∴1+c ＜－1+c 2或－1+c ＞1+c 2，解得c ＞2或c ＜－1.【例2】（2003年南昌市高三第一次质量调研测试题）已知函数f （x ）的图象与函数h （x ）=x +x1+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求f （x ）的解析式；（2）（文）若g （x ）=f （x ）·x +ax ，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.（理）若g （x ）=f （x ）+xa，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.解：（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ，y ），点（x ，y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ，2－y ）在h （x ）的图象上.∴2－y =－x +x -1+2.∴y =x +x 1，即f （x ）=x +x1.（2）（文）g （x ）=（x +x1）·x +ax ，即g （x ）=x 2+ax +1.g （x ）在（0，2］上递减⇒－2a≥2，∴a ≤－4.（理）g （x ）=x +x a 1+.∵g ′（x ）=1－21xa +，g （x ）在（0，2］上递减，∴1－21xa +≤0在x ∈（0，2］时恒成立，即a ≥x 2－1在x ∈（0，2］时恒成立. ∵x ∈（0，2］时，（x 2－1）max =3， ∴a ≥3.【例3】（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）在4月份（共30天），有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量（单位：件）f （n ）关于时间n （1≤n ≤30，n ∈N *）的函数关系如下图所示，其中函数f （n ）图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m ，且第m 天日销售量最大.（1）求f （n ）的表达式，及前m 天的销售总数；（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.解：（1）由图形知，当1≤n ≤m 且n ∈N *时，f （n ）=5n －3. 由f （m ）=57，得m =12.∴f （n ）=⎩⎨⎧+--93335n n .,3012,,121**N N ∈≤<∈≤≤n n n n 且且前12天的销售总量为5（1+2+3+…+12）－3×12=354件.（2）第13天的销售量为f （13）=－3×13+93=54件，而354+54＞400， ∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行. 设第n 天的日销售量开始低于30件（12＜n ≤30），即f （n ）=－3n +93＜30，解得n ＞21.∴从第22天开始日销售量低于30件，即流行时间为14号至21号.∴该服装流行时间不超过10天.。

2012年高考题----必修1第一章集合与函数的概念

2012年高考题----必修1第一章集合与函数的概念2012年高考题----第一章集合与函数的概念一、选择题1 ．（2012年高考（浙江文））设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （）A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}2 ．（2012年高考（浙江理））设集合A ={x |1<x <4},B ={x |x2-2x -3≤0},则A ∩(CRB )=（） A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．(1,2)3 ．（2012年高考（四川文））设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则AB =（）A ．{}bB ．{,,}b c dC ．{,,}a c dD ．{,,,}a b c d4 ．（2012年高考（山东文））已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则()U A B为（）A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4} 5．（2012年高考（辽宁文））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则()()U U C A C B ⋂=（） A ．{5,8} B ．{7,9} C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}6．（2012年高考（课标文））已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则（）A ．A ⊂≠B B ．B ⊂≠AC ．A=BD ．A∩B=∅7 ．（2012年高考（江西文））若全集U={x∈R|x 2≤4}A={x∈R||x+1|≤1}的补集CuA为（）A ．|x∈R |0<x<2|B ．|x∈R |0≤x<2|C ．|x∈R |0<x≤2|D ．|x∈R|0≤x≤2|{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则（）A ．AB ⊆ B ．C B ⊆C ．D C ⊆ D ．A D ⊆8．（2012年高考（北京文））已知集合{}320A x R x =∈+>,{}(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A B=（）A ．(,1)-∞-B ．2(1,)3--C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞ 9．（2012年高考（新课标理））已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为（） A ．3 B ．6 C ．8D ．1010 ．（2012年高考（陕西理））集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x=≤,则MN =（） A ．(1,2) B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]11 ．（2012年高考（山东理））已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则UCAB为（）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,412．（2012年高考（辽宁理））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则)()(B C A C U U 为（）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}13 ．（2012年高考（湖南理））设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M ∩N= （）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,0}14 ．（2012年高考（广东理））(集合)设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U C M =（） A ．UB ．{}1,3,5C ．{}3,5,6D ．{}2,4,6 15 ．（2012年高考（大纲理））已知集合{}{},1,,A m B m A B A ==⋃=,则m =（） A ．03 B ．0或3 C ．1或3D ．1或316．（2012年高考（北京理））已知集合{}320A x R x =∈+>,{}(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A B=（）A ．(,1)-∞-B ．2(1,)3--C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞17．（2012年高考（江西理））若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为（） A ．5 B ．4 C ．3D ．218 ．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（） A ．1y x =+ B ．2y x =- C．1y x=D ．||y x x =19 ．（2012年高考（江西文））设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（）A ．15B ．3C ．23D ．13920．（2012年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为21．（2012年高考（福建文））设1,()0,1,f x ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩0(0)(0)x x x >=<,1,()0,g x ⎧⎪=⎨⎪⎩()(x x 为有理数为无理数),则(())f g π的值为（） A ．1 B ．0C ．1-D ．π二、填空题22．（2012年高考（天津文））集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位_________.23．（2012年高考（上海文））若集合}012|{>-=x x A ,}1|{<=x x B ,则BA =_________ .24．（2012年高考（天津理））已知集合={||+2|<3}A x R x ∈,集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n -,则=m __________,=n ___________.25．（2012年高考（四川理））设全集{,,,}U a b c d =,集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则=）（）（B C A C U U_______.26．（2012年高考（上海理））若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ,则BA =_________ .27．（2012年高考（上海春））已知集合[1,2,},{2,5}.A kB ==若{1,2,3,5},A B =则k =______.28．（2012年高考（江苏））已知集合{124}A =，，,{246}B =，，,则A B =____.29．（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________30．（2012年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f 2（）=_______________.31．（2012年高考（广东文））(函数)函数1x y +=的定义域为__________.32．（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =祥细答案一、选择题 1.【答案】D【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算. 【解析】Q{3,4,5},∴C U Q={1,2,6},∴P∩(C U Q)={1,2}.2.【解析】A =(1,4),B =(-1,3),则A ∩(C R B )=(3,4).【答案】B 3.[答案]D[解析]集合A 中包含a,b 两个元素,集合B 中包含b,c,d 三个元素,共有a,b,c,d 四个元素,所以}{d c b a B A 、、、=[点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重点是掌握好课本的基础知识. 4. 解析:}4,2,0{)(},4,0{==B A C A CU U.答案选C. 5.【答案】B【解析一】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ,所以)()(B C A CU U{7,9}.故选B【解析二】集合)()(B C A CU U即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题.采用解析二能够更快地得到答案.6.【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系,是简单题. 【解析】A=(-1,2),故B ⊂≠A,故选B.7.C 【解析】{|22}U x x =-≤≤,{|20}A x x =-≤≤,则{|02}U C A x x =<≤.8.【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M∩N.9.D 【解析】求解一元二次方程,得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=,易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ,所以根据子集的定义,集合C 必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合{}3,4的子集个数,即有224=个.故选D.【点评】本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极高.10.解析:A.{}2,4,6UC M =.11.【答案】D【解析】显然,,A B C 错,D 正确【考点定位】考查集合包含关系与运算,属基础题.12.答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念,集合的包含关系的运用.【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形,矩形是特殊的平行四边形,可知集合C 是最小的,集合A 是最大的,故选答案B. 13.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或,画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>.【考点定位】本小题考查的是集合(交集)运算和一次和二次不等式的解法.14.【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==,4,1,2,3x y ==,3,1,2x y ==,2,1x y ==共10个15.解析:{|lg 0}{|1}M x x x x =>=>,{|22}N x x =-≤≤,{12}M N x x =<≤,故选C.16. 【解析】}4,0{=A C U,所以}42,0{，）（=B A C U,选C. 17.【答案】B【解析一】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ,所以)()(B C A CU U为{7,9}.故选B【解析二】集合)()(B C A CU U为即为在全集U中去掉集合A 和集合B 中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题.采用解析二能够更快地得到答案.18.【答案】B【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M∩N19. 解析:C.{}3,5,6UC M =.20.答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算,集合的关系的运用,元素与集合的关系的综合运用,同时考查了分类讨论思想.【解析】【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或mm =.若3=m ,则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足AB A = .若mm =,解得0=m 或1=m .若0=m ,则}0,3,1{},0,3,1{==B A ,满足AB A = .若1=m ,}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立,综上0=m 或3=m ,选B.21.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或,画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>. 【考点定位】本小题考查的是集合(交集)运算和一次和二次不等式的解法.22.C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.【点评】集合有三种表示方法:列举法,图像法,解析式法.集合有三大特性:确定性,互异性,无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算,Venn 图的考查等.23.解析:运用排除法,奇函数有1y x =和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确.24.【答案】D【解析】考查分段函数,22213((3))()()1339f f f ==+=.25.B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y f x f f =--=--=-=,故可排除D 项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C项;所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x的对数型函数的图象的识别.26.【答案】B【解析】因为()0g π= 所以(())(0)0f g f π==. B 正确【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力. 27.【解析】3-不等式52≤-x ,即525≤-≤-x ,73≤≤-x ,所以集合}73{≤≤-=x x A ,所以最小的整数为3-.28. [解析] ),(21∞+=A ,)1,1(-=B ,A ∩B =)1,(21.29.【答案】1-,1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质,同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想. 【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)AB n -,画数轴可知=1m -,=1n . 30.[答案]{a, c, d} [解析]∵d}{c,=）（A C U ;}{a B C U =）（∴=）（）（B C A C U U{a,c,d}[点评]本题难度较低,只要稍加注意就不会出现错误.31.[解析] ),(21∞+-=A ,)3,1(-=B ,A ∩B =)3,(21-.32. 333. 【答案】{}1,2,4,6.【考点】集合的概念和运算. 【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =.34.【答案】4【解析】由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+--4a ⇒=.【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.35.【答案】32【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 36.解析:[)()1,00,-+∞.由10x x +≥⎧⎨≠⎩解得函数的定义域为[)()1,00,-+∞.37.【解析】6- 由对称性:362a a -=⇔=-。

高三数学一轮复习测试“集合与函数”专题测试题及参考答案

2011届高三数学一轮复习测试：集合与函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3}2．若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x 、y ∈M }，则N 中元素的个数为( )A ．9B ．6C ．4D ．23．函数f (x )＝lg 的定义域为( )1－x 2A ．[0,1] B ．(－1,1)C ．[－1,1] D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(文)函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}满足f (f (x ))＝f (x )，则这样的函数个数共有( )A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个5．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为12( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,36．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝( )A.B. C.D ．2122227．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝1f (x )( )A ．－5 B ．－ C.D ．51515[答案]　B8．(文)定义运算a b ＝Error!，则函数f (x )＝1　2x 的图象是( )9．(文)函数f (x )＝1＋log 2x 和g (x )＝21＋x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )10．(文)函数f (x )＝Error!(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[，1)13C ．(0，] D ．(0，]132311．(文)已知f (x )＝Error!，则f (8)等于( )A ．4B ．0 C. D ．21412．(08·陕西)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝Error!则g (g ())＝________.1214．函数y ＝的定义域为________．log0.5(4x 2－3x )15．用一根为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为________．16．(08·辽宁)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ()的所x ＋3x ＋4有x 之和为________．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a ∈R 且x ≠a )的定义域为[a －1，a －]时，求x ＋1－a a －x 12f (x )的值域．18．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (其中a ≠0)，且f ′(－2)＝0.13(1)若f (x )在x ＝2处取得极小值－2，求f (x )的单调区间；(2)令F (x )＝f ′(x )，若F ′(x )>0的解集是A ，且A ∪(0,1)＝(－∞，1)，求的最大值．ac 19．(本小题满分12分)某商场根据以往销售统计资料，预计2009年从1月起前x 个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是p (x )＝x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，12且x ≤12)，该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)．(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？20．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)已知集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)在区域Error!内随机任取一点(a ，b )．求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．21．(本小题满分12分)(08·广东)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)．购地总费用建筑总面积22．(本小题满分14分)(文)已知函数f (x )＝log a (a >0，且a ≠1)的图象关于原点对称．1－mxx －1(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并利用定义证明．参考答案1.[答案]　D[解析]　∵A ＝{x |－2≤x ≤3}　∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，∴A ∩∁U B ＝{x |－1≤x ≤3}．2．[解析]　由题意得①当x ＝y 时，有Error!，即－1≤x ≤1，又x ∈M ，则有序实数对(x ，y )有两对；②当x ≠y 时，若x ＝0，则有Error!，即－≤y ≤，又y ∈M ，则有序实数对(x ，y )不存在；若1212x ＝1，则有Error!，即0≤y ≤1，又y ∈M ，∴y ＝0，则有序实数对(x ，y )有一对；若x ＝2，则有Error!，即≤y ≤，又y ∈M ，∴y ＝1，则有序实数对(x ，y )有一对．综上所述，集合N 中元素的1232个数为4.3．[答案]　B[解析]　由1－x 2>0得－1<x <1.4．(文)函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}满足f (f (x ))＝f (x )，则这样的函数个数共有( )A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个[答案]　D[解析]　①当f (x )＝k (k ＝1,2,3)时满足，这样的函数有3个；②当f (x )＝x 时满足，这样的函数有1个；③f (1)＝1，f (2)＝f (3)＝2；f (1)＝1，f (2)＝f (3)＝3有2个，同样，f (2)＝2和f (3)＝3，也各有2个．故满足题设要求的共有10个函数．如图5．[答案]　A[解析]　在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域为R ，且12是奇函数，故α＝1,3.6．[答案]　D[解析]　(1)a >1时，Error!⇒a ＝2，(2)0<a <1时，Error!，无解，综上所述a ＝2，故选D.7．[答案]　B[解析]　显然由f (x ＋2)＝⇒f (x ＋4)＝f (x )，说明函数的周期为4，f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)1f (x )＝f (－1)＝f (3)＝f (1＋2)＝＝－.1f (1)158．[答案]　A[解析]　当x <0时，2x <1，f (x )＝2x ；当x >0时，2x >1，f (x )＝1.答案为A.9．[答案]　D[解析]　∵f (x )的图象过点(1,1)，∴g (x )的图象过点(－1,1)．10．[答案]　B[解析]　f (x )在R 上单调递减，∴Error!∴≤a <1.311．[答案]　C[解析]　f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝f (－2)＝2－2＝，选C.1412．[答案]　C[解析]　∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，对任意x 、y ∈R 成立，∴x ＝y ＝0时，有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0，又f (1)＝2，∴y ＝1时，有f (x ＋1)－f (x )＝f (1)＋2x ＝2x ＋2，∴f (0)－f (－1)＝0，f (－1)－f (－2)＝－2，f (－2)－f (－3)＝－4，三式相加得：f (0)－f (－3)＝－6，∴f (－3)＝6.13．[答案]　12[解析]　>0，则g ＝ln <012(12)12∴g (g ())＝g (ln )＝eln ＝.1212121214．[答案]　[－，0)∪(，1]1434[解析]　由题意得：log 0.5(4x 2－3x )≥0，则由对数函数的性质得：0<4x 2－3x ≤1，即Error!∴－≤x <0或<x ≤1，1434∴函数的定义域为：[－，0)∪(，1]．143415．[答案]　3m,1.5m[解析]　题意即求窗户面积最大时的长与宽，设长为x m ，则宽为(3－x )m ，12∴S ＝x (3－x )＝－x 2＋3x (0<x <6)，解得当x ＝3时，S max ＝.121292∴长为3m ，宽为1.5m.16．[答案]　－8[解析]　根据题设条件，令f (x )＝x 2，则f (x )＝f ()化为x 2＝()2，∴＝±x ，x ＋3x ＋4x ＋3x ＋4x ＋3x ＋4∴x 2＋3x －3＝0　①，或x 2＋5x ＋3＝0　②，方程①的两根之和为－3，方程②的两根之和为－5.∴满足f (x )＝f ()的所有x 之和为－8.x ＋3x ＋417．[解析]　f (x )＝＝－1＋，－(a －x )＋1a －x1a －x 当a －1≤x ≤a －时，－a ＋≤－x ≤－a ＋1，1212∴≤a －x ≤1，∴1≤≤2，121a －x∴0≤－1＋≤1.a －x 即f (x )的值域为[0,1]．18．[解析]　(1)∵f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∴Error!解得b ＝0，a ＝，c ＝－.3832∴f ′(x )＝x 2－≥0，得x ≥2或x ≤－2.3832同理f ′(x )＝x 2－≤0，3832得－2≤x ≤2.即函数f (x )的单调减区间是[－2,2]，增区间是(－∞，－2]和[2，＋∞)．(2)∵f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ＝F (x )，F (－2)＝4a －4b ＋c ＝0，∴4b ＝4a ＋c .F ′(x )＝2ax ＋2b ＝2ax ＋>0，∴2ax >－.4a ＋c 24a ＋c2当a >0时，F ′(x )>0的解集是，显然不满足A ∪(0,1)＝(－∞，1)，(－4a ＋c 4a ，＋∞)当a <0时，F ′(x )>0的解集是，(－∞，－4a ＋c4a )若满足A ∪(0,1)＝(－∞，1)，则0<－≤1，4a ＋c4a 解得－<≤－.14a c 18∴的最大值为－.a c 1819．[解析]　(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37；当2≤x ≤12时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝x (x ＋1)(39－2x )－(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且2≤x ≤12)．1212验证x ＝1符合f (x )＝－3x 2＋40x ，∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *且1≤x ≤12)．(2)该商场预计销售该商品的月利润为g (x )＝(－3x 2＋40x )(185－150－2x )＝6x 3－185x 2＋1400x (x ∈N *,1≤x ≤12)，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5，x ＝(舍去)．1409当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤12时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3125(元)．综上可知，5月份的月利润最大是3125元．20．[解析]　(1)∵a ∈P ，∴a ≠0.∴函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝，2ba 要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且≤1，即2b ≤a .2ba 若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1；若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2；若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.∴所求事件的概率为＝.163649(2)由条件知a >0，∴同(1)可知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域Error!，为△OAB ，所求事件构成区域为如图阴影部分．由Error!得交点D ，(163，83)∴所求事件的概率为P ＝＝.12×8×8312×8×81321．[解析]　设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋＝560＋48x ＋(x ≥10，x ∈N *)，2160×100002000x10800xf ′(x )＝48－，10800x 2令f ′(x )＝0得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．22．[解析]　(1)m ＝－1.(2)f (x )＝log a ，x ＋1x －1当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．证明：设1<x 1<x 2，则－＝>0，x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－12(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)∴>>0.x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－1当a >1时，log a >log a ，即f (x 1)>f (x 2)，x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－1∴f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当0<a <1时，log a <log a ，x 1＋1x 1－1x 2＋1x 2－1即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．。

2012届高三数学第一轮复习阶段性测试题5

阶段性测试题五(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(2011·某某质检)集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2[答案] D[解析] 由A ∩B ＝B 知B ⊆A ，a ＝1时，B ＝{x |x 2－x ＋1＝0}＝∅⊆A ；a ＝2时，B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}⊆A ；a ＝3时，B ＝{x |x 2－3x ＋1＝0}＝{3＋52，3－52}⃘A ，故选D.2．(文)(2011·某某质检)在复平面内，复数i3－i(i 是虚数单位)对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析] z ＝i3－i＝i3＋i 3－－1＝－14＋34i 的对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34在第二象限．(理)(2011·某某二中质检)如果复数2－bi1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A.2B.23C ．－23D ．2[答案] C[解析] ∵2－bi 1＋2i ＝2－bi 1－2i 5＝2－2b 5＋－b －45i 的实部与虚部互为相反数，∴2－2b 5＋－b －45＝0，∴b ＝－23，故选C.3．(文)(2011·日照调研)若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72D.72[答案] C[解析] e 1·e 2＝1×1×cosπ3＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，故选C.(理)(2011·某某豫州九校联考)若A 、B 是平面内的两个定点，点P 为该平面内动点，且满足向量AB →与AP →夹角为锐角θ，|PB →||AB →|＋PA →·AB →＝0，则点P 的轨迹是( )A ．直线(除去与直线AB 的交点)B ．圆(除去与直线AB 的交点)C ．椭圆(除去与直线AB 的交点)D ．抛物线(除去与直线AB 的交点) [答案] D[解析] 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－1,0)，则B (1,0)，设P (x ，y )，则PB →＝(1－x ，－y )，PA →＝(－1－x ，－y )，AB →＝(2,0)，∵|PB →|·|AB →|＋PA →·AB →＝0，∴21－x2＋－y2＋2(－1－x )＝0，化简得y 2＝4x ，故选D.4．(2011·某某哈六中期末)为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为( )A ．150B ．160C ．200D ．230[答案] B[解析] 依据分层抽样的定义，抽样比为50900＝118，故这次调研一共抽查试卷(1260＋720＋900)×118＝160份．5．(文)(2011·某某市期末)设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f xf x ≤kkf x >k，给出函数f (x )＝－x 2＋2，若对于任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有f k (x )＝f (x )，则( )A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1[答案] B[解析] ∵x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )＝－x 2＋2≤2，且f k (x )＝f (x )恒成立，且当f (x )>k 时，f k (x )＝k ，故k 的最小值为2.(理)(2011·丰台区期末)用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大数，设f (x )＝max{x 2，x }(x ≥14)，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积是( )A.3512B.5924 C.578D.9112[答案] A[解析] 如图，平面区域的面积为6．(2011·丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，12]内，则输入的实数x 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1]B ．[14，2]C ．(－∞，0)∪[14，2]D ．(－∞，－1]∪[14，2][答案] D[解析] ∵x <0时，f (x )＝2x∈(0,1)，由0<2x≤12得，x ≤－1；由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2x ≤12x >0得，14≤x ≤2，故选D.7．(文)(2011·潍坊一中期末)下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 [答案] C[解析] 若p ∧q 为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，故C 错误． (理)(2011·某某质检)给出下列命题①设a ，b 为非零实数，则“a <b ”是“1a >1b”的充分不必要条件；②命题p ：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q ：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题p ∨q 为真命题；③命题“∀x ∈R ，sin x <1”的否定为“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；④命题“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”的逆否命题为“若x ＋y <5，则x <2且y <3”，其中真命题的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个[答案] D[解析] ①取a ＝－1，b ＝2满足a <b ，但1a >1b不成立，∴①错；②取长方体交于同一顶点的三条棱所在直线知p 假，又q 真，∴p ∨q 为真命题，故②正确；③sin x <1的否定应为sin x ≥1，故③错；④“且”的否定应为“或”，故④错，因此选D.8．(文)(2011·某某某某质检)若将函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3 C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3左移m 个单位得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3为偶函数，∴m ＋π3＝k π，k ∈Z .∵m >0，∴m 的最小值为2π3.(理)(2011·某某模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4B ．y ＝2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．y ＝2＋sin2xD ．y ＝2＋cos2x[答案] A[解析] y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――――――――→图象再向上平移π4个单位用x +π4代替xy ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4―――――――→图象再向上平移2个单位用y －2代替y y －2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4，即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4＋2，故选A. 9．(2011·某某某某模拟)如图所示的程序框图，其输出结果是( )A ．341B ．1364C ．1365D ．1366[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：a ＝1，a ＝4×1＋1＝5，a <500满足→a ＝4×5＋1＝21，a <500仍满足→a ＝4×21＋1＝85，a <500满足→a ＝4×85＋1＝341，a <500满足→a ＝4×341＋1＝1365，a <500不满足→输出a 的值1365后结束，故选C.[点评] 要注意循环结束的条件和输出结果是什么．10．(文)(2011·某某某某一中期末)如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A.2723 B ．12 3 C ．24 D ．24＋2 3[答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是底面边长为332＝2，高为4的正三棱柱，故其全面积为3×(2×4)＋2×34×22＝24＋2 3. (理)(2011·某某日照调研)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．34＋6 5B ．6＋65＋4 3C ．6＋63＋413D ．17＋6 5[答案] A[解析] 由三视图知，该四棱锥底面是一个矩形，两边长分别为6和2，有一个侧面PAD 与底面垂直，高为4，故其表面积S ＝6×2＋12×6×4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×42＋32＋12×6×42＋22＝34＋6 5.11．(2011·某某某某质检)双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.83B.38C.316D.163[答案] C[解析] 抛物线焦点F (1,0)为双曲线一个焦点， ∴m ＋n ＝1，又双曲线离心率为2，∴1＋nm＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ＝34，∴mn ＝316.12．(文)(2011·某某高州市长坡中学期末)方程|x －2|＝log 2x 的解的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝|x －2|与y ＝log 2x 的图象可知两图象有两个交点，故选C.(理)(2011·某某实验中学期末)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ，②y ＝x ＋1x ，③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有① [答案] C[解析] ①对于函数f (x )＝x －1x，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )，∴①是“倒负”变换的函数，排除B ；②对于函数f (x )＝x ＋1x有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )不满足“倒负”变换，排除A ；对于③，当0<x <1时，1x>1，∵f (x )＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，∵f (x )＝－1x，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x＝1，∵f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0＝－f (x )，∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·某某哈六中期末)一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5X 标签，不放回地抽取2X 标签，则2X 标签上的数字为相邻整数的概率为________(用分数表示)．[答案] 25[解析] (文)任取两X 标签，所有可能取法有1,2；1,3；1,4；1,5；2,3；2,4；2,5；3,4；3,5；4,5；共10种，其中两数字相邻的有4种，∴所求概率p ＝410＝25.(理)从5X 标签中，任取2X ，有C 25＝10种取法，两X 标签上的数字为相邻整数的取法有4种，∴概率p ＝410＝25.14．(2011·某某某某八校联考)点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，ab 的最大值为________．[答案] 1[解析] 由条件知a >0，b >0，(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，∴a 2＋b 2＋2a ＋2b ＝6，∴2ab ＋4ab ≤6，∵ab >0，∴0<ab ≤1，等号在a ＝b ＝1时成立．[点评] 作出图形可见，点(a ，b )为⊙C 在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a ，b )为直线y ＝x 与⊙C 的交点(1,1)时，ab 取最大值1.15．(2011·某某南开中学期末)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2n－1，则当n ≥2时，1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝________.[答案] 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1[解析] a 1＝S 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1－12n1－12＝2－12n －1. 16．(文)(2011·学普教育中心)设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l ，使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f (x )＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数，那么实数m 的取值X 围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] f (x )＝x 2(x ≥－1)的图象如图所示，要使得f (－1＋m )≥f (－1)＝1，应有m ≥2；故x ≥－1时，恒有f (x ＋m )≥f (x )，只须m ≥2即可．(理)(2011·某某资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M ，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧ADM 的长度，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点N (n,0)，则m 的象就是n ，记作f (m )＝n .给出下列命题：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1；②f (x )是奇函数；③f (x )在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________．(填出所有真命题的序号)[答案] ③[解析] 由m 的象是n 的定义知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0，故①假，随着m 的增大，点N 沿x 轴向右平移，故n 增大，∴③为真命题；由于m 是线段AM 的长度，故f (x )为非奇非偶函数，∴②假．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)(2011·某某一中期末)已知a ＝(cos x －sin x,2sin x )，b ＝(cos x ＋sin x ，3cos x )，若a ·b ＝1013，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6，求sin2x 的值．[解析] ∵a ·b ＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1013， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝513，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1213，∴sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6sin π6＝513·32－1213·12＝53－1226.(理)(2011·某某某某诊断)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2a －c ，b )，n ＝(cos C ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的最大值．[解析] (1)由题意知(2a －c )cos B ＝b cos C ，(2a －c )·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝π3.(2)由(1)知a 2＋c 2－b 2＝ac ，b ＝3， ∴a 2＋c 2－ac ＝3，(a ＋c )2－3ac ＝3， (a ＋c )2－3·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22≤3，14(a ＋c )2≤3， ∴a ＋c ≤23，即a ＋c 的最大值为2 3.18．(本小题满分12分)(文)(2011·某某南开中学期末)设函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋m ，g (x )＝a x.(1)若函数f (x )，g (x )在[1,2]上都是减函数，某某数a 的取值X 围；(2)当a ＝1时，设函数h (x )＝f (x )g (x )，若h (x )在(0，＋∞)内的最大值为－4，某某数m 的值．[解析] (1)∵f (x )，g (x )在[1,2]上都是减函数，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a >0，∴0<a ≤1.∴实数a 的取值X 围是(0,1]． (2)当a ＝1时，h (x )＝f (x )g (x )＝－x 2＋2x ＋m x ＝－x ＋m x＋2；当m ≥0时，显然h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴h (x )无最大值；当m <0时，h (x )＝－x ＋m x＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋－m x＋2 ≤－2－m ＋2.当且仅当x ＝－m 时，等号成立． ∴h (x )max ＝－2－m ＋2， ∴－2－m ＋2＝－4⇒m ＝－9.(理)(2011·某某哈六中期末)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )． (1)若a ＝12，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)当a ≥1时，求证：f (x )≤g (x )．[解析] (1)a ＝12，F (x )＝ln x ＋2x －12(x 2＋x ) (x >0)F ′(x )＝1x －x ＋32＝2－2x 2＋3x 2x ＝－2x ＋1x －22x，∵x >0，∴当0<x <2时，F ′(x )>0，当x >2时，F ′(x )<0， ∴F (x )的增区间为(0,2)，减区间为(2，＋∞)． (2)令h (x )＝f (x )－g (x ) (x >0)则由h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1x＋2－2ax －a＝－2x ＋1ax －1x＝0，解得x ＝1a，∵h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上减，∴当x ＝1a时，h (x )有最大值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋2a－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a ＝ln 1a ＋1a －1，∵a ≥1，∴ln 1a ≤0，1a－1≤0，∴h (x )≤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≤0，所以f (x )≤g (x )．19．(本小题满分12分)(文)(2011·某某期末)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求通项a n ；(2)令b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)设数列{a n }的公关差为d ，则d ≠0， ∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 22＝a 1·a 4， ∴(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，整理得：a 1＝d ，又a 1＝1，∴d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝1＋(n －1)·1＝n . 即数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得b n ＝a n ＋2a n ＝n ＋2n， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(21＋22＋23＋ (2)) ＝n n ＋12＋21－2n1－2＝n n ＋12＋2(2n－1)＝2n ＋1＋12n 2＋12n －2. 故数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1＋12n 2＋12n －2. (理)(2011·某某冀州期末)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k都成立，求c 的最大值．[解析] (1)由题意知：d >0，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d2a 2＝a 1＋a 3⇒3a 2＝S 3⇒3(S 2－S 1)＝S 3,3[(a 1＋d )2－a 1]2＝(a 1＋2d )2，化简得：a 1－2a 1·d ＋d 2＝0，∴a 1＝d ，∴a 1＝d 2S n ＝d ＋(n －1)d ＝nd ，S n ＝n 2d 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝(2n －1)d 2，适合n ＝1的情形．故a n ＝(2n －1)d 2.(2)S m ＋S n >cS k ⇒m 2d 2＋n 2d 2>c ·k 2d 2⇒m 2＋n 2>c ·k 2，∴c <m 2＋n 2k2恒成立．又m ＋n ＝3k 且m ≠n,2(m 2＋n 2)>(m ＋n )2＝9k 2⇒m 2＋n 2k 2>92，故c ≤92，即c 的最大值为92.20．(本小题满分12分)(2011·某某某某调研)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 的面积的最大值．[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1e ＝c a＝a 2－b 2a ＝63解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知|m |1＋k2＝32得， m 2＝34(k 2＋1)，把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程整理得， (3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1. 当k ≠0时，|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 23k 2＋12－12m 2－13k 2＋1 ＝121＋k23k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述：|AB |max ＝2，此时△AOB 面积取最大值S ＝12|AB |max ×32＝32. 21．(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点．(1)求证：MN∥平面ACC1A1；(2)求证：MN⊥平面A1BC.[证明] 由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC＝BC＝CC1.(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB1A1为矩形，对角线交点M为A1B的中点，又∵N为B1C1的中点，∴△AB1C1中，MN∥AC1.又∵AC1⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1.∴MN∥平面ACC1A1.(2)∵直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵AC1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC1.在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C.又BC∩A1C＝C，∴AC1⊥平面A1BC，∵MN∥AC1，∴MN⊥平面A1BC.[点评] 将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向．解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算．请再练习下题：已知四棱锥P－ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点F 在线段BD 上，且DF ＝3BF ，则当PE EC等于多少时，有EF ∥平面PAB ？并证明你的结论；(3)试证明P 、A 、B 、C 、D 五个点在同一球面上．[解析] (1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2. ∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝23.(2)当PE EC ＝13时，有EF ∥平面PAB .连结CF 延长交AB 于G ，连结PG ，在正方形ABCD 中，DF ＝3BF . 由△BFG ∽△DFC 得，GF FC ＝BF DF ＝13.在△PCG 中，PE EC ＝13＝GFFC，∴EF ∥PG .又PG ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB . (3)证明：取PA 的中点O .在四棱锥P －ABCD 中，侧棱PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，可知△PCA 、△PBA 、△PDA 均是直角三角形，又O 为PA 中点，∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ＝OD . ∴点P 、A 、B 、C 、D 在以点O 为球心的球面上．(理)(2011·某某某某一中期末)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上．(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值． [解析] (1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥平面A 1CD . 因为A 1D ⊂平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(2)连结BO ，则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角．因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ，∵A 1C ⊂平面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt△A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225.所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.选做题(22至24题选做一题) 22．(本小题满分12分)几何证明选讲(2011·学普教育中心联考)如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．[解析] 设CB ＝AD ＝x ，则由割线定理得：CA ·CD ＝CB ·CE ，即4(4＋x )＝x (x ＋10)化简得x 2＋6x －16＝0，解得x ＝2或x ＝－8(舍去) 即CD ＝6，CE ＝12.因为CA 为直径，所以∠CBA ＝90°，即∠ABE ＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D ＝90°，则CD 2＋DE 2＝CE 2，∴62＋DE 2＝122，∴DE ＝6 3.23．(本小题满分12分)极坐标与参数方程(2011·某某省实验中学期末)已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． [解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12得t 2＋12t －14＝0，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14.24．(本小题满分12分)不等式选讲(2011·某某市联考)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值X 围． [解析] (1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，∵|x －2|>1－a ，∴x －2>1－a 或x －2<a －1，∴x >3－a 或x <a ＋1，故解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．(2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值X 围是(－∞，5)．。